2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.2等差數(shù)列第1課時等差數(shù)列的定義及通項公式練習(xí)新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1課時等差數(shù)列的定義及通項公式1.已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－5，則此數(shù)列是A.公差為3的等差數(shù)列 B.公差為－5的等差數(shù)列C.首項為3的等差數(shù)列 D.首項為－5的等差數(shù)列解析因為當(dāng)n≥2時，an－an－1＝3n－5－[3(n－1)－5]＝3，所以此數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列.故選A.答案A2.已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，則a，b的等差中項為A.eq\r(3) B.eq\r(2) C.eq\f(1,\r(3)) D.eq\f(1,\r(2))解析設(shè)a，b的等差中項為x，則有2x＝a＋b＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq\f(1,\r(3)－\r(2))＝(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(3)＋eq\r(2))＝2eq\r(3)，所以x＝eq\r(3)，故選A.答案A3.在等差數(shù)列{an}中，若a3＝2，a5＝8，則a9等于A.16 B.18解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a3＝2，a5＝8，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝2，,a1＋4d＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝3，))則a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.故選C.答案C4.已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，則m和nA.2 B.3解析依題意可得m＋2n＝8，2m＋n＝10，故3m＋3n＝18?m＋n＝6，故m和n的等差中項是3.答案B5.等差數(shù)列{an}中，a2＝－5，a6＝11，則公差d＝________.解析等差數(shù)列{an}中，a2＝－5，a6＝11，可得d＝eq\f(a6－a2,6－2)＝eq\f(11＋5,4)＝4.答案4[限時45分鐘；滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1.在等差數(shù)列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，則公差dA.－2 B.－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2) D.2解析由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝0，,a1＋6d－2a1－6d＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝－\f(1,2).))答案B2.在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝A.5 B.8解析由題意，得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.答案B3.在等差數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，則n是A.48 B.49 C.50 D.解析∵a2＋a5＝eq\f(2,3)＋5d＝4，∴d＝eq\f(2,3)，an＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝33，解得n＝50.答案C4.數(shù)列{an}中，a3＝2，a5＝1，假如數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))是等差數(shù)列，則a11＝A.0 B.eq\f(1,11) C.－eq\f(1,13) D.－eq\f(1,7)解析設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))的公差為d，則2d＝eq\f(1,a5＋1)－eq\f(1,a3＋1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，所以d＝eq\f(1,12)，則eq\f(1,a11＋1)＝eq\f(1,a3＋1)＋8d＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，所以a11＝0.答案A5.已知x≠y，且兩個數(shù)列x，a1，a2，…，am，y與x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2－b1)等于A.eq\f(m,n) B.eq\f(m＋1,n＋1) C.eq\f(n,m) D.eq\f(n＋1,m＋1)解析設(shè)這兩個等差數(shù)列公差分別是d1，d2，則a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一個數(shù)列共(m＋2)項，∴d1＝eq\f(y－x,m＋1)；其次個數(shù)列共(n＋2)項，∴d2＝eq\f(y－x,n＋1).這樣可求出eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(n＋1,m＋1).答案D6.(實力提升)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，則ap＋q為A.p＋q B.0C.－(p＋q) D.eq\f(p＋q,2)解析∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（p－1）d＝q，①,a1＋（q－1）d＝p.②))①－②，得(p－q)d＝q－p.∵p≠q，∴d＝－1.代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.答案B二、填空題(每小題5分，共15分)7.已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，則an＝________.解析因為n≥2時，an－an－1＝3，所以{an}是以a1＝3為首項，公差d＝3的等差數(shù)列.所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.答案3n8.已知{an}為等差數(shù)列，且a5－2a2＝1，a3＝－2，則公差d解析依據(jù)題意得：a5－2a2＝a1＋4d－2(a1＋d)＝－a1＋2d＝1，又a3＝a1＋2d＝－2，②由①②聯(lián)立得，d＝－eq\f(1,4).答案－eq\f(1,4)9.(實力提升)已知在等差數(shù)列{an}中，a2與a6的等差中項為5，a3與a7的等差中項為7，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.解析依題意得a2＋a6＝10，a3＋a7＝14，設(shè)首項為a1，公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＋a1＋5d＝10，,a1＋2d＋a1＋6d＝14，))解得a1＝－1，d＝2，故an＝2n－3.答案2n－3三、解答題(本大題共3小題，共35分)10.(11分)已知數(shù)列{an}滿意a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數(shù)列？說明理由.解析數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，理由如下：因為a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)(常數(shù)).所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)為首項，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列.11.(12分)已知等差數(shù)列{an}：3，7，11，15，….(1)135，4m＋19(m∈N*)是{an}中的項嗎？(2)若ap，aq(p，q∈N*)是數(shù)列{an}中的項，則2ap＋3aq是數(shù)列{an}中的項嗎？并說明你的理由.解析a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1)令an＝4n－1＝135，所以n＝34，所以135是數(shù)列{an}中的第34項.令an＝4n－1＝4m＋19，則n＝m＋5∈N*，所以4m＋19是{an}中的第m＋5項.(2)因為ap，aq是{an}中的項，所以ap＝4p－1，aq＝4q－1.所以2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，2p＋3q－1∈N*，所以2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1項.12.(12分)(實力提升)數(shù)列{an}滿意a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*).(1)當(dāng)a2＝－1時，求λ及a3的值；(2)是否存在λ的值，使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在求其通項公式；若不存在說明理由.解析(1)∵a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝eq\f(3,2