初中數(shù)學(xué)動點問題【合集】

專題1動點在等腰三角形中的分類討論（基礎(chǔ)篇）【專題說明】點的存在性問題，在中考壓軸題中非常普遍。比如因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題、因動點產(chǎn)生的線段和差問題、因動點產(chǎn)生的全等三角形問題、因動點產(chǎn)生的等腰三角形。這些動點產(chǎn)生的幾何圖形問題可謂十分的普遍，難度系數(shù)究竟怎么樣？又有什么規(guī)律可遵循？下面，從動點產(chǎn)生的等腰三角形出發(fā)，分析探究這一點的存在性問題。既然是探究因動點產(chǎn)生的等腰三角形，那么等腰三角形的基礎(chǔ)知識必須總結(jié)歸納，牢記于心。等腰三角形的性質(zhì)：（1）等邊對等角；（2）三線合一。等腰三角形的判定：等角對等邊。而等腰三角形還有一點要特別注意：不確定性?、龠叺牟淮_定性；②角的不確定性。當(dāng)給出等腰三角形的一條邊時，我們要確定這條邊到底是腰還是底邊，同時還要確保三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊。如果邊不確定，那么一定要分類討論！當(dāng)給出等腰三角形的一個角時，也要確定這個角是底角還是頂角。如果題中沒有明顯說明，那么一定要分類討論！因此，分類討論思想是動點產(chǎn)生的等腰三角形問題中非常重要的思想方法！

【精典例題】1、如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點．（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？AAQCDBP【解析】：（1）①∵秒，∴厘米，∵厘米，點為的中點，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴．②∵，∴，又∵，，則，∴點，點運動的時間秒，∴厘米/秒．（2）設(shè)經(jīng)過秒后點與點第一次相遇，由題意，得，解得秒．∴點共運動了厘米．∵，∴點、點在邊上相遇，∴經(jīng)過秒點與點第一次在邊上相遇．2、已知：等邊三角形的邊長為4厘米，長為1厘米的線段在的邊上沿方向以1厘米/秒的速度向點運動（運動開始時，點與點重合，點到達點時運動終止），過點分別作邊的垂線，與的其它邊交于兩點，線段運動的時間為秒．（1）線段在運動的過程中，為何值時，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；（2）線段在運動的過程中，四邊形的面積為，運動的時間為．求四邊形的面積隨運動時間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．【解析】：（1）過點作，垂足為．則，當(dāng)運動到被垂直平分時，四邊形是矩形，即時，CPQBCPQBAMNCPQBAMN四邊形是矩形，秒時，四邊形是矩形．，（2）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，【點評】此題關(guān)鍵也是對P、Q兩點的不同位置進行分類。CCPQBAMN3、如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點D為邊BC的中點，DE⊥BC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的長；（2）若BP＝2，求CQ的長；（3）記線段PQ與線段DE的交點為F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長．圖1備用圖思路點撥1．第（2）題BP＝2分兩種情況．2．解第（2）題時，畫準確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系．3．第（3）題探求等腰三角形PDF時，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ．滿分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．（2）如圖2，過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是△ABC的兩條中位線，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．圖2圖3圖4①如圖3，當(dāng)BP＝2，P在BM上時，PM＝1．此時．所以．②如圖4，當(dāng)BP＝2，P在MB的延長線上時，PM＝5．此時．所以．（3）如圖5，如圖2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．當(dāng)△PDF是等腰三角形時，△CDQ也是等腰三角形．①如圖5，當(dāng)CQ＝CD＝5時，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如圖3所示）．此時．所以．②如圖6，當(dāng)QC＝QD時，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝（如圖2所示）．此時．所以．③不存在DP＝DF的情況．這是因為∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如圖5，圖6所示）．圖5圖6

4、如圖1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，點E是∠BAC的平分線上一點，過點E作AE的垂線，過點A作AB的垂線，兩垂線交于點D，連接DB，點F是BD的中點，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點H是AC的中點，AC＝，求AB、BD的長；（2）如圖1，求證：HF＝EF．（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，請說明理由．圖1圖2思路點撥1．把圖形中所有30°的角都標(biāo)注出來，便于尋找等角和等邊．2．中點F有哪些用處呢？聯(lián)想到斜邊上的中線和中位線就有思路構(gòu)造輔助線了．滿分解答（1）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝，所以AB＝．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝，由勾股定理，得BD＝．（2）如圖4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝．在Rt△ADH中，DH＝．所以AE＝DH．因為點F是Rt△ABD的斜邊上的中線，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．圖3圖4圖5（3）如圖5，作FM⊥AB于M，聯(lián)結(jié)CM．由FM//DA，F(xiàn)是DB的中點，得M是AB的中點．因此FM＝，△ACM是等邊三角形．又因為AE＝，所以FM＝EA．又因為CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等邊三角形．考點伸展我們再看幾個特殊位置時的效果圖，看看有沒有熟悉的感覺．如圖6，如圖7，當(dāng)點F落在BC邊上時，點H與點C重合．圖6圖7如圖8，圖9，點E落在BC邊上．如圖10，圖11，等腰梯形ABEC．圖8圖9圖10圖11

5、如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起．滿分解答（1）如圖2，過點B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點B的坐標(biāo)為．（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設(shè)點P的坐標(biāo)為(2,y)．①當(dāng)OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當(dāng)P在時，B、O、P三點共線（如圖2）．②當(dāng)BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．③當(dāng)PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點P的坐標(biāo)為，如圖2所示．圖2圖3考點伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點為D，那么△DOA與△OAB是兩個相似的等腰三角形．由，得拋物線的頂點為．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．

