專題24 圖形的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似（5大考點(diǎn)）（解析版）

第六部分圖形的變化

專題24圖形的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似

核心考點(diǎn)一軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形

核心考點(diǎn)二圖形的對(duì)稱（含折疊）及其相關(guān)計(jì)算

核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)三圖形的平移及其相關(guān)計(jì)算

核心考點(diǎn)四圖形的旋轉(zhuǎn)及其相關(guān)計(jì)算

核心考點(diǎn)五圖形的位似及其相關(guān)計(jì)算

新題速遞

核心考點(diǎn)一軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形

例1（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）在如圖所示的RtABC紙片中，ACB90，D是斜邊AB的中點(diǎn)，

把紙片沿著CD折疊，點(diǎn)B到點(diǎn)E的位置，連接AE．若AE∥DC，B，則EAC等于（）

1

A．B．90C．D．902

2

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知CD=BD=AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知

∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得出∠AED=∠EDC，根據(jù)等邊對(duì)等角即可求得

∠EAD的度數(shù)，最后EAC=∠EAD-∠CAD即可求出．

【詳解】∵D是斜邊AB的中點(diǎn)，△ABC為直角三角形，

第1頁共80頁.

∴CD=BD=AD，

∵△CDE由△CDB沿CD折疊得到，

∴△CDE≌△CDB，

則CD=BD=AD=ED，

∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=，

∴∠EDC=180°-2，

∵AE∥DC，

∴∠AED=∠EDC=180°-2，

∵ED=AD，

∴∠EAD=∠AED=180°-2，

∵∠B=，△ABC為直角三角形，

∴∠CAD=90°-，

∴EAC=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及

直角三角形兩個(gè)銳角互余，熟練地掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

例2（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）三個(gè)能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,3)，

則A點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．

【答案】3,3

【分析】如圖，延長正六邊形的邊BM與x軸交于點(diǎn)E，過A作ANx軸于N，連接AO，BO，證明

DBOE=DAON,可得A,O,B三點(diǎn)共線，可得A,B關(guān)于O對(duì)稱，從而可得答案．

【詳解】解：如圖，延長正六邊形的邊BM與x軸交于點(diǎn)E，過A作ANx軸于N，連接AO，BO，

第2頁共80頁.

三個(gè)正六邊形，O為原點(diǎn)，

\BM=MO=OH=AH,DBMO=DOHA=120°,

\VBMO≌VOHA,

\OB=OA,

1

MOE1209030,MBOMOB18012030,

2

\?BOE60靶,BEO=90,

同理：?AON120?30?30?60靶,OAN=90?60?30,

\DBOE=DAON,

A,O,B三點(diǎn)共線，

A,B關(guān)于O對(duì)稱，

\A(3,-3).

故答案為：3,3.

【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐

標(biāo)特點(diǎn)，正多邊形的性質(zhì)，熟練的應(yīng)用正多邊形的性質(zhì)解題是解本題的關(guān)鍵．

例3（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）圖①，圖②均是44的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．其

中點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上．請(qǐng)?jiān)诮o定的網(wǎng)格中按要求畫四邊形．

(1)在圖①中，找一格點(diǎn)D，使以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形；

第3頁共80頁.

(2)在圖②中，找一格點(diǎn)E，使以點(diǎn)A，B，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是中心對(duì)稱圖形．

【答案】(1)圖見解析

(2)圖見解析

【分析】（1）以AC所在直線為對(duì)稱軸，找出點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)即為點(diǎn)D，再順次連接點(diǎn)A,B,C,D即可得；

（2）根據(jù)點(diǎn)B平移至點(diǎn)A的方式，將點(diǎn)C進(jìn)行平移即可得點(diǎn)E，再順次連接點(diǎn)A,B,C,E即可得．

【詳解】（1）解：如圖①，四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形．

（2）解：先將點(diǎn)B向左平移2格，再向上平移1個(gè)可得到點(diǎn)A，

則將點(diǎn)C按照同樣的平移方式可得到點(diǎn)E，

如圖②，平行四邊形ABCE是中心對(duì)稱圖形．

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形、平移作圖，熟練掌握軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念

是解題關(guān)鍵．

軸對(duì)稱圖形是指一條軸線的兩邊完全對(duì)稱的圖形，形狀都完全對(duì)稱。

中心對(duì)稱：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個(gè)圖形重合，那么

就說明這兩個(gè)圖形的形狀關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后重合的兩個(gè)點(diǎn)叫

做對(duì)稱點(diǎn)。

中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，

那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心。

第4頁共80頁.

