專題12 二次函數(shù)-阿氏圓求最小值（解析版）

第十二講二次函數(shù)--阿氏圓求最值

知識導(dǎo)航

必備知識點

點P在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；

點P在圓周上運動的類型稱之為“阿氏圓”問題，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平

面上兩點A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古

希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。

如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB，

連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？

如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。

故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點,P為

動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：

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【破解策略詳細步驟解析】

例題演練

1．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點，直線AC：y＝﹣x

﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．

（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達式；

（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；

（3）①在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂

點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；

②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為E上一動點，求AM+CM它的

最小值．⊙

【解答】解：（1）∵點A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+4；

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（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+n過點A，B，

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y＝2x+4，

設(shè)E（m，2m+4），

∴G（m，﹣m2﹣2m+4），

∵四邊形GEOB是平行四邊形，

∴EG＝OB＝4，

∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，

∴m＝﹣2

∴G（﹣2，4）．

（3）①如圖1，

由（2）知，直線AB的解析式為y＝2x+4，

∴設(shè)E（a，2a+4），

∵直線AC：y＝﹣x﹣6，

∴F（a，﹣a﹣6），

設(shè)H（0，p），

∵以點A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形，

∵直線AB的解析式為y＝2x+4，直線AC：y＝﹣x﹣6，

∴AB⊥AC，

∴EF為對角線，

∴EF與AH互相平分，

∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），

∴a＝﹣2，P＝﹣1，

∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

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②如圖2，

由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），

∴EH＝，AE＝2，

設(shè)AE交E于G，取EG的中點P，

∴PE＝⊙，

連接PC交E于M，連接EM，

∴EM＝EH＝⊙，

∴＝，

∵＝，

∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，

∴△PEM∽△MEA，

∴，

∴PM＝AM，

∴AM+CM的最小值＝PC，

設(shè)點P（p，2p+4），

∵E（﹣2，0），

∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，

∵PE＝，

∴5（p+2）2＝，

∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），

∴P（﹣，﹣1），

∵C（0，﹣6），

∴PC＝＝，

即：AM+CM的最小值為．

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2．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，﹣4），B（0，4），直線AC的解析式為y＝﹣x﹣6，

且與y軸相交于點C，若點E是直線AB上的一個動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F．

（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的解析式；

（2）點H是y軸上一動點，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，四邊形EAFH是矩形？

求出此時點E，H的坐標；

（3）在（2）的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為E上以動點，求AM+CM

的最小值．⊙

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【解答】解：（1）將點A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得：

，

解得：，

∴拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+4；

（2）如圖，當點E運動到（﹣2，0）時，四邊形EAFH是矩形，

設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，

將點A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得：

，

解得：，

∴線AB的解析式為y＝2x+4，

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∵直線AC的解析式為y＝﹣x﹣6，

∴AB⊥AC，

∴當四邊形EAFH是平行四邊形時，四邊形EAFH是矩形，此時，EF與AH互相平分，

設(shè)E（m，2m+4），H（0，t）則F（m，﹣m﹣6），

∵A（﹣4，﹣4），

∴，

解得：

∴E（﹣2，0），H（0，﹣1）；

（3）如圖，

由（2）可知E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），

∴EH＝，AE＝2，

設(shè)AE交E于點G，取GE的中點P，則PE＝，

設(shè)P（k，⊙2k+4），

∵E（﹣2，0），

∴PE2＝（k+2）2+（2k+4）2＝（）2，

∴k＝﹣或k＝﹣（舍去），

∴P（，﹣1），

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∵C（0，﹣6），

∴PC＝＝，

連接PC交E于點M，連接EM，則EM＝EH＝，

⊙

∴＝＝，

∵＝＝，

∴＝，

∵∠PEM＝∠MEA，

∴△PEM∽△MEA，

∴＝＝，

∴PM＝AM，

∴AM+CM＝PM+CM，

∴當P、M、C三點共線時，AM+CM取得最小值即PC的長，

∴AM+CM最小值為．

3．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸正半軸交于點A，點B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點

C．若線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°，點B剛好與點C重合，點B的坐標為（3，0）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△ACP為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標，

若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，以點B為圓心，以1為半徑畫圓，若點Q為B上的一個動點，連接AQ，CQ，

求AQ+CQ的最小值．⊙

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【解答】解：（1）線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°，點B剛好與點C重合，

∴∠CAB＝120°，AB＝AC，

∴∠OAC＝60°，

∴OA＝AC?cos60°＝AC，OC＝AC?sin60°＝AC，

∵點B的坐標為（3，0），

∴OB＝3即OA+AC＝3，

∴OA＝1，AC＝2，OC＝，

∴A（1，0），C（0，），

又B（3，0），

將A、B、C坐標代入y＝ax2+bx+c得：

，解得，

∴拋物線的表達式為y＝x2﹣x+；

（2）拋物線y＝x2﹣x+的對稱軸是直線x＝2，拋物線的對稱軸上存在一點P，使△

ACP為直角三角形，設(shè)P（2，m），

分三種情況：

①若∠PCA＝90°，如答圖1：

過P作PD⊥y軸于D，

∵A（1，0），C（0，），P（2，m），

∴OA＝1，OC＝，CD＝m﹣，PD＝2，

∵∠DPC＝90°﹣∠DCP＝∠AOC，∠PDC＝∠AOC＝90°，

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∴△PDC∽△COA，

∴即，

解得m＝，

∴P坐標為（2，），

②若∠CAP＝90°，對稱軸與x軸交于E，如答圖2：

∵A（1，0），C（0，），P（2，m），

∴OA＝1，OC＝，PE＝m，AE＝1，

同理可知△AOC∽△PEA，

∴即，

解得m＝，

∴P（2，），

③若∠APC＝90°，

∵以AC為直徑的圓與對稱軸無交點，

∴點P不存在，

綜上所述，△ACP為直角三角形，P坐標為（2，）或（2，）；

（3）在AB上取BM，使BM＝BQ，連接CM，如答圖3：

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∵A（1，0），B（3，0），

∴AB＝2，

以點B為圓心，以1為半徑畫圓，

∴BQ＝1，

∴＝，且∠QBM＝∠ABQ，

∴△ABQ∽△QBM，

∴，即QM＝AQ，

∴AQ+CQ的最小即是QM+CQ最小，

∴當C、Q、M共線時，AQ+CQ的最小為CM的長度，

此時OM＝，而OC＝，

∴CM＝＝，

∴AQ+CQ的最小值為．

4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點A，B（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C．

（1）如圖①，若點D為拋物線的頂點，以點B為圓心，3為半徑作B．點E為B上的動點，

連接A，DE，求DE+AE的最小值．⊙⊙

（2）如圖②，若點H是直線AC與拋物線對稱軸的交點，以點H為圓心，1為半徑作H，點Q

是H上一動點，連接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；⊙

（⊙3）如圖③，點D是拋物線上橫坐標為2的點，過點D作DE⊥x軸于點E，點P是以O(shè)為圓

心，1為半徑的O上的動點，連接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．

⊙

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【解答】解：（1）如圖1，

連接BE，在BA上截取BI＝，連接IE，DI，

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4），拋物線的對稱軸為直線：x＝1，

第12頁共30頁.

2+2x+3＝0得，

x1＝﹣1，x2＝3，

∴OB＝1，OA＝3，

∴AB＝OA+OB＝4，

∵＝，∠EBI＝∠ABE，

∴△BIE∽△BEA，

∴，

∴IE＝AE，

∴DE+AE＝DE+IE≥DI，

∴當點D、E、I共線時，DE+IE最小，最小值是DI的長，

∵D（1，4），I（，0），

∴DI＝＝，

∴DE+AE的最小值為：；

（2）如圖2，

連接OH，QH，QI，在OH上截取HI＝，

∵A（3，0），C（0，3），

∴直線AC的解析式是：y＝﹣x+3，

當x＝1時，y＝﹣1+3＝2，

∴H（1，2），

∴OH＝，

第13頁共30頁.

∴，

∵∠QHI＝∠OHQ，

∴△HIQ∽△HQO，

∴，

∴IQ＝，

∴+AQ＝IQ+AQ≥AI，

∴當A、Q（圖中Q′）共線時，IQ+AQ＝AI，

作IE⊥OA于E，HF⊥OA于F，

∴IE∥HF，

∴△OEI∽△OHF，

∴，

∴＝，

∴IE＝，OE＝，

∴AE＝OA﹣OE＝3﹣＝，

∴AI＝＝＝，

∴的最小值為：，

∵OQ+AQ＝（+AQ），

∴OQ+AQ的最小值為：×＝；

（3）如圖3，

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連接OP，在OE上截取OI＝，

當x＝2時，y＝﹣22+2×2+3＝3，

∴D（2，3），

，∠POI＝∠EOP，

∴△POI∽△EOP，

∴，

∴PI＝，

∵PD﹣PI≤DI，

∴當D，P（圖中P′）、I共線時，PD﹣PI最小，

∵DI＝＝，

∴PD﹣PE的最大值為：．

5．如圖，直線y＝x+2與拋物線y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點

C，拋物線的頂點為D，拋物線的對稱軸與直線AB交于點M．

（1）當四邊形CODM是菱形時，求點D的坐標；

（2）若點P為直線OD上一動點，求△APB的面積；′

（3）作點B關(guān)于直線MD的對稱點B'，以點M為圓心，MD為半徑作M，點Q是M上一動

點，求QB'+QB的最小值．⊙⊙

第15頁共30頁.

【解答】解：（1）∵D（m，m），OD＝m，四邊形CODM為菱形，

∴OD＝OC＝2＝m，

∴m＝，

∴D（）；

（2）∵y＝x+2與拋物線y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B兩點，

∴聯(lián)立，

解得，，

∵點A在點B的左側(cè)，

∴A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），

∴AB＝＝3，

∵直線OD的解析式為y＝x，直線AB的解析式為y＝x+2，

∴AB∥OD，兩直線AB、OD之間距離h＝2×＝，

∴S△APB＝AB?h＝×3×＝3；

（3）∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），

∴AM＝1×＝，BM＝2×＝2，

由M點坐標（m，m+2），D點坐標（m，m）可知以MC為半徑的圓的半徑為（m+2）﹣m＝2，

取MB的中點N，連接QB、QN、QB′，

第16頁共30頁.

∴MN＝BM＝，

∵，∠QMN＝∠BMQ，

∴△MNQ∽△MQB，

∴，

∴，

由三角形三邊關(guān)系，當Q、N、B′三點共線時QB′+QB最小，

∵直線AB的解析式為y＝x+2，

∴直線AB與對稱軸夾角為45°，

∵點B、B′關(guān)于對稱軸對稱，

∴∠BMB′＝90°，

由勾股定理得，QB′+QB最小值為B'N＝＝＝．

即QB'+QB的最小值是．

6．在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2+m的頂點為C，

（1）求點C的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）如圖，當m＝0時，直線y＝x+2與拋物線交于A、B兩點，點A，點B分別在拋物線的對稱

軸左右兩側(cè)；

①拋物線的對稱軸與直線AB交于點M，點G（1，3），在直線AB上，作B點關(guān)于直線MC的

對稱點B′，以M為圓心，MC為半徑作圓，動點Q在圓周上運動時，的比值是否發(fā)生變化？

若不變，求出比值；若變化，說明變化規(guī)律；

第17頁共30頁.

