專題34 規(guī)律探究性問(wèn)題（解析版）

模塊三重難點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題34規(guī)律探究題專訓(xùn)

規(guī)律探索類問(wèn)題的特征是給出若干個(gè)按照一定順序排列的具有某種特定變化規(guī)律的數(shù)、式或圖形，

要求解題者通過(guò)觀察、分析、歸納和猜想等一系列活動(dòng)找出蘊(yùn)藏于其間的一般性規(guī)律。這類較為新穎

的探索型問(wèn)題不僅可以鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，而且還具有較強(qiáng)的綜合

性和較高的區(qū)分度，因此成為近年各地中考數(shù)學(xué)中的一個(gè)考查熱點(diǎn)。

1317911

例1（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，-，，，，，…．則

252172637

按此規(guī)律排列的第10個(gè)數(shù)是（）

19211921

A．B．C．D．

1011018282

【答案】A

5

【分析】把第3個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為：，不難看出分子是從1開(kāi)始的奇數(shù)，分母是n21，且奇數(shù)項(xiàng)是正，偶數(shù)項(xiàng)

10

是負(fù)，據(jù)此即可求解．

1357911

【詳解】原數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為：,,,,,,，

2510172637

111211

∴1，

2121

321221

1，

5221

531231

1，

10321

..．

n12n1

∴第n個(gè)數(shù)為：1，

n21

101210119

∴第10個(gè)數(shù)為：1．

1021101

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的數(shù)總結(jié)出存在的規(guī)律．

例2（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，

第二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，第四幅圖13個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)

是（）

第1頁(yè)共51頁(yè).

A．297B．301C．303D．400

【答案】B

【分析】首先根據(jù)前幾個(gè)圖形圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)規(guī)律即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得到第100個(gè)圖擺放圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

【詳解】解：觀察圖形可知：第1幅圖案需要4個(gè)圓點(diǎn)，即4＋3×0，

第2幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，即4+3=4+3×1；

第3幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，即4＋3＋3=4＋3×2；

第4幅圖13個(gè)圓點(diǎn)，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；

第n幅圖中，圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：4+3(n-1)=3n+1，

……，

第100幅圖，圓中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：3×100+1=301．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．

例3（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：

按照以上排列的規(guī)律，第10行第5個(gè)數(shù)是（）

A．98B．100C．102D．104

【答案】B

【分析】觀察數(shù)字的變化，第n行有n個(gè)偶數(shù)，求出第n行第一個(gè)數(shù)，故可求解．

【詳解】觀察數(shù)字的變化可知：

第n行有n個(gè)偶數(shù)，

因?yàn)榈?行的第1個(gè)數(shù)是：2102；

第2頁(yè)共51頁(yè).

第2行的第1個(gè)數(shù)是：4212；

第3行的第1個(gè)數(shù)是：8322；

…

所以第n行的第1個(gè)數(shù)是：nn12，

所以第10行第1個(gè)數(shù)是：109+292，

所以第10行第5個(gè)數(shù)是：9224100．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的規(guī)律探究，推導(dǎo)出一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

例4（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)菱形，第

②個(gè)圖案中有3個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)

為（）

A．15B．13C．11D．9

【答案】C

【分析】根據(jù)第①個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1；第②個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：123；第③個(gè)圖案中菱形的個(gè)

數(shù)：1225；…第n個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：12n1，算出第⑥個(gè)圖案中菱形個(gè)數(shù)即可．

【詳解】解：∵第①個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1；

第②個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：123；

第③個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1225；

…

第n個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：12n1，

∴則第⑥個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為：126111，故C正確．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圖案的變化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖案歸納出圖案?jìng)€(gè)數(shù)的變化規(guī)律．

例5（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，

第②個(gè)圖案中有9個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有13個(gè)正方形，第④個(gè)圖案中有17個(gè)正方形，此規(guī)律排列下

第3頁(yè)共51頁(yè).

去，則第⑨個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為（）

A．32B．34C．37D．41

【答案】C

【分析】第1個(gè)圖中有5個(gè)正方形，第2個(gè)圖中有9個(gè)正方形，第3個(gè)圖中有13個(gè)正方形，……，由此可

得：每增加1個(gè)圖形，就會(huì)增加4個(gè)正方形，由此找到規(guī)律，列出第n個(gè)圖形的算式，然后再解答即可．

【詳解】解：第1個(gè)圖中有5個(gè)正方形；

第2個(gè)圖中有9個(gè)正方形，可以寫(xiě)成：5+4=5+4×1；

第3個(gè)圖中有13個(gè)正方形，可以寫(xiě)成：5+4+4=5+4×2；

第4個(gè)圖中有17個(gè)正方形，可以寫(xiě)成：5+4+4+4=5+4×3；

．．．

第n個(gè)圖中有正方形，可以寫(xiě)成：5+4（n-1）=4n+1；

當(dāng)n=9時(shí)，代入4n+1得：4×9+1=37．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，通過(guò)歸納與總結(jié)結(jié)合圖形得出數(shù)字之間的規(guī)律是

解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

例6（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）觀察下列等式：701，717，7249，73343，742401，7516807，…

根據(jù)其中的規(guī)律可得7071L72022的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（）

A．0B．1C．7D．8

【答案】C

【分析】觀察等式，發(fā)現(xiàn)尾數(shù)分別為：1，7，9，3，1，7，9，3每4個(gè)數(shù)一組進(jìn)行循環(huán)，所以202345053，

進(jìn)而可得707172022的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字．

【詳解】解：觀察下列等式：

701，717，7249，73343，742401，7516807，，

發(fā)現(xiàn)尾數(shù)分別為：

1，7，9，3，1，7，，

所以和的個(gè)位數(shù)字依次以1，8，7，0循環(huán)出現(xiàn)，

第4頁(yè)共51頁(yè).

(20221)45053，

每4個(gè)數(shù)一組進(jìn)行循環(huán)，

所以202345053，

而179320，

5052017910117，

所以707172022的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是7．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了尾數(shù)特征、有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意尋找規(guī)律．

例7（2021·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6，……，第n個(gè)單項(xiàng)式

是（）

2

A．n2an1B．n2an1C．nnan1D．n1an

【答案】A

【分析】根據(jù)題目中的單項(xiàng)式可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字因數(shù)是從1開(kāi)始的正整數(shù)的平方，字母的指數(shù)從1開(kāi)始依次加1，

然后即可寫(xiě)出第n個(gè)單項(xiàng)式，本題得以解決．

【詳解】解：∵一列單項(xiàng)式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6，...，

∴第n個(gè)單項(xiàng)式為n2an1，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類、單項(xiàng)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式的變化特點(diǎn)，求出相

應(yīng)的單項(xiàng)式．

14710

例8（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為，，，……按此規(guī)律

251017

排列，則第30個(gè)數(shù)是_____．

88

【答案】

901

3n2

【分析】由所給的數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為第n個(gè)數(shù)是，當(dāng)n＝30時(shí)即可求解．

n21

14710

【詳解】解：∵，，，…，

251017

3n2

∴第n個(gè)數(shù)是，

n21

3n2330288

當(dāng)n＝30時(shí)，==，

n213021901

88

故答案為：．

901

第5頁(yè)共51頁(yè).