1

【變式1】（2022·四川綿陽·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx2與x軸，y軸分別交于

2

點(diǎn)M，點(diǎn)N，矩形ABCD的頂點(diǎn)A,D分別在x軸，y軸上，對(duì)角線BD∥x軸，已知A2,0，D0,4.現(xiàn)將

直線MN向上平移m個(gè)單位長度，使平移后的直線恰好平分矩形ABCD的面積，則m的值為（）

1715

A．B．8C．9D．

22

【答案】A

【分析】作BE⊥x軸于E，連接AC，交BD于點(diǎn)P，則P是BD的中點(diǎn)，根據(jù)矩形的中心對(duì)稱性可知當(dāng)經(jīng)過

點(diǎn)P時(shí)，平移后的直線恰好平分矩形ABCD的面積，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)和平移后的直線解析式，再求出平移

后的直線解析式與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而得到m的值．

【詳解】解：作BE⊥x軸于E，連接AC，交BD于點(diǎn)P，則P是BD的中點(diǎn)，

∵對(duì)角線BD∥x軸，A2,0,D0,4，

∴OA2,BEOD4，

∵BADAOD90，

∴ADODAODAOBAE90，

∴ADOBAE，

∵AODBEA90，

∴ADOBAE，

AEBEAE4

∴，即，

ODOA42

∴AE8，

∴OE8210，

∴B10,4，

∴P5,4，

第5頁共80頁.

1

當(dāng)x0時(shí)，yx22，

2

∴N0,2，

1

設(shè)平移后的直線為yxk，

2

∵當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，平移后的直線恰好平分矩形ABCD的面積，

1

∴45k，

2

13

解得k，

2

113

∴平移后的直線為y=-x+，

22

11313

當(dāng)x0時(shí)，yx，

222

1317

∴m2，

22

17

∴m的值為，

2

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與幾何變換，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似

三角形的判定和性質(zhì)，中心對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，明確直線經(jīng)過矩形對(duì)角線的交點(diǎn)時(shí)平分矩形的面積是解題

的關(guān)鍵．

【變式2】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(1,1)，

(3,0)，(2,1)，點(diǎn)M從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，第一次跳躍到點(diǎn)M1，使得點(diǎn)M1與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱；第

二次跳躍到點(diǎn)M2，使得點(diǎn)M2與點(diǎn)M1關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱；第三次跳躍到點(diǎn)M3，使得點(diǎn)M3與點(diǎn)M2關(guān)于

點(diǎn)C成中心對(duì)稱；第四次跳躍到點(diǎn)M4，使得點(diǎn)M4與點(diǎn)M3關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱；…，依此方式跳躍，點(diǎn)M2022

的坐標(biāo)是___．

第6頁共80頁.

【答案】（0，0）

【分析】畫出圖形，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．

【詳解】解：如圖，由題意，M1(2,2)，M2(4,2)，M3(0,0)，

發(fā)現(xiàn)3次一個(gè)循環(huán)，

∵20223674，

∴M2022的坐標(biāo)與M3的坐標(biāo)相同，即(0,0)，

故答案為：(0,0)．

【點(diǎn)睛】本題考查圖形規(guī)律及畫中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意提取出圖形規(guī)律．

【變式3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，拋物線L1：yax2bx6與x軸分別交于點(diǎn)

A3,0，點(diǎn)B2,0，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．

第7頁共80頁.

(1)求拋物線L1的表達(dá)式；

(2)若拋物線L2與拋物線L1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)P是第四象限拋物線L2上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PDy軸于點(diǎn)D，

連接PO．若AOC與POD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】(1)yx25x6

33

(2)(1,2)或(6,12)或(4,2)或(，)

24

【分析】（1）將A(3,0)，B(2,0)，代入yax2bx6，即可求解；

222

（2）先求出拋物線l2的解析式為yx5x6，設(shè)P(t,t5t6)，則PD|t|，DO|t5t6|，分兩種情

1|t|1|t25t6|

況討論：①當(dāng)PODACO時(shí)，，求出(1,2)或(6,12)；②當(dāng)OPDACO時(shí)，，

2|t25t6|2|t|

33

求出(4,2)或(，)．

24

【詳解】（1）解：將A(3,0)，B(2,0)代入yax2bx6中，

09a3b6a1

得，解得：，

04a2b6b5

∴拋物線L1的表達(dá)式為yx25x6；

2

251

（2）yx5x6x，

24

51

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，

24

5151

(，)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為(，)，

2424

2

512

拋物線l2的解析式為yxx5x6，

24

AO3，CO6，

第8頁共80頁.

