專題11 二次函數(shù)-胡不歸求最小值（原卷版）

第十一講二次函數(shù)--胡不歸求最值

目錄

必備知識點.......................................................................................................................................................1

考點一PA+k?PB...............................................................................................................................................2

考點二PA+QB+k?PQ......................................................................................................................................12

知識導航

必備知識點

從前，有一個小伙子在外地當學徒，當他得知在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后，便立即啟程日夜趕路。

由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A--B（如圖所示：A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一

條驛道，而驛道靠目的地的一側全是沙礫地帶），當他趕到父親眼前時，老人已去世了，鄰舍告訴小伙子

時告訴說，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸?胡不歸？

一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C

ACBC

在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。?/p>

V2V1

ACBC1VV

=BC1AC，記k1，

V2V1V1V2V2

即求BC+kAC的最小值．

構造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

將問題轉化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最

小值，即BC+kAC最?。?/p>

第1頁共18頁.

在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉化為

“PA+PC”型．

胡不歸模型問題解題步驟如下：

bbb

1、將所求線段和改寫為“PA+PB”的形式（<1，若>1，提取系數(shù)，轉化為小于1的形

aaa

式解決）。

b

2、在PB的一側，PA的異側，構造一個角度α，使得sinα=

a

3、最后利用兩點之間線段最短及垂線段最短解題

考點一PA+k?PB

1．如圖1，拋物線y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）與x軸交于A，B兩點（A在B左邊），與y軸交于點C．連

接AC，BC．且△ABC的面積為8．

（1）求m的值；

（2）在（1）的條件下，在第一象限內拋物線上有一點T，T的橫坐標為t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）

2的值．

（3）如圖2，點P為y軸上一個動點，連接AP，求CP+AP的最小值，并求出此時點P的坐標．

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2．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸相交于點C（0，﹣2），與x軸分別交于點B（3，0）和

點A，且tan∠CAO＝1．

（1）求拋物線解析式．

（2）拋物線上是否存在一點Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，請求出點Q坐標，若不存在，請說明

理由；

（3）拋物線的對稱軸交x軸于點D，在y軸上是否存在一個點P，使PC+PD值最小，若存在，請

求出最小值，若不存在，請說明理由．

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3．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，

其頂點為D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．

（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點D的坐標；

（2）點M是線段BC上方拋物線上的一個動點，點N是線段BC上一點，當△MBC的面積最大時，求：

①點M的坐標，說明理由；

②MN+BN的最小值；

（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形為直角三角形？若存在，

求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

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4．如圖1，拋物線與x軸分別交于A，B兩點（點B位于點A的右側），與y軸

交于C點，連接BC．

（1）求直線BC的解析式：

（2）如圖1，點P是線段BC下方拋物線上任意一點，點F是y軸上一點，當△PBC面積最大時，求

PF+FO的最小值；

（3）如圖2，拋物線的對稱軸與x軸交于點M，點Q是直線BC上一動點，連接MQ，將△BMQ沿MQ

折疊至△B′MQ，其中點B的對應點為點B′，連接AB'，CB′，當△ACB′為等腰三角形時，求點Q

的坐標．

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5．已知：如圖所示，拋物線y＝﹣x2﹣x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸的正半軸交于點C，點A

在點B的左側，且滿足tan∠CAB?tan∠CBA＝1．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）若點P是拋物線y＝﹣x2﹣x+c上一點，且△PAC的內切圓的圓心正好落在x軸上，求點P的

坐標；

（3）若M為線段AO上任意一點，求MC+AM的最小值．

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6．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣6x+7交x軸于A，B兩點（點A在點B左側），交y軸于點C，直線

y＝x+7經過點A、C，點M是線段AC上的一動點（不與點A，C重合）．

（1）求A，B兩點的坐標；

（2）當點P，C關于拋物線的對稱軸對稱時，求PM+AM的最小值及此時點M的坐標；

（3）連接BC，當△AOM與△ABC相似時，求出點M的坐標．

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7．如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，

經過點B的直線y＝﹣x+與拋物線的另一交點為D，且點D的橫坐標為﹣5．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點P（x，y）在該二次函數(shù)的圖象上，且S△BCD＝S△ABP，求點P的坐標；

（3）設F為線段BD上的一個動點（異于點B和D），連接AF．是否存在點F，使得2AF+DF的值最

??？若存在，分別求出2AF+DF的最小值和點F的坐標，若不存在，請說明理由．

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8．已知拋物線y＝ax2﹣4ax﹣12a與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于C點，且OC＝OA．設拋物線

的頂點為M，對稱軸交x軸于點N．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點E（m，n）為拋物線上的一點，且0＜m＜6，連接AE，交對稱軸于點P．點F為線段

BC上一動點，連接EF，當PA＝2PE時，求EF+BF的最小值．

（3）如圖2，過點M作MQ⊥CM，交x軸于點Q，將線段CQ向上平移t個單位長度，使得線段CQ

與拋物線有兩個交點，求t的取值范圍．

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9．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線x＝1，

點A（﹣1，0），過B的直線交y軸于點D，交拋物線于E，且．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線第四象限的圖象上找一點P，使得△BDP的面積最大，求出點P的坐標；

