專題27 倍長中線模型（原卷版）

模塊二常見模型專練

專題27倍長中線模型

例1（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）已知，如圖1，若AD是ABC中BAC的內(nèi)角平分線，通過證

ABBD

明可得=，同理，若AE是ABC中BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請你根據(jù)上

ACCD

述信息，求解如下問題：如圖2，在ABC中，BD2,CD3,AD是ABC的內(nèi)角平分線，則ABC的BC邊

上的中線長l的取值范圍是________

例2（2021·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

若AE是BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關(guān)系．

解決此問題可以用如下方法：延長AE交DC的延長線于點(diǎn)F，易證AEB≌FEC得到ABFC，從而把

AB，AD，DC轉(zhuǎn)化在一個三角形中即可判斷．

AB，AD，DC之間的等量關(guān)系________；

（2）問題探究：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中

點(diǎn)，若AE是BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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例3（2021·山東東營·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過

點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D．我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”．

（1）[猜想驗(yàn)證]如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，請你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系

是________．

（2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，

若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）[拓展延伸]如圖3，①當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長線上的任意一點(diǎn)時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否

依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

②若COD60，請直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系．

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倍長中線模型概述：當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，使得延長后的線段是原中

線的二倍，從而構(gòu)造一對全等三角形(SAS)，并將已知條件中的線段和角進(jìn)行轉(zhuǎn)移。

倍長中線模型模型：

【倍長中線】已知點(diǎn)D為?ABC中BC邊中點(diǎn)，延長線段AD到點(diǎn)E使AD=DE

1）連接EC,則?ABD≌?ECD，AB∥CE

2）連接BE,則?ADC≌?EDB，AC∥BE

證明：

∵點(diǎn)D為?ABC中BC邊中點(diǎn)

∴BD=DC

在?ABD和?ECD中

AD=ED

∠1=∠2∴?ABD≌?ECD（SAS）∴∠ABD=∠ECD∴AB∥CE

BD=DC

在?ADC和?EDB中

AD=ED

∠ADC=∠BDE∴?ADC≌?EDB（SAS）∴∠EBD=∠ACD∴AC∥BE

BD=DC

【倍長類中線】已知點(diǎn)D為?ABC中BC邊中點(diǎn)，延長線段DF到點(diǎn)E使DF=DE,

連接EC，則?BDF≌?CDE

總結(jié):

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【變式1】（2021·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，ABBD，AB5，BD4，

CD3，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則BE的長為（）．

5

A．2B．C．5D．3

2

【變式2】（2021·貴州遵義·校聯(lián)考二模）如圖，DE是ABC的中位線，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，CF的延長線交

2

AB于點(diǎn)G，若CEF的面積為12cm，則SDGF的值為△（）

△△

A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．9cm2

【變式3】（2022·四川成都·統(tǒng)考一模）在ABC中，AB6，AC4，AD是BC邊上的中線，記ADm且

mx11

m為正整數(shù)．則m使關(guān)于x的分式方程4有正整數(shù)解的概率為______．

3xx3

【變式4】（2021·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，AB4，BAC135，D為邊BC的中點(diǎn)，若

AD1.5，則AC的長度為______．

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【變式5】（2022·山東泰安·?？级＃┮阎狝BC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊ABD和

等邊BCE．

(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；

(2)若N為CD中點(diǎn)，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN

(3)若AB⊥BC，延長AB交DE于M，DB=2，如圖3，則BM=_______（直接寫出結(jié)果）

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【培優(yōu)練習(xí)】

1．如圖，AD為ABC的中線，AD3，AC4，則AB的長的取值范圍是（）

A．4AB7B．2AB10C．3AB5D．2AB7

2．如圖，在ABC中，AB6，BC10，BD是邊AC上的中線，則BD的長度可能為（）

A．1B．2C．5D．8

3．如圖，ABC中，AD為中線，ADAC，BAD30，AB3，則AC長（）

A．2.5B．2C．1D．1.5

4．對于任意△ABC（見示意圖）．若AD是△ABC的邊BC上的中線，ADB、ADC的角平分線分別

交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF，那么EF、BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（）

A．BECFEFB．BECFEF

C．BECFEFD．BECFEF

5．如圖，ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，線段AD平分BAC．BF//AC,FD的延長線交AC于點(diǎn)E，且

