2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第十章統(tǒng)計(jì)與概率隨機(jī)事件的概率與古典概型理

PAGEPAGE1隨機(jī)事務(wù)的概率與古典概型1．概率和頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，視察某一事務(wù)A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事務(wù)A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事務(wù)A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率．(2)對于給定的隨機(jī)事務(wù)A，由于事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A)．2．事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算定義符號表示包含關(guān)系若事務(wù)A發(fā)生，事務(wù)B肯定發(fā)生，則稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或稱事務(wù)A包含于事務(wù)B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?B，則稱事務(wù)A與事務(wù)B相等A＝B并事務(wù)(和事務(wù))若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事務(wù)A發(fā)生或事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))A∪B(或A＋B)交事務(wù)(積事務(wù))若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))A∩B(或AB)互斥事務(wù)A∩B為不行能事務(wù)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥A∩B＝?對立事務(wù)若A∩B為不行能事務(wù)，A∪B為必定事務(wù)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)A∩B＝?且P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝13.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必定事務(wù)的概率P(E)＝1.(3)不行能事務(wù)的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立事務(wù)的概率若事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)，則P(A)＝1－P(B)．4．古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型：(1)試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個(gè)；(2)每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．5．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù),基本領(lǐng)件的總數(shù)).概念方法微思索1．隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率與概率有何區(qū)分與聯(lián)系？提示隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機(jī)試驗(yàn)中，事務(wù)A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事務(wù)A發(fā)生的概率旁邊．2．隨機(jī)事務(wù)A，B互斥與對立有何區(qū)分與聯(lián)系？提示當(dāng)隨機(jī)事務(wù)A，B互斥時(shí)，不肯定對立；當(dāng)隨機(jī)事務(wù)A，B對立時(shí)，肯定互斥．也即兩事務(wù)互斥是對立的必要不充分條件．1．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】某群體中的成員只用現(xiàn)金支付，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，不用現(xiàn)金支付，是互斥事務(wù)，所以不用現(xiàn)金支付的概率為：．故選．2．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)為正方形的中心，在，，，，中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，中任取3點(diǎn)，共有種，即，，，，，，，，，十種，其中共線為，，和，，兩種，故取到的3點(diǎn)共線的概率為，故選．3．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，很多志愿者踴躍報(bào)名參與配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)料其次天的新訂單超過1600份的概率為0.05．志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使其次天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少須要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】其次天的新訂單超過1600份的概率為0.05，就按1600份計(jì)算，其次天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95就按1200份計(jì)算，因?yàn)楣究梢酝瓿膳湄?200份訂單，則至少須要志愿者為名，故選．4．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是A． B． C． D．【答案】D【解析】方法一：用捆綁法將兩女生捆綁在一起作為一個(gè)人排列，有種排法，再全部的4個(gè)人全排列有：種排法，利用古典概型求概率原理得：，方法二：假設(shè)兩位男同學(xué)為、，兩位女同學(xué)為、，全部的排列狀況有24種，如下：其中兩位女同學(xué)相鄰的狀況有12種，分別為、、、、、、、、、、、，故兩位女同學(xué)相鄰的概率是：，故選．