1

tanACO，

2

PDy軸，

PDO90，

設(shè)P(t,t25t6)，

PD|t|，DO|t25t6|，

∵AOC與POD相似，

1|t|

①當(dāng)PODACO時(shí)，，

2|t25t6|

t1或t6，

P(1,2)或(6,12)；

1|t25t6|

②當(dāng)OPDACO時(shí)，，

2|t|

3

解得t4或t，

2

33

P(4,2)或(，)；

24

33

綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)或(6,12)或(4,2)或(，)．

24

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，

會(huì)求函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)二圖形的對(duì)稱（含折疊）及其相關(guān)計(jì)算

例1（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）下列圖形是黃金矩形的折疊過程：第一步，如圖（1），在一

第9頁共80頁.

張矩形紙片一端折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平；第二步，如圖（2），把正方形折成兩個(gè)相等的矩形再

把紙片展平；第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線AB，并把AB折到圖（3）中所示的AD處；第四步，如圖（4），

CDDEDEAC

展平紙片，折出矩形BCDE就是黃金矩形．則下列線段的比中：①，②，③，④，比值為

DEADNDAD

51的是（）

2

A．①②B．①③C．②④D．②③

【答案】B

【分析】設(shè)MN＝2，則AC＝1，求出AD＝AB＝5，BE＝CD＝51，分別求出比值，作出判斷．

【詳解】解：設(shè)MN＝2，

∴AC＝1，

在ABC中，AB＝AC2＋BC2＝12＋22＝5，

由折疊可知，AD＝AB＝5，

∴BE＝CD＝ADAC＝51，

又∵DE＝BC＝MN＝2，

CD51

∴，

DE2

DE225

，

AD55

第10頁共80頁.

DE2251

，，

NDNAAD512

AC15

，

AD55

∴比值為51的是①③，

2

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，黃金矩形的定義、勾股定理、翻折變換、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．

例2（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上，E、

F分別是邊AB、OA上的點(diǎn)，且∠ECF＝45°，將△ECF沿著CF翻折，點(diǎn)E落在x軸上的點(diǎn)D處．已知反

k1k2

比例函數(shù)y1＝和y2＝分別經(jīng)過點(diǎn)B、點(diǎn)E，若SCOD＝5，則k1﹣k2＝_____．

xx

△

【答案】10

【分析】作EH⊥y軸于點(diǎn)F，則四邊形BCHE、AEHO都為矩形，利用折疊的性質(zhì)得∠DCH＝∠BCE,

證明△BCE≌△OCD，則面積相等，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得k1﹣k2的值．

【詳解】解：作EH⊥y軸于點(diǎn)H，

則四邊形BCHE、AEHO都為矩形，

∵∠ECF=45°，△ECF翻折得到CDF,

第11頁共80頁.

∴∠BCE+∠OCF=45°，

∵∠DOC+∠OCF＝45°，

∴∠BCE＝∠OCD，

∵BC＝OC，∠B＝∠COD，

∴△BCE≌△OCD（ASA），

∴SBCE＝SCOD＝5，

△△

∴SCEH＝5，

△

S矩形BCHE＝10，

∴根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得：

k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10，

故答案為：10．

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性

質(zhì)，利用折疊和全等進(jìn)行轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．

例3（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC巾，ABC30，ABAC，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D

是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)O，C重合），將ACD沿AD折疊得到AED，連接BE．

(1)當(dāng)AEBC時(shí)，AEB___________；

(2)探究AEB與CAD之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)設(shè)AC4，ACD的面積為x，以AD為邊長的正方形的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

【答案】(1)60

(2)AEB30CAD

(3)y(23x)24

【分析】（1）首先由折疊的性質(zhì)可得ACAEAB，再由等腰三角形的性質(zhì)可求解；

第12頁共80頁.

