2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)3.3指數(shù)函數(shù)學(xué)案含解析北師大版必修1

PAGE§3指數(shù)函數(shù)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的定義[填一填]函數(shù)y＝ax叫作指數(shù)函數(shù)，其中a>0且a≠1，定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0，＋∞)．[答一答]1．指數(shù)函數(shù)定義中為什么規(guī)定a>0且a≠1?提示：學(xué)問(wèn)點(diǎn)二.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)[填一填]1．指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)2.y＝ax與y＝(eq\f(1,a))x的關(guān)系一般地，當(dāng)函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝(eq\f(1,a))x的自變量的取值互為相反數(shù)時(shí)，其函數(shù)值相等，這兩個(gè)函數(shù)的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的．3．函數(shù)y＝ax與y＝bx的特點(diǎn)(a>b>1)(1)當(dāng)x<0時(shí)，總有ax<bx<1.(2)都過(guò)點(diǎn)(0,1)．(3)當(dāng)x>0時(shí)，總有ax>bx>1.(4)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，當(dāng)x>0時(shí)，其函數(shù)值增長(zhǎng)得就越快．[答一答]2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)中底數(shù)a對(duì)函數(shù)圖像的改變有什么影響？提示：設(shè)a>b>1>c>d>0，則y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的圖像如圖所示，從圖中可以看出：在y軸右側(cè)，圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即無(wú)論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針?lè)较蜃兇螅蛘哒f(shuō)在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)的圖像，底數(shù)大的在上邊，也可以說(shuō)底數(shù)越大越靠近y軸．1．指數(shù)函數(shù)的形式特征(1)整體性：ax為一個(gè)整體，且前面系數(shù)為1.(2)獨(dú)立性：自變量x在冪指數(shù)的位置且為單個(gè)x.(3)限制性：底數(shù)a是滿意a>0且a≠1的常數(shù)．2．指數(shù)函數(shù)的圖像特點(diǎn)(1)a>1時(shí)，圖像像“一撇”，且在y軸右側(cè)a越大，圖像越靠近y軸(如圖1)．(2)0<a<1時(shí)，圖像像“一捺”，且在y軸左側(cè)a越小，圖像越靠近y軸(如圖2)．3．指數(shù)函數(shù)中函數(shù)值的“有界性”當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)，對(duì)于隨意x∈R，總有ax>0.類型一指數(shù)函數(shù)的概念【例1】函數(shù)y＝(a2－4a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，求a【思路探究】由題意知：①函數(shù)解析式中ax的系數(shù)為a2－4a＋3，②【解】因?yàn)閥＝(a2－4a＋3)axeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－4a＋3＝1，,a>0且a≠1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2±\r(2)，,a>0且a≠1，))∴a＝2±eq\r(2).(1)函數(shù)y＝(a2－3a＋3)axA．a(chǎn)＝1或a＝2 B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)>1，且a≠2解析：由指數(shù)函數(shù)的概念，得a2－3a＋3＝1，解得a＝1或a＝2.當(dāng)a＝1時(shí)，底數(shù)是1，不符合題意，舍去；當(dāng)a(2)下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是③.(填序號(hào))解析：①中指數(shù)式(eq\r(2))x的系數(shù)不為1，故不是指數(shù)函數(shù)；②中y＝2x－1＝eq\f(1,2)·2x，指數(shù)式2x的系數(shù)不為1，故不是指數(shù)函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)；④中底數(shù)為x，不滿意底數(shù)是唯一確定的值，故不是指數(shù)函數(shù)；⑤中指數(shù)不是x，故不是指數(shù)函數(shù)；⑥中指數(shù)為常數(shù)且底數(shù)不是唯一確定的值，故不是指數(shù)函數(shù)．故填③.類型二指數(shù)函數(shù)的定義域、值域【思路探究】先求定義域→分解原函數(shù)→考慮單調(diào)性→求出值域類型三指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律方法對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]，若f(t)為增函數(shù)，則y＝f[g(x)]單調(diào)性與g(x)相同；若f(t)為減函數(shù)，則y＝f[g(x)]單調(diào)性與g(x)相反，對(duì)于y＝f[g(x)]的值域求解事實(shí)上是以g(x)值域?yàn)閥＝f(t)的定義域來(lái)求解．