專題23 視圖與投影（4大考點(diǎn)）（原卷版）

第六部分圖形的變化

專題23視圖與投影

核心考點(diǎn)一投影的應(yīng)用

核心考點(diǎn)二三視圖的判斷

核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)三根據(jù)三視圖還原幾何體

及其相關(guān)計(jì)算

核心考點(diǎn)四立體圖形的展開與折疊

新題速遞

核心考點(diǎn)一投影的應(yīng)用

例1（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形紙板的一條對角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作

一個點(diǎn)）與這條對角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀

可以是（）

A．B．C．D．

例2（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的

點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OA,OB，此時各葉片影子在點(diǎn)M右

側(cè)成線段CD，測得MC8.5m,CD13m，垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2∶3，則點(diǎn)O，M之間

的距離等于___________米．轉(zhuǎn)動時，葉片外端離地面的最大高度等于___________米．

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例3（2020·四川攀枝花·中考真題）實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測量活動．有兩座垂直于水平地

面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線MN的距離皆為100cm．王詩嬑

觀測到高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已

知落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度i1:0.75，在不

計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：

（1）若王詩嬑的身高為150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長為多少cm？

（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi)．請直接回答這

個猜想是否正確？

（3）若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100cm，則高圓柱的高度為多少cm？

投影指的是用一組光線將物體的形狀投射到一個平面上去，稱為“投影”。在該平面上得到的圖像，

也稱為“投影”。投影可分為正投影和斜投影。正投影即是投射線的中心線垂直于投影的平面，其投射中心

線不垂直于投射平面的稱為斜投影。

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【變式1】（2022·廣東廣州·二模）當(dāng)下，戶外廣告已對我們的生活產(chǎn)生直接的影響．圖中的AD是安裝在廣

告架AB上的一塊廣告牌，AC和DE分別表示太陽光線．若某一時刻廣告牌AD在地面上的影長CE1m，

BD在地面上的影長BE3m，廣告牌的頂端A到地面的距離AB20m，則廣告牌AD的高為（）

2060

A．5mB．mC．15mD．m

37

【變式2】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考一模）如圖，某數(shù)學(xué)小組的同學(xué)為了測量直立在水平面上的旗桿AB的高度，

把標(biāo)桿CD直立在同一水平地面上，在某一時刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別為

BE5m,DF1.25m,已知B,E,D,F在同一直線上，ABBE,CDDF,CD2m,則AB________m．

【變式3】（2020·寧夏石嘴山·?？家荒＃┮阎喝鐖D，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB5m，

某一時刻，AB在陽光下的投影BC4m．

(1)請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影；

(2)在測量AB的投影長時，同時測出DE在陽光下的投影長為6m，請你計(jì)算DE的長

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核心考點(diǎn)二三視圖的判斷

例1（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）襄陽牛雜面因襄陽籍航天員聶海勝的一句“最想吃的還是我們襄陽

的牛雜面”火爆出圈，引發(fā)了全國人民的聚焦和關(guān)注．襄陽某品牌牛雜面的包裝盒及對應(yīng)的立體圖形如圖所

示，則該立體圖形的主視圖為（）

A．B．C．D．

例2（2020·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐的母線長為10，側(cè)面展開圖的面積為60，則圓錐主視

圖的面積為__________．

例3（山東淄博·中考真題）由一些相同的小正方體搭成的幾何體的左視圖和俯視圖如圖所示，請?jiān)诰W(wǎng)格

中涂出一種該幾何體的主視圖，且使該主視圖是軸對稱圖形．

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【三視圖的概念】能夠正確反映物體長、寬、高尺寸的正投影工程圖（主視圖，俯視圖，左視圖三個基本

視圖）為三視圖，這是工程界一種對物體幾何形狀約定俗成的抽象表達(dá)方式。

主視圖、俯視圖長對正。

主視圖、左視圖高平齊。

俯視圖、左視圖寬相等。

三視圖用文字描述了其中任意兩視圖之間的關(guān)系，其中主視圖和左視圖不能上下起伏，主視圖和俯視圖不

能左右搖擺。三視圖的投影規(guī)律是組合體的畫圖和閱讀三視圖必須遵循的最基本的投影規(guī)律。

【變式1】（2023·河南周口·一模）“石瓢”最早稱為“石鏡”，后來顧景舟引用“弱水三千，只取一瓢”，改稱“石

鏡”為“石瓢”，從此相沿均稱“石瓢”，如圖是一盞做工精湛的“景舟石瓢”，其俯視圖是（）

A．B．

C．D．

【變式2】（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖是由6個大小相同的小正方體拼成的幾何體，若去掉最左面的

小正方體，則視圖不發(fā)生改變的是________（填主視圖、左視圖或俯視圖）

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【變式3】（2022·山東青島·二模）如圖是由一些棱長均為1個單位長度的小正方體組合成的簡單幾何體．

(1)畫該幾何體的主視圖、左視圖：

(2)若給該幾何體露在外面的面（不含底圖）都噴上紅漆，則需要噴漆的面積是；

(3)如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變，則最多可以再添加塊

小正方體．

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核心考點(diǎn)三根據(jù)三視圖還原幾何體及其相關(guān)計(jì)算

例1（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的左視圖和俯視圖，

則所需的小正方體的個數(shù)最多是（）

A．7B．8C．9D．10

例2（2021·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側(cè)視圖）．已

知主視圖和左視圖是兩個全等的矩形．若主視圖的相鄰兩邊長分別為2和3，俯視圖是直徑等于2的圓，則

這個幾何體的體積為_______．

例3（2011·廣東廣州·中考真題）5個棱長為1的正方體組成如圖所示的幾何體．

(1)該幾何體的體積是____(立方單位)，表面積是____(平方單位)；

(2)畫出該幾何體的主視圖和左視圖．

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【變式1】（2023·河北邢臺·統(tǒng)考一模）某個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（）

A．B．C．D．

【變式2】（2022·云南德宏·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，圖形是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左

視圖也稱側(cè)視圖）．已知主視圖和左視圖是兩個全等的等腰三角形．若主視圖腰長為6，俯視圖是直徑等于

4的圓，則這個幾何體的體積為_____．

【變式3】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）一個幾何體的三種視圖如圖所示．

(1)這個幾何體的名稱是__________．

(2)求這個幾何體的體積．（結(jié)果保留）

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核心考點(diǎn)四立體圖形的展開與折疊

例1（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知骰子相對兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7，下列圖形為該骰子表面

展開圖的是（）

A．B．C．D．

例2（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖是一個正方體的展開圖，將它拼成正方體后，“神”字對面的字

是________．

例3（浙江杭州·中考真題）馬小虎準(zhǔn)備制作一個封閉的正方體盒子，他先用5個大小一樣的正方形制成

如下圖所示拼接圖形（實(shí)線部分），經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個面，請你在下圖中的拼接圖形上再接一個正方形，

使新拼接成的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個封閉的正方體盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形

用陰影表示）

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1．點(diǎn)線面三者之間的關(guān)系：面與面相交得到線，線與線相交得到點(diǎn)，即：點(diǎn)動成線，線動成面，面動

成體。

2．簡單幾何體的分類：柱體、錐體、臺體、球體。

棱柱：有兩個面互相平行而其余每相鄰兩個面的交線都互相平行的多面體。

圓柱：矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體。

棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形的多面體。

圓錐：直角三角形繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體。

棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐底面和截面之間的部分。

圓臺：直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體。球體：半圓繞它的直徑所

在的直線旋轉(zhuǎn)所得的幾何體。

3．柱分直棱柱和斜棱柱，側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱；側(cè)棱與底面不垂直的棱柱則稱為斜棱柱。

4．長方體和正方體都屬于直棱柱。5．棱柱的有關(guān)概念：

①棱：是棱柱中任何相鄰的兩個面的交線。②側(cè)棱：是棱柱中相鄰的兩個側(cè)面的交線。6．棱柱的有

關(guān)特性：

①棱柱上、下底面是相同的多邊形，側(cè)面是長方形。②棱柱的所有側(cè)棱長都相等。③側(cè)面數(shù)與底面

多邊形的邊數(shù)相等。

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【變式1】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，一個正方體骰子的六個面上分別標(biāo)有1至6共六個數(shù)字，且

相對面數(shù)字之和相同，將骰子按如圖所示方式放置并按箭頭方向無滑動翻轉(zhuǎn)后停止在M處，則停止后骰子

朝上面的數(shù)字為（）

A．3B．4C．5D．6

【變式2】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）如圖，把一個高9dm的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓

柱切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36dm2．原來這個圓

柱的體積是______dm3．

【變式3】（2020·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將立方體紙盒沿某些棱剪開，且使六個面連在一起，然后鋪平，

可以得到其表面展開圖的平面圖形．

（1）以下兩個方格中的陰影部分，能表示立方體表面展開圖的是＿＿＿＿；（填“A”或“B”）．

（2）在以下方格圖中，畫一個與（1）中呈現(xiàn)的陰影部分不相同的立方體表面展開圖；（用陰影表示）

（3）如圖中實(shí)線是立方體紙盒的剪裁線，請將其表面展開圖畫在右圖的方格圖中．（用陰影表示）

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【新題速遞】

1．（2023·浙江衢州·衢州巨化中學(xué)校考一模）5個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其主視圖是

（）

A．B．C．D．

2．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體是由四個小正方體組合而成的，它的主視圖是()

A．B．C．D．

3．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體，它的俯視圖是()

A．B．C．D．

4．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，圖1和圖2都是由3個相同的長方體組成的立體圖形，則下列關(guān)于它們

三視圖的說法中正確的是（）

A．圖1和圖2的左視圖相同B．圖1和圖2的主視圖相同

C．圖1和圖2的俯視圖相同D．圖1的俯視圖與圖2的左視圖相同

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22

5．（2021·山東德州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）圖2是圖1中長方體的三視圖，用S表示面積，S主=x+3x,S左=x+x,