②直接寫出B′Q+QB的最小值．

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，

∴頂點坐標為C（m，m）；

（2）①的比值不變，理由如下：

∵y＝x+2與拋物線y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B兩點，且m＝0，

∴令y＝x+2＝x2，

解得：x＝﹣1或2，

∵點A在點B的左側(cè)，

∴A（﹣1，1），B（2，4），

∴AB＝＝3，

∵直線AB的解析式為y＝x+2，

∴M（0，2），

∴AM＝＝，

∴BM＝AB﹣AM＝2，

∵M（0，2），C（0，0）

∴M的半徑為2，

連接⊙QM，

∴QM＝2，

∵G（1，3），

第18頁共30頁.

∴G為BM的中點，且MG＝BM＝＝，

∴＝，＝＝，

∴△MGQ∽△MQB，

∴＝＝，

∴QG＝QB，

∴；

②由三角形三邊關(guān)系，當Q、N、B′三點共線時QB′+QB最小，

∵直線AB的解析式為y＝x+2，

∴直線AB與對稱軸夾角為45°，

∵點B、B′關(guān)于對稱軸對稱，

∴∠BMB′＝90°，

由勾股定理得，QB′+QB最小值＝＝＝．

7．如圖，已知點A（﹣4，0），點B（﹣2，﹣1），直線y＝2x+b過點B，交y軸于點C，拋物線y

＝ax2+x+c經(jīng)過點A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）D為直線AC上方的拋物線上一點，且tan∠ACD＝，求點D的坐標；

（3）平面內(nèi)任意一點P，與點O距離始終為2，連接PA，PC．直接寫出PA+PC的最小值．

第19頁共30頁.

【解答】解：（1）由題意得，

﹣1＝2×（﹣2）+b，

∴b＝3，

∴直線AC的解析式是：y＝2x+3，

∴C（0，3），

∴，

∴，

∴拋物線的解析式是：y＝+；

（2）如圖1，

作AF⊥CD于F，作EF⊥y軸于F，作AG⊥EF于G，

∵tan∠ACO＝，tan∠ACD＝，

∴∠ACD＝∠ACO，

∴CE＝OC＝3，AE＝OB＝3，

可得：△EFC∽△AGE，

第20頁共30頁.

∴＝＝，

設(shè)CF＝x，則AG＝OF＝3+x，

∴EF＝＝（x+3），

在Rt△EFC中，由勾股定理得，

x2+[]2＝32，

∴x1＝，x2＝﹣3（舍去），

∴EF＝，OF＝，

∴E（﹣，），

∴直線CD的解析式是：y＝﹣x+3，

由＝﹣得，

x3＝0（舍去），x4＝﹣，

當x＝﹣時，y＝﹣×（﹣）+3＝，

∴D（﹣，）；

（3）如2，

∵點O距離始終為2，

∴點P在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓O上運動，

在OA上取OI＝1，

∵∠POI＝∠AOP，＝，

∴△POI∽△AOP，

第21頁共30頁.

∴，

∴PI＝AP，

∴PA+PC＝PI+PC，

∴當C、P、I共線時，PI+PC最小，此時P在線段AI與O的交點P′處，

PI+PC＝CI，⊙

在Rt△COI中，

CI＝＝＝，

∴PA+PC的最小值是．

8．如圖，直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A、B兩點．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）如圖1，點E在線段AB上方的拋物線上運動（不與A、B重合），過點E作ED⊥AB，交

AB于點D，作EF⊥AC，交AC于點F，交AB于點M，求△DEM的周長的最大值；

（3）在（2）的結(jié)論下，連接CM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，

使得以P、Q、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果

不存在，請說明理由．

（4）如圖2，點N的坐標是（1，0），將線段ON繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到ON′，旋轉(zhuǎn)角為（0°

＜＜90°），連接N′A、N′B，求N′A+N′B的最小值．α

α

【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴A（4，0），B（0，3）．

∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A、B兩點，

第22頁共30頁.

