江西省玉山縣第二中學2025屆高考數(shù)學一模試卷含解析

江西省玉山縣第二中學2025屆高考數(shù)學一模試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．2．已知定義在上的函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中真命題的個數(shù)為（）A． B． C． D．4．曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．85．復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．6．已知是邊長為的正三角形，若，則A． B．C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則①處應填寫（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為則（）A． B． C． D．10．設等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．10 B．9 C．8 D．711．已知，滿足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．12．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_______．14．函數(shù)f（x）＝x2﹣xlnx的圖象在x＝1處的切線方程為_____.15．設（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為________.16．在三棱錐P-ABC中，，，，三個側(cè)面與底面所成的角均為，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）若在上存在兩個極值點，求的取值范圍；（Ⅱ）若，函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，且線段的中點為，證明：.18．（12分）我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀60年代天文學的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉(zhuǎn)周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構(gòu)觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.19．（12分）設點，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點，是直線上的兩點，且，，求四邊形面積的最大值．20．（12分）若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過，則該養(yǎng)殖場考核為合格，該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145（1）從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月，求恰好有2個月考核獲得合格的概率；（2）根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤y（十萬元）關(guān)于月養(yǎng)殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預計在今后的養(yǎng)殖中，月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關(guān)系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只，試估計：該月利潤約為多少萬元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下：，參考數(shù)據(jù)：.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點且，，，.求證：平面平面以；求二面角的大小.22．（10分）已知數(shù)列和滿足：.（1）求證:數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項B；又，，所以排除選項A、C，故選D．2、D【解析】

先判斷函數(shù)在時的單調(diào)性，可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到，比較三個數(shù)的大小，然后根據(jù)函數(shù)在時的單調(diào)性，比較出三個數(shù)的大小.【詳解】當時，，函數(shù)在時，是增函數(shù).因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以有，因為，函數(shù)在時，是增函數(shù)，所以，故本題選D.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問題，判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.3、C【解析】

利用線線、線面、面面相應的判定與性質(zhì)來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知①正確；當直線平行于平面與平面的交線時也有，，故②錯誤；若，則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線，故③正確；若，則存在直線且，因為，所以，從而，故④正確.故選：C.【點睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，里面涉及到了相應的判定定理以及性質(zhì)定理，是一道基礎題.4、B【解析】

求函數(shù)導數(shù)，利用切線斜率求出，根據(jù)切線過點求出即可.【詳解】因為，所以，故，解得，又切線過點，所以，解得，所以，故選：B【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.5、C【解析】

利用復數(shù)模與除法運算即可得到結(jié)果.【詳解】解:，故選：C【點睛】本題考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)的模，考查計算能力，屬于基礎題.6、A【解析】

由可得，因為是邊長為的正三角形，所以，故選A．7、B【解析】

模擬程序框圖運行分析即得解.【詳解】；；.所以①處應填寫“”故選：B【點睛】本題主要考查程序框圖，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8、B【解析】

由題意得出的值，進而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計算較為方便，考查計算能力，屬于基礎題.9、B【解析】

求得復數(shù)，結(jié)合復數(shù)除法運算，求得的值.【詳解】易知，則.故選：B【點睛】本小題主要考查復數(shù)及其坐標的對應，考查復數(shù)的除法運算，屬于基礎題.10、B【解析】

根據(jù)題意，解得，，得到答案.【詳解】，解得，，故.故選：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學生的計算能力.11、D【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價于，作直線，向上平移，易知當直線經(jīng)過點時最大，所以，故選D．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．12、D【解析】

利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到代入回歸方程，可得，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù)，可得又，．解得故選：D【點睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質(zhì)，考查了學生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程可得，即a＝2b，進而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得cb，由雙曲線的離心率公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，即yx，則有，即a＝2b，則cb，則該雙曲線的離心率e；故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是分析a、b之間的關(guān)系，屬于基礎題．14、x﹣y＝0.【解析】