則S俯（）

A．x23x2B．x22x1C．x24x3D．2x24x

6．（2022·陜西咸陽·校考一模）下面四個幾何體中，主視圖與俯視圖不同的共有()

A．1個B．2個C．3個D．4個

7．（2022·安徽滁州·?？家荒＃翘幱腥舾纱笮∠嗤男≌襟w堆成如圖所示的立體圖形，如果打算搬運(yùn)

其中部分小正方體(不考慮操作技術(shù)的限制)，但希望搬完后從正面、從上面、從右面用平行光線照射時，

在墻面及地面上的影子不變，求最多可以搬走小正方體．（）

A．27B．26C．25D．24

2

8．（2022·河北廊坊·統(tǒng)考二模）如圖2所示的是圖1中長方體的三視圖，若用S表示面積，S主x2x，

2

S左xx，則長方體的表面積為（）

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A．x23x2B．3x26x2

C．6x212x4D．6x6

9．（2022·廣東廣州·?？级＃┤鐖D是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)，則該幾何體的體積是________．（結(jié)

果保留）

10．（2022·河北·模擬預(yù)測）用小正方體搭一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，俯視圖中小正方

體中的字母表示在該位置小正方體的個數(shù)，則這個幾何體至少有_______個小正方體組成，至多又是______

個．

11．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開圖的半徑是______．

12．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）下圖是某圓錐的左視圖，其中AB20cm，AC40cm，則圓錐的側(cè)面積

為________cm2．

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13．（2021·安徽黃山·統(tǒng)考二模）如圖，某立體圖形的左、主視圖一樣，俯視圖為圓，根據(jù)圖標(biāo)長、高數(shù)據(jù)，

它的表面積為（允許帶表示）______________．

14．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體都是由棱長為1個單位的正方體擺成的，經(jīng)計(jì)算可得第

（1）個幾何體的表面積為6個平方單位，第（2）個幾何體的表面積為18個平方單位，第（3）個幾何體

的表面積是36個平方單位，…依次規(guī)律，則第（20）個幾何體的表面積是______個平方單位．

15．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學(xué)?？家荒＃┮阎硯缀误w的三視圖如圖，其中主視圖和左視圖都是腰

長為5，底邊長為4的等腰三角形，則該幾何體的側(cè)面展開圖的面積是____．（結(jié)果保留π）

16．（2023·山東泰安·?？家荒＃┬∶飨霚y量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上；如

圖，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米．已知斜坡的坡角為30°，同一時刻，一根長為1

米，垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為___．

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17．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）學(xué)校食堂廚房的桌子上整齊地?cái)[放著若干個相同規(guī)格的菜碟，每一

摞菜碟的高度與菜碟的個數(shù)的關(guān)系如表1所示．

菜碟的個數(shù)菜碟的高度（單位：cm）

13

23＋1.8

33＋3.6

43＋5.4

……

(1)把x個菜碟放成一摞時，請直接寫出這一摞菜碟的高度（用含x的式子表示）；

(2)如圖所示，是幾摞菜碟的三視圖，廚師想把它們整齊疊成一摞，求疊成一摞后的高度是多少．

18．（2023·陜西西安·校考三模）李明在參觀某工廠車床工作間時發(fā)現(xiàn)了一個工件，通過觀察并畫出了此工

件的三視圖，借助直尺測量了部分長度．如圖所示，該工件的體積是多少？

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19．（2023·陜西榆林·?？家荒＃┤鐖D①，大風(fēng)閣是西安漢城湖的標(biāo)志性建筑，取意于漢高祖劉邦的《大風(fēng)

歌》“大風(fēng)起兮云飛揚(yáng)，威加海內(nèi)兮歸故鄉(xiāng)，安得猛士兮守四方”的意境．小華和曉麗在一個陽光明媚的周末

去測量大風(fēng)閣的高度AB，如圖②，首先，在C處放置一面平面鏡，小華沿著BC的方向后退，到點(diǎn)E處恰

好在平面鏡中看到大風(fēng)閣頂端A的像，小華的眼睛到地面的距離DE1.5米，CE1.2米；然后，某一時刻

大風(fēng)閣在陽光下的影子頂端在M處，同時，曉麗測得小華身高的影長EG0.8米，小華的身高EF1.6米，

MC19.2米，已知ABBG，EFBG，點(diǎn)B、M、C、E、G在同一水平直線上，點(diǎn)E、D、F在一條直

線上，請你求出大風(fēng)閣的高度AB．（平面鏡大小、厚度忽略不計(jì)）

20．（2023·山東東營·?？家荒＃﹥蓷澗用駱侵g的距離CD45m，樓AC和BD均為11層，每層樓高為3m．上

午某時刻，太陽光線GB與水平面的夾角為30，此刻BD的影子會遮擋到樓AC的第幾層？（參考數(shù)據(jù)，

31.7，21.4）

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21．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)