∴，

解得．

∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2+x+3．

（2）∵A（4，0），B（0，3）．

∴OA＝4，OB＝3，

∴AB＝5．

∵ED⊥AB，

∴∠EDM＝∠AOB＝90°，

∵∠DEM+∠EMD＝∠FMA+∠BAO＝90°，∠FMA＝∠EMD，

∴∠DEM＝∠BAO，

∴△AOB∽△EDM，

∴AO：OB：AB＝ED：DM：EM＝4：3：5，

設(shè)E的橫坐標為t，則E（t，﹣t2+t+3），

∴M（t，﹣t+3），

∴EM＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t．

∴△DEM的周長為：ED+DM+EM＝EM＝﹣（t﹣2）2+，

∴當t＝2時，△DEM的周長的最大值為．

（3）存在以P、Q、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：

由y＝﹣x2+x+3可知，C（﹣2，0），點Q的橫坐標為1，

第23頁共30頁.

由（2）知，M（2，）．

①當CM為邊，且點P在點Q的左側(cè)時，有xP﹣xQ＝xC﹣xM，

∴xP﹣1＝﹣2﹣2，即xP＝﹣3，

∴P（﹣3，﹣）．

當點P在點Q右側(cè)時，xQ﹣xP＝xC﹣xM，

∴﹣1﹣xP＝﹣2﹣2，即xP＝5，

∴P（5，﹣）；

②當AM為對角線時，xP+xQ＝xC+xM，

∴xP+1＝﹣2+2，即xP＝﹣1，

∴P（﹣1，）．

綜上，當以P、Q、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形時，點P的坐標為（﹣3，﹣）或（5，

﹣）或（﹣1，）．

（4）如圖，在y軸的正半軸取OG，使得OG＝，連接GN′，

∵OG?OB＝1，ON2＝1，

∴OG?OB＝ON2，

∵∠GON′＝∠N′OB，

∴△OBN′∽△ON′G，

∴BN′：N′G＝OB：ON′＝3，

∴N′G＝N′B，

∴N′A+N′B＝N′C+N′G，

第24頁共30頁.

∴當A，N′，G三點共線時，N'A+N'B的值最小．

此時AG＝＝．

∴N'A+N'B的最小值為．

9．如圖1，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為（﹣1，

0），拋物線的對稱軸是直線x＝．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P是直線BC下方的拋物線上一個動點，是否存在點P使四邊形ABPC的面積為16，

若存在，求出點P的坐標若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，過點B作BF⊥BC交拋物線的對稱軸于點F，以點C為圓心，2為半徑作C，點

Q為C上的一個動點，求BQ+FQ的最小值．⊙

⊙

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的

坐標為（﹣1，0），拋物線的對稱軸是直線x＝，

∴，解得．

∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣4．

（2）由（1）知拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣4．

令y＝0，解得x＝﹣1或x＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

第25頁共30頁.

設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+n，

∴，解得．

∴直線BC的解析式為：y＝x﹣4．

設(shè)點P的橫坐標為m，則P（m，m2﹣3m﹣4），過點P作PM∥y軸交BC于點M，

∴M（m，m﹣4），

∴PM＝（m﹣4）﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．

∴S四邊形ABPC＝S△ABC+S△BCP

＝×（4+1）×4+（m2﹣4m）×4

＝﹣2m2+8m+10．

∵四邊形ABPC的面積為16，

∴﹣2m2+8m+10＝16，

解得m＝1或m＝3，

∴P（1，﹣6）或（3，﹣4）．

（3）如圖，過點B作BF⊥BC交拋物線的對稱軸于點F，以點C為圓心，2為半徑作C，

∵B（4，0），C（0，﹣4），⊙

∴OB＝OC＝4，

∴BC＝4，∠OBC＝45°，

∵BF⊥BC，

∴∠FBO＝45°，

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∵拋物線的對稱軸是直線x＝，

∴點F的縱坐標為：4﹣＝，

∴F（，）．

在CB上取CE＝，過點E作EG⊥OC，交y軸于點G，交拋物線對稱軸于點H，

∴CG＝EG＝，EH＝﹣