工程力學(xué)I課件：壓桿穩(wěn)定及提高構(gòu)件承載能力的措施

壓桿穩(wěn)定

及提高構(gòu)件承載能力的措施

10.1壓桿的穩(wěn)定性分析

歐拉公式10.2壓桿穩(wěn)定實(shí)用計(jì)算10.3提高桿件強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的一些措施在工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度和剛度，卻不一定能安全可靠地工作。例：一長(zhǎng)為300mm的鋼板尺，橫截面尺寸為20mm

1mm。鋼的許用應(yīng)力為[]=196MPa。按強(qiáng)度條件計(jì)算得鋼板尺所能承受的軸向壓力為[P]=A[]=3.92KN實(shí)際上，當(dāng)壓力不到40N時(shí)，鋼尺就被壓彎?？梢?jiàn)鋼尺的承載能力并不取決軸向壓縮的抗壓剛度，而是與受壓時(shí)變彎有關(guān)。一、壓桿穩(wěn)定的概念穩(wěn)定性——結(jié)構(gòu)或者物體保持或者恢復(fù)原有平衡狀態(tài)的能力。當(dāng)軸向壓力超過(guò)一定數(shù)值時(shí)，壓桿的平衡由穩(wěn)定向不穩(wěn)定轉(zhuǎn)變，這個(gè)載荷稱(chēng)為臨界載荷FcrF小于Fcr時(shí)，穩(wěn)定平衡。給桿件一個(gè)橫向擾動(dòng)，桿件仍能恢復(fù)原來(lái)的平衡狀態(tài)。（軸向平衡）F大于等于Fcr時(shí)，不穩(wěn)定平衡。桿件既能在軸線上達(dá)到平衡，又能在彎曲狀態(tài)下達(dá)到平衡（F=Fcr)。給桿件一個(gè)橫向擾動(dòng)，桿件由軸向平衡轉(zhuǎn)向彎曲狀態(tài)，從而造成失穩(wěn)。二、失穩(wěn)與臨界力構(gòu)件失穩(wěn)后，壓力的微小增加將引起彎曲變形的顯著增加，因此喪失了承載能力F≤FcrF>Fcr三、壓桿失穩(wěn)的特點(diǎn)壓力的微小增加將引起彎曲變形的顯著增大桿內(nèi)的應(yīng)力不一定高，有時(shí)甚至低于材料的比例極限可見(jiàn)，壓桿失穩(wěn)并非強(qiáng)度不足。由于壓桿穩(wěn)定是突然發(fā)生的，因此所造成的后果也是很?chē)?yán)重的。10.1壓桿的穩(wěn)定性分析歐拉公式設(shè)：細(xì)長(zhǎng)理想壓桿兩端為球鉸支座，壓桿在軸向壓力F作用下處于微彎平衡狀態(tài)，其中x截面的彎矩：一、歐拉公式則當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，壓桿撓曲線方程1、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿解方程并帶入位移邊界條件可得上式表明，桿件處于微彎狀態(tài)時(shí)保持平衡的壓力

，在理論上是多值的。其中，能使桿件保持微小彎曲的最小壓力為臨界壓力——?dú)W拉公式ACBxFFByyxy如圖一端固定，一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿，其拐點(diǎn)位于離鉸支座

0.7l處。拐點(diǎn)處彎矩為零，所以可一看成長(zhǎng)度為0.7l的兩端球鉸的情況。2、其它支承情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力臨界載荷的拐點(diǎn)確定法支承情況兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀長(zhǎng)度系數(shù)

=1

0.7

=0.5

=2ml:相當(dāng)長(zhǎng)度，m：長(zhǎng)度因數(shù)桿端約束越弱，μ越大2、其它支承情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力二、臨界應(yīng)力的歐拉公式1、臨界應(yīng)力壓桿在臨界載荷的作用下保持直線平衡狀態(tài)時(shí)，定義橫截面上的平均應(yīng)力為臨界應(yīng)力

