2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步13.3.2空間圖形的體積課時(shí)分層作業(yè)含解析蘇教版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(三十五)空間圖形的體積(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3cm、4cm、5cm，則長(zhǎng)方體的體積為()A．27cm3B．60cm3C．64cm3D．125cm3B[長(zhǎng)方體即為四棱柱，體積為底面積×高，3×4×5＝60cm3.]2．若球的過(guò)球心的圓面圓周長(zhǎng)是C，則這個(gè)球的表面積是()A．eq\f(C2,4π) B．eq\f(C2,2π)C．eq\f(C2,π) D．2πC2C[過(guò)球心的圓面圓的半徑長(zhǎng)就是球的半徑長(zhǎng)，設(shè)半徑為r，則2πr＝C，r＝eq\f(C,2π)，球的表面積為4πr2＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2π)))eq\s\up12(2)＝eq\f(C2,π).]3．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐D1-ADC的體積是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1A[三棱錐D1-ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).]4．已知三棱錐P-ABC中，PA＝eq\r(23)，AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，則此三棱錐的外接球的內(nèi)接正方體的體積為()A．16B．28C．64D．96C[已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，它的體對(duì)角線是其外接球的直徑，也是外接球的內(nèi)接正方體的體對(duì)角線．∵PA＝eq\r(23)，AB＝3，AC＝4，∴三棱錐外接球的直徑為eq\r(23＋9＋16)＝4eq\r(3)，∴外接球的內(nèi)接正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為4eq\r(3)，∴正方體的棱長(zhǎng)為4，∴正方體的體積為64，故選C．]5．長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為5eq\r(2)，若長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是()A．20eq\r(2)π B．25eq\r(2)πC．50π D．200πC[∵對(duì)角線長(zhǎng)為5eq\r(2)，∴2R＝5eq\r(2)，S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝50π.]二、填空題6．將一銅球放入底面半徑為16cm的圓柱形玻璃容器中，水面上升了9cm，則這個(gè)銅球的半徑為_(kāi)_______cm.12[設(shè)銅球的半徑為Rcm，則有eq\f(4,3)πR3＝π×162×9，解得R＝12.]7．一個(gè)六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．12[設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′.由題意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴S側(cè)＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12.]8．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個(gè)，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_(kāi)_______．eq\r(7)[設(shè)新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq\f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7，∴r＝eq\r(7).]三、解答題9．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，假如AB＝AC＝eq\r(13)，BB1＝BC＝6，E，F(xiàn)為側(cè)棱AA1上的兩點(diǎn)，且EF＝3，求多面體BB1C1CEF的體積．[解]在△ABC中，BC邊上的高h(yuǎn)＝eq\r(\r(13)2－32)＝2，V柱＝eq\f(1,2)BC·h·BB1＝eq\f(1,2)×6×2×6＝36，∴VE-ABC＋Veq\s\do6(F-A1B1C1)＝eq\f(1,6)V柱＝6，故Veq\s\do6(BB1C1CEF)＝36－6＝30.10．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距離d.[解]在三棱錐A1-ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵Veq\s\do6(A1-ABD)＝Veq\s\do6(A-A1BD)，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a×d.∴d＝eq\f(\r(3),3)a.1．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為()A．1B．eq\f(3,2)C．3D．eq\f(\r(3),2)A[在正△ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，Seq\s\do6(△DB1C1)＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD?平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A－B1DC1底面上的高．∴Veq\s\do6(三棱錐A-B1DC1)＝eq\f(1,3)Seq\s\do6(△DB1C1)·AD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.]2．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為eq\r(5).若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi)_______．eq\f(π,4)[由題可得，四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則圓柱底面的半徑為eq\f(1,2)，易知四棱錐的高為eq\r(5－1)＝2，故圓柱的高為1，所以該圓柱的體積為π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(π,4).]3．(一題兩空)如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為驕傲的發(fā)覺(jué)．我們來(lái)重溫這個(gè)宏大發(fā)覺(jué)，圓柱的體積與球的體積之比為_(kāi)_______，圓柱的表面積與球的表面積之比為_(kāi)_______．eq\f(3,2)eq\f(3,2)[由題意，圓柱底面半徑r＝球的半徑R，圓柱的高h(yuǎn)＝2R，則V球＝eq\f(4,3)πR3，V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.∴eq\f(V柱,V球)＝eq\f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，∴eq\f(S柱,S球)＝eq\f(6πR2,4πR2)＝eq\f(3,2).]4．若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為_(kāi)_______．4πRr[法一：如圖，作DE⊥BC于點(diǎn)E.設(shè)球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr)，故球的表面積為S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.法二：如圖，設(shè)球心為O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高．由相像三角形的性質(zhì)得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的表面積為S球＝4πRr.]5．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由)；(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值．[解](1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示．(2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM