工程力學I課件：桿件橫截面上的應力分析

桿件橫截面上的應力分析5.1應力與應變5.2拉（壓）桿橫截面上的應力5.3泊松比圣維南原理應力集中5.4拉（壓）桿斜截面上的應力切應力互等定理5.5受扭圓軸橫截面上的應力5.6彎曲梁橫截面上的應力問題提出兩桿橫截面上的軸力始終相同，完成了桿件的內(nèi)力分析，還不足以解決桿件的強度問題。解決桿件的強度問題，還須對桿件進行應力分析。兩根拉桿：材料相同，粗細不同，拉力相同并同步增大。細桿先被拉斷。5.1應力和應變一、應力1、平均應力：

△A上的內(nèi)力平均集度為:

當△A趨于零時，pm

的大小和方向都將趨于某一極限值。2、某點的應力：p稱為該點的應力，它反映內(nèi)力系在該點的強弱程度，p是一個矢量。

p一般來說既不與截面垂直，也不與截面相切，對其進行分解垂直于截面的應力分量:σ相切于截面的應力分量:τσ

正應力τ

切應力1KPa=1000Pa1MPa=1000KPa1GPa=1000MPa3、正應力與切應力二、位移與應變

構(gòu)件在外力作用下尺寸和形狀的改變，稱為變形

構(gòu)件在其變形的同時，其上的點、面相對于初始位置的變化，稱為位移

所有變形后的單元體組合起來就是變形后的構(gòu)件形狀，反映出構(gòu)件的整體變形。單元體：各邊邊長為無限小的正六面體1、位移正應變線應變切應變角應變切應變的單位是rad2、應變7三、胡克定律試驗表明，對于工程中常用材料制成的桿件：1、在彈性范圍內(nèi)加載時2、單元體只承受單方向正應力或只承受切應力結(jié)論：正應力與線應變以及切應力與切應變之間存在線性關(guān)系。τγOσxεxOE-材料的楊氏彈性模量G-材料的切變模量5.2拉（壓）桿橫截面上的應力一、

實驗現(xiàn)象平面假設軸向拉伸實驗實驗現(xiàn)象(1)各橫向線仍保持直線，任意兩相鄰橫向線沿軸線發(fā)生相對平移；(2)橫向線仍然垂直于縱向線，縱向線仍然保持與桿件的軸線平行，原來的矩形網(wǎng)格仍為矩形。平面假設:變形前原為平面的橫截面，變形后仍然保持為平面

。

橫截面上各點處僅有正應力s，

并沿截面均勻分布。設橫截面的面積為A，由靜力學關(guān)系：其中：σ（符號規(guī)定：拉為正、壓為負）FN為桿件橫截面上的軸力

A為桿件橫截面面積。拉（壓）桿橫截面上正應力的計算公式適用條件：彈性體，符合胡克定律；軸向拉壓；離桿件受力區(qū)域較遠處的橫截面（2）對于桿件橫面尺寸沿軸線緩慢變化的變截面直桿：（1）公式也適用于FN為壓力時的應力計算。但要注意對于細

長壓桿受壓時容易被壓彎，屬于穩(wěn)定性問題（這一內(nèi)容

將在后面專門研究），這里所指的是受壓桿未被壓彎的

情況。例5-1階梯桿OD,左端固定，受力如圖所示，OC段的橫截面面積是CD段橫截面面積A的兩倍,求桿內(nèi)最大的軸力和最大正應力的大小及其位置。解：1、畫出軸力圖FNmax=3F

在OB段，拉力2、計算應力最大應力位于CD段最大軸力的位置并不一定是最大應力的位置。例題5-2起吊三角架如圖所示，已知桿AB由兩根橫截面面積為A的角鋼制成，設A=10.86cm2,F=130kN,a=30°。求桿AB橫截面上的應力。2)計算sAB解：1）以節(jié)點A為研究對象，列平衡方程拉例5-1等截面直桿的直徑，受載如圖所示，其中：

，，，。試求桿的最大正應力。解：1.畫軸力圖，確定桿件內(nèi)各截面的軸力。畫出桿件的軸力圖如圖所示。由軸力圖可知，桿件的BC段的軸力最大，且2.求最大正應力。BC段軸力是壓力，故得到的應力是壓應力。例5-3起重吊環(huán)的尺寸如圖所示，若起吊重量

，試求吊環(huán)內(nèi)的最大正應力。分析：從吊環(huán)的受力情況和截面法可知，軸力沿吊環(huán)軸線是不變的，故最大正應力必然發(fā)生在最小橫截面上。解：2.求吊環(huán)的最小橫截面面積。1.求吊環(huán)的軸力。由截面法易知，吊環(huán)的軸力為：分別計算孔?22處、銷子處和接近凹槽底部處的橫截面面積A1、

