專題32 幾何圖形中的最值問題（含隱圓）（原卷版）

模塊二常見模型專練

專題32幾何圖形中的最值問題（含隱圓）

最值問題一阿氏圓問題

例1（2020·廣西·中考真題）如圖，在RtABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P

1

是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．

EF2

例2（2019·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于

A，C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B

（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC

面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；

1

（3）如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+PA的

2

值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說明理由．

第1頁(yè)共28頁(yè).

模型建立：已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有符合＝k（k＞0且k≠1）的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓．這個(gè)結(jié)論最先

由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．

模型解讀：

如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，已知r＝k·OB．連接PA、PB，

則當(dāng)“PA＋k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

1：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)分別與圓心相連接），即連接OP、OB；

2：計(jì)算連接線段OP、OB長(zhǎng)度；

3：計(jì)算兩線段長(zhǎng)度的比值；

4：在OB上截取一點(diǎn)C，使得構(gòu)建母子型相似：

5：連接AC，與圓0交點(diǎn)為P，即AC線段長(zhǎng)為PA＋K*PB的最小值．

本題的關(guān)鍵在于如何確定“k·PB”的大小，（如圖2）在線段OB上截取OC使OC＝k·r，則可說明△BPO

與△PCO相似，即k·PB＝PC．

∴本題求“PA＋k·PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA＋PC”的最小值，即A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)最小（如圖3），

時(shí)AC線段長(zhǎng)即所求最小值．

第2頁(yè)共28頁(yè).

【變式1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是

1

⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為_____．

2

【變式2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，

6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是________.

【變式3】（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，ACB60，半徑為2的圓O內(nèi)切于ACB．P為

圓O上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM、PN分別垂直于ACB的兩邊，垂足為M、N，則PM2PN的取值范圍

為___________．

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【變式4】（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的

半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：

1

①APBP，

2

②2APBP，

1

③APBP，

3

④AP3BP的最小值．

最值問題二胡不歸問題

例1（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，

垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_____．

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4

例2（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx4分別與x，y軸交于

3

5

點(diǎn)A，B，拋物線yx2bxc恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．

18

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是0,6，將△ACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ECF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．

①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；

3

②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求BPEP取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

5

“PA＋k·PB”型的最值問題，當(dāng)k＝1時(shí)通常為軸對(duì)稱之最短路徑問題，而當(dāng)k＞0時(shí)，若以常規(guī)的軸對(duì)稱的

方式解決，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路．

1.當(dāng)點(diǎn)P在直線上

如圖，直線BM，BN交于點(diǎn)B，P為BM上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在射線BM，BN同側(cè)，已知sin∠MBN＝k．

過點(diǎn)A作AC⊥BN于點(diǎn)C，交BM于點(diǎn)P，此時(shí)PA＋k·PB取最小值，最小值即為AC的長(zhǎng)．

第5頁(yè)共28頁(yè).

證明如圖，在BM上任取一點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，作QD⊥BN于點(diǎn)D．

由sin∠MBN＝k，可得QD＝k·QB．

所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得證．

2．當(dāng)點(diǎn)P在圓上

如圖，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A，B都在⊙O外，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，已知r＝k·OB．

在OB上取一點(diǎn)C，使得OC＝k·r，連結(jié)AC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PA＋k·PB取最小值，最小值即為AC的

長(zhǎng)．

證明如圖，在⊙O上任取一點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，BQ，連結(jié)CQ，OQ．

則OC＝k·OQ，OQ＝k·OB．

而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，

所以QC＝k·QB．

所以QA＋k·QB＝QA＋QC≥AC，即得證．

【變式1】（2022·湖北武漢·校聯(lián)考一模）如圖，在△ACE中，CACE，CAE30，半徑為5的O經(jīng)過

點(diǎn)C，CE是圓O的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則

1

ODCD的最小值為______．

2

【變式2】（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

1

點(diǎn)F在邊CD上，且線段EF＝4，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．

2

第6頁(yè)共28頁(yè).

【變式3】（2021春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，且BP＝2．連

1

接CP，將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為___．

2

【變式4】（2021秋·四川達(dá)州·九年級(jí)達(dá)州市第一中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、

3

y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(23,4)，一次函數(shù)y=-x+b的圖象與邊OC、AB、x軸分別交于點(diǎn)D、

3

E、F，DFO30，并且滿足ODBE，點(diǎn)M是線段DF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求b的值；

（2）連接OM，若ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1:3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

1

（3）求OMMF的最小值．

2

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最值問題三隱圓問題

例1（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB3，BC4．點(diǎn)P是線段BC上

一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)．ADMBAP，則BM的最小值為（）

5123

A．B．C．13D．132

252

例2（2021·湖北十堰·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不

含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM．

（1）求證：AMBENB；

（2）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說明理由；

（3）當(dāng)AMBMCM的最小值為31時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．

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【模型一：定弦定角的“前世今生”】

【模型二：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)定長(zhǎng)】

【模型三：直角所對(duì)的是直徑】

【模型四：四點(diǎn)共圓】

牢記口訣：

定點(diǎn)定長(zhǎng)走圓周，定線定角跑雙弧。

直角必有外接圓，對(duì)角互補(bǔ)也共圓。

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【變式1】（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中校考期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，

D是BC的中點(diǎn)，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)B在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE

長(zhǎng)的范圍為______．

【變式2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(6，0)，B(0，6)，C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，

BC22，M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，當(dāng)OM取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為__________________．

【變式3】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、

BC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF4，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，AG、CG，則四邊形AGCD面積的最小值為______．

第10頁(yè)共28頁(yè).