5．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）生物試驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測量過某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：由題意，可知：依據(jù)組合的概念，可知：從這5只兔子中隨機(jī)取出3只的全部狀況數(shù)為，恰有2只測量過該指標(biāo)的全部狀況數(shù)為．．法二：設(shè)其中做過測試的3只兔子為，，，剩余的2只為，，則從這5只中任取3只的全部取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，種，其中恰好有兩只做過測試的取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，種，故恰有兩只做過測試的概率為．故選．6．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變更．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是A． B． C． D．【答案】A【解析】在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，基本領(lǐng)件總數(shù)，該重卦恰有3個(gè)陽爻包含的基本個(gè)數(shù)，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率．故選．7．（2024?全國）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在兩端的概率A． B． C． D．【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁、戊站成一排，基本領(lǐng)件總數(shù)，甲不在兩端包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，甲不在兩端的概率．故選．8．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參與社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【答案】D【解析】（適合理科生）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參與社區(qū)服務(wù)，共有種，其中全是女生的有種，故選中的2人都是女同學(xué)的概率，（適合文科生），設(shè)2名男生為，，3名女生為，，，則任選2人的種數(shù)為，，，，，，，，，共10種，其中全是女生為，，共3種，故選中的2人都是女同學(xué)的概率，故選．9．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．【答案】C【解析】在不超過30的素?cái)?shù)中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個(gè)，從中選2個(gè)不同的數(shù)有種，和等于30的有，，，共3種，則對應(yīng)的概率，故選．10．（2024?天津）有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色調(diào)筆的概率為A． B． C． D．【答案】C【解析】有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫，從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，基本領(lǐng)件總數(shù)，取出的2支彩筆中含有紅色調(diào)筆包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，取出的2支彩筆中含有紅色調(diào)筆的概率為．故選．11．（2024?山東）從分別標(biāo)有1，2，，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是A． B． C． D．【答案】C【解析】從分別標(biāo)有1，2，，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，共有種不同狀況，且這些狀況是等可能發(fā)生的，抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的狀況有種，故抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率，故選．12．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為A． B． C． D．【答案】D【解析】從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本領(lǐng)件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)包含的基本領(lǐng)件有：，，，，，，，，，，共有個(gè)基本領(lǐng)件，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率．故選．13．（2024?天津）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為___________；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為___________．【答案】，【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和，則，甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為，故答案為：，．14．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）我國高鐵發(fā)展快速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為___________．【答案】0.98【解析】經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為：．故答案為：0.98．15．（2024?