由：柔度（長(zhǎng)細(xì)比）2、柔度柔度越大，臨界應(yīng)力就越小桿件越容易失穩(wěn)。綜合反映了壓桿長(zhǎng)度，約束條件，截面形狀尺寸對(duì)臨界應(yīng)力的影響三、歐拉公式的適用范圍

在歐拉公式的推導(dǎo)過(guò)程中，用到了撓曲線近似微分方程，這就決定了材料必須符合胡克定律。材料符合胡克定律

工作應(yīng)力（臨界應(yīng)力）小于比例極限sp令則只有當(dāng)歐拉公式才是有效的。

通常將

的桿稱(chēng)為大柔度桿(細(xì)長(zhǎng)桿)。大柔度桿的臨界應(yīng)力可以采用歐拉公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算。1、大柔度桿(細(xì)長(zhǎng)桿)以Q235為例，2、中柔度桿的經(jīng)驗(yàn)公式

對(duì)于l<lp的壓桿，其臨界應(yīng)力大于材料的比例極限，歐拉公式已經(jīng)不適用。工程中這類(lèi)問(wèn)題一般采用經(jīng)驗(yàn)公式。經(jīng)驗(yàn)公式是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)整理后得到的，這里介紹工程中常用的直線公式，即a、b是和材料有關(guān)的常數(shù)，單位是MPa用經(jīng)驗(yàn)公式得到的臨界應(yīng)力不允許超過(guò)材料的極限應(yīng)力對(duì)于塑性材料，不能超過(guò)其屈服極限;對(duì)于脆性材料，不能超過(guò)其強(qiáng)度極限。對(duì)于塑性材料:令對(duì)于Q235鋼:

工程中將柔度介于ls和lp之間的這一類(lèi)壓桿稱(chēng)為中柔度桿（中長(zhǎng)桿）。2、中柔度桿的經(jīng)驗(yàn)公式3、小柔度桿

對(duì)于l<ls的壓桿，小柔度桿將因壓縮引起屈服或斷裂破壞，屬于強(qiáng)度問(wèn)題，當(dāng)然也可以將屈服極限ss（塑性材料）和強(qiáng)度極限sb（脆性材料）作為極限應(yīng)力。4、臨界應(yīng)力總圖短粗桿中柔度桿大柔度桿··

例10-1

兩端球鉸鉸支壓桿，長(zhǎng)l=1.2m，材料為Q235鋼，彈性模量E=200GPa，

P=200MPa，

S=235MPa。已知橫截面的面積A=900mm2，若截面的形狀分別為圓形、正方形和內(nèi)外徑之比為d/D=0.7的的空心管。試分別計(jì)算各桿的臨界力。解1）計(jì)算臨界柔度2）計(jì)算各桿柔度，確定壓桿的類(lèi)型(1)圓形截面：為細(xì)長(zhǎng)壓桿（2）正方形截面桿為細(xì)長(zhǎng)壓桿該桿，的臨界壓力截面邊長(zhǎng)慣性半徑柔度（3）空心圓管截面慣性矩柔度

慣性半徑用直線公式屬中長(zhǎng)壓桿例10-2

由Q235鋼制成的矩形截面桿，其受力和兩端約束情況如圖10-8所示，圖中上圖為主視圖，下圖為俯視圖，在桿的兩端A、B處為銷(xiāo)釘連接。若已知l=2300mm，b=40mm，h=60mm，材料的彈性模量E=205GPa，求此桿的臨界載荷。壓桿穩(wěn)定性分析與設(shè)計(jì)解(1)計(jì)算臨界柔度壓桿AB左右兩端為銷(xiāo)釘連接，在主視圖平面內(nèi)彎曲時(shí)，兩端可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，相當(dāng)于鉸鏈；而在俯視圖平面內(nèi)彎曲時(shí)，兩端不能轉(zhuǎn)動(dòng)，近似視為固定端。因?yàn)閴簵U是矩形截面，故在主視圖平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，截面將繞軸z轉(zhuǎn)動(dòng)；而在俯視圖平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，截面將繞軸y轉(zhuǎn)動(dòng)。因此先計(jì)算壓桿在兩個(gè)平面內(nèi)的柔度，以確定在哪一個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)。在主視圖平面內(nèi)，取長(zhǎng)度系數(shù)μ=1，壓桿的柔度為