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠通過(guò)所給的數(shù)，探索出數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

12

例9（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）觀察下列一組數(shù)：2，，，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個(gè)數(shù)

27

112

記為an，且滿足．則a4________，a2022________．

anan2an1

11

【答案】

53032

2

【分析】由題意推導(dǎo)可得an=，即可求解．

3(n1)1

2122

【詳解】解：由題意可得：a1=2=，a2=，a3=，

1247

112

∵，

a2a4a3

1

∴2+=7，

a4

12

∴a4=，

510

112

∵，

a3a5a4

2

∴a5=，

13

12L

同理可求a6=，

816

2

∴an=，

3(n1)1

21

∴a2022=，

60643032

11

故答案為：，．

53032

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

111111111

例10（2022·浙江舟山·中考真題）觀察下面的等式：，，，……

23634124520

(1)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）

(2)請(qǐng)運(yùn)用分式的有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的．

111

【答案】(1)

nn1n(n1)

(2)見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)所給式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第一個(gè)式子的左邊分母為2，第二個(gè)式子的左邊分母為3，第三個(gè)

式子的左邊分母為4，…；右邊第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母為3，4，5，…，另一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母為前面兩個(gè)分母的乘

第6頁(yè)共51頁(yè).

111

積；所有的分子均為1；所以第（n+1）個(gè)式子為．

nn1n(n1)

111

（2）由（1）的規(guī)律發(fā)現(xiàn)第（n+1）個(gè)式子為，用分式的加法計(jì)算式子右邊即可證明．

nn1n(n1)

11111

【詳解】（1）解：∵第一個(gè)式子，

23621221

11111

第二個(gè)式子，

341231331

11111

第三個(gè)式子，

452041441

……

111

∴第（n+1）個(gè)式子；

nn1n(n1)

11n1n11

（2）解：∵右邊==左邊，

n1n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)n

111

∴．

nn1n(n1)

【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，分式加法運(yùn)算，解題關(guān)鍵是通過(guò)觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中各分母的

變化規(guī)律．

例11（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）觀察以下等式：

222

第1個(gè)等式：21122122，

222

第2個(gè)等式：22134134，

222

第3個(gè)等式：23146146，

222

第4個(gè)等式：24158158，

……

按照以上規(guī)律．解決下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：________；

(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．

222

【答案】(1)2516101610

222

(2)2n1(n1)2n1(n1)2n，證明見(jiàn)解析

【分析】（1）觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；

222

（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個(gè)等式為2n1(n1)2n1(n1)2n，利用完全

第7頁(yè)共51頁(yè).

平方公式和平方差公式對(duì)等式左右兩邊變形即可證明．

【詳解】（1）解：觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個(gè)等式為：

222

2516101610，

222

故答案為：2516101610；

222

（2）解：第n個(gè)等式為2n1(n1)2n1(n1)2n，

證明如下：

2

等式左邊：2n14n24n1，

22

等式右邊：(n1)2n1(n1)2n

(n1)2n1(n1)2n(n1)2n1(n1)2n

(n1)4n11

4n24n1，

222

故等式2n1(n1)2n1(n1)2n成立．

【點(diǎn)睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)

鍵．

例12（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題提出：

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為128的整數(shù)邊三角形有多少個(gè)？（整數(shù)邊三角形是指三邊長(zhǎng)度都是整數(shù)的三角形．）

問(wèn)題探究：

為了探究規(guī)律，我們先從最簡(jiǎn)單的情形入手，從中找到解決問(wèn)題的方法，最后得出一般性的結(jié)論．

（1）如表①，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長(zhǎng)是1，第三邊長(zhǎng)也是1.按照（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最

短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）的形式記為1,1,1，有1個(gè)，所以總共有111個(gè)整數(shù)邊三角形．

表①

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

111,1,111個(gè)111

（2）如表②，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長(zhǎng)是1或2.根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當(dāng)

第8頁(yè)共51頁(yè).

最短邊長(zhǎng)為1時(shí)，第三邊長(zhǎng)只能是2，記為2,1,2，有1個(gè)；當(dāng)最短邊長(zhǎng)為2時(shí)，顯然第三邊長(zhǎng)也是2，記

為2,2,2，有1個(gè)，所以總共有11122個(gè)整數(shù)邊三角形．

表②

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

12,1,21

22個(gè)112

22,2,21

（3）下面在表③中總結(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為3的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況：

表③

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

13,1,31

個(gè)

323,2,2，3,2,322222

33,3,31

（4）下面在表④中總結(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況：

表④

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

14,1,41

24,2,3，4,2,42

43個(gè)223

34,3,3，4,3,42

44,4,41

第9頁(yè)共51頁(yè).

（5）請(qǐng)?jiān)诒恝葜锌偨Y(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為5的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況并填空：

表⑤

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

15,1,51

25,2,4，5,2,52

53__________________

45,4,4，5,4,52

55,5,51

問(wèn)題解決：

（1）最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為6的整數(shù)邊三角形有___________個(gè)．

（2）在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為n，總結(jié)上述探究過(guò)程，當(dāng)n為奇數(shù)或n為偶數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形

個(gè)數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請(qǐng)寫(xiě)出最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為n的整數(shù)邊三角形的個(gè)數(shù)．

（3）最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為128的整數(shù)邊三角形有__________個(gè)．

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱長(zhǎng)均為整數(shù)，則最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為9的直三棱柱有___________個(gè)．

(n1)2

【答案】問(wèn)題探究：見(jiàn)解析；問(wèn)題解決：（1）12；（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)為；當(dāng)n

4

n(n2)

為偶數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)為；（3）4160；拓展延伸：295

4

【分析】問(wèn)題探究：

根據(jù)（1）（2）（3）（4）的具體推算，總結(jié)出相同的規(guī)律，按規(guī)律填好表格即可；

問(wèn)題解決：

（1）由最長(zhǎng)邊長(zhǎng)分別為1，2，3，4，5總結(jié)出能反應(yīng)規(guī)律的算式，再根據(jù)規(guī)律直接寫(xiě)出最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為6時(shí)的

三角形的個(gè)數(shù)；

（2）分兩種情況討論：當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)，再?gòu)木唧w到一般進(jìn)行推導(dǎo)即可；

第10頁(yè)共51頁(yè).

n(n2)

（3）當(dāng)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)n128時(shí)，n為偶數(shù)，再代入進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；

4

拓展延伸：

(n1)2100

分兩種情況討論：當(dāng)9是底邊的棱長(zhǎng)時(shí)，由最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為9的三角形個(gè)數(shù)有：25個(gè)，當(dāng)9是側(cè)

44

棱長(zhǎng)時(shí)，底邊三角形的最長(zhǎng)邊可以為1，2，3，4，5，6，7，8，底邊三角形共有：1246912162070

個(gè)，從而可得答案.

【詳解】解：?jiǎn)栴}探究：

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

535,3,3，5,3,4，5,3,533個(gè)333

問(wèn)題解決：

（1）最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1的三角形有：11個(gè)，

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為2的三角形有：12個(gè)，

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為3的三角形有：22個(gè)，

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4的三角形有：23個(gè)，

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為5的三角形有：33個(gè)，

所以最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為6的三角形有：3412個(gè)，

故答案為：12

（2）由（1）得：

2

211

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1的三角形有：111個(gè)，

2

2

231

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為3的三角形有：222個(gè)，

2

2

251

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為5的三角形有：333個(gè)，

2

2

所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)為(n1)；

4

222

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為2的三角形有：12個(gè)，

22

第11頁(yè)共51頁(yè).

442

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4的三角形有：23個(gè)，

22

662

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為6的三角形有：34個(gè)，

22

n(n2)

所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)為.

4

（3）當(dāng)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)n128時(shí)，n為偶數(shù)，

n(n2)1281282

可得此時(shí)的三角形個(gè)數(shù)為：641304160.