江蘇）將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次，視察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是___________．【答案】【解析】一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次，可得基本領(lǐng)件的總數(shù)為種，而點(diǎn)數(shù)和為5的事務(wù)為，，，，共4種，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率為．故答案為：．16．（2024?全國）若5個(gè)男生和2個(gè)女生隨機(jī)排成一行，則兩端都是女生的概率為___________【答案】【解析】5個(gè)男生和2個(gè)女生隨機(jī)排成一行，總共有種排法；兩端都是女生的排法有：種；由古典概型可得兩端都是女生的概率為：；故答案為：．17．（2024?上海）某三位數(shù)密碼，每位數(shù)字可在這10個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，則該三位數(shù)密碼中，恰有兩位數(shù)字相同的概率是___________．【答案】【解析】方法一、（干脆法）某三位數(shù)密碼鎖，每位數(shù)字在數(shù)字中選取，總的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為1000，其中恰有兩位數(shù)字相同的個(gè)數(shù)為，則其中恰有兩位數(shù)字相同的概率是；方法二、（解除法）某三位數(shù)密碼鎖，每位數(shù)字在數(shù)字中選取，總的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為1000，其中三位數(shù)字均不同和全相同的個(gè)數(shù)為，可得其中恰有兩位數(shù)字相同的概率是．故答案為：．18．（2024?江蘇）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參與志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是___________．【答案】【解析】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參與志愿者服務(wù)，基本領(lǐng)件總數(shù)，選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)：，選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是．故答案為：．19．（2024?上海）有編號互不相同的五個(gè)砝碼，其中5克、3克、1克砝碼各一個(gè)，2克砝碼兩個(gè)，從中隨機(jī)選取三個(gè)，則這三個(gè)砝碼的總質(zhì)量為9克的概率是___________（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）．【答案】【解析】編號互不相同的五個(gè)砝碼，其中5克、3克、1克砝碼各一個(gè)，2克砝碼兩個(gè)，從中隨機(jī)選取三個(gè)，3個(gè)數(shù)中含有1個(gè)2；2個(gè)2，沒有2，3種狀況，全部的事務(wù)總數(shù)為：，這三個(gè)砝碼的總質(zhì)量為9克的事務(wù)只有：5，3，1或5，2，2兩個(gè)，所以：這三個(gè)砝碼的總質(zhì)量為9克的概率是：，故答案為：．20．（2024?江蘇）某愛好小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參與活動，則恰好選中2名女生的概率為___________．【答案】0.3【解析】（適合理科生）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參與社區(qū)服務(wù)，共有種，其中全是女生的有種，故選中的2人都是女同學(xué)的概率，（適合文科生），設(shè)2名男生為，，3名女生為，，，則任選2人的種數(shù)為，，，，，，，，，共10種，其中全是女生為，，共3種，故選中的2人都是女同學(xué)的概率，故答案為：0.3．21．（2024?上海）已知四個(gè)函數(shù)：①，②，③，④，從中任選2個(gè)，則事務(wù)“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為___________．【答案】【解析】給出四個(gè)函數(shù)：①，②，③，④，從四個(gè)函數(shù)中任選2個(gè)，基本領(lǐng)件總數(shù)，③④有兩個(gè)公共點(diǎn)，．事務(wù)：“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”包含的基本領(lǐng)件有：①③，①④共2個(gè)，事務(wù)：“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為（A）．故答案為：．22．（2024?北京）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動方案；方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡潔隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)全部學(xué)生對活動方案是否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為．假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為．試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）【解析】（Ⅰ）設(shè)“該校男生支持方案一”為事務(wù)，“該校女生支持方案一”為事務(wù)，則；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，設(shè)“這3人中恰有2人支持方案一”為事務(wù)，則；（Ⅲ）．23．（2024?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)集，，，，，，，，，，，，．令．從集合中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量表示它們之間的距離．（1）當(dāng)時(shí)，求的概率分布；（2）對給定的正整數(shù)，求概率（用表示）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，的全部可能取值為1，，2，，的概率分布為；；；；（2）設(shè)和是從中取出的兩個(gè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以只需考慮的狀況，①若，則，不存在的取法；②若，，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)．或，，有兩種狀況；③若，，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)．或，，有兩種狀況；④若，，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)．或，，有兩種狀況；綜上可得當(dāng)，的全部值是或，且，，可得．24．（2024?天津）2024年，我國施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除方法，涉及子女教化、接著教化、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受狀況．（Ⅰ）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為，，，，，．享受狀況如表，其中“〇”表示享受，“”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪．子女教化〇〇〇〇接著教化〇〇〇大病醫(yī)療〇住房貸款利息〇〇〇〇住房租金〇贍養(yǎng)老人〇〇〇試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；設(shè)為事務(wù)“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事務(wù)發(fā)生的概率．【解析】（Ⅰ）由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為，由于采納分層抽樣從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人；（Ⅱ）從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的全部可能結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15種；由表格知，符合題意的全部可能結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11種，所以，事務(wù)發(fā)生的概率．25．（2024?天津）已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻(xiàn)愛心活動．（Ⅰ）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？（Ⅱ）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用，，，，，，表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作．試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；設(shè)為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事務(wù)發(fā)生的概率．【解析】（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三個(gè)年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級的學(xué)生志情愿者中分別抽取得3人，2人，2人．（Ⅱ）從抽取的7名同學(xué)中抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21個(gè)．設(shè)抽取的7名學(xué)生中，來自甲年級的是，，，來自乙年級的是，，來自丙年級的是，，為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，則事務(wù)包含的基本領(lǐng)件有：，，，，，，，，，，共5個(gè)基本領(lǐng)件，事務(wù)發(fā)生的概率．26．（2024?北京）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（Ⅱ）隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評的概率；（Ⅲ）電影公司為增加投資回報(bào)，擬變更投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變更．假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變更，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率削減0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論）【解析】（Ⅰ）總的電影部數(shù)為部，獲得好評的第四類電影，故從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（Ⅱ）獲得好評的電影部數(shù)為，估計(jì)這部電影沒有獲得好評的概率為，（Ⅲ）故只要第五類電影的好評率增加0.1，其次類電影的好評率削減0.1，則使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大．27．（2024?全國）袋中有個(gè)白球和個(gè)黑球，．（1）若，，一次隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求兩個(gè)球顏色相同的概率；（2）有放回地抽取兩次，每次隨機(jī)抽取一個(gè)球，若兩次取出的球的顏色相同的概率為，求．【解析】（1）記“一次隨機(jī)抽取兩個(gè)球，兩個(gè)球顏色相同”為事務(wù)，則；（2）記“有放回地抽取兩次，每次隨機(jī)抽取一個(gè)球，若兩次取出的球的顏色相同”為事務(wù)，則兩次取出的顏色都是白色的概率為，則兩次取出的顏色都是黑色的概率為，由題意，，化簡得，即，解得或，由，故．28．（2024?山東）某旅游愛好者安排從3個(gè)亞洲國家，，和3個(gè)歐洲國家，，中選擇2個(gè)國家去旅游．（Ⅰ）若從這6個(gè)國家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率；（Ⅱ）若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國家包括但不包括的概率．