6、如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)△PAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時△PAC的周長最?。?．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)，代入點C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1．圖2當(dāng)點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最?。O(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點P的坐標(biāo)為(1,2)．（3）點M的坐標(biāo)為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點M的坐標(biāo)為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如圖3，當(dāng)MA＝MC時，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此時點M的坐標(biāo)為(1,1)．②如圖4，當(dāng)AM＝AC時，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此時點M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)．③如圖5，當(dāng)CM＝CA時，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當(dāng)M(1,6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標(biāo)為(1,0)．圖3圖4圖5

專題2動點在等腰三角形中的分類討論（提高篇）1、如圖1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，點E是∠BAC的平分線上一點，過點E作AE的垂線，過點A作AB的垂線，兩垂線交于點D，連接DB，點F是BD的中點，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點H是AC的中點，AC＝，求AB、BD的長；（2）如圖1，求證：HF＝EF．（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，請說明理由．圖1圖2思路點撥1．把圖形中所有30°的角都標(biāo)注出來，便于尋找等角和等邊．2．中點F有哪些用處呢？聯(lián)想到斜邊上的中線和中位線就有思路構(gòu)造輔助線了．滿分解答（1）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝，所以AB＝．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝，由勾股定理，得BD＝．（2）如圖4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝．在Rt△ADH中，DH＝．所以AE＝DH．因為點F是Rt△ABD的斜邊上的中線，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．圖3圖4圖5（3）如圖5，作FM⊥AB于M，聯(lián)結(jié)CM．由FM//DA，F(xiàn)是DB的中點，得M是AB的中點．因此FM＝，△ACM是等邊三角形．又因為AE＝，所以FM＝EA．又因為CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等邊三角形．考點伸展我們再看幾個特殊位置時的效果圖，看看有沒有熟悉的感覺．如圖6，如圖7，當(dāng)點F落在BC邊上時，點H與點C重合．圖6圖7如圖8，圖9，點E落在BC邊上．如圖10，圖11，等腰梯形ABEC．圖8圖9圖10圖11

2、如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點A(0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交；（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1,0)、N(x2,0)兩點，當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標(biāo)．圖1思路點撥1．不算不知道，一算真奇妙，原來⊙P在x軸上截得的弦長MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三種情況，其中MA＝MN和NA＝NM兩種情況時，點P的縱坐標(biāo)是相等的．滿分解答（1）已知拋物線的頂點為(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．將代入y＝ax2，得．解得（舍去了負值）．（2）拋物線的解析式為，設(shè)點P的坐標(biāo)為．已知A(0,2)，所以＞．而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA＞圓心P到x軸的距離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交．（3）如圖2，設(shè)MN的中點為H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，為定值．等腰△AMN存在三種情況：①如圖3，當(dāng)AM＝AN時，點P為原點O重合，此時點P的縱坐標(biāo)為0．圖2圖3②如圖4，當(dāng)MA＝MN時，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以O(shè)M＝2．此時x＝OH＝2．所以點P的縱坐標(biāo)為．③如圖5，當(dāng)NA＝NM時，點P的縱坐標(biāo)為也為．圖4圖5考點伸展如果點P在拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點B(0,1)，那么在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．這是因為：設(shè)點P的坐標(biāo)為．已知B(0,1)，所以．而圓心P到直線y＝－1的距離也為，所以半徑PB＝圓心P到直線y＝－1的距離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．

3、如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點D為邊BC的中點，DE⊥BC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的長；（2）若BP＝2，求CQ的長；（3）記線段PQ與線段DE的交點為F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長．圖1備用圖思路點撥1．第（2）題BP＝2分兩種情況．2．解第（2）題時，畫準確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系．3．第（3）題探求等腰三角形PDF時，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ．滿分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．（2）如圖2，過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是△ABC的兩條中位線，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．圖2圖3圖4①如圖3，當(dāng)BP＝2，P在BM上時，PM＝1．此時．所以．②如圖4，當(dāng)BP＝2，P在MB的延長線上時，PM＝5．此時．所以．（3）如圖5，如圖2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．當(dāng)△PDF是等腰三角形時，△CDQ也是等腰三角形．①如圖5，當(dāng)CQ＝CD＝5時，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如圖3所示）．此時．所以．②如圖6，當(dāng)QC＝QD時，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝（如圖2所示）．此時．所以．③不存在DP＝DF的情況．這是因為∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如圖5，圖6所示）．圖5圖6考點伸展如圖6，當(dāng)△CDQ是等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．

4、如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)△PAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時△PAC的周長最小．2．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)，代入點C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．圖2所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1．當(dāng)點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最小．設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點P的坐標(biāo)為(1,2)．（3）點M的坐標(biāo)為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點M的坐標(biāo)為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如圖3，當(dāng)MA＝MC時，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此時點M的坐標(biāo)為(1,1)．②如圖4，當(dāng)AM＝AC時，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此時點M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)．③如圖5，當(dāng)CM＝CA時，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當(dāng)M(1,6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標(biāo)為(1,0)．圖3圖4圖5

5、如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起．滿分解答（1）如圖2，過點B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點B的坐標(biāo)為．（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設(shè)點P的坐標(biāo)為(2,y)．①當(dāng)OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當(dāng)P在時，B、O、P三點共線（如圖2）．②當(dāng)BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．③當(dāng)PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點P的坐標(biāo)為，如圖2所示．圖2圖3考點伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點為D，那么△DOA與△OAB是兩個相似的等腰三角形．由，得拋物線的頂點為．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．

6、如圖1，已知一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點A，且與x軸交于點B．求點A和點B的坐標(biāo)圖1（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l//y軸．動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當(dāng)點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設(shè)動點P運動的時間為t秒．①當(dāng)t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．思路點撥1．把圖1復(fù)制若干個，在每一個圖形中解決一個問題．2．求△APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論．事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能．3．討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況．滿分解答（1）解方程組得所以點A的坐標(biāo)是(3，4)．令，得．所以點B的坐標(biāo)是(7，0)．（2）①如圖2，當(dāng)P在OC上運動時，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如圖3，當(dāng)P在CA上運動時，△APR的最大面積為6．因此，當(dāng)t＝2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8．圖2圖3圖4②我們先討論P在OC上運動時的情形，0≤t＜4．如圖1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以O(shè)B＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如圖4，點P由O向C運動的過程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x軸．因此∠AQP＝45°保持不變，∠PAQ越來越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情況．此時點A在PQ的垂直平分線上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我們再來討論P在CA上運動時的情形，4≤t＜7．在△APQ中，為定值，，．如圖5，當(dāng)AP＝AQ時，解方程，得．如圖6，當(dāng)QP＝QA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．如7，當(dāng)PA＝PQ時，那么．因此．解方程，得．綜上所述，t＝1或或5或時，△APQ是等腰三角形．圖5圖6圖7考點伸展當(dāng)P在CA上，QP＝QA時，也可以用來求解．專題3動點在四邊形中的分類討論（基礎(chǔ)篇）【專題說明】動點問題是中考中非常重要的一類問題，也是中考中的熱點問題。動點問題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中變化的思想，分類討論的思想，對學(xué)生綜合運用知識的能力要求非常高。四邊形中的動點問題是一類非常重要的問題，它將三角形和平行四邊形、矩形、菱形、正方形結(jié)合在一起進行考察。一、解題基本思路解決動點問題的思路，要注意以下幾點：1、設(shè)出未知數(shù)動點問題一般都是求點的運動時間，通常設(shè)運動時間為t2、動點的運動路徑就是線段長度題目通常會給動點的運動速度例如每秒兩個單位，那么運動路程就是2t個單位。而2t也就是這個點所運動的線段長。進而能表示其他相關(guān)線段的長度。所以我們在做動點問題的時候，第一步就是把圖形中的線段都用含t的代數(shù)式來表示。3、方程思想求出時間動點問題通常都是用方程來解決，根據(jù)題目找到線段之間的等量關(guān)系，然后用含有t的代數(shù)式表示出來，列出方程求解出t的值。4、難點是找等量關(guān)系這種題的難點是找到等量關(guān)系。這個等量關(guān)系往往不是題目中用語言敘述出來的，而是同學(xué)們根據(jù)題型自己挖掘出來的等量關(guān)系，所以對同學(xué)們圖形分解的能力以及靈活運用知識的能力要求非常高。5、注意分類討論因為點的運動的位置不同，形成的圖形就不同，符合結(jié)論的情況可能就不止一種，所以做動點問題要注意分類討論。

【精典例題】1、如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當(dāng)有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．已知在相同時間內(nèi)，若BQ=xcm()，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）當(dāng)x為何值時，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；（2）當(dāng)x為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．AABDCPQMN【解析】（1）當(dāng)點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形．①當(dāng)點P與點N重合時，（舍去）．因為BQ+CM=，此時點Q與點M不重合．所以符合題意．②當(dāng)點Q與點M重合時，．此時，不符合題意．故點Q與點M不能重合．所以所求x的值為．（2）由（1）知，點Q只能在點M的左側(cè)，①當(dāng)點P在點N的左側(cè)時，由，解得．當(dāng)x=2時四邊形PQMN是平行四邊形．②當(dāng)點P在點N的右側(cè)時，由，解得．當(dāng)x=4時四邊形NQMP是平行四邊形．所以當(dāng)時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．（3）過點Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)．由于2x>x，所以點E一定在點P的左側(cè)．若以P，Q，M，N為頂點的四邊形是等腰梯形，則點F一定在點N的右側(cè)，且PE=NF，即．解得．由于當(dāng)x=4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，所以,以P，Q，M，N為頂點的四邊形不能為等腰梯形2、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當(dāng)t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P、Q運動的過程中，當(dāng)t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．圖1思路點撥1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點的坐標(biāo)都表示出來．3．構(gòu)造以C、Q、E、H為頂點的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗證菱形是否存在．滿分解答（1）A(1,4)．因為拋物線的頂點為A，設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，代入點C(3,0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因為PE//BC，所以．因此．所以點E的橫坐標(biāo)為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點G的縱坐標(biāo)為．于是得到．因此．所以當(dāng)t＝1時，△ACG面積的最大值為1．（3）或．考點伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因為FE//QC，F(xiàn)E＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構(gòu)造點F關(guān)于PE軸對稱的點H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據(jù)FQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗四邊形EH′CQ是否為菱形．，，，．如圖2，當(dāng)FQ＝CQ時，F(xiàn)Q2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如圖3，當(dāng)EQ＝CQ時，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．圖2圖3