解：(類型四利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小【例4】比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,1.250.2；(3)1.70.3,0.93.1.【思路探究】首先應(yīng)確定運(yùn)用哪類函數(shù)，然后由相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性推斷大?。舨荒芸醋魍缓瘮?shù)的兩個(gè)值，常用中間量“搭橋”．【解】(1)∵底數(shù)1.7>1，∴指數(shù)函數(shù)y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.(2)1.250.2＝0.8－0.2，∵0<0.8<1，∴指數(shù)函數(shù)y＝0.8x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．又∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2，即0.8－0.1<1.250.2.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得1.70.3>1.70＝1，0．93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.規(guī)律方法比較兩個(gè)數(shù)的大小常轉(zhuǎn)化為比較同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值的大?。畬?duì)于1.70.3與0.93.1，不能干脆看成某一個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，所以(3)題無(wú)法用(1)(2)兩題的方法來(lái)進(jìn)行比較．可在這兩個(gè)數(shù)值之間找到中間量1，使這兩個(gè)數(shù)值分別與1進(jìn)行比較，進(jìn)而得出1.70.3與0.93.1的大?。Ｓ玫闹虚g量有－1,0,1.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解答下列各題．(1)比較2.7a與2.7a(2)比較1.60.6與0.61.6的大小；(3)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))m>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n，比較m，n的大小．解：(1)考慮指數(shù)函數(shù)y＝2.7x，它在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù)．∵a<a＋1，∴2.7a<2.7a(2)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.60.6>1.60＝1,0.61.6<0.60＝1，∴1.60.6>0.61.6.(3)考察指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x，它在實(shí)數(shù)集R上是減函數(shù)．∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))m>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n，∴m<n.類型五指數(shù)函數(shù)圖像的變換【例5】畫(huà)出下列函數(shù)的圖像，并說(shuō)明它們是由函數(shù)y＝2x的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的．(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；(4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.【思路探究】可用描點(diǎn)法或圖像的變換規(guī)律作出函數(shù)的圖像，然后再指出兩個(gè)函數(shù)圖像的關(guān)系．由圖像的變換規(guī)律，可駕馭函數(shù)圖像的大致形態(tài)和快速作圖．【解】如圖所示：(1)y＝2x－1的圖像是由y＝2x的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的；(2)y＝2x＋1的圖像是由y＝2x的圖像向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的；(3)y＝2|x|的圖像是保留y＝2x的圖像中位于y軸及其右側(cè)的部分，去掉位于y軸左側(cè)的部分，再將右側(cè)部分以y軸為對(duì)稱軸翻折到左側(cè)而得到的；(4)y＝|2x－1|的圖像是由y＝2x的圖像向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，然后將其x軸下方的圖像對(duì)稱到x軸上方得到的；(5)y＝－2x的圖像與y＝2x的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；(6)y＝－2－x的圖像與y＝2x的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．規(guī)律方法(1)函數(shù)圖像的平移變換y＝f(x＋a)＋b與y＝f(x)是函數(shù)的平移變換；(2)函數(shù)圖像的對(duì)稱變換一般地，函數(shù)y＝f(x)的圖像與y＝f(－x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；與y＝－f(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；與y＝－f(－x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(3)函數(shù)圖像的翻折變換①y＝|f(x)|的圖像是保留y＝f(x)的圖像中位于x軸及其上方的部分，將y＝f(x)的圖像中位于x軸下方的部分以x軸為對(duì)稱軸翻折到x軸上方而得到的；②y＝f(|x|)是一個(gè)偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，y＝f(|x|)的圖像是保留y＝f(x)的圖像中位于y軸及其右側(cè)的部分，去掉位于y軸左側(cè)的部分，再將右側(cè)部分以y軸為對(duì)稱軸翻折到左側(cè)而得到的．