【變式4】（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖①，在等腰RtABC和等腰RtBDE中，

BACBDE90，ABAC，BDDE，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，連接AF，DF，AD．

(1)若AB4，求AD的長(zhǎng)度；

(2)若將△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，請(qǐng)證明AFDF，AFDF；

(3)如圖③，在△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過程中，再將△ACF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到ACF，連接BF，若

AB4，請(qǐng)直接寫出BF的最大值．

最值問題四將軍飲馬問題

例1（2020·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC

的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）

A．6B．22C．23D．32

第11頁(yè)共28頁(yè).

例2（2020·山東泰安·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，

BC1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（）

11

A．21B．2C．221D．22

22

例3（2021·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M在DC上且DM＝2，N是AC上

的一動(dòng)點(diǎn)，則DN＋MN的最小值是______．

模型1：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA＋PB最?。?/p>

連接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB.

模型2：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB最?。?/p>

作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB'

模型3：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PAPB最大．

第12頁(yè)共28頁(yè).

連接AB并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，PAPB的最大值為AB

模型4：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PAPB最大．

作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PAPB的最大

值為AB'

模型5：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PAPB最?。?/p>

連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PAPB的最小值為0

模型6：點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得△PCD周長(zhǎng)最小．

分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．△PCD

周長(zhǎng)的最小值為P′P″

模型7：點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得PD＋CD最?。?/p>

作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，過P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值為P′C

第13頁(yè)共28頁(yè).

【變式1】（2022秋·黑龍江佳木斯·九年級(jí)撫遠(yuǎn)市第三中學(xué)校考期末）如圖，拋物線yx24x3與x軸分

別交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，在其對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接MA,MC,AC，

則△MAC周長(zhǎng)的最小值是______．

【變式2】（2022秋·安徽滁州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直線yx4與x軸，y軸分別交于A和B，點(diǎn)C、

D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，P為OA上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PCPD的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________．

【變式3】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP3cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分

別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，AOB30，則PMN周長(zhǎng)的最小值是______．

第14頁(yè)共28頁(yè).

【變式4】（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，拋物線yx2bxc與x軸交于A1，0，B3，0

兩點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)觀察函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)x取何值時(shí)，y0？

(3)設(shè)（1）題中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小？

若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

最值問題五費(fèi)馬點(diǎn)問題

例1（2019·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）問題背景：如圖，將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ADE，DE

與BC交于點(diǎn)P，可推出結(jié)論：PAPCPE

問題解決：如圖，在MNG中，MN6，M75，MG42．點(diǎn)O是MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到MNG

三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是___________

第15頁(yè)共28頁(yè).

模型解讀：

△APC≌△AQE，且△APQ為等邊三角形，

∴PC=QE，AP=PQ

∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE

當(dāng)B、P、Q、E共線時(shí)，AP+BP+CP和最小

【變式1】（2021秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，CAB90，ABAC1，

P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PAPBPC的最小值為______．

【變式2】（2022·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，

作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．

第16頁(yè)共28頁(yè).

【變式3】（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，

點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為______．

【變式4】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求

PA2PB5PC的最小值．

【培優(yōu)練習(xí)】

1．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，E為正方形ABCD邊AD上一點(diǎn)，

AE1，DE3，P為對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PAPE的最小值為（）

A．5B．42C．210D．10

第17頁(yè)共28頁(yè).

2．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yx2bx3的圖像與x軸交

于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C(3,0)，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1)，連接PD，則2PDPC

的最小值是（）

32

A．4B．222C．22D．2

23

3．（2022·河南·校聯(lián)考三模）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)APx，PBPEy，當(dāng)點(diǎn)P從A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中點(diǎn)M是函數(shù)圖象

的最低點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）

A．42，35B．22,35C．35,22D．35,42

4．（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，O的半徑是6，P是O上一動(dòng)點(diǎn)，A是O內(nèi)部一點(diǎn)，

且AO3，則下列說法正確的是（）

①PA的最小值為6-3；②PA的最大值為63；③當(dāng)OAP90時(shí)，△PAO是等腰直角三角形；

3

④△PAO面積最大為．

2

A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④

第18頁(yè)共28頁(yè).