3、如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD//BC，交AB于點D，聯(lián)結(jié)PQ．點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長．圖1圖2思路點撥1．菱形PDBQ必須符合兩個條件，點P在∠ABC的平分線上，PQ//AB．先求出點P運動的時間t，再根據(jù)PQ//AB，對應(yīng)線段成比例求CQ的長，從而求出點Q的速度．2．探究點M的路徑，可以先取兩個極端值畫線段，再驗證這條線段是不是點M的路徑．滿分解答（1）QB＝8－2t，PD＝．（2）如圖3，作∠ABC的平分線交CA于P，過點P作PQ//AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形．圖圖3過點P作PE⊥AB，垂足為E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．在Rt△APE中，，所以．當(dāng)PQ//AB時，，即．解得．所以點Q的運動速度為．（3）以C為原點建立直角坐標(biāo)系．如圖4，當(dāng)t＝0時，PQ的中點就是AC的中點E(3，0)．如圖5，當(dāng)t＝4時，PQ的中點就是PB的中點F(1，4)．直線EF的解析式是y＝－2x＋6．如圖6，PQ的中點M的坐標(biāo)可以表示為（，t）．經(jīng)驗證，點M（，t）在直線EF上．所以PQ的中點M的運動路徑長就是線段EF的長，EF＝．圖4圖5圖6考點伸展第（3）題求點M的運動路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：當(dāng)t＝2時，PQ的中點為(2，2)．設(shè)點M的運動路徑的解析式為y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以點M的運動路徑的解析式為y＝－2x＋6．

4、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC．（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為EQ\F(5,4)，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．圖1備用圖思路點撥1．過點E作x軸的垂線交AD于F，那么△AEF與△CEF是共底的兩個三角形．2．以AD為分類標(biāo)準討論矩形，當(dāng)AD為邊時，AD與QP平行且相等，對角線AP＝QD；當(dāng)AD為對角線時，AD與PQ互相平分且相等．滿分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4,5a)．由A(－1,0)、D(4,5a)，得直線l的函數(shù)表達式為y＝ax＋a．（2）如圖1，過點E作x軸的垂線交AD于F．設(shè)E(x,ax2－2ax－3a)，F(xiàn)(x,ax＋a)，那么EF＝y(tǒng)E－yF＝ax2－3ax－4a．由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝，得△ACE的面積的最大值為．解方程，得．（3）已知A(－1,0)、D(4,5a)，xP＝1，以AD為分類標(biāo)準，分兩種情況討論：①如圖2，如果AD為矩形的邊，那么AD//QP，AD＝QP，對角線AP＝QD．由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．當(dāng)x＝－4時，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4,21a)．由yD－yA＝y(tǒng)P－yQ，得yP＝26a．所以P(1,26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以．此時P．②如圖3，如果AD為矩形的對角線，那么AD與PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．由yD＋yA＝y(tǒng)P＋yQ，得yP＝8a．所以P(1,8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以．此時P．圖1圖2圖3考點伸展第（3）題也可以這樣解．設(shè)P(1,n)．①如圖2，當(dāng)AD時矩形的邊時，∠QPD＝90°，所以，即．解得．所以P．所以Q．將Q代入y＝a(x＋1)(x－3)，得．所以．②如圖3，當(dāng)AD為矩形的對角線時，先求得Q(2,－3a)．由∠AQD＝90°，得，即．解得．

5、如圖1，已知拋物線C：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(－3,0)和B(0,3)兩點．將這條拋物線的頂點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N．（1）求拋物線C的表達式；（2）求點M的坐標(biāo)；（3）將拋物線C平移到拋物線C′，拋物線C′的頂點記為M′，它的對稱軸與x軸的交點記為N′．如果以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？圖1思路點撥1．拋物線在平移的過程中，M′N′與MN保持平行，當(dāng)M′N′＝MN＝4時，以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形就是平行四邊形．2．平行四邊形的面積為16，底邊MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分兩種情況：點M′在點N′的上方和下方．4．NN′＝4分兩種情況：點N′在點N的右側(cè)和左側(cè)．滿分解答（1）將A(－3,0)、B(0,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝－2，c＝3．所以拋物線C的表達式為y＝－x2－2x＋3．（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得頂點M的坐標(biāo)為(－1,4)．（3）拋物線在平移過程中，M′N′與MN保持平行，當(dāng)M′N′＝MN＝4時，以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形就是平行四邊形．因為平行四邊形的面積為16，所以MN邊對應(yīng)的高NN′＝4．那么以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形有4種情況：拋物線C直接向右平移4個單位得到平行四邊形MNN′M′（如圖2）；拋物線C直接向左平移4個單位得到平行四邊形MNN′M′（如圖2）；拋物線C先向右平移4個單位，再向下平移8個單位得到平行四邊形MNM′N′（如圖3）；拋物線C先向左平移4個單位，再向下平移8個單位得到平行四邊形MNM′N′（如圖3）．圖2圖3考點伸展本題的拋物線C向右平移m個單位，兩條拋物線的交點為D，那么△MM′D的面積S關(guān)于m有怎樣的函數(shù)關(guān)系？如圖4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m,4)，可得點D的橫坐標(biāo)為．將代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．所以S＝．圖4