（3）點M是線段BE上的一點，求的最小值，并求出此時點M的坐標．

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10．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），交

y軸于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．

（1）填空：a＝，點B的坐標是；

（2）連接BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD，交拋物

線于點N（點N在對稱軸的右側），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點F，點P是線段OC上

一動點，當△MNF的周長取得最大值時，求FP+PC的最小值；

（3）在（2）中，當△MNF的周長取得最大值時，F(xiàn)P+PC取得最小值時，如圖2，把點P向下平移

個單位得到點Q，連接AQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉一定的角度（0°＜＜360°），得到△A′

OQ′，其中邊A′Q′交坐標軸于點G．在旋轉過程中，是否存在一點αG，使得αGQ′＝OG？若存在，

請直接寫出所有滿足條件的點Q′的坐標；若不存在，請說明理由．

第11頁共18頁.

考點二PA+QB+k?PQ

11．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，

點E與點C關于拋物線對稱軸對稱，拋物線的對稱軸與x軸交于點G．

（1）求直線AE的解析式及△ACE的面積．

（2）如圖1，連接AE，交y軸于點D，點P為直線AE上方拋物線一點，連接PD、PE，直線l過點B

且平行于AE，點F為直線l上一點，連接FD、FE，當四邊形PDFE面積最大時，在y軸上有一點N，

連接PN，過點N作NM垂直于拋物線對稱軸于點M，求的最小值．

（3）連接AC，將△AOC向右平移得△A'O'C'，當A'C'的中點恰好落在∠CAB的平分線上時，將△A'O'C'

繞點O'旋轉，記旋轉后的三角形為△A″O′C″，在旋轉過程中，直線A″C″與y軸交于點K，與直

線AC交于點H，在平面中是否存在一點Q，使得以C、K、H、Q為頂點的四邊形是以KH為邊的菱形，

若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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12．如圖，拋物線的解析式為y＝﹣x+5，拋物線與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側），

與y軸交于點C，拋物線對稱軸與直線BC交于點D．

（1）E點是線段BC上方拋物線上一點，過點E作直線EF平行于y軸，交BC于點F，若線段CD長

度保持不變，沿直線BC移動得到C'D'，當線段EF最大時，求EC'+C'D'+D'B的最小值；

（2）Q是拋物線上一動點，請問拋物線對稱軸上是否存在一點P是△APQ為等邊三角形，若存在，請

直接寫出三角形邊長，若不存在請說明理由．

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13．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝與x軸交于A、B兩點（點A在點B

的左側），與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸與x軸交于點E．

（1）連接BD，點P是線段BD上一動點（點P不與端點B、D重合），過點P作PQ⊥BD，交拋物線

于點Q（點Q在對稱軸的右側），過點Q作QF⊥x軸，垂足為F，交BD于G，點M是線段OC上一動

點，當△PQG周長取得最大時，求FG+GM+MC的最小值；

（2）在（1）中，當△PQG周長取得最大，F(xiàn)G+GM+MC取得最小值時，把點M向下平移個單

位得到點M'，連接AM'，把△AOM'繞點O逆時針旋轉一定的度（0＜＜360°），得到△A'OM''，其中

邊A'M''交坐標軸于點I．在旋轉過程中，是否存在點I，使得∠Mα''＝∠Mα''OI？若存在，請直接寫出所有

滿足條件的點M''的坐標；若不存在，請說明理由．

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14．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+x+與x軸交于A、B兩點（點A在點B的

左側），與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點．

（1）如圖1，P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PQ∥y軸交BC于點Q．在拋物線的對稱軸

上有一動點M，在x軸上有一動點N，當6PQ﹣CQ的值最大時，求PM+MN+NB的最小值；

（2）如圖2，將△ABC繞點B逆時針旋轉90°后得到△A′BC'，再將△A′BC′向右平移1個單位得

到△A“B′C“，那么在拋物線的對稱軸DM上，是否存在點T，使得△A′B′T為等腰三角形？若存

在，求出點T到x軸的距離；若不存在，請說明理由．

第15頁共18頁.

15．如圖拋物線y＝﹣x2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．C，

D兩點關于拋物線對稱軸對稱，連接BD交y軸于點E，拋物線對稱軸交x軸于點F．

（1）點P為線段BD上方拋物線上的一點，連接PD，PE．點M是y軸上一點，過點M作MN⊥y軸

交拋物線對稱軸于點N．當△PDE面積最大時，求PM+MN+NF的最小值；

（2）如圖2，在（1）中PM+MN+NF取得最小值時，將△PME繞點P順時針旋轉120°后得到△

PM′E′，點G是MN的中點，連接M′G交拋物線的對稱軸于點H，過點H作直線l∥PM，點R是

直線l上一點，在平面直角坐標系中是否存在一點S，使以點M′，點G，點R，點S為頂點的四邊形

是矩形？若存在，直接寫出點S的坐標，若不存在，請說明理由．

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16．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），交y

軸于點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．

（1）連接BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD，交拋物

線于點N（點N在對稱軸的右側）