【解析】（Ⅰ）某旅游愛好者安排從3個(gè)亞洲國家，，和3個(gè)歐洲國家，，中選擇2個(gè)國家去旅游．從這6個(gè)國家中任選2個(gè)，基本領(lǐng)件總數(shù)，這2個(gè)國家都是亞洲國家包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率．（Ⅱ）從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為9個(gè)，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，這2個(gè)國家包括但不包括包含的基本領(lǐng)件有：，，，，共2個(gè)，這2個(gè)國家包括但不包括的概率．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?襄城區(qū)校級四模）排球競賽的規(guī)則是5局3勝制局競賽中，優(yōu)先取得3局成功的一方，獲得最終成功，無平局），在某次排球競賽中，甲隊(duì)在每局競賽中獲勝的概率都相等，均為，前2局中乙隊(duì)以領(lǐng)先，則最終乙隊(duì)獲勝的概率是A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：依據(jù)題意，前2局中乙隊(duì)以領(lǐng)先，則最終乙隊(duì)獲勝，有3種狀況，第三局乙隊(duì)獲勝，其概率為，第三局甲隊(duì)獲勝，第四局乙隊(duì)獲勝，其概率為，第三、四局甲隊(duì)獲勝，第五局乙隊(duì)獲勝，其概率為，則最終乙隊(duì)獲勝的概率；法二：依據(jù)題意，前2局中乙隊(duì)以領(lǐng)先，若最終甲隊(duì)獲勝，甲隊(duì)須要連勝三局，則甲隊(duì)獲勝的概率，則最終乙隊(duì)獲勝的概率；故選．2．（2024?九江二模）算盤是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位檔撥上一顆上珠和一顆下珠，個(gè)位檔撥上一顆上珠，則表示數(shù)字65．若在個(gè)、十、百、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥一顆上珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字大于200的概率為A． B． C． D．【答案】D【解析】在個(gè)、十、百、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥一顆上珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆下珠，依題意得所撥數(shù)字共有，所撥數(shù)字大于200包含兩種狀況：①上珠撥的是千位檔或百位檔，有種，②上珠撥的是個(gè)位檔或十位檔，則有種，所撥數(shù)字大于200包含的基本領(lǐng)件有種，則所撥數(shù)字大于200的概率為．故選．3．（2024?衡陽一模）我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)探討成果，《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》等10部專著是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這10部專著中有5部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”課外閱讀教材則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期的專著的概率為A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期的專著為事務(wù)，，所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期的專著的概率為：（A）．故選．4．（2024?丹東模擬）一個(gè)口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.95【答案】B【解析】依據(jù)題意可知，從中摸出1個(gè)球，摸出黑球與摸出紅色和白色是互斥事務(wù)，故其概率．故選．5．（2024?駐馬店模擬）書架上有兩套我國四大名著，現(xiàn)從中取出兩本．設(shè)事務(wù)表示“兩本都是《紅樓夢》”；事務(wù)表示“一本是《西游記》，一本是《水滸傳》”；事務(wù)表示“取出的兩本中至少有一本《紅樓夢》”．下列結(jié)論正確的是A．與是互斥事務(wù) B．與是互斥事務(wù) C．與是對立事務(wù) D．，，兩兩互斥【答案】B【解析】書架上有兩套我國四大名著，現(xiàn)從中取出兩本．設(shè)事務(wù)表示“兩本都是《紅樓夢》”；事務(wù)表示“一本是《西游記》，一本是《水滸傳》”；事務(wù)表示“取出的兩本中至少有一本《紅樓夢》”．在中，與是既不是對立也不是互斥事務(wù)，故錯(cuò)誤；在中，與是互斥事務(wù)，故正確；在中，與是互斥事務(wù)，故錯(cuò)誤．在中，與是既不是對立也不是互斥事務(wù)，故錯(cuò)誤．故選．6．（2024?西安二模）2024年某省新高考將實(shí)行“”模式，即語文、數(shù)學(xué)、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．某同學(xué)已選了物理，記事務(wù)：“他選擇政治和地理”，事務(wù)：“他選擇化學(xué)和地理”，則事務(wù)與事務(wù)A．是互斥事務(wù)，不是對立事務(wù) B．是對立事務(wù)，不是互斥事務(wù) C．既是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù) D．既不是互斥事務(wù)也不是對立事務(wù)【答案】A【解析】2024年某省新高考將實(shí)行“”模式，即語文、數(shù)學(xué)、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．某同學(xué)已選了物理，記事務(wù)：“他選擇政治和地理”，事務(wù)：“他選擇化學(xué)和地理”，則事務(wù)與事務(wù)不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，故事務(wù)和是互斥事務(wù)，但不是對立事務(wù)，故正確．故選．7．（2024?遼寧一模）甲、乙兩位同學(xué)各拿出六張嬉戲牌，用作投骰子的獎(jiǎng)品，兩人商定：骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)時(shí)甲得1分，否則乙得1分，先積得3分者獲勝得全部12張嬉戲牌，并結(jié)束嬉戲．競賽起先后，甲積2分，乙積1分，這時(shí)因意外事務(wù)中斷嬉戲，以后他們不想再接著這場嬉戲，下面對這12張嬉戲牌的分協(xié)作理的是A．甲得9張，乙得3張 B．甲得6張，乙得6張 C．甲得8張，乙得4張 D．甲得10張，乙得2張【答案】A【解析】由題意，為了決出輸贏，最多再賽兩局，用“甲”表示甲勝，用“乙”表示乙勝，于是這兩局有四種可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲獲勝有3種，而乙只有1種，所以甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是．所以甲得到的嬉戲牌為，乙得到嬉戲牌為；當(dāng)甲得3分時(shí)獲得12張嬉戲牌，當(dāng)甲得1分時(shí)獲得3張牌，當(dāng)甲得2分時(shí)獲得9張牌，故選．8．（2024?江門模擬）一袋中有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各一個(gè)，每次從中取出一個(gè)，登記顏色后放回，當(dāng)三種顏色的球全部取出時(shí)停止取球，則恰好取5次球時(shí)停止取球的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】分兩種狀況3，1，1及2，2，1這兩種狀況是互斥的，下面計(jì)算每一種狀況的概率，當(dāng)取球的個(gè)數(shù)是3，1，1時(shí)，試驗(yàn)發(fā)生包含的事務(wù)是，滿意條件的事務(wù)數(shù)是這種結(jié)果發(fā)生的概率是同理求得其次種結(jié)果的概率是依據(jù)互斥事務(wù)的概率公式得到故選．9．（2024?鏡湖區(qū)校級模擬）從集合，4，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，從集合，3，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則向量與向量垂直的概率為A． B． C． D．【答案】A【解析】從集合，4，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，從集合，3，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，可以組成向量的個(gè)數(shù)是（個(gè)；其中與向量垂直的向量是和，共2個(gè)；故所求的概率為．故選．10．（2024?Ⅱ卷模擬）《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變更．如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦《每一卦由三個(gè)爻組成，其中“─”表示一個(gè)陽爻，“”表示一個(gè)陰爻）．若從含有兩個(gè)及以上陽爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中都恰有兩個(gè)陽爻的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】含有兩個(gè)陽爻的卦有3個(gè)，含有三個(gè)陽爻的卦有1個(gè)，從含有兩個(gè)及以上陽爻的卦中任取兩卦，基本領(lǐng)件總數(shù)，這兩卦的六個(gè)爻中都恰有兩個(gè)陽爻包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，這兩卦的六個(gè)爻中都恰有兩個(gè)陽爻的概率為．故選．11．（2024?衡陽三模）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳聞中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)．如圖，若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中各隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，則選取的兩數(shù)之和能被5整除的概率A． B． C． D．【答案】C【解析】陰數(shù)為：2，4，6，8，陽數(shù)為：1，3，5，7，9，各選一個(gè)數(shù)，其和能被5整除的分別為：2，3；4，1；6，9；8，7．所以能被5整除的概率，故選．12．（2024?南充模擬）今年年初，新型冠狀病毒引發(fā)的疫情牽動著億萬人的心，八方馳援戰(zhàn)疫情，眾志成城克時(shí)難，社會各界支援湖北，共抗新型冠狀病毒肺炎．我市某醫(yī)院的甲、乙、丙三名醫(yī)生隨機(jī)分到湖北的，兩個(gè)城市支援，則每個(gè)城市至少有一名醫(yī)生的概率為A． B． C． D．【答案】A【解析】我市某醫(yī)院的甲、乙、丙三名醫(yī)生隨機(jī)分到湖北的，兩個(gè)城市支援，基本領(lǐng)件總數(shù)，每個(gè)城市至少有一名醫(yī)生包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，則每個(gè)城市至少有一名醫(yī)生的概率．故選．13．（2024?紅河州三模）整數(shù)集就像一片浩瀚無邊的海洋，充溢了無盡的奇妙．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)覺220和284具有如下性質(zhì)：220的全部真因數(shù)之和恰好等于284，同時(shí)284的全部真因數(shù)之和也等于220，他把具有這種性質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)叫做一對“親和數(shù)”，“親和數(shù)”的發(fā)覺吸引了古今中外多數(shù)數(shù)學(xué)愛好者的探討熱潮．已知220和284，1184和1210，2924和2620是3對“親和數(shù)”，把這六個(gè)數(shù)分別寫在完全相同的六張卡片上，從中隨意抽取兩張（不放回），則抽到的兩個(gè)數(shù)恰好是一對“親和數(shù)”的概率為A． B． C． D．【答案】A【解析】220和284，1184和1210，2924和2620是3對“親和數(shù)”，把這六個(gè)數(shù)分別寫在完全相同的六張卡片上，從中隨意抽取兩張（不放回），基本領(lǐng)件總數(shù)，抽到的兩個(gè)數(shù)恰好是一對“親和數(shù)”包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，則抽到的兩個(gè)數(shù)恰好是一對“親和數(shù)”的概率．