專題4動點在四邊形中的分類討論（提高篇）1、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC．（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為EQ\F(5,4)，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．圖1備用圖思路點撥1．過點E作x軸的垂線交AD于F，那么△AEF與△CEF是共底的兩個三角形．2．以AD為分類標(biāo)準討論矩形，當(dāng)AD為邊時，AD與QP平行且相等，對角線AP＝QD；當(dāng)AD為對角線時，AD與PQ互相平分且相等．滿分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4,5a)．由A(－1,0)、D(4,5a)，得直線l的函數(shù)表達式為y＝ax＋a．（2）如圖1，過點E作x軸的垂線交AD于F．設(shè)E(x,ax2－2ax－3a)，F(xiàn)(x,ax＋a)，那么EF＝y(tǒng)E－yF＝ax2－3ax－4a．由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝，得△ACE的面積的最大值為．解方程，得．（3）已知A(－1,0)、D(4,5a)，xP＝1，以AD為分類標(biāo)準，分兩種情況討論：①如圖2，如果AD為矩形的邊，那么AD//QP，AD＝QP，對角線AP＝QD．由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．當(dāng)x＝－4時，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4,21a)．由yD－yA＝y(tǒng)P－yQ，得yP＝26a．所以P(1,26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以．此時P．②如圖3，如果AD為矩形的對角線，那么AD與PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．由yD＋yA＝y(tǒng)P＋yQ，得yP＝8a．所以P(1,8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以．此時P．圖1圖2圖3

2、如圖1，已知拋物線C：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(－3,0)和B(0,3)兩點．將這條拋物線的頂點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N．（1）求拋物線C的表達式；（2）求點M的坐標(biāo)；（3）將拋物線C平移到拋物線C′，拋物線C′的頂點記為M′，它的對稱軸與x軸的交點記為N′．如果以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？圖1思路點撥1．拋物線在平移的過程中，M′N′與MN保持平行，當(dāng)M′N′＝MN＝4時，以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形就是平行四邊形．2．平行四邊形的面積為16，底邊MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分兩種情況：點M′在點N′的上方和下方．4．NN′＝4分兩種情況：點N′在點N的右側(cè)和左側(cè)．滿分解答（1）將A(－3,0)、B(0,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝－2，c＝3．所以拋物線C的表達式為y＝－x2－2x＋3．（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得頂點M的坐標(biāo)為(－1,4)．（3）拋物線在平移過程中，M′N′與MN保持平行，當(dāng)M′N′＝MN＝4時，以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形就是平行四邊形．因為平行四邊形的面積為16，所以MN邊對應(yīng)的高NN′＝4．那么以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形有4種情況：拋物線C直接向右平移4個單位得到平行四邊形MNN′M′（如圖2）；拋物線C直接向左平移4個單位得到平行四邊形MNN′M′（如圖2）；拋物線C先向右平移4個單位，再向下平移8個單位得到平行四邊形MNM′N′（如圖3）；拋物線C先向左平移4個單位，再向下平移8個單位得到平行四邊形MNM′N′（如圖3）．圖2圖3考點伸展本題的拋物線C向右平移m個單位，兩條拋物線的交點為D，那么△MM′D的面積S關(guān)于m有怎樣的函數(shù)關(guān)系？如圖4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m,4)，可得點D的橫坐標(biāo)為．將代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．所以S＝．圖43、如圖1，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(0,1)、B(4,3)兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，在對稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標(biāo)．圖1思路點撥1．第（2）題求∠ABO的正切值，要構(gòu)造包含銳角∠ABO的角直角三角形．2．第（3）題解方程MN＝y(tǒng)M－yN＝BC，并且檢驗x的值是否在對稱軸左側(cè)．滿分解答（1）將A(0,1)、B(4,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以拋物線的解析式是．（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以O(shè)B＝5．如圖2，過點A作AH⊥OB，垂足為H．在Rt△AOH中，OA＝1，，圖2所以．所以，．在Rt△ABH中，．（3）直線AB的解析式為．設(shè)點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為，那么．當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊形時，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因為x＝3在對稱軸的右側(cè)（如圖4），所以符合題意的點M的坐標(biāo)為（如圖3）．圖3圖4

4、如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD//BC，交AB于點D，聯(lián)結(jié)PQ．點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長．圖1圖2思路點撥1．菱形PDBQ必須符合兩個條件，點P在∠ABC的平分線上，PQ//AB．先求出點P運動的時間t，再根據(jù)PQ//AB，對應(yīng)線段成比例求CQ的長，從而求出點Q的速度．2．探究點M的路徑，可以先取兩個極端值畫線段，再驗證這條線段是不是點M的路徑．滿分解答（1）QB＝8－2t，PD＝．（2）如圖3，作∠ABC的平分線交CA于P，過點P作PQ//AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形．過點P作PE⊥AB，垂足為E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．圖圖3在Rt△APE中，，所以．當(dāng)PQ//AB時，，即．解得．所以點Q的運動速度為．（3）以C為原點建立直角坐標(biāo)系．如圖4，當(dāng)t＝0時，PQ的中點就是AC的中點E(3，0)．如圖5，當(dāng)t＝4時，PQ的中點就是PB的中點F(1，4)．直線EF的解析式是y＝－2x＋6．如圖6，PQ的中點M的坐標(biāo)可以表示為（，t）．經(jīng)驗證，點M（，t）在直線EF上．所以PQ的中點M的運動路徑長就是線段EF的長，EF＝．圖4圖5圖6