42

故答案為：4160

拓展延伸：

當(dāng)9是底邊的棱長(zhǎng)時(shí)，

(n1)2100

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為9的三角形個(gè)數(shù)有：25個(gè)，

44

而直三棱柱的高分別為：1，2，3，4，5，6，7，8，9，

所以這樣的直三棱柱共有：259225個(gè)，

當(dāng)9是側(cè)棱長(zhǎng)時(shí)，底邊三角形的最長(zhǎng)邊可以為1，2，3，4，5，6，7，8，

底邊三角形共有：1246912162070個(gè)，

所以這樣的直三棱柱共有：70個(gè)，

綜上，滿足條件的直三棱柱共有22570295個(gè).

故答案為：295.

【點(diǎn)睛】本題考查的是學(xué)生的閱讀理解能力，探究規(guī)律的方法，并運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題，同時(shí)考查了立體圖

形的含義，三角形的三邊關(guān)系，弄懂題意，掌握探究方法，運(yùn)用規(guī)律的能力都是解題的關(guān)鍵.

一、遞進(jìn)式變化規(guī)律

遞進(jìn)變化類的規(guī)律題通常給出若干個(gè)按照某種特定的遞進(jìn)變化規(guī)律(遞增或遞減)排列的

數(shù)、式或圖形等內(nèi)容，要求從這些已知量的觀察分析中找出變化的一般規(guī)律。學(xué)生很容易看出

題目呈現(xiàn)的是一列遞進(jìn)變化的量，但較難歸納出一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式來(lái)表示變化的一般規(guī)律，而

變化的一般規(guī)律常常與已知量的排列序號(hào)有關(guān)聯(lián)。因此在解決此類問(wèn)題時(shí)，首先要按照題目中

的排列順序給已知量編上序號(hào)；然后找出已知量中變化和不變的部分，分析序號(hào)和變化部分之

第12頁(yè)共51頁(yè).

間的數(shù)量關(guān)系，猜想和歸納出第n個(gè)量的含有n的表達(dá)式，得出一般規(guī)律；最后將序號(hào)代回表

達(dá)式算出結(jié)果，比較所得結(jié)果與對(duì)應(yīng)數(shù)值是否一致，驗(yàn)證猜想的正確性，得出最終結(jié)果。

1、數(shù)與式的遞進(jìn)變化規(guī)律

這類規(guī)律題通常呈現(xiàn)出一列按照某種特定的遞進(jìn)變化規(guī)律排列的數(shù)字、等式或代數(shù)式等，

要求變化的一般規(guī)律。解決這類題目的關(guān)鍵在于根據(jù)前若干項(xiàng)已知量(若沒(méi)直接給出則需根據(jù)

題目的信息求出來(lái))的變化部分找出與它們對(duì)應(yīng)的排列序號(hào)之間的數(shù)量關(guān)系，從而得出變化的

一般規(guī)律。

2、圖形變化中的數(shù)量遞進(jìn)變化規(guī)律

與圖形有關(guān)的遞進(jìn)變化規(guī)律題歸根結(jié)底考查的也是圖形在變化過(guò)程中圖案的個(gè)數(shù)、圖形的

周長(zhǎng)或面積、線段的長(zhǎng)度等這些量的變化規(guī)律。解決這類問(wèn)題要仔細(xì)觀察并找出圖形變化與不

變的部分，研究變化部分的圖形變化和數(shù)量變化的規(guī)律，找出不變部分的固定數(shù)量，分析變化

部分的數(shù)量與對(duì)應(yīng)的圖形排列序號(hào)之間的數(shù)量關(guān)系，從而得出變化的一般規(guī)律。

3、圖表中的數(shù)字遞進(jìn)變化規(guī)律

這類題目的規(guī)律蘊(yùn)藏在圖表中的數(shù)字變化中，解題的關(guān)鍵在于尋找圖表中每行、每列中的

數(shù)字之間關(guān)系和排列順序，以及行與行之間、列與列之間的聯(lián)系，此外還應(yīng)觀察圖表中的數(shù)與

它所處的列數(shù)和行數(shù)間的數(shù)量變化規(guī)律。

【變式1】（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）下列中國(guó)結(jié)圖形都是邊長(zhǎng)為“1”的正方形按照一定規(guī)

律組成，第①個(gè)圖形中共有7個(gè)邊長(zhǎng)為“1”的正方形，第②個(gè)圖形中共有12個(gè)邊長(zhǎng)為“1”的正方形，第③個(gè)

圖形中共有17個(gè)邊長(zhǎng)為“1”的正方形，，依此規(guī)律，第⑥個(gè)圖形中邊長(zhǎng)為“1”的正方形的個(gè)數(shù)是（）

A．25B．27C．30D．32

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形規(guī)律，發(fā)現(xiàn)后一個(gè)圖形比前一個(gè)多5個(gè)，歸納出通用公式代入求值即可．

第13頁(yè)共51頁(yè).

【詳解】解：第①個(gè)圖形邊長(zhǎng)為1的小正方形有7個(gè)，

第②個(gè)圖形邊長(zhǎng)為1的小正方形有7512個(gè)，

第③個(gè)圖形邊長(zhǎng)為1的小正方形有75217個(gè)，

第n個(gè)圖形邊長(zhǎng)為1的小正方形有75n15n2個(gè)，

所以第⑥個(gè)圖形中邊長(zhǎng)為1的小正方形的個(gè)數(shù)為56232個(gè)．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了觀察了數(shù)字規(guī)律探索；根據(jù)相鄰數(shù)字找到規(guī)律，推出規(guī)律公式是解題的關(guān)鍵．

【變式2】（2022·重慶·重慶八中?？级＃┌押谏珗A點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有4

個(gè)黑色圓點(diǎn)，第②個(gè)圖案中有6個(gè)黑色圓點(diǎn)，第③個(gè)圖案中有8個(gè)黑色圓點(diǎn)，…，按此規(guī)律排列下去，則

第⑦個(gè)圖案中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A．12B．14C．16D．18

【答案】C

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)每一個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多2個(gè)黑色圓點(diǎn)，利用此規(guī)律求解即可．

【詳解】解：第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色三角形，

第②個(gè)圖案中有4+2×1=6個(gè)黑色三角形，

第③個(gè)圖案中有4+2×2=8個(gè)黑色三角形，

…，

按此規(guī)律排列下去，則第n個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為4+2×(n-1)=2n+2，

∴第⑦個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為2×7+2=16，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出規(guī)律：第n個(gè)圖案中黑色三角形

的個(gè)數(shù)為2n+2．

【變式3】（2022·山西·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長(zhǎng)相同的小正

方形組成，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律，第_________個(gè)圖案中有2021個(gè)涂有陰影的小正方形．

第14頁(yè)共51頁(yè).

【答案】505

【分析】根據(jù)第一個(gè)圖案有5405個(gè)小正方形有陰影，第二個(gè)圖案有5419個(gè)小正方形有陰影，第

三個(gè)圖案有54213個(gè)小正方形有陰影，則第n個(gè)圖案有54(n1)個(gè)小正方形有陰影，據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解

答即可．

【詳解】解：∵第一個(gè)圖案有5405個(gè)小正方形有陰影，

第二個(gè)圖案有5419個(gè)小正方形有陰影，

第三個(gè)圖案有54213個(gè)小正方形有陰影，

．．．

第n個(gè)圖案有54(n1)個(gè)小正方形有陰影，

根據(jù)題意得：54(n1)2021，

解得：n505，

∴第505個(gè)圖案中有2021個(gè)涂有陰影的小正方形，

故答案為：505．

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，讀懂題意，根據(jù)圖形得出相應(yīng)的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多成就都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是

2

一例，例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)aba22abb2展開(kāi)式中的系數(shù)；第四

3

行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著aba33a2b3ab3b3展開(kāi)式中的系數(shù)；請(qǐng)根據(jù)規(guī)律直接

4

寫(xiě)出a6的展開(kāi)式______．

【答案】a424a3216a2864a1296

【分析】先根據(jù)圖形得出第五行的四個(gè)數(shù)是1，4，6，4，1，再求出答案即可．

【詳解】解：根據(jù)題意得:第五行的四個(gè)數(shù)是1，4，6，4，1，

第15頁(yè)共51頁(yè).

