專(zhuān)題34 中考命題核心元素鉛錘法求面積（原卷版）

專(zhuān)題34中考命題核心元素鉛錘法求面積（原卷版）

模塊一典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練

模型一三角形面積問(wèn)題

【模型解讀】作以下定義：如圖①，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線(xiàn)垂直的三條直線(xiàn)，外側(cè)兩

條直線(xiàn)之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線(xiàn)在△ABC內(nèi)部線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂

1

高”(h)．于是可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S△ABC＝ah，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積

2

的一半．

典例1（2022?會(huì)理縣校級(jí)模擬）鉛錘定理：一個(gè)三角形，從一條邊上的兩個(gè)頂點(diǎn)作垂線(xiàn)，且互相平行，鉛

錘定理就是一種求三角形面積的特殊方法，主要解決的是斜三角形面積問(wèn)題．具體公式是：三角形面積

等于水平寬和鉛錘高乘積的一半．該三角形面積等于兩垂線(xiàn)乘積的一半．如圖1所示：．

△???1

應(yīng)用：?=2??

（1）如圖2所示：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，4），點(diǎn)B（6，2），點(diǎn)C（4，1）求：△OAB的面積；

（2）拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)原點(diǎn)O且與x軸交于點(diǎn)C（6，0）直線(xiàn)y2＝k2x+b2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)

2

B（4，4），點(diǎn)?1P=在?拋1?物+線(xiàn)?上1?移+動(dòng)?，且在直線(xiàn)OB的上方．

（a）求拋物線(xiàn)和直線(xiàn)OB的解析式；

（b）當(dāng)△OBP面積最大時(shí)，求P的坐標(biāo)．

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針對(duì)訓(xùn)練

1．（2019?沈陽(yáng)）如圖，正比例函數(shù)y1＝k1x的圖象與反比例函數(shù)y2（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)A（，

?2

2），點(diǎn)B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)是3，連接OB=，?AB，則△AOB的面積是．3

3

典例2（2023?岳陽(yáng)縣一模）如圖，拋物線(xiàn)yx2﹣2x﹣6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C．

1

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；=2

（2）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)BC段上的一點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PBC面積的

最大值；

針對(duì)訓(xùn)練

1．（2022?廣東）如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），

AB＝4，點(diǎn)P為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

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2．（2022?福建）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P是

拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且在直線(xiàn)AB的上方．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

模型二四邊形面積問(wèn)題

【模型解讀】求四邊形的面積問(wèn)題時(shí)，可將四邊形分割成兩個(gè)三角形，從而轉(zhuǎn)變成求三角形的面積問(wèn)

題．

典例3（2022?海南）如圖1，拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），并交x軸于另一點(diǎn)B，

點(diǎn)P（x，y）在第一象限的拋物線(xiàn)上，AP交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D．

（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）時(shí)，求四邊形BOCP的面積；

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針對(duì)訓(xùn)練

1．（2022秋?平陰縣期末）如圖，已知直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+4

4

經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交?點(diǎn)=為3B?，+對(duì)4稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）D是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D

點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)Q為任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四

邊形是以AC為對(duì)角線(xiàn)的菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)

1．（2020春?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知函數(shù)y＝x+3的圖象與函數(shù)y的圖象交于A、B兩點(diǎn)，

?

=(?≠0)

連接BO并延長(zhǎng)交函數(shù)y的圖象于點(diǎn)C，連接AC，若△ABC的?面積為12，則k的值為．

?

=?(?≠0)

2．如圖，我們可以用“三角形面積等于水平寬（a）與鉛垂高（h）乘積的一半”的方法來(lái)計(jì)算三角形面積．已

知開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，5）

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）求△BCM的面積．

3．（2021秋?梅江區(qū)校級(jí)期末）拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3）．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大值時(shí)，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)Q是線(xiàn)段AO上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出AQ+BQ的最小值為．

1

2

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4．（2022秋?臨淄區(qū)期末）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC、BC．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）D為拋物線(xiàn)上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，求△DCB面積的最大值；

（3）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

5．（2020?中原區(qū)校級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)

（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），拋物線(xiàn)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），

直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)E．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)M為直線(xiàn)x＝1右方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，記A、B、

C、M四點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形面積為S，若S＝3S△BCD，請(qǐng)求出m的值；

（3）點(diǎn)P是線(xiàn)段BD上的動(dòng)點(diǎn)，將△DEP沿邊EP翻折得到△D'EP，是否存在點(diǎn)P，使得△D'EP與△

BEP的重疊部分圖形為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出BP的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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6．（2021?酒泉一模）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)的

對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出P

點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)E是線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置

時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

7．（2022春?李滄區(qū)期末）對(duì)于某些三角形或四邊形，我們可以直接用面積公式或者用割補(bǔ)法來(lái)求它們的面

積．下面我們?cè)傺芯恳环N求某些三角形或四邊形面積的新方法：

如圖1，2所示，分別過(guò)三角形或四邊形的頂點(diǎn)A，C作水平線(xiàn)的鉛垂線(xiàn)l1，l2，l1，l2之間的距離d叫做

水平寬；如圖1所示，過(guò)點(diǎn)B作水平線(xiàn)的鉛垂線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，稱(chēng)線(xiàn)段BD的長(zhǎng)叫做這個(gè)三角形的鉛垂

高；如圖2所示，分別過(guò)四邊形的頂點(diǎn)B，D作水平線(xiàn)l3，l4，l3，l4之間的距離h叫做四邊形的鉛垂高．

【結(jié)論提煉】

容易證明：“三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半”，即“Sdh”

1

【結(jié)論應(yīng)用】=2

為了便于計(jì)算水平寬和鉛垂高，我們不妨借助平面直角坐標(biāo)系．

已知：如圖3，點(diǎn)A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），則△ABC的水平寬為10，鉛垂高為，

所以△ABC面積的大小為．

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【再探新知】

三角形的面積可以用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”來(lái)求，那四邊形的面積是不是也可以這樣求呢？帶

著這個(gè)問(wèn)題，我們進(jìn)行如下探索：

（1）在圖4所示的平面直角坐標(biāo)系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四個(gè)點(diǎn)，

得到四邊形ABCD．運(yùn)用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計(jì)算得到四邊形ABCD面積的大小

是；用其它的方法進(jìn)行計(jì)算得到其面積的大小是，由此發(fā)現(xiàn)：用“Sdh”這一方法

1

對(duì)求圖4中四邊形的面積．（填“適合”或“不適合”）=2

（2）在圖5所示的平面直角坐標(biāo)系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四個(gè)點(diǎn)，

得到了四邊形ABCD．運(yùn)用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計(jì)算得到四邊形ABCD面積的大小

是，用其它的方法進(jìn)