在俯視圖平面內(nèi)，取長(zhǎng)度系數(shù)μ=0.5，壓桿的柔度為

因，壓桿首先在主視圖內(nèi)失穩(wěn)，且，為細(xì)長(zhǎng)桿，故臨界載荷為

10.2壓桿穩(wěn)定的實(shí)用計(jì)算

由臨界壓力的定義可知，為了保證壓桿正常工作時(shí)不發(fā)生失穩(wěn)，必須使壓桿所承受的壓力小于該桿的臨界壓力，而且還應(yīng)使壓桿具有足夠的穩(wěn)定安全儲(chǔ)備。工程上常用的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則有安全因數(shù)法和折減因數(shù)法

引進(jìn)一個(gè)大于1的安全因數(shù):

穩(wěn)定安全因數(shù)［ncr］

壓桿的穩(wěn)定條件為：在工程中，常把穩(wěn)定條件改寫(xiě)成如下形式進(jìn)行計(jì)算：ncr被稱(chēng)為工作安全因數(shù)一、安全因數(shù)法

一般來(lái)說(shuō)，規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)應(yīng)略高于強(qiáng)度安全因數(shù)。這是因?yàn)閇ncr]的選取，除了要考慮在選取強(qiáng)度安全系數(shù)時(shí)的那些因素外，還要考慮影響壓桿失穩(wěn)所特有的不利因素，如壓桿不可避免存在的初曲率、載荷的偏心、材料不均勻等。這些不利因素，對(duì)穩(wěn)定的影響比對(duì)強(qiáng)度的影響大。鋼材:[ncr]=1.8~3.0鑄鐵:[ncr]=5.0~5.5可利用穩(wěn)定條件來(lái)進(jìn)行穩(wěn)定性校核和確定許用載荷。二、折減因數(shù)法工程中常采用折減因數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定性校核。其穩(wěn)定條件為Φ

稱(chēng)為穩(wěn)定因數(shù)或折減因數(shù)，通常小于1φ不是一個(gè)定值，它是隨實(shí)際壓桿的柔度而變化的，工程實(shí)用上常將各種材料的φ值隨λ而變化的關(guān)系繪出曲線或列成數(shù)據(jù)表以便應(yīng)用壓桿穩(wěn)定性計(jì)算包括1、穩(wěn)定性校核2、截面設(shè)計(jì)3、確定許可載荷

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，常會(huì)遇到壓桿在其某一局部受到削弱的情況，比如鋼結(jié)構(gòu)的螺栓孔或鉚釘孔等。由于壓桿穩(wěn)定性取決于整個(gè)桿件的抗彎剛度，因此對(duì)于壓桿進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，可按未削弱的截面計(jì)算截面慣性矩和面積。但對(duì)被消弱的截面應(yīng)進(jìn)行強(qiáng)度校核。例10-3一個(gè)兩端球鉸的等截面圓柱壓桿，長(zhǎng)度l=703mm。直徑d=45mm，受軸向壓力F=41.6kN。其材料為優(yōu)質(zhì)碳鋼，

s=306MPa，p=280MPa，E=210MPa，穩(wěn)定安全系數(shù)[nst]=10.試校核其穩(wěn)定性。解：(1)計(jì)算柔度，判斷壓桿的類(lèi)型。查表得有對(duì)于圓截面桿，有壓桿為兩端鉸支，因此有為中柔度桿解：(2)求臨界壓力，應(yīng)用直線型公式可得：(3)校核穩(wěn)定性該壓桿滿足穩(wěn)定安全要求例10-4某內(nèi)燃機(jī)的挺桿的桿長(zhǎng)l=25.7cm，直徑d=8mm，兩端球形鉸支，受軸向壓力F=1.76kN。