4

即a6展開(kāi)式中的系數(shù)依次為1，4，6，4，1，

4

a6

a44a366a2624a6364

a424a3216a2864a1296，

故答案為：a424a3216a2864a1296．

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，能根據(jù)已知圖形得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考二模）浙江從3月6日至3月20日新增新冠確診人數(shù)和無(wú)癥狀人數(shù)情況

如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制出如下的折線統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表分析：

日期67891011121314151617181920

確診1616182454154328383223303

無(wú)癥狀34883334311371712822242617

(1)在統(tǒng)計(jì)的這段時(shí)期內(nèi)，新增確診和無(wú)癥狀感染者總?cè)藬?shù)在60人以上的天數(shù)有______天；

(2)3月6日至3月20日平均每天有多少個(gè)確診的新冠病人？

(3)請(qǐng)比較分析這段時(shí)間確診人數(shù)與無(wú)癥狀感染人數(shù)的整體水平與變化規(guī)律，并對(duì)下階段防疫工作提出一條

合理化的建議．

【答案】(1)2

(2)21

(3)見(jiàn)解析

【分析】（1）從表格獲取數(shù)據(jù)，將新增確診與無(wú)癥狀感染者的人數(shù)相加，進(jìn)行判斷；

（2）求確診人數(shù)的平均數(shù)即可；

（3）根據(jù)表格與折線統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)變化規(guī)律，結(jié)合實(shí)際情況提出建議即可．

第16頁(yè)共51頁(yè).

（1）

解：分析表格數(shù)據(jù)可知，新增確診和無(wú)癥狀感染者總?cè)藬?shù)在60人以上的天數(shù)有2天，分別是：3月11日，3

月12日；

（2）

1616182454154328383223303

解：21（人）．

15

答：3月6日至3月20日平均每天有21個(gè)確診的新冠病人．

（3）

解：由折線統(tǒng)計(jì)圖可得，這段時(shí)間確診人數(shù)整體在1~54范圍內(nèi)波動(dòng)，總體變化大致是先增加，后減少；而

無(wú)癥狀感染者人數(shù)每天在3~43范圍內(nèi)波動(dòng)，總體呈反復(fù)增減變化情況，根據(jù)疫情實(shí)際情況，建議大家做好

防范，出門(mén)一定要戴好口罩，盡量不大量聚集．

【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表，求平均數(shù)，從表格和折線統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．

例1（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，以AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF，

再以CF為邊作第3個(gè)正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）

A．（22）5B．（22）6C．（2）5D．（2）6

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理得出正方形的對(duì)角線是邊長(zhǎng)的2，第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，其對(duì)角線長(zhǎng)為2；

223

第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，其對(duì)角線長(zhǎng)為2；第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，其對(duì)角線長(zhǎng)為2；???；

n15

第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2．所以，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)2．

【詳解】解：由題知，第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)AB1，

根據(jù)勾股定理得，第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)AC2，

2

根據(jù)勾股定理得，第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)CF2，

第17頁(yè)共51頁(yè).

3

根據(jù)勾股定理得，第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)GF2，

4

根據(jù)勾股定理得，第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)GN2，

5

根據(jù)勾股定理得，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)2．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，根據(jù)勾股定理找到正方形邊長(zhǎng)之間的2倍關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

△

例2（2020·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊

作等腰直角三角形OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OAn的

長(zhǎng)度為（）

﹣22﹣

A．（2）nB．（2）n1C．（）nD．（）n1

22

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長(zhǎng)，依據(jù)規(guī)律即可得出答案．

【詳解】解：∵△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，

∴OA2＝2；

∵△OA2A3為等腰直角三角形，

2

∴OA3＝2＝(2)；

∵△OA3A4為等腰直角三角形，

3

∴OA4＝22＝(2)．

∵△OA4A5為等腰直角三角形，

4

∴OA5＝4＝(2)，

……

n﹣1

∴OAn的長(zhǎng)度為（2），

故選：B．

第18頁(yè)共51頁(yè).

