四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)合診斷性考試 數(shù)學(xué)（含答案）

1PAGE第18頁四川省高三年級第一次聯(lián)合診斷性考試數(shù)學(xué)考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號、考籍號用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效．3．考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）．A.或 B.C.或 D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)a的取值范圍為（）．A. B. C. D.3.已知，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.已知平面向量，，則在上的投影向量為（）．A. B. C. D.5.在年巴黎奧運會上，我國網(wǎng)球選手鄭欽文歷經(jīng)場比賽，勇奪巴黎奧運會女子網(wǎng)球單打冠軍，書寫了中國網(wǎng)球新的歷史．某學(xué)校有2000名學(xué)生，一機構(gòu)在該校隨機抽取了名學(xué)生對鄭欽文奧運會期間場單打比賽的收看情況進行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：觀看場次觀看人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比從表中數(shù)據(jù)可以得出的正確結(jié)論為（）．A.表中的數(shù)值為B.觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為C.估計該校觀看場次不超過場的學(xué)生約為人D.估計該校觀看場次不低于場的學(xué)生約為人6.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）．A. B. C. D.7.設(shè)雙曲線的離心率為，實軸長為2，則雙曲線C上任意一點到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積為（）．A. B. C. D.8.已知函數(shù)，且為偶函數(shù)，則滿足不等式的實數(shù)m的取值范圍為（）．A. B. C. D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）．A.最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象可由的圖象向左平移個單位得到10.已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓E相交于P，Q兩點，則（）.A.以橢圓E長軸為直徑的圓的方程為B.以為直徑的圓與橢圓E有且僅有2個公共點C.以為圓心，為半徑圓與橢圓E有3個公共點D.以為直徑的圓與直線相離11.如圖，在正方體中，O是線段的中點，點P在棱上運動，則（）．A.點P在平面上的射影不可能是點OB.點P在平面上的射影到B，D兩點的距離相等C.當(dāng)點P與頂點A重合時，直線與平面所成角正切值為D.當(dāng)點P與頂點重合時，點P到平面的距離等于三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，且，則__________．13.甲、乙、丙、丁、戊5人站成兩排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙須左右相鄰，丙不站前排，則不同站法共有__________種（用數(shù)字作答）．14.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題，牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法，如圖，在橫坐標(biāo)為的點處作的切線，該切線與x軸的交點為；在橫坐標(biāo)為的點處的切線與x軸的交點為；一直繼續(xù)下去，得到，，，…，，它們越來越逼近的零點r．在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)，近似值相等時，該值可作為函數(shù)的一個零點r．用“牛頓法”求方程的近似解r，可以構(gòu)造函數(shù)，若，得到該方程的近似解r約為__________（精確到0.1）．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．16.已知某學(xué)校為提高學(xué)生課外鍛煉的積極性，開展了豐富的課外活動，為了解學(xué)生對開展的課外活動的滿意程度，該校隨機抽取了350人進行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：性別課外活動合計滿意不滿意男150100250女5050100合計200150350（1）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生對課外活動的滿意情況與性別因素有關(guān)聯(lián)？（2）從這350名樣本學(xué)生中任選1名學(xué)生，設(shè)事件A＝“選到的學(xué)生是男生”，事件B＝“選到的學(xué)生對課外活動滿意”，比較和的大小，并解釋其意義，附：0.10.050.012.7063.8416.63517.如圖，在幾何體中，四邊形是梯形，，，與相交于點N，平面，，H是的中點，，．（1）點P在上，且，證明：平面；（2）求二面角的余弦值．18.已知為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于Ax1,y1，兩點．（1）證明：是常數(shù)；（2）過點作直線的垂線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點，與拋物線相交于，兩點（點的橫坐標(biāo)小于點的橫坐標(biāo)）．①求的值；②是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．19.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若，，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若，且，證明：．