5、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當(dāng)t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P、Q運動的過程中，當(dāng)t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．圖1思路點撥1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點的坐標(biāo)都表示出來．3．構(gòu)造以C、Q、E、H為頂點的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗證菱形是否存在．滿分解答（1）A(1,4)．因為拋物線的頂點為A，設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，代入點C(3,0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因為PE//BC，所以．因此．所以點E的橫坐標(biāo)為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點G的縱坐標(biāo)為．于是得到．因此．所以當(dāng)t＝1時，△ACG面積的最大值為1．（3）或．6、已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數(shù)的圖象上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A、M．（1）求線段AM的長；（2）求這個二次函數(shù)的解析式；（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖象上，點D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標(biāo)．圖1圖1思路點撥1．本題最大的障礙是沒有圖形，準確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對拋物線的位置要心中有數(shù)．2．根據(jù)MO＝MA確定點M在OA的垂直平分線上，并且求得點M的坐標(biāo)，是整個題目成敗的一個決定性步驟．3．第（3）題求點C的坐標(biāo)，先根據(jù)菱形的邊長、直線的斜率，用待定字母m表示點C的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式求待定的字母m．滿分解答（1）當(dāng)x＝0時，，所以點A的坐標(biāo)為(0，3)，OA＝3．如圖2，因為MO＝MA，所以點M在OA的垂直平分線上，點M的縱坐標(biāo)為．將代入，得x＝1．所以點M的坐標(biāo)為．因此．（2）因為拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函數(shù)的解析式為．（3）如圖3，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過點A作AE⊥CD，垂足為E．在Rt△ADE中，設(shè)AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．因此點C的坐標(biāo)可以表示為(4m，3－2m)．將點C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．因此點C的坐標(biāo)為（2，2）．圖2圖3

7、將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示．（1）請直接寫出拋物線c2的表達式；（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E．①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點時，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．把A、B、D、E、M、N六個點起始位置的坐標(biāo)羅列出來，用m的式子把這六個點平移過程中的坐標(biāo)羅列出來．2．B、D是線段AE的三等分點，分兩種情況討論，按照AB與AE的大小寫出等量關(guān)系列關(guān)于m的方程．3．根據(jù)矩形的對角線相等列方程．滿分解答（1）拋物線c2的表達式為．（2）拋物線c1：與x軸的兩個交點為(－1，0)、(1，0)，頂點為．拋物線c2：與x軸的兩個交點也為(－1，0)、(1，0)，頂點為．拋物線c1向左平移m個單位長度后，頂點M的坐標(biāo)為，與x軸的兩個交點為、，AB＝2．拋物線c2向右平移m個單位長度后，頂點N的坐標(biāo)為，與x軸的兩個交點為、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．①B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況：情形一，如圖2，B在D的左側(cè)，此時，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．情形二，如圖3，B在D的右側(cè)，此時，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．圖2圖3圖4②如果以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如圖4）．

專題5動點在梯形中的分類討論（基礎(chǔ)篇）【精典例題】1、如圖，在梯形中，厘米，厘米，的坡度動點從出發(fā)以2厘米/秒的速度沿方向向點運動，動點從點出發(fā)以3厘米/秒的速度沿方向向點運動，兩個動點同時出發(fā)，當(dāng)其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止．設(shè)動點運動的時間為秒．（1）求邊的長；（2）當(dāng)為何值時，與相互平分；（3）連結(jié)設(shè)的面積為探求與的函數(shù)關(guān)系式，求為何值時，有最大值？最大值是多少？圖（15）圖（15）CcDcAcBcQcPcEc【解析】：（1）作于點，如圖（3）所示，則四邊形為矩形．又 2分在中，由勾股定理得：（2）假設(shè)與相互平分．由則是平行四邊形（此時在上）．即解得即秒時，與相互平分．（3）①當(dāng)在上，即時，作于，則即=當(dāng)秒時，有最大值為②當(dāng)在上，即時，=易知隨的增大而減小．故當(dāng)秒時，有最大值為綜上，當(dāng)時，有最大值為2、在梯形中，動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動．設(shè)運動的時間為秒．（1）求的長．（2）當(dāng)時，求的值．（3）試探究：為何值時，為等腰三角形．【解析】：（1）如圖①，過、分別作于，于，則四邊形是矩形∴在中，在，中，由勾股定理得，∴（圖①）（圖①）ADCBKH（圖②）ADCBGMN（2）如圖②，過作交于點，則四邊形是平行四邊形∵∴∴∴由題意知，當(dāng)、運動到秒時，∵∴又∴∴即解得，AADCBMN（圖③）（圖④）ADCBMNHE（3）分三種情況討論：①當(dāng)時，如圖③，即∴②當(dāng)時，如圖④，過作于解法一：由等腰三角形三線合一性質(zhì)得在中，又在中，∴解得∵∴∴即∴（圖⑤）（圖⑤）ADCBHNMF③當(dāng)時，如圖⑤，過作于點.解法一：（方法同②中解法一）解得解法二：∵∴∴即∴綜上所述，當(dāng)、或時，為等腰三角形3、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線與x軸交于點A(－1,0)和點B(3,0)，D為拋物線的頂點，直線AC與拋物線交于點C(5,6)．（1）求拋物線的解析式；（2）點E在x軸上，且△AEC和△AED相似，求點E的坐標(biāo)；（3）若直角坐標(biāo)系平面中的點F和點A、C、D構(gòu)成直角梯形，且面積為16，試求點F的坐標(biāo)．圖1圖1滿分解答（1）如圖1，因為拋物線與x軸交于點A(－1,0)和點B(3,0)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)．將點C(5,6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得12a＝6．解得．所以拋物線的解析式為．（2）由，得頂點D的坐標(biāo)為(1,－2)．由A(－1,0)、C(5,6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝，AD＝．因此不論點E在點A的左側(cè)還是右側(cè)，都有∠CAE＝∠DAE．圖2圖3如果△CAE∽△DAE，那么它們?nèi)龋@是不可能的．如圖2，圖3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝．所以AE＝．所以點E的坐標(biāo)為，或．（3）因為∠CAD＝90°，因此直角梯形存在兩種情況．①如圖4，當(dāng)DF//AC時，由，得．解得DF＝．此時F、D兩點間的水平距離、豎直距離都是2，所以F(3,0)．②如圖5，當(dāng)CF//AD時，由，得．解得CF＝．此時F、C兩點間的水平距離、豎直距離都是，所以F．圖4圖5

