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文檔簡(jiǎn)介

泰勒公式

在實(shí)際問(wèn)題中,往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)而多項(xiàng)式函數(shù)就是最簡(jiǎn)單的一類初等函數(shù).首先考慮函數(shù)在一點(diǎn)附近的多項(xiàng)式近似.設(shè)n是給定的正整數(shù),

我們考慮在點(diǎn)附近用n次即其中

近似代替復(fù)雜的函數(shù).多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用時(shí),必須考慮這種近似的誤差.

我們用來(lái)表示,它是一種相對(duì)誤差.

如果存在,我們所能期待的最理想的結(jié)果是:

當(dāng)n=1且存在時(shí),滿足(4-2)式的一次多項(xiàng)式是存在的.

由有即滿足(4-2)式的一次多項(xiàng)式為于是有設(shè)存在,則注意到

定理4.13(帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式

)稱為在處的n階泰勒多項(xiàng)式.其中證令只需證則連續(xù)使用(n-1)次洛必達(dá)法則,有(4-3)式可寫成其中(4-3)式稱為帶皮亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式,(4-3)式中的稱為皮亞諾型余項(xiàng).例4.42設(shè)函數(shù)證明:當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),不是的極值點(diǎn);

當(dāng)k為偶數(shù),且時(shí),是的極

時(shí),是的極大值點(diǎn).小值點(diǎn),證由泰勒公式有即因此當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),不是的極值點(diǎn);當(dāng)k為偶數(shù),且時(shí),是的極小點(diǎn);是的極大點(diǎn).定理4.14(帶有拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式

)那么使得其中稱為拉格朗日型余項(xiàng).現(xiàn)在考慮函數(shù)在區(qū)間上的多項(xiàng)式近似.

希望把函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的泰勒多項(xiàng)式作為這個(gè)函數(shù)在區(qū)

間上的一種近似表示.為此,

需要對(duì)誤差進(jìn)一步分析.

證利用柯西中值定理證明令且因此如果公式(4-5)變成

其中(4-7)式稱為f(x)的n階麥克勞林多項(xiàng)式,(4-8)式稱為則f(x)的帶拉格朗日型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式.而誤差估計(jì)式為稱為f(x)的帶皮亞諾型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式.麥克勞林公式的用法:解因代入公式,得例4.43

求

的n階麥克勞林公式.注意到解因例4.44

求

的2n階麥克勞林公式.于是,由麥克勞林公式得到

常用函數(shù)的麥克勞林公式解因例4.45

利用帶有皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式,求于是解因練習(xí)計(jì)算

解練習(xí)

將

的多項(xiàng)式.而例4.46

證明不等式

的三階麥克勞林公式為

證其中故例4.47

近似計(jì)算的值，并估計(jì)誤差.在的麥克勞林

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