（2）首先由折疊的性質(zhì)可得AEAC，CADEAD，再由等腰三角形的性質(zhì)可得ACAEAB，

ABEAEB，最后根據(jù)角度關(guān)系即可求解；

（3）首先由等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求AO的長，由勾股定理可求OD的長，最后根

據(jù)面積和差關(guān)系可求解．

【詳解】（1）ABC30，ABAC，AEBC，

BAE60，

將ACD沿AD折疊得到AED，

ACAE，

∴ABAE，

∴△ABE是等邊三角形，

AEB60，

故答案為：60；

（2）AEB30CAD，理由如下：

將ACD沿AD折疊得到AED，

AEAC，CADEAD，

ABC30，ABAC，

BAC120，

BAE1202CAD，

ABAEAC，

180(1202CAD)

AEB30CAD；

2

（3）如圖，連接OA，

ABAC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，

OABC，

ABCACB30，AC4，

AO2，OC23，

OD2AD2AO2，

ODy4，

11

SOCAOODOA，

ADC22

第13頁共80頁.

11

x2232y4，

22

y(23x)24．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握相關(guān)性質(zhì)并能夠靈活運(yùn)用．

【變式1】（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？寄M預(yù)測(cè)）點(diǎn)D是等邊三角形ABC的邊AB上的一點(diǎn)，且

5

AD1，BD2，現(xiàn)將ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC和BC上，若BF，

4

則CE的長為（）

57123

A．B．C．D．

3555

【答案】B

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可知ABC60，ABACBC3，進(jìn)而可求出

AEDADE120．由折疊的性質(zhì)可知EDFC60，即得出ADEBDF120，從而可得出

AEAD

AEDBDF，即證明AED∽BDF，得出，代入數(shù)據(jù)，即可求出AE的長，進(jìn)而即可求出CE

BDBF

的長．

【詳解】解：∵三角形ABC為等邊三角形，

∴ABC60，ABACBCADBD3，

∴AEDADE18060120．

第14頁共80頁.

由折疊的性質(zhì)可知EDFC60，

∴ADEBDF18060120，

∴AEDBDF，

∴AED∽BDF，

AE1

AEAD

∴，即25，

BDBF

4

8

解得：AE，

5

7

∴CEACAE．

5

故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)．熟練掌握三角形相似的判

定定理及其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

【變式2】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，已知正方形紙片ABCD的邊AB4，點(diǎn)P在AD邊上，將A

沿BP折疊，點(diǎn)A的應(yīng)點(diǎn)為A．

（1）若AD∥BP時(shí)，PA的長為___________；

（2）若點(diǎn)A到邊AD或BC的距離為1，則線段PA的長為_________．

44

【答案】27或15

75

【分析】（1）由折疊得APAP,APBAPB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到PADAPB，PDAAPB，

進(jìn)而推出APDP，即可得到答案；

（2）若AF1，則AE3，根據(jù)勾股定理求出BE，設(shè)PAy，Rt△AFP中，根據(jù)勾股定理得

24

7y12y2，求出y7；若AE1，根據(jù)勾股定理求出BE，設(shè)PAa，在Rt△AFP中，根據(jù)勾

7

24

股定理得15a32a2，求出a15．

5

【詳解】（1）由折疊得APAP,APBAPB，

∵AD∥BP，

第15頁共80頁.

∴PADAPB，PDAAPB，

∴PADPDA，

∴APDP，

11

∴APDPADAB2，

22

故答案為：2；

（2）如圖1，作AFAD交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，

若AF1，則AE3．

由折疊知AB4．在直角ABE中，BEAB2AE242327．

設(shè)PAy，則PF7y．

2

在Rt△AFP中，7y12y2，

4

解得y7，

7

4

即線段PA的長為7﹔

7

如圖2，若AE1，則AF3．

由折疊知AB4．

在RtABE中，BEAB2AE2421215．

設(shè)PAa，則PF15a．

2

在Rt△AFP中，15a32a2，

4

解得a15，

5

4

即線段PA的長為15．

5

第16頁共80頁.