5．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在RtABC和RtVADE中，BACDAE90，ACAD3，

AB=AE=5．連接BD，CE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)DBA最大時(shí)，△ACE的面積為

（）．

A．6B．62C．9D．92

3

6．（2022·福建廈門·福建省廈門集美中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx3分別與x

4

軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)E、F分別是正方形OACD的邊OD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且DEAF，過原點(diǎn)O作

OHEF，垂足為H，連接HA、HB，則HAB面積的最大值為（）

1352

A．652B．12C．632D．

2

7．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E、F分別是CD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿

足DE=CF，DF、AE相交于點(diǎn)G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則

BH的最小值為（）△

A．252B．25+2C．102D．10+2

8．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，ABBC，AB8，BC6，P是ABC內(nèi)部的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，滿足PABPBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）

第19頁(yè)共28頁(yè).

32

A．B．2C．2136D．2134

5

9．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在O中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在O上，AOB90，OA6，點(diǎn)C在

OA上，且OC2AC，點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CM2DM的最小值為

___________．

10．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限內(nèi)一

1

動(dòng)點(diǎn)，OP2，連接AP、BP，則BPAP的最小值是___________．

2

11．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，?ABCD中A60，AB6，AD2，P為邊CD上一點(diǎn)，

則3PD2PB的最小值為______．

12．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會(huì)看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、

A4的打印紙等，其實(shí)這些矩形的長(zhǎng)與寬之比都為2:1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)

準(zhǔn)矩形”ABCD中，如圖所示，點(diǎn)Q在DC上，且DQAD，若G為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AGQ的周長(zhǎng)最小

第20頁(yè)共28頁(yè).

CG

時(shí)，則的值為______．

GB

13．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD

＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為_______．

14．（2022春·山東棗莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC＝120°，M是BC邊

的一個(gè)三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB＋PM的值最小時(shí)，PM的長(zhǎng)是________．

15．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏魯木齊市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE

＝30°，半徑為5的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，CE是圓O的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點(diǎn)D是線段AC上

1

任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則ODCD的最小值為_____．

2

第21頁(yè)共28頁(yè).

16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知ABC，外心為O，BC18，BAC60，分別以AB，AC

為腰向形外作等腰直角三角形△ABD與△ACE，連接BE，CD交于點(diǎn)P，則OP的最小值是______．

17．（2022秋·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在棋盤中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中

A-1，1，B4，3，C4，-1處各有一顆棋子．

(1)如圖1，依次連接A，B，C，A，得到一個(gè)等腰三角形（BC為底邊），請(qǐng)?jiān)趫D中畫出該圖形的對(duì)稱軸．

(2)如圖2，現(xiàn)x軸上有兩顆棋子P，Q，且PQ1（P在Q的左邊），依次連接A，P，Q，B，使得AP＋PQ＋QB

的長(zhǎng)度最短，請(qǐng)?jiān)趫D2中標(biāo)出棋子P，Q的位置，并寫出P，Q的坐標(biāo)．

第22頁(yè)共28頁(yè).

18．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線yax2bx3分別交x軸于點(diǎn)

A(1,0)，B3,0，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為

線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且MNAC．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫出你的理由；

1

(3)在M，N移動(dòng)的過程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，請(qǐng)寫出理由．

2

19．（2022秋·遼寧營(yíng)口·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，ABC與△AEF都是等邊三角形，邊長(zhǎng)分別為4和3，

連接FC,AD為ABC高，連接CE，N為CE的中點(diǎn)．

(1)求證：ACFABE；

(2)將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，如圖2，EF與AC交于點(diǎn)G，連接NG，求線段NG的長(zhǎng)；

(3)連接BN，在△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，求BN的最大值．

第23頁(yè)共28頁(yè).

20．（2022春·吉林松原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第111頁(yè)的部分內(nèi)

容．

(1)問題解決：請(qǐng)結(jié)合圖①，寫出例1的完整解答過程．

(2)問題探究：在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．過點(diǎn)D作DE//AC

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．如圖②，連結(jié)OE，則OE的長(zhǎng)為____．

(3)如圖③，若點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PC、PE，則PC＋PE的最小值為_____．

第24頁(yè)共28頁(yè).

21．（2022春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）在RtABC中，AB＝BC，在RtCEH中，∠CEH

＝45°，∠ECH＝90°，連接AE．△△

(1)如圖1，若點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上，連接AH，且AH＝6，求AE的長(zhǎng)；

1

(2)如圖2，若點(diǎn)E在AC上，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，連接BF、BH，當(dāng)BH＝2BF，∠EHB+∠HBF＝45°時(shí)，求

2

證：AE＝CE；

(3)如圖3，若點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)，取AE的中點(diǎn)F，作FH'∥BC交AB于H，連接BE并延長(zhǎng)到D，使

得BE＝DE，連接AD、CD；在線段BC上取一點(diǎn)G，使得CG＝AF，并連接EG；若點(diǎn)E在線