4、如圖1，把兩個全等的Rt△AOB和Rt△COD方別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點A(1，2)，過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、F．拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過O、A、C三點．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）點P為線段OC上的一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（點A始終在線段AC上，且不與點C重合），△AOB在平移的過程中與△COD重疊部分的面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．圖1圖1思路點撥1．如果四邊形ABPM是等腰梯形，那么AB為較長的底邊，這個等腰梯形可以分割為一個矩形和兩個全等的直角三角形，AB邊分成的3小段，兩側(cè)的線段長線段．2．△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，可以通過割補得到，即△OFG減去△OEH．3．求△OEH的面積時，如果構(gòu)造底邊OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角邊的比為1∶2．4．設(shè)點A′移動的水平距離為m，那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m表示．滿分解答（1）將A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分別代入y＝ax2＋bx＋c，得解得，，．所以．（2）如圖2，過點P、M分別作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝y(tǒng)P′－yB．直線OC的解析式為，設(shè)點P的坐標(biāo)為，那么．解方程，得，．x＝2的幾何意義是P與C重合，此時梯形不存在．所以．圖2圖3（3）如圖3，△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，作EK⊥OD于K．設(shè)點A′移動的水平距離為m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．在Rt△OFG中，．所以．在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．所以．在Rt△OEK中，OK＝2EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以O(shè)K＝4HK．因此．所以．所以．于是．因為0＜m＜1，所以當(dāng)時，S取得最大值，最大值為．

5、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C(0，12)兩點，且對稱軸為直線x＝4，設(shè)頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標(biāo)；（2）如圖1，在直線y＝2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O運動，過點M作直線MN//x軸，交PB于點N．將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN．在動點M的運動過程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．圖1圖2思路點撥1．第（2）題可以根據(jù)對邊相等列方程，也可以根據(jù)對角線相等列方程，但是方程的解都要排除平行四邊形的情況．2．第（3）題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個階段，臨界點是PO的中點．滿分解答（1）設(shè)拋物線的解析式為，代入A（2，0）、C(0，12)兩點，得解得所以二次函數(shù)的解析式為，頂點P的坐標(biāo)為（4，－4）．（2）由，知點B的坐標(biāo)為（6，0）．假設(shè)在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，2x)．由兩點間的距離公式，得．解得或x＝－2．如圖3，當(dāng)x＝－2時，四邊形ODPB是平行四邊形．所以，當(dāng)點D的坐標(biāo)為(，)時，四邊形OPBD為等腰梯形．圖3圖4圖5（3）設(shè)△PMN與△POB的高分別為PH、PG．在Rt△PMH中，，．所以．在Rt△PNH中，，．所以．①如圖4，當(dāng)0＜t≤2時，重疊部分的面積等于△PMN的面積．此時．②如圖5，當(dāng)2＜t＜4時，重疊部分是梯形，面積等于△PMN的面積減去△P′DC的面積．由于，所以．此時．

專題6動點在梯形中的分類討論（提高篇）1、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線與x軸交于點A(－1,0)和點B(3,0)，D為拋物線的頂點，直線AC與拋物線交于點C(5,6)．（1）求拋物線的解析式；（2）點E在x軸上，且△AEC和△AED相似，求點E的坐標(biāo)；（3）若直角坐標(biāo)系平面中的點F和點A、C、D構(gòu)成直角梯形，且面積為16，試求點F的坐標(biāo)．圖1圖1思路點撥1．由A、C、D三點的坐標(biāo)，可以得到直線CA、直線DA與x軸的夾角都是45°，因此點E不論在點A的左側(cè)還是右側(cè)，都有∠CAE＝∠DAE．因此討論△AEC和△AED相似，要分兩種情況．每種情況又要討論對應(yīng)邊的關(guān)系．2．因為∠CAD是直角，所以直角梯形存在兩種情況．滿分解答（1）如圖1，因為拋物線與x軸交于點A(－1,0)和點B(3,0)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)．將點C(5,6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得12a＝6．解得．所以拋物線的解析式為．（2）由，得頂點D的坐標(biāo)為(1,－2)．由A(－1,0)、C(5,6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝，AD＝．因此不論點E在點A的左側(cè)還是右側(cè)，都有∠CAE＝∠DAE．圖2圖3如果△CAE∽△DAE，那么它們?nèi)龋@是不可能的．如圖2，圖3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝．所以AE＝．所以點E的坐標(biāo)為，或．（3）因為∠CAD＝90°，因此直角梯形存在兩種情況．①如圖4，當(dāng)DF//AC時，由，得．解得DF＝．此時F、D兩點間的水平距離、豎直距離都是2，所以F(3,0)．②如圖5，當(dāng)CF//AD時，由，得．解得CF＝．此時F、C兩點間的水平距離、豎直距離都是，所以F．圖4圖5

