專題11 二次函數(shù)-胡不歸求最小值（原卷版）

第十一講二次函數(shù)--胡不歸求最值

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一PA+k?PB...............................................................................................................................................2

考點(diǎn)二PA+QB+k?PQ......................................................................................................................................12

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

從前，有一個(gè)小伙子在外地當(dāng)學(xué)徒，當(dāng)他得知在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后，便立即啟程日夜趕路。

由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A--B（如圖所示：A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一

條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是沙礫地帶），當(dāng)他趕到父親眼前時(shí)，老人已去世了，鄰舍告訴小伙子

時(shí)告訴說，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸?胡不歸？

一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C

ACBC

在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。?/p>

V2V1

ACBC1VV

=BC1AC，記k1，

V2V1V1V2V2

即求BC+kAC的最小值．

構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最

小值，即BC+kAC最?。?/p>

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在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為

“PA+PC”型．

胡不歸模型問題解題步驟如下：

bbb

1、將所求線段和改寫為“PA+PB”的形式（<1，若>1，提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形

aaa

式解決）。

b

2、在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個(gè)角度α，使得sinα=

a

3、最后利用兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題

考點(diǎn)一PA+k?PB

1．如圖1，拋物線y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B左邊），與y軸交于點(diǎn)C．連

接AC，BC．且△ABC的面積為8．

（1）求m的值；

（2）在（1）的條件下，在第一象限內(nèi)拋物線上有一點(diǎn)T，T的橫坐標(biāo)為t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）

2的值．

（3）如圖2，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，求CP+AP的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

第2頁(yè)共18頁(yè).

2．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣2），與x軸分別交于點(diǎn)B（3，0）和

點(diǎn)A，且tan∠CAO＝1．

（1）求拋物線解析式．

（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明

理由；

（3）拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，在y軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使PC+PD值最小，若存在，請(qǐng)

求出最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

第3頁(yè)共18頁(yè).

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，

其頂點(diǎn)為D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)M是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC上一點(diǎn)，當(dāng)△MBC的面積最大時(shí)，求：

①點(diǎn)M的坐標(biāo)，說明理由；

②MN+BN的最小值；

（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，

求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第4頁(yè)共18頁(yè).

4．如圖1，拋物線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B位于點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸

交于C點(diǎn)，連接BC．

（1）求直線BC的解析式：

（2）如圖1，點(diǎn)P是線段BC下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求

PF+FO的最小值；

（3）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接MQ，將△BMQ沿MQ

折疊至△B′MQ，其中點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，連接AB'，CB′，當(dāng)△ACB′為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)Q

的坐標(biāo)．

第5頁(yè)共18頁(yè).

5．已知：如圖所示，拋物線y＝﹣x2﹣x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A

在點(diǎn)B的左側(cè)，且滿足tan∠CAB?tan∠CBA＝1．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是拋物線y＝﹣x2﹣x+c上一點(diǎn)，且△PAC的內(nèi)切圓的圓心正好落在x軸上，求點(diǎn)P的

坐標(biāo)；

（3）若M為線段AO上任意一點(diǎn)，求MC+AM的最小值．

第6頁(yè)共18頁(yè).

6．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣6x+7交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，直線

y＝x+7經(jīng)過點(diǎn)A、C，點(diǎn)M是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合）．

（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求PM+AM的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）連接BC，當(dāng)△AOM與△ABC相似時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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7．如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，

經(jīng)過點(diǎn)B的直線y＝﹣x+與拋物線的另一交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P（x，y）在該二次函數(shù)的圖象上，且S△BCD＝S△ABP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)F為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)B和D），連接AF．是否存在點(diǎn)F，使得2AF+DF的值最

??？若存在，分別求出2AF+DF的最小值和點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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8．已知拋物線y＝ax2﹣4ax﹣12a與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且OC＝OA．設(shè)拋物線

的頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)E（m，n）為拋物線上的一點(diǎn)，且0＜m＜6，連接AE，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P．點(diǎn)F為線段

BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，當(dāng)PA＝2PE時(shí)，求EF+BF的最小值．

（3）如圖2，過點(diǎn)M作MQ⊥CM，交x軸于點(diǎn)Q，將線段CQ向上平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，使得線段CQ

與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求t的取值范圍．

第9頁(yè)共18頁(yè).

9．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，

點(diǎn)A（﹣1，0），過B的直線交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于E，且．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線第四象限的圖象上找一點(diǎn)P，使得△BDP的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M是線段BE上的一點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

第10頁(yè)共18頁(yè).