先將x＝1代入函數(shù)式求出切點縱坐標，然后對函數(shù)求導數(shù)，進一步求出切線斜率，最后利用點斜式寫出切線方程.【詳解】由題意得.故切線方程為y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0.故答案為：x﹣y＝0.【點睛】本題考查利用導數(shù)求切線方程的基本方法，利用切點滿足的條件列方程（組）是關(guān)鍵.同時也考查了學生的運算能力，屬于基礎題.15、【解析】

求函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)的圖象，設，若函數(shù)恰有4個零點，則等價為函數(shù)有兩個零點，滿足或，利用一元二次函數(shù)根的分布進行求解即可．【詳解】當時，，由得：，解得，由得：，解得，即當時，函數(shù)取得極大值，同時也是最大值，（e），當，，當，，作出函數(shù)的圖象如圖，設，由圖象知，當或，方程有一個根，當或時，方程有2個根，當時，方程有3個根，則，等價為，當時，，若函數(shù)恰有4個零點，則等價為函數(shù)有兩個零點，滿足或，則，即（1）解得：，故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用換元法進行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及．求的導數(shù)，研究函數(shù)的的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．16、【解析】

先確定頂點在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【詳解】設頂點在底面上的射影為H，H是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑.三個側(cè)面與底面所成的角均為，，，的高，，設內(nèi)切球的半徑為R，∴，內(nèi)切球表面積.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題，考查學生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）依題意在上存在兩個極值點，等價于在有兩個不等實根，由參變分類可得，令，利用導數(shù)研究的單調(diào)性、極值，從而得到參數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）由題解得，，要證成立，只需證：，即：，只需證：，設，即證：，再分別證明，即可；【詳解】解：（Ⅰ）由題意可知，，在上存在兩個極值點，等價于在有兩個不等實根，由可得，，令，則，令，可得，當時，，所以在上單調(diào)遞減，且當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；所以是的極大值也是最大值，又當，當大于0趨向與0，要使在有兩個根，則，所以的取值范圍為；（Ⅱ）由題解得，，要證成立，只需證：即：，只需證：設，即證：要證，只需證：令，則在上為增函數(shù)，即成立；要證，只需證明：令，則在上為減函數(shù)，，即成立成立，所以成立.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，利用導數(shù)證明不等式，屬于難題;18、（1）79顆；（2）5.5秒.【解析】

（1）利用各小矩形的面積和為1可得，進而得到脈沖星自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數(shù)；（2）平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【詳解】（1）第一到第六組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，0.2，，0.05，其和為1所以，，所以，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有（顆）.（2）新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為（秒）.故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，涉及到平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.19、（1）；（2）2.【解析】

（1）利用的最小值為1，可得，，即可求橢圓的方程；（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得到關(guān)于的一元二次方程，由直線與橢圓僅有一個公共點知，即可得到，的關(guān)系式，利用點到直線的距離公式即可得到，．當時，設直線的傾斜角為，則，即可得到四邊形面積的表達式，利用基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合當時，四邊形是矩形，即可得出的最大值．【詳解】（1）設，則，，，，由題意得，，橢圓的方程為；

（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得．

由直線與橢圓僅有一個公共點知，，化簡得：．

設，，當時，設直線的傾斜角為，則，，，，∴當時，，，．當時，四邊形是矩形，．

所以四邊形面積的最大值為2．【點睛】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎知識，考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．20、（1）；（2）；（3）利潤約為111.2萬元.【解析】

（1）首先列出基本事件，然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個月合格的概率；（2）首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值，然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程；（3）根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤.【詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個月份任意選取3個月份的基本事件有，，，，，，，，，，共計10個，故恰好有兩個月考核合格的概率為；（2），，，，故；（3）當千只，（十萬元）（萬元），故9月份的利潤約為111.2萬元.【點睛】本題主要考查了古典概型，線性回歸方程的求解和使用，屬于基礎題.21、證明見解析；.【解析】

推導出，，從而平面，由此證明平面平面以；以為原點，建立空間直角坐標系，利用法向量求出二面角的大小.【詳解】解：，，為的中點，四邊形為平行四邊形，.,，即.又平面平面，且平面平面，平面.平面，平面平面.，為的中點，.平面平面，且平面平面，平面.如圖，以為原點建立空間直角坐