AE2BF．下列結(jié)論：

①ADBC；②DEAC；③DEDF；④AB3BF．

正確的個數(shù)為（）

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A．1B．2C．3D．4

6．在ABC中，AB8，AC6，則BC邊上的中線AD的取值范圍是_____．

7．如圖，在ABC中，AD為中線，且AC5，AD6，則AB邊的取值范圍是___________．

8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，BE=AC．若∠C=70°，∠DAC=50°，則∠EBD

的度數(shù)為__________________．

9．如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線．延長AD到點(diǎn)E，使DEAD，連接BE．

(1)求證：△ACD≌△EBD；

(2)AC與BE的數(shù)量關(guān)系是：____________，位置關(guān)系是：____________；

(3)若BAC90，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

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10．課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖1，ABC中，若AB8，AC6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得

到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DEAD，請根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．

A．SSSB．SASC．AASD．HL

(2)求得AD的取值范圍是．

A．6AD8B．6AD8C．1AD7D．1AD7

(3)如圖2，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF．求證：ACBF．

11．（1）閱讀理解：

如圖①，在ABC中，若AB8，AC12，求BC邊上的中線AD的取值范圍，并說明理由．

解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DEAD，再連接BE（或?qū)CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180

得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在ABE中，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想，利用三角形三邊的關(guān)系

即可判斷．

（2）問題解決：

如圖②，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DMDN于點(diǎn)D，DM交AB于點(diǎn)M，DN交AC于點(diǎn)N，連

接MN，求證：BMCNMN；

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12．某數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖，在ABC中，AB6，AC8，D是BC

的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DEAD，請補(bǔ)充完整證明

“ABD≌ECD”的推理過程．

(1)求證：ABD≌ECD

證明：延長AD到點(diǎn)E，使DEAD

在△ABD和ECD中

∵ADED（已作）

ADBEDC（對頂角相等）

CD____________（中點(diǎn)定義）

∴ABD≌ECD（____________）

(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是____________；

【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條

件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．

(3)【問題解決】如下圖，ABC中，DB=90°，AB2，AD是ABC的邊BC上的中線，CEBC，CE4，

且ADE90，求AE的長．

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13．課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖1，ABC中，若AB8，AC6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到

了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DEAD，請根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．

(2)求得AD的取值范圍是．

(3)如圖2，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF．求證：ACBF．

14．在ABC中，ABM45，AMBM，垂足為M，點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn)，連接AC．

(1)如圖①，若AB18，BC5，求AC的長；

(2)如圖②，點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn)，MD＝MC，點(diǎn)E是ABC外一點(diǎn)，ECAC，連接ED并延長交BC于

點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：BDF＝CEF．

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15．?dāng)?shù)學(xué)活動課中，老師給出以下問題：

(1)如圖1，在ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，若AB5，AC9，則中線AD長度的取值范圍______．

(2)如圖2，在ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的射線DE交邊AB于E，再作DFDE交邊AC于點(diǎn)F，

連結(jié)EF，請?zhí)剿魅龡l線段BE、EF、CF之間的大小關(guān)系，并說明理由．

(3)已知：如圖3，ABAC，BACCDE90且DCDE，F(xiàn)是線段BE的中點(diǎn)．求證：AFFD．

16．(1)閱讀理解：如圖1，在ABC中，若AB10，AC6．求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此

問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E，使DEAD，再連接BE(或?qū)CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180得到

△EBD)，把AB，AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是______；

(2)問題解決：如圖2，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DEDF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC

于點(diǎn)F，連接EF，求證：BECFEF；

(3)問題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，BD180，CBCD，BCD140，以C為頂點(diǎn)作一個

70角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并

加以證明．

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17．課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

(1)如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得

到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請根據(jù)小明的方法思考幫小明完成解答過程．

(2)如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．請判昕AC與BF的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由．

18．【閱讀理解】

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)BE．請根

據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是（）．

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A．SSSB．SASC．AASD．ASA

(2)AD的取值范圍是（）．

A．6AD8B．12AD16C．1AD7D．2AD14

(3)【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已

知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．

【問題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．

19．我們定義：如圖1，在ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)0180得到AB，把AC繞點(diǎn)A逆

時針旋轉(zhuǎn)得到AC，連接BC．當(dāng)180時，我們稱ABC是ABC的“旋補(bǔ)三角形”，ABC邊

BC上的中線AD叫做ABC的“旋補(bǔ)