10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交

y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．

（1）填空：a＝，點(diǎn)B的坐標(biāo)是；

（2）連接BD，點(diǎn)M是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)B，D重合），過點(diǎn)M作MN⊥BD，交拋物

線于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點(diǎn)F，點(diǎn)P是線段OC上

一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MNF的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求FP+PC的最小值；

（3）在（2）中，當(dāng)△MNF的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，F(xiàn)P+PC取得最小值時(shí)，如圖2，把點(diǎn)P向下平移

個(gè)單位得到點(diǎn)Q，連接AQ，把△AOQ繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（0°＜＜360°），得到△A′

OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)αG，使得αGQ′＝OG？若存在，

請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第11頁(yè)共18頁(yè).

考點(diǎn)二PA+QB+k?PQ

11．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，

點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G．

（1）求直線AE的解析式及△ACE的面積．

（2）如圖1，連接AE，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線AE上方拋物線一點(diǎn)，連接PD、PE，直線l過點(diǎn)B

且平行于AE，點(diǎn)F為直線l上一點(diǎn)，連接FD、FE，當(dāng)四邊形PDFE面積最大時(shí)，在y軸上有一點(diǎn)N，

連接PN，過點(diǎn)N作NM垂直于拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，求的最小值．

（3）連接AC，將△AOC向右平移得△A'O'C'，當(dāng)A'C'的中點(diǎn)恰好落在∠CAB的平分線上時(shí)，將△A'O'C'

繞點(diǎn)O'旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△A″O′C″，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線A″C″與y軸交于點(diǎn)K，與直

線AC交于點(diǎn)H，在平面中是否存在一點(diǎn)Q，使得以C、K、H、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以KH為邊的菱形，

若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第12頁(yè)共18頁(yè).

12．如圖，拋物線的解析式為y＝﹣x+5，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），

與y軸交于點(diǎn)C，拋物線對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D．

（1）E點(diǎn)是線段BC上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線EF平行于y軸，交BC于點(diǎn)F，若線段CD長(zhǎng)

度保持不變，沿直線BC移動(dòng)得到C'D'，當(dāng)線段EF最大時(shí)，求EC'+C'D'+D'B的最小值；

（2）Q是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P是△APQ為等邊三角形，若存在，請(qǐng)

直接寫出三角形邊長(zhǎng)，若不存在請(qǐng)說明理由．

第13頁(yè)共18頁(yè).

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B

的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．

（1）連接BD，點(diǎn)P是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與端點(diǎn)B、D重合），過點(diǎn)P作PQ⊥BD，交拋物線

于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在對(duì)稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F，交BD于G，點(diǎn)M是線段OC上一動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)△PQG周長(zhǎng)取得最大時(shí)，求FG+GM+MC的最小值；

（2）在（1）中，當(dāng)△PQG周長(zhǎng)取得最大，F(xiàn)G+GM+MC取得最小值時(shí)，把點(diǎn)M向下平移個(gè)單

位得到點(diǎn)M'，連接AM'，把△AOM'繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的度（0＜＜360°），得到△A'OM''，其中

邊A'M''交坐標(biāo)軸于點(diǎn)I．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在點(diǎn)I，使得∠Mα''＝∠Mα''OI？若存在，請(qǐng)直接寫出所有

滿足條件的點(diǎn)M''的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第14頁(yè)共18頁(yè).

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的

左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）如圖1，P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q．在拋物線的對(duì)稱軸

上有一動(dòng)點(diǎn)M，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，當(dāng)6PQ﹣CQ的值最大時(shí)，求PM+MN+NB的最小值；

（2）如圖2，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′BC'，再將△A′BC′向右平移1個(gè)單位得

到△A“B′C“，那么在拋物線的對(duì)稱軸DM上，是否存在點(diǎn)T，使得△A′B′T為等腰三角形？若存

在，求出點(diǎn)T到x軸的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第15頁(yè)共18頁(yè).

15．如圖拋物線y＝﹣x2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．C，

D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BD交y軸于點(diǎn)E，拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F．

（1）點(diǎn)P為線段BD上方拋物線上的一點(diǎn)，連接PD，PE．點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥y軸

交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)N．當(dāng)△PDE面積最大時(shí)，求PM+MN+NF的最小值；

（2）如圖2，在（1）中PM+MN+NF取得最小值時(shí)，將△PME繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△

PM′E′，點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，連接M′G交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作直線l∥PM，點(diǎn)R是

直線l上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)S，使以點(diǎn)M′，點(diǎn)G，點(diǎn)R，點(diǎn)S為頂點(diǎn)的四邊形

是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)S的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

第16頁(yè)共18頁(yè).

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y

軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．

（1）連接BD，點(diǎn)M是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)B，D重合），過點(diǎn)M作MN⊥BD，交拋物

線于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)）