A2和A3：故吊環(huán)的最小橫截面面積3.求吊環(huán)內(nèi)的最大正應力。吊環(huán)內(nèi)的最大正應力5.3泊松比圣維南原理應力集中一、泊松比縱向應變橫向應變通過試驗發(fā)現(xiàn)，在彈性范圍內(nèi)：泊松比對于各向同性材料，有：二、圣維南原理

當桿端承受集中載荷或其他非均勻分布的載荷時，桿件并非所有的橫截面都保持平面，從而產(chǎn)生均勻的軸向變形，這種情況下，

公式：并不對桿件所有橫截面都適用。圣維南原理:將原力系用靜力等效的新力系來替代，除了對原力系作用附近的應力分布有明顯影響外，在離力系作用區(qū)域略遠處，該影響就非常小。有限元分析的圣維南原理三、應力集中

由圣維南原理知，等直桿受軸向拉伸或壓縮時，在離開外力作用處較遠的橫截面上的正應力是均勻分布的。但是，如果桿截面尺寸有突然變化，比如桿上有孔洞、溝槽或者制成階梯時，截面突變處局部區(qū)域的應力將急劇增大，但在離開圓孔或切口稍遠處，應力就迅速降低且趨于均勻。

由于截面急劇變化所引起的應力局部增大現(xiàn)象，稱為應力集中。理論應力集中系數(shù)α

應力集中處的最大應力。由解析理論、實驗或數(shù)值方法確定。削弱以后橫截面上的平均應力。不考慮應力集中條件下求得的應力值。實驗結(jié)果表明：截面尺寸改變越急劇，孔越小，圓角越小，應力集中的程度就越嚴重。應力集中對脆性材料的影響嚴重，應特別注意。應力集中能促使疲勞裂紋的形成和擴展，因而對構(gòu)件的疲勞強度影響極大。

不同材料的實驗表明，拉壓桿的破壞并不總是沿橫截面發(fā)生，有時沿斜截面發(fā)生。5.4拉壓桿斜截面上的應力切應力互等定理斜截面的方位角

：以x軸為始邊，以外法線軸n為終邊，逆時針轉(zhuǎn)向的

角為正，反之為負。

斜截面上的全應力

切應力的正負號：圍繞所取分離體順時針轉(zhuǎn)向的為正結(jié)論：切應力互等定理:過同一個點的兩個相互垂直的平面上，切應力必成對出現(xiàn)，方向垂直要兩個平面的交線，大小相等，符號相反（指向相對或者相悖）（1）a=0時，即橫截面上只有正應力沒有切應力。（2）受拉（壓）桿斜截面上的正應力是關(guān)于a的函數(shù)，且a=0時（橫截面）正應力為最大值，即（3）受拉（壓）桿斜截面上的切應力是關(guān)于a的函數(shù)，且a=45o時切應力為最大值，即（4）將a

、

帶入式（b），可得例：已知階梯形直桿受力如圖所示，桿各段的橫截面面積分別為A1=A2=2500mm2，A3=1000mm2，桿各段的長度如圖。求(1)桿AB、BC、CD段橫截面上的正應力(2)桿AB段上與桿軸線夾45°角(逆時針方向)斜截面上的正應力和切應力。解(1)計算各桿段橫截面上的正應力利用截面法求出各段軸力(步驟略)AB段BC段CD段解(2)計算桿AB斜截面上的正應力和切應力5.5受扭圓軸橫截面上的應力扭轉(zhuǎn)實驗實驗現(xiàn)象（1）所有軸向線仍近似為直線，且都傾斜了相同的微小角度γ。（2）所有圓周線保持原有的大小、形狀及其相互之間的距離，

在橫截面內(nèi)繞軸線轉(zhuǎn)過了一個角度φ，稱為扭轉(zhuǎn)角。（3）變形前矩形abcd，變形后錯動成平行四邊形

發(fā)生了剪切變形。一、

實驗現(xiàn)象平面假設平面假設：圓軸扭轉(zhuǎn)變形前為平面的橫截面，變形后仍為大小相同的平面，其半徑仍保持為直線；且相鄰兩橫截面之間的距離不變。扭轉(zhuǎn)圓軸橫截面上無正應力，只存在切應力。二、受扭圓軸橫截面上切應力的計算公式1、變形幾何關(guān)系其中表示扭轉(zhuǎn)角沿軸線長度方向的變化率。同一截面上為常數(shù)，因此與成正比2、物理關(guān)系在剪切比例極限內(nèi)由于發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，所以也應與半徑垂直。3、靜力關(guān)系微剪力t(ρ)dA其對圓心的微力矩