四川省高三年級第一次聯(lián)合診斷性考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】C二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.【答案】AC10.【答案】ABD11.【答案】BCD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.【答案】13.【答案】2014.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.【解析】【分析】（1）由題意得到遞推關(guān)系，再時，利用累加法結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式求出即可；（2）用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】由題意可知，，，，……，數(shù)列的一個遞推關(guān)系為，，當(dāng)時，利用累加法可得，，將代入得，滿足，所以數(shù)列的通項公式為，．【小問2詳解】由（①）知，，則．16.【解析】【分析】（1）同過列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計算的值，再與小概率值進行比較得出結(jié)論；（2）根據(jù)條件概率公式本別計算和的值并比較兩值的大小，并根據(jù)條件概率的含義說明所得結(jié)論在本題對應(yīng)的意義.【小問1詳解】提出零假設(shè)：該校學(xué)生對課外活動的滿意情況與性別因素?zé)o關(guān)聯(lián)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生對課外活動的滿意情況與性別因素?zé)o關(guān)聯(lián)．【小問2詳解】解法1：依題意得，，,則．解法2：依題意得，，，，，所以，，則．意義：男生對課外活動滿意的概率比女生對課外活動滿意的概率大；或者男生對課外活動滿意的人數(shù)比女生對課外活動滿意的人數(shù)多等等．17.【解析】【分析】（1）添加輔助線，利用線段長度的比例關(guān)系證明線線平行，再利用線面平行的判定定理證明即可；也可根據(jù)垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線面平行.（2）分別求出二面角的兩半平面的法向量，利用二面角的向量公式計算即可.【小問1詳解】方法1：依題意可知，直線，，兩兩垂直，以點A為坐標(biāo)原點，直線，，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意得C1,1,0，，，，因為，所以，所以，又，所以，又，，從而得，所以向量，，共面，又平面，平面，平面，所以平面．方法2：如圖，，上取點M，Q，且滿足，，連接，，，因為，，有，所以，且，又因為，，，所以，有，所以，且，又，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】由（1）方法1可知，，C1,1,0，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即．取，則平面的一個法向量為，則，由圖知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為．18.【解析】【分析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系證得.（2）①求得直線的方程，點的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)關(guān)系求得.②根據(jù)拋物線的定義求得，然后求得的表達(dá)式，再利用不基本不等式求得最小值.或：假設(shè)直線的傾斜角為，將表示為含有的三角函數(shù)的形式，利用換元法、函數(shù)的單調(diào)性等知識來求得最小值.【小問1詳解】由已知，點的坐標(biāo)為1,0，且可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，得（*），因為，所以，為方程（*）的兩個實根，且，因為點，在拋物線上，所以，為常數(shù)．【小問2詳解】在題設(shè)條件下，直線，都不與坐標(biāo)軸平行且，由（1）可知直線的方程為：，①因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，代入的方程可得點的坐標(biāo)為，由（1）可知，，，，，因此，，，即的值為．②存在最小值，設(shè)點，的坐標(biāo)分別為，，因為點均在拋物線上，所以，，，，由，有，即，變形可得，則（**），同理，，根據(jù)拋物線的定義可知，，，，，所以．由（**）知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”，同理，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”，由題設(shè)，，所以，，所以，，由題意可知，，同時成立，此時，取得最小值，故存在最小值，最小值為．另解：存在最小值，假設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)題意可設(shè)，如圖，設(shè)點在軸上的射影為點，拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點，根據(jù)拋物線的定義，由題設(shè)點的位置可知，所以，，同理可得，，，，所以，令，，則，由，可得，易知函數(shù)為增函數(shù)，所以，上式中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時（此時）等號成立，所以，，所以，存在最小值，該最小值當(dāng)且僅當(dāng)時取得.19.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到其極值；（2）根據(jù)題意，令，將問題轉(zhuǎn)化為最值問題，然后求導(dǎo)可得，然后分與討論，即可得到結(jié)果；（3）結(jié)合對數(shù)的運算可得只需證明，再由（2）中結(jié)論可得，代入計算，即可證明.小問1詳解】當(dāng)時，，令，即，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值．【小問2詳解】令，則，且，，設(shè)，則，又令，則，①若