44

綜上，線段PA的長為7或15，

75

44

故答案為：7或15．

75

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，

熟記正方形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式3】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形ABCD，點(diǎn)E是BC上的點(diǎn)，連接DE，將CDE沿

DE翻折，點(diǎn)C恰好落在AB邊上的F點(diǎn)上，連接DF，延長FE，交DC延長線于點(diǎn)G．

(1)求證：△DFG∽△FAD；

(2)若菱形ABCD的邊長為5，AF3，求BE的長．

【答案】(1)證明見解析

15

(2)BE

8

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)判斷出CD∥AB，ABCD，再由對(duì)稱得出BCD=DFG，得出ADFG，

即可得出結(jié)論；

105

（2）由翻折知，DC=DF=5，利用相似三角形的判定與性質(zhì)可得CG=DGDC=，CE=BE，最后

33

由線段的和差關(guān)系即可得出答案．

【詳解】（1））證明：∵四邊形是菱形，

ABCD，

由對(duì)稱知，DFGBCD，

ADFG，

∵四邊形ABCD是菱形，

AB∥CD，

AFD=FDG，

DFGFAD．

（2）解：由翻折知：DC=DF=5，

第17頁共80頁.

△DFG∽△FAD，

DGDFFGDG5FG

，即，

DFAFAD535

25

DGFG，

3

10

CGDGDC，

3

AB=5，AF3，

BF=2，

QCG∥BF，

△CGE∽△BFE，

10

CECG5

3

BEBF23

5

CEBE，

3

CEBE=BC=5，

8

BE5，

3

15

BE．

8

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)，證明DFGFAD是解決問題

的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)三圖形的平移及其相關(guān)計(jì)算

例1（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊ABC、等邊DEF的邊長分別為3和2．開始時(shí)點(diǎn)A

與點(diǎn)D重合，DE在AB上，DF在AC上，DEF沿AB向右平移，當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止．在此過程中，

設(shè)ABC、DEF重合部分的面積為y，DEF移動(dòng)的距離為x，則y與x的函數(shù)圖象大致為（）

第18頁共80頁.

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】當(dāng)DEF在ABC內(nèi)移動(dòng)時(shí)，ABC、DEF重合部分的面積不變，當(dāng)DEF移出ABC時(shí)，計(jì)算

323393

出SDBN，得到y(tǒng)xx，從而得到答案．

424

【詳解】如下圖所示，當(dāng)E和B重合時(shí)，AD=AB-DB=3-2=1，

∴當(dāng)DEF移動(dòng)的距離為0x1時(shí)，DEF在ABC內(nèi)，ySDEF，

當(dāng)E在B的右邊時(shí)，如下圖所示，設(shè)移動(dòng)過程中DF與CB交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N坐NM垂直于AE，垂足為M，

根據(jù)題意得AD=x，AB=3,

∴DB=AB-AD=3-x，

∵NDB60，NBD60，

∴NDB是等邊三角形，

第19頁共80頁.

∴DNDBNB3x，

∵NMDB，

1

∴DMMB3x，

2

∵NM2DM2DN2，

3

∴NM3x，

2

11332

∴SDBNM3x3x3x，

DBN2224

3233393

∴y3xx2x，

4424

∴當(dāng)1x3時(shí)，y是一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)，且開口向上，

3

∵當(dāng)0x1時(shí)，y223，當(dāng)x3時(shí)，y0，

4

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查圖形移動(dòng)、等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)的解析式是解

題的關(guān)鍵．

例2（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿其對(duì)角線AC平移，使A的對(duì)

1

應(yīng)點(diǎn)A′滿足AA′＝AC，則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是_____．

3

【答案】4

1

【分析】由正方形邊長為3，可求AC＝32，則AA′＝AC＝2，由平移可得重疊部分是正方形，根據(jù)正

3

方形的面積公式可求重疊部分面積．

【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為3，

∴AC＝32，

1

∴AA′＝AC＝2，

3

∴A′C＝22，

由題意可得重疊部分是正方形，

第20頁共80頁.

2

∴重疊部分的正方形的邊長為22=2，

2

∴S重疊部分＝4．

故答案為：4．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題．

例3（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在

平面直角坐標(biāo)系中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1,1，B2,5，C5,4．

(1)將ABC先向左平移6個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫

出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；

△

(2)畫出△A1B1C1繞點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到A2B2C1，并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)；

(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．

【答案】(1)見解析；A15,3

(2)見解析；A22,4

5

(3)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2所經(jīng)過的路徑長為π

12

【分析】（1）根據(jù)題目中的平移方式進(jìn)行平移，然后讀出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

（2）先找出旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2為弧長，利用勾股定理確定圓弧半徑，然后根據(jù)弧長公式求解即可．

第21頁共80頁.