(t(ρ)dA)r橫截面上所有微力矩之和等于扭矩，即記——截面極慣性矩——受扭圓軸橫截面上切應力的計算公式其中：T為橫截面上的扭矩Ip為橫截面的極慣性矩r為所求切應力點到圓心的距離公式的適用條件等直圓軸線彈性范圍4、受扭圓軸橫截面上的最大切應力對某一橫截面而言，T為常數(shù)，Ip

也是常數(shù)，因此橫截面上的切應力是r

的線性函數(shù)圓心處r=0

t=0外表面r=r

max

t=tmax記——抗扭截面系數(shù)5、受扭圓軸橫截面上切應力的分布規(guī)律二、截面極慣性矩和抗扭截面系數(shù)1、實心圓軸2、空心圓軸內(nèi)外徑之比:3、薄壁圓筒內(nèi)外徑之比:R0——平均半徑

δ

——壁厚橫截面上的切應力(認為均勻分布):例5-4-1一直徑為的實心圓軸，受到扭矩作用。試求在距離軸心

處的切應力，并求軸橫截面上的最大切應力。解：2.求τ(ρ)及τmax1.求截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)例5-4-2如將上題中的實心圓軸改為內(nèi)、外徑之比為

的空心圓軸，若兩軸的最大切應力相等，求此時空心圓軸的外徑，并比較實心軸和空心軸的重量。解：1.求空心圓軸的外徑記空心軸的外徑為D1，則由題意有：故空心軸的外徑2.比較實心軸和空心軸的重量由于兩軸長度相等、材料相同，故兩軸重量之比等于橫截面面積之比：可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量只有實心軸的78%，說明空心截面比實心節(jié)省材料。如果將空心截面改為薄壁截面，可以發(fā)現(xiàn)節(jié)省材料的效果更為明顯。但是如果壁太薄，軸可能由于皺褶失穩(wěn)破壞。例5-5圖示圓截面階梯軸，AB與BC段的直徑分別為d1與d2，且

，材料的切變模量為G。試求軸內(nèi)的最大切應力。解：（1）作扭矩圖,可得（2）計算最大切應力，

故得軸內(nèi)的最大切應力5.6彎曲梁橫截面上的應力AC、DB段既有剪力又有彎矩，橫截面上同時存在正應力和切應力，這種情況稱為橫力彎曲。CD段只有彎矩，橫截面上就只有正應力而無切應力，這種情況稱為純彎曲。剪力FS是相切于橫截面的內(nèi)力系的合力；彎矩M是垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力。剪力FS只與橫截面上的切應力t

有關(guān)；彎矩M只與橫截面上的正應力s

有關(guān)。

彎曲內(nèi)力分量與應力分量的關(guān)系一、純彎曲梁橫截面上的應力1.實驗現(xiàn)象及平面假設變形前變形后（1）縱向線都彎曲成弧線，凸邊弧線長度增加，而凹邊弧線長度減小。（2）橫向線仍為直線，但相對原來的位置轉(zhuǎn)過了一個角度，且仍與縱向線正交。現(xiàn)象

由于彎曲的作用，上部纖維縮短，下部纖維伸長。

中間必有一層保持原長，這一層稱為:中性層。變形后中性層和橫截面的交線（cc），稱為中性軸。平面假設：變形前為平面的梁的橫截面變形后仍保持為平面，且仍然垂直于變形后的梁軸線，只是繞橫截面內(nèi)某一條直線轉(zhuǎn)過一個角度。單向受力假設：梁內(nèi)各縱向纖維僅受到單向拉伸或壓縮，彼此間互不擠壓、互不牽拉。假設梁橫截面上各點存在正應力梁的橫截面上各點切應力為零結(jié)論2.變形幾何關(guān)系從純彎曲梁中沿軸線取dx的微段:中性層位于O’O’mm’變形前長度:mm’變形后長度:mm’位置的線應變:表明:距離中性層為y的任一縱向纖維的線應變與y

成正比。

r

為中性層曲率半徑，

系一待定常數(shù)。3.物理關(guān)系

縱向纖維之間無正應力，每一纖維都是單向拉伸或者壓縮，小變形時純彎曲情況下可假設梁的各縱向線之間無擠壓，認為梁內(nèi)各點均處于單向應力狀態(tài)。代入幾何關(guān)系得到

梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉、壓彈性模量相同時，有

這表明：梁的橫截面上的正應力沿垂直于中性軸的方向按線性規(guī)律變化。4.靜力學關(guān)系微面積上的微內(nèi)力σ(y)dA

組成一與梁軸線平行的空間平行力系。因橫截面上只有彎矩M，故有:z軸(中性軸)過截面形心因為y軸為截面縱向?qū)ΨQ軸（自動滿足）1/r為梁軸線的曲率EIz為梁的抗彎剛度此即為梁純彎曲時橫截面上正應力的計算公式