函數(shù)y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，a≠1)的圖像可能是(D)解析：若a>1，則0<eq\f(1,a)<1，所以y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，a≠1)在R上是增函數(shù)，且圖像可以由y＝ax的圖像向下平移eq\f(1,a)個(gè)單位長(zhǎng)度得到，其中0<eq\f(1,a)<1，因此選項(xiàng)A，B解除；若0<a<1，則eq\f(1,a)>1，所以y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，a≠1)在R上是減函數(shù)，且圖像可以由y＝ax的圖像向下平移eq\f(1,a)個(gè)單位長(zhǎng)度得到，其中eq\f(1,a)>1，故解除C，選項(xiàng)D正確.——規(guī)范解答——指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用【例6】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,a2－1)(ax－a－x)(a>0且a≠1)．(1)推斷f(x)的奇偶性；(2)探討f(x)的單調(diào)性；(3)當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)≥b恒成立，求b的取值范圍．【審題】抓信息，找思路①審條件：一個(gè)解析式：函數(shù)f(x)的解析式已知，且含有參數(shù)a；一個(gè)范圍：第(3)問(wèn)中已知x∈[－1,1]．一種關(guān)系：第(3)問(wèn)中f(x)≥b恒成立．②建聯(lián)系：解決奇偶性以及單調(diào)性都須要從函數(shù)的解析式入手分析，將探討奇偶性和單調(diào)性的問(wèn)題與函數(shù)解析式聯(lián)系起來(lái)；求b的取值范圍就和求f(x)的最小值聯(lián)系起來(lái)．③找思路：探討函數(shù)問(wèn)題定義域不行忽視，依據(jù)函數(shù)解析式可得到函數(shù)的定義域，結(jié)合定義域?qū)で骹(x)與f(－x)的關(guān)系，可推斷奇偶性；利用函數(shù)單調(diào)性的定義可推斷函數(shù)的單調(diào)性；依據(jù)(2)中的單調(diào)性求出f(x)的最小值即可確定b的取值范圍．【點(diǎn)評(píng)】1.注意等式的變形方法和技巧等式的變形是數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程中常常運(yùn)用的手段，常用到的變形方法有分式的通分、因式分解、配方、分子分母有理化等，如本例利用提取公因式、通分等方法，使f(x2)－f(x1)變形為最終的結(jié)果．2．解決含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)要有分類探討的意識(shí)解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí)，特殊要重視對(duì)底數(shù)取值范圍的分類探討，如本例中由于a的范圍不確定而無(wú)法確定ax2與ax1的大小，故須要對(duì)a分0<a<1和a>1兩種狀況探討，從而確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝eq\f(b－2x,2x＋a)是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)用定義證明f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．解：(1)因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，得b＝1.又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.此時(shí)f(x)＝eq\f(1－2x,2x＋1)，而f(－x)＝eq\f(1－2－x,2－x＋1)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，所以a＝b＝1.一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2x)的定義域?yàn)?C)A．(－∞，0) B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，＋∞)解析：要使函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2x)有意義，需滿意1－2x≥0，即2x≤20.∵指數(shù)函數(shù)y＝2x在R上是增函數(shù)，∴x≤0.故函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2x)的定義域?yàn)?－∞，0]．2．函數(shù)y＝ax＋2(a>0，且a≠1)的圖像經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是(D)A．(0,1) B．(2,1)C．(－2,0) D．(－2,1)解析：當(dāng)x＋2＝0，即x＝－2時(shí)，無(wú)論a取何值，必有ax＋2＝1，即y＝1.所以函數(shù)y＝ax＋2(a>0，且a≠1)的圖像經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是(－2,1)．二、填空題3．