【詳解】（1）解：如圖所示△A1B1C1即為所求，

A15,3；

（2）如圖所示△A2B2C2即為所求，A22,4；

（）∵22

3A1C1345

90π55

∴點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2所經(jīng)過的路徑長為π．

1802

【點(diǎn)睛】題目主要考查坐標(biāo)與圖形，圖形的平移，旋轉(zhuǎn)，勾股定理及弧長公式等，熟練掌握和靈活運(yùn)用這

些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

【變式1】（2023·河北衡水·校考二模）如圖，在ABC中，BC3，將ABC平移5個(gè)單位長度得到△A1B1C1，

PQ

點(diǎn)P，Q分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，的值不．可．以．是()

A．4B．5C．6D．7

【答案】D

【分析】取A1B1的中點(diǎn)M，連接PM，MQ，根據(jù)平移的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)得出

第22頁共80頁.

13

PM5，BCBC3，MQBC，然后利用三角形三邊關(guān)系得出PQ的取值范圍，然后作出判斷即

112112

可．

【詳解】解：如圖，取A1B1的中點(diǎn)M，連接PM，MQ，如圖所示：

∵將ABC平移5個(gè)單位長度得到△A1B1C1，

，

∴PM5BCB1C13，

∵點(diǎn)M是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是A1C1的中點(diǎn)，

13

MQBC，

2112

PMMQPQPMMQ，

33

即5PQ5，

22

713

即PQ，

22

713

∴PQ的取值范是PQ，

22

71371371313

∵4，5，6，7，

2222222

∴PQ的值不可能是7，故D正確．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查平移的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，三角形的中位線的性質(zhì)，掌握三角形三邊關(guān)系是解

題的關(guān)鍵．

【變式2】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長為3的線段CD（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)）

在x軸上移動(dòng)，點(diǎn)A0,2、B0,4是y軸上定點(diǎn)，連接AC、BD，則ACBD的最小值為________．

第23頁共80頁.

【答案】35

【分析】平移CD使點(diǎn)D落在點(diǎn)B處，連接BC，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，即BCBD，進(jìn)而得出B3,4，

再作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A，則A0,2，進(jìn)而得出ACBD的最小值為AB，即可求解答案．

【詳解】解：如圖，平移CD使點(diǎn)D落在點(diǎn)B處，連接BC，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，即BCBD，

∵CD3，B0,4，

∴點(diǎn)B3,4，

作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A，此時(shí)點(diǎn)A，C，B在同一條線上時(shí)，ACBD最小，

∵A0,2，

∴A0,2，

22

連接AB，則ACBD的最小值為AB34235，

故答案為：35．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了對(duì)稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，將ACBD的最小值轉(zhuǎn)化為AB是解本題的關(guān)鍵．

【變式3】（2021·江西宜春·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，4），BAx軸于

第24頁共80頁.

k

點(diǎn)A，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y(k0,x0)的圖象上，將△OAB沿x軸向右平移得到OAB，OB交反比例

x

k

函y于點(diǎn)C（3a，a）．

x

(1)求a的值；

(2)求△OAB沿x軸向右平移的距離．

【答案】(1)a2；

9

(2)OAB沿x軸向右平移的距離為個(gè)單位．

2

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B、C都在同一反比例函數(shù)圖象上，則3aa12，即可求解；

（2）由CDO∽BAO，可求出OD的長，即可根據(jù)OOODOD求得平移的距離．

（1）

k

解：點(diǎn)B(3,4)在反比例函數(shù)y(k0,x0)的圖象上，

x

k3412，

12

反比例函數(shù)為y(x0)，

x

12

點(diǎn)C(3a,a)在反比例函數(shù)y(x0)上，

x

3aa12，

解得：a2，

a0，

a2；

（2）

解：如圖，過點(diǎn)C作CDx軸于點(diǎn)D，

第25頁共80頁.

a2，

OD6，CD2，

OC6222210，

CDOBAO90，CODBOA，

CDO∽BAO，

CDBA24

，即，

ODOA6OO3

9

解得：OO，

2

9

OAB沿x軸向右平移的距離為個(gè)單位．

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形．

核心考點(diǎn)四圖形的旋轉(zhuǎn)及其相關(guān)計(jì)算

例1（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y3x3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸

交于點(diǎn)B，將AOB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖△AOB的位置，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A恰好落在直線AB上，連接BB，

則BB的長度為（）

第26頁共80頁.