純彎梁橫截面內(nèi)正應力s隨高度y呈線性分布，以中性層為界，一側(cè)受拉，另一側(cè)受壓。受壓一側(cè)正應力為負受拉一側(cè)正應力為正——梁純彎曲時橫截面上正應力的計算公式5.純彎曲梁橫截面上的正應力及其分布適用條件平面彎曲彈性范圍

6、梁橫截面上的最大正應力梁橫截面上的最大正應力發(fā)生在距離中性軸的最遠處，即記——抗彎截面系數(shù)

7、梁的抗彎截面系數(shù)實心矩形截面實心圓截面其他形狀的截面及型鋼幾何性質(zhì)可參見附錄例5-6矩形截面梁AB受載及截面尺寸分別如圖(a)、(b)所示。試求梁A端右側(cè)截面上a、b、c、d四點處的正應力。解：1.求梁A端右側(cè)

截面上的彎矩畫梁的彎矩圖如圖(c)所示?？芍簽榧儚澢篈端右側(cè)截面上的彎矩：2.求橫截面的慣性矩Iz

和抗彎截面系數(shù)Wz3.求各點的正應力（拉應力）（拉應力）點c在中性軸上，故點d和點a關(guān)于中性軸對稱，故（壓應力）二、橫力彎曲時橫截面上的應力橫力彎曲時，梁橫截面上的彎矩隨截面位置的不同而變化。確定最大正應力要綜合考慮彎矩值、截面的形狀和尺寸，按下式計算：橫力彎曲時，由于剪力的作用使梁發(fā)生了非均勻分布的切應力，梁的橫截面將不再保持平面而發(fā)生翹曲。在細長梁(梁的跨度與截面高度之比大于5)情況下，用上式計算結(jié)果能夠滿足一般工程問題的精度要求。但對于短粗梁，則需要采用彈性力學或有限元分析等其他方法進行求解。例5-7圖(a)示大梁由NO.50a工字鋼制成，跨中作用一集力

。試求梁危險截面上的最大正應力以及翼緣與腹板交界處的正應力。解：1.畫梁的計算簡圖并求支座反力畫梁的計算簡圖如圖(b)所示。支座反力：2.畫梁的彎矩圖，確定危險截面畫梁的彎矩圖如圖(c)所示。故截面C為危險截面，且3.由附錄Ⅰ查得型鋼相關(guān)參數(shù)。查得NO.50a工字鋼的相關(guān)參數(shù)為：慣性矩：4.求彎曲正應力危險截面C上的最大正應力危險截面C上翼緣與腹板交界處的正應力抗彎截面系數(shù)：翼緣與腹板交界處到中性軸的距離：三、彎曲切應力橫力彎曲時，梁的橫截面上既有彎矩又有剪力，因此梁的橫截面上除正應力外，還有切應力。彎曲切應力的分布規(guī)律要比正應力復雜。橫截面形狀不同，彎曲切應力分布情況也隨之不同。對形狀簡單的截面，可以直接就彎曲切應力的分布規(guī)律作出合理的假設，然后利用靜力關(guān)系建立起相應的計算公式。但對于形狀復雜的截面，需借助彈性力學理論或?qū)嶒灡葦M方法來進行研究。本節(jié)介紹幾種常見的簡單形狀截面梁彎曲切應力的分布規(guī)律，并直接給出相應的計算公式。61/681.矩形截面梁儒拉夫斯基假設（1）截面上任意一點的切應力

t的方向和

該截面上的剪力FS的方向平行。（2）切應力沿寬度均勻分布，即t的大小只

與距離中性軸的距離有關(guān)，而與截面

寬度無關(guān)。61/68矩形截面梁橫截面上的切應力計算公式根據(jù)上述假設，可得矩形截面梁橫截面上縱坐標為y的任意一點的彎曲切應力的計算公式：其中：Fs為橫截面上的剪力

Sz*為梁橫截面上距中性軸為y的橫線以外

部分的面積（圖中A1*）對中性軸的靜矩

的絕對值

b為橫截面寬度Iz為整個橫截面對中性軸z的慣性矩（1）沿截面高度，彎曲切應力的大

小按圖示的拋物線規(guī)律變化。（2）在上、下邊緣各點處，

彎曲切應力為零。（3）在中性軸上的各點處(y=0)，切

應力最大，且最大切應力為：這表明：其中：A=bh為橫截面面積。即：矩形截面梁的最大切應力為橫截面上名義平均切應力的1.5倍。2.工字形截面梁工字形截面由翼緣和腹板組成上翼緣下翼緣腹板由于腹板截面是狹長矩形，因此儒拉夫斯基假設仍然適用。即：若要計算腹板上距中性軸y處的切應力，Sz*是圖中黃色部分面積對中性軸的靜矩。