s=306MPa，p=240MPa，E=210MPa，穩(wěn)定安全系數(shù)[nst]=3，試校核其穩(wěn)定性。解：(1)計(jì)算挺桿的臨界力。對(duì)于圓截面桿，有壓桿為兩端鉸支，因此有為大柔度桿挺桿的柔度＞由歐拉公式得其臨界力（2）穩(wěn)定性計(jì)算＞挺桿的穩(wěn)定性滿足要求例10-5三腳架受力如圖所示，其中AB桿長(zhǎng)l為1.5m，BC桿為10號(hào)工字鋼。其彈性模量E=200GPa，比例極限σp=200MPa，若穩(wěn)定安全系數(shù)nst=2.2，試從BC桿的穩(wěn)定考慮，求結(jié)構(gòu)的許用載荷[F]。解1）計(jì)算柔度，確定BC桿的類(lèi)型，其λp為：其截面為10號(hào)工字鋼，查型鋼表得2）計(jì)算臨界力

其桿端約束為兩端鉸支，長(zhǎng)細(xì)比λ為由于

>

3）確定結(jié)構(gòu)的許可載荷。考察結(jié)點(diǎn)B的平衡,由平衡方程可得10.3提高桿件強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的措施一、受彎構(gòu)件慣性矩越大，危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力越小

1、選擇合理的截面形狀截面積相同時(shí),空心構(gòu)件的慣性矩和極慣性矩要比實(shí)心構(gòu)件的大。選擇較小的橫截面面積、同時(shí)具有較大的截面模量的截面形狀對(duì)于提高構(gòu)件的強(qiáng)度更為合理.一、受彎構(gòu)件彎矩越小，危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力越小

2、改善構(gòu)件的受力情況減小梁的跨度來(lái)減小最大彎矩一、受彎構(gòu)件彎矩越小，危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力越小

把較大的集中力分散成較小的力來(lái)降低最大彎矩2、改善構(gòu)件的受力情況一、受彎構(gòu)件彎矩越小，危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力越小

3、等強(qiáng)度設(shè)計(jì)，使彎曲梁的各個(gè)截面上的最大應(yīng)力均為許用應(yīng)力。一、受彎構(gòu)件彎矩越小，危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力越小

4、充分利用材料性能。其邊緣處的拉應(yīng)力與壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用值若其材料的抗拉抗壓性能相同，截面應(yīng)采用對(duì)中性軸對(duì)稱(chēng)的形狀;對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料（如鑄鐵），應(yīng)使中性軸偏于強(qiáng)度較弱（受拉）的一邊一、受彎構(gòu)件彎矩越小，危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力越小

5、增加約束的方法提高梁的剛度二、受扭構(gòu)件

極慣性矩越大，危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力越小1、合理布置載荷，減小最大扭矩2、同截面面積下，空心截面構(gòu)件的極慣性矩比實(shí)心截面的大需要指出的是，不能為了追求大的慣性矩而采用壁厚很薄的截面形狀，這樣做不僅會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的整體尺寸過(guò)大，而且局部壁厚過(guò)薄容易產(chǎn)生局部穩(wěn)定失效。二、受壓桿件1、改變壓桿的約束條件如采用穩(wěn)定性比較好的約束方式，有效的提高壓桿的穩(wěn)定性。細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力與相當(dāng)長(zhǎng)度的二次方成反比，所以增強(qiáng)對(duì)壓桿的約束可極大的提高其臨界壓力。二、受壓桿件2、增加約束以減少桿長(zhǎng)細(xì)長(zhǎng)壓桿截面形狀的選擇應(yīng)以不增加橫截面積，提高橫截面慣性矩，從而提高截面慣性半徑為原則，空心構(gòu)件的慣性矩和極慣性矩要比實(shí)心構(gòu)件的大。應(yīng)盡量使截面材料遠(yuǎn)離截面的中性軸二、受壓桿件3、選擇慣性矩較大的截面形狀細(xì)長(zhǎng)壓桿截面形狀的選擇應(yīng)以不增加橫截面積，提高橫截面慣性矩，從而提高截面慣性半徑為原則，空心構(gòu)件的慣性矩和極慣性矩要比實(shí)心構(gòu)件的大。應(yīng)盡量使截面材料遠(yuǎn)離截面的中性軸要注意使壓桿各個(gè)方向的慣性矩大致相等4、合理選擇材料二、受