2、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x＋2與x軸交于點A，點B是這條直線上第一象限內(nèi)的一個點，過點B作x軸的垂線，垂足為D，已知△ABD的面積為18．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）如果拋物線經(jīng)過點A和點B，求拋物線的解析式；（3）已知（2）中的拋物線與y軸相交于點C，該拋物線對稱軸與x軸交于點H，P是拋物線對稱軸上的一點，過點P作PQ//AC交x軸于點Q，如果點Q在線段AH上，且AQ＝CP，求點P的坐標(biāo)．圖1思路點撥1．△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)面積可以求得直角邊長，得到點B的坐標(biāo)．2．AQ＝CP有兩種情況，四邊形CAQP為平行四邊形或等腰梯形．平行四邊形的情況很簡單，等腰梯形求點P比較復(fù)雜，于是我們要想起這樣一個經(jīng)驗：平行于等腰三角形底邊的直線截兩腰，得到一個等腰梯形和一個等腰三角形．滿分解答（1）直線y＝x＋2與x軸的夾角為45°，點A的坐標(biāo)為(－2,0)．因為△ABD是等腰直角三角形，面積為18，所以直角邊長為6．因此OD＝4．所以點B的坐標(biāo)為(4,6)．（2）將A(－2,0)、B(4,6)代入，得解得b＝2，c＝6．所以拋物線的解析式為．（3）由，得拋物線的對稱軸為直線x＝2，點C的坐標(biāo)為(0,6)．如果AQ＝CP，那么有兩種情況：①如圖2，當(dāng)四邊形CAQP是平行四邊形時，AQ//CP，此時點P的坐標(biāo)為(2,6)．②如圖3，當(dāng)四邊形CAQP是等腰梯形時，作AC的垂直平分線交x軸于點F，那么點P在FC上．設(shè)點F的坐標(biāo)為(x,0)，根據(jù)FA2＝FC2列方程，得(x＋2)2＝x2＋62．解得x＝8．所以O(shè)F＝8，HF＝6．因此．此時點P的坐標(biāo)為．圖2圖33、已知直線y＝3x－3分別與x軸、y軸交于點A，B，拋物線y＝ax2＋2x＋c經(jīng)過點A，B．（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，點B關(guān)于直線l的對稱點為C，若點D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形．①求點D的坐標(biāo)；②將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點為P，其對稱軸與直線y＝3x－3交于點E，若，求四邊形BDEP的面積．圖1圖1

思路點撥1．這道題的最大障礙是畫圖，A、B、C、D四個點必須畫準確，其實拋物線不必畫出，畫出對稱軸就可以了．2．拋物線向右平移，不變的是頂點的縱坐標(biāo)，不變的是D、P兩點間的垂直距離等于7．3．已知∠DPE的正切值中的7的幾何意義就是D、P兩點間的垂直距離等于7，那么點P向右平移到直線x＝3時，就停止平移．滿分解答（1）直線y＝3x－3與x軸的交點為A(1，0)，與y軸的交點為B(0,－3)．將A(1，0)、B(0,－3)分別代入y＝ax2＋2x＋c，得解得所以拋物線的表達式為y＝x2＋2x－3．對稱軸為直線x＝－1，頂點為(－1,－4)．（2）①如圖2，點B關(guān)于直線l的對稱點C的坐標(biāo)為(－2,－3)．因為CD//AB，設(shè)直線CD的解析式為y＝3x＋b，代入點C(－2,－3)，可得b＝3．所以點D的坐標(biāo)為（0，3）．②過點P作PH⊥y軸，垂足為H，那么∠PDH＝∠DPE．由，得．而DH＝7，所以PH＝3．因此點E的坐標(biāo)為（3，6）．所以．圖2圖34、如圖1，把兩個全等的Rt△AOB和Rt△COD方別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點A(1，2)，過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、F．拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過O、A、C三點．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）點P為線段OC上的一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（點A始終在線段AC上，且不與點C重合），△AOB在平移的過程中與△COD重疊部分的面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．圖1圖1思路點撥1．如果四邊形ABPM是等腰梯形，那么AB為較長的底邊，這個等腰梯形可以分割為一個矩形和兩個全等的直角三角形，AB邊分成的3小段，兩側(cè)的線段長線段．2．△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，可以通過割補得到，即△OFG減去△OEH．3．求△OEH的面積時，如果構(gòu)造底邊OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角邊的比為1∶2．4．設(shè)點A′移動的水平距離為m，那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m表示．滿分解答（1）將A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分別代入y＝ax2＋bx＋c，得解得，，．所以．（2）如圖2，過點P、M分別作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝y(tǒng)P′－yB．直線OC的解析式為，設(shè)點P的坐標(biāo)為，那么．解方程，得，．x＝2的幾何意義是P與C重合，此時梯形不存在．所以．圖2圖3（3）如圖3，△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，作EK⊥OD于K．設(shè)點A′移動的水平距離為m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．在Rt△OFG中，．所以．在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．所以．在Rt△OEK中，OK＝2EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以O(shè)K＝4HK．因此．所以．所以．于是．因為0＜m＜1，所以當(dāng)時，S取得最大值，最大值為．

5、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C(0，12)兩點，且對稱軸為直線x＝4，設(shè)頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標(biāo)；（2）如圖1，在直線y＝2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O運動，過點M作直線MN//x軸，交PB于點N．將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN．在動點M的運動過程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．圖1圖2思路點撥1．第（2）題可以根據(jù)對邊相等列方程，也可以根據(jù)對角線相等列方程，但是方程的解都要排除平行四邊形的情況．2．第（3）題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個階段，臨界點是PO的中點．滿分解答（1）設(shè)拋物線的解析