故選．14．（2024?河南模擬）2024年9月8日，中華人民共和國第十一屆少數(shù)民族體育運(yùn)動會在河南鄭州開幕，現(xiàn)從我省曾獲得乒乓球獎(jiǎng)牌的2男1女三名運(yùn)動員與獲得跳遠(yuǎn)獎(jiǎng)牌的1男2女三名遠(yuǎn)動員中各選1人作為運(yùn)動會的火炬手，則選出的2名運(yùn)動員性別恰好相同的概率是A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)獲得乒乓球獎(jiǎng)牌的三名候選人為，，，獲得跳遠(yuǎn)獎(jiǎng)牌的三名候選人為，，，由題意，各選1名同學(xué)的基本領(lǐng)件有，，，，，，，，，共9種；設(shè)“2名同學(xué)性別相同”為事務(wù)，則事務(wù)包含4個(gè)基本領(lǐng)件，概率（E），所以選出的2名同學(xué)性別相同的概率是，故選．15．（2024?黃州區(qū)校級三模）2024年初，湖北成為全國新冠疫情最嚴(yán)峻的省份，面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，全國人民心系湖北，志愿者紛紛馳援．現(xiàn)有四名志愿者醫(yī)生被安排到、、三所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，若每所醫(yī)院至少安排一名醫(yī)生，則醫(yī)生甲恰好安排到醫(yī)院的概率為A． B． C． D．【答案】D【解析】基本領(lǐng)件總數(shù)，醫(yī)生甲恰好安排到到醫(yī)院包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，所以醫(yī)生甲恰好安排到醫(yī)院的概率為，故選．16．（2024?衡水模擬）在2024年初抗擊新冠肺炎疫情期間，某醫(yī)院派出了3名醫(yī)生和包括甲，乙、丙在內(nèi)的6名護(hù)士前往武漢參與救治工作．現(xiàn)從這9人中隨意抽取1名醫(yī)生、3名護(hù)士組成一個(gè)應(yīng)急小組，則甲，乙、丙這3名護(hù)士至少選中2人的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】從這9人中隨意抽取1名醫(yī)生、3名護(hù)士組成一個(gè)應(yīng)急小組，有種選法，甲，乙、丙這3名護(hù)士至少選中2人，有種選法，所求概率為，故選．17．（2024?青羊區(qū)校級模擬）從2名男生和3名女生中任選三人參與競賽，選中1名男生和2名女生的概率為A． B． C． D．【答案】C【解析】記2名男生為，，3名女生為，，，全部的結(jié)果為：，，，，，，，，，，一共有10種狀況，符合條件的有：，，，，，，共6種狀況，所以概率為，故選．18．（2024?武昌區(qū)校級模擬）2024年湖北抗擊新冠肺炎期間，全國各地醫(yī)護(hù)人員主動請纓，支援湖北．某地有3名醫(yī)生，6名護(hù)士來到武漢，他們被隨機(jī)分到3家醫(yī)院，每家醫(yī)院1名醫(yī)生、2名護(hù)士，則醫(yī)生甲和護(hù)士乙分到同一家醫(yī)院的概率為A． B． C． D．【答案】D【解析】某地有3名醫(yī)生，6名護(hù)士來到武漢，他們被隨機(jī)分到3家醫(yī)院，每家醫(yī)院1名醫(yī)生、2名護(hù)士，基本領(lǐng)件總數(shù)，醫(yī)生甲和護(hù)士乙分到同一家醫(yī)院包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，則醫(yī)生甲和護(hù)士乙分到同一家醫(yī)院的概率為．故選．19．（2024?黃州區(qū)校級二模）甲乙兩運(yùn)動員進(jìn)行乒乓球競賽，采納7局4勝制．在一局競賽中，先得11分的運(yùn)動員為勝方，但打到10平以后，先多得2分者為勝方．在10平后，雙方實(shí)行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個(gè)球．若在某局競賽中，甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立在某局雙方平后，甲先發(fā)球，則甲以贏下此局的概率為A． B． C． D．【答案】C【解析】在比分為后甲先發(fā)球的狀況下，甲以贏下此局分兩種狀況：①后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為；②后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為，所以，所求事務(wù)概率為：，故選．20．（2024?新鄉(xiāng)三模）連續(xù)擲三次骰子，先后得到的點(diǎn)數(shù)分別為，，，那么點(diǎn)，，到原點(diǎn)的距離不超過3的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】全部點(diǎn)，，的狀況共有種，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過3，即，，滿意，滿意條件的點(diǎn)有：，1，，，1，，，2，，，1，，，1，，，2，，共7個(gè)，故點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過3的概率為．故選．21．（2024?西安模擬）從、、2、3、5、9中任取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為、，則“”的概率為___________．【答案】【解析】從、、2、3、5、9中任取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為、，基本領(lǐng)件總數(shù)，當(dāng)時(shí)，可以從，中取兩個(gè)數(shù)，從2，3，5，9中取兩個(gè)數(shù)，包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)則“”的概率為．故答案為：．22．（2024?新鄉(xiāng)三模）某城市地鐵公司為激勵(lì)人們綠色出行，確定依據(jù)乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段實(shí)惠政策，不超過9站的地鐵票價(jià)如表：乘坐站數(shù)票價(jià)（元）234現(xiàn)有小華、小李兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自由每個(gè)站下地鐵的可能性是相同的．（1）若小華、小李兩人共付費(fèi)5元，則小華、小李下地鐵的方案共有多少種？（2）若小華