333

A．B．3C．2D．

22

【答案】B

【分析】先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可求得OA、OB，進(jìn)而可求得∠OAB=60°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形

的判定與性質(zhì)證明AOA和△BOB為等邊三角形得到OBOB即可求解.

【詳解】解：對(duì)于y3x3，

當(dāng)x0時(shí)，y3，當(dāng)y0時(shí)，由03x3得：x1，

則A（1，0），B（0，3），

∴OA1，OB3，

OB

∴tanOAB3，則∠OAB=60°，

OA

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：OAOA，OBOB，AOABOB，

∴AOA是等邊三角形，

∴AOABOB60，又OBOB

∴△BOB是等邊三角形，

∴BBOB3，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角

形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，證得△BOB是等邊三角形是解答的關(guān)鍵．

例2（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x

軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是__________．

【答案】2

【分析】點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)所形成的圖象是一條直線，當(dāng)OF⊥F1F2時(shí)，垂線段OF最短，當(dāng)點(diǎn)F1在x軸上時(shí)，由勾

第27頁共80頁.

438343

股定理得：，進(jìn)而得，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,0，當(dāng)點(diǎn)在軸

P1OF1OP1AP1F1AF1F1F2y

333

上時(shí)，求得點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（0，-4），最后根據(jù)待定系數(shù)法，求得直線F1F2的解析式為y=3x-4，再由線

83

段中垂線性質(zhì)得出FFAF，在RtOF1F2中，設(shè)點(diǎn)O到F1F2的距離為h，則根據(jù)面積法得

1213

11143△183

OF1OF2F1F2h，即4h，解得h=2，根據(jù)垂線段最短，即可得到線段OF的

222323

最小值為2．

【詳解】解：∵將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，

∴∠APF=60°，PF=PA，

∴△APF是等邊三角形，

∴AP=AF，

如圖，當(dāng)點(diǎn)F1在x軸上時(shí)，P1AF1為等邊三角形，

則P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=△60°，

∵AO⊥P1F1，

∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，

∴∠P1AO=30°，且AO=4，

43

由勾股定理得：POFO，

113

83

∴PAPFAF，

11113

43

∴點(diǎn)F1的坐標(biāo)為,0，

3

如圖，當(dāng)點(diǎn)F2在y軸上時(shí)，

∵△P2AF2為等邊三角形，AO⊥P2O，

第28頁共80頁.

∴AO=F2O=4，

∴點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（0，-4），

OF24

tanOF1F23

∵OF143，

3

∴∠OF1F2=60°，

∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)所形成的圖象是一條直線，

∴當(dāng)OF⊥F1F2時(shí)，線段OF最短，

設(shè)直線F1F2的解析式為y=kx+b，

43

kb0

則3，

b4

k3

解得，

b4

∴直線F1F2的解析式為y=3x-4，

∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，

83

∴FFAF，

1213

在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，

11

設(shè)點(diǎn)O到F1F2的距離為h，則OFOFFFh，

212212

143183

∴4h，

2323

解得h=2，

即線段OF的最小值為2，

故答案為2．

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)以及待

定系數(shù)法的運(yùn)用等，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形以及面積法求最短距離，解題時(shí)注意勾股

定理、等邊三角形三線合一以及方程思想的靈活運(yùn)用．

例3（2022·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接AD，

CD．

第29頁共80頁.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)在線段AC上任取一點(diǎn)Р（端點(diǎn)除外），連接PD．將線段PD繞點(diǎn)Р逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA延長線

上的點(diǎn)Q處．請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)Р在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，DPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由．

(3)在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【答案】(1)見解析

(2)DPQ大小不變，理由見解析

(3)CPAQ，證明見解析

【分析】（1）連接BD，由等邊三角形的性質(zhì)可得AC垂直平分BD，繼而得出ABBCCDAD，便可

證明；

（2）連接PB，過點(diǎn)P作PE∥CB交AB于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F，可證明VAPE是等邊三角形，由等腰三

角形三線合一證明APFEPF，QPFBPF，即可求解；

（3）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AF=FE，QF=BF，即可證明．

【詳解】（1）

連接BD，

ABC是