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理得出是解題關(guān)鍵．

例3（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1，A2，A3，A4……在x軸上且OA11，

OA22OA1，OA32OA2，OA42OA3……按此規(guī)律，過(guò)點(diǎn)A1，A2，A3，A4……作x軸的垂線分別與直線

△

y3x交于點(diǎn)B1，B2，B3，B4……記OA1B1，OA2B2，OA3B3，OA4B4……的面積分別為S1，S2，S3，

S4……，則S2022______．

【答案】240413

3∥∥∥∥

【分析】先求出A1B13，可得S，再根據(jù)題意可得A1B1A2B2A3B3AnBn，從而得

OA1B12

△△

到OA1B1∽OA2B2∽OA3B3∽OA4B4∽……∽OAnBn，再利用相似三角形的性質(zhì)，可得

222

S∶S∶S∶S∶∶S223n，即可求解．

OA1B1OA2B2OA3B3OA4B4……OAnBn=1:2:2:2::2

【詳解】解：當(dāng)x=1時(shí)，y3，

∴點(diǎn)B11,3，

∴A1B13，

13

∴S13，

OA1B122

∵根據(jù)題意得：A1B1∥A2B2∥A3B3∥∥AnBn，

第19頁(yè)共51頁(yè).

△△

∴OA1B1∽OA2B2∽OA3B3∽OA4B4∽……∽OAnBn，

∴S∶S∶S∶S：∶S2∶2∶2∶∶2，

OA1B1OA2B2OA3B3OA4B4……OAnBn=OA1OA2OA3……OAn

∵OA11，OA22OA1，OA32OA2，OA42OA3，……，

∴，2，3，，n1，

OA22OA342OA482……OAn2

222

∴S∶S∶S∶S∶∶S223n12462n2

OA1B1OA2B2OA3B3OA4B4……OAnBn=1:2:2:2::21:2:2:2::2

，

∴S22n2S，

OAnBnOA1B1

3

∴S2220222240413．

20222

故答案為：240413．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形與坐標(biāo)的規(guī)律題，相似三角形的判定和性質(zhì)，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律，是

解題的關(guān)鍵．

例44．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，A1為射線ON上一點(diǎn)，B1為射線OM上一點(diǎn)，

B1A1O60,OA13,B1A11．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且B1A1D160,C1D1與射線OM交于

V

點(diǎn)B2，得C1B1B2；延長(zhǎng)B2D1交射線ON于點(diǎn)A2，以B2A2為邊在其右側(cè)作菱形A2B2C2D2，且

V

B2A2D260,C2D2與射線OM交于點(diǎn)B3，得C2B2B3；延長(zhǎng)B3D2交射線ON于點(diǎn)A3，以B3A3為邊在其右側(cè)

△

作菱形A3B3C3D3，且B3A3D360,C3D3與射線OM交于點(diǎn)B4，得C3B3B4；…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則

△

C2022B2022B2023的面積___________．

4042

34

【答案】

63

第20頁(yè)共51頁(yè).

【分析】過(guò)點(diǎn)B1作B1DOA1于點(diǎn)D，連接B1D1,B2D2,B3D3，分別作B2HB1D1,B3GB2D2,B4EB3D3，

然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及題意可得B1D1//OA1,B2D2//OA1,B3D3//OA1，則有

3

tanOtanBBDtanBBDtanBBD，進(jìn)而可得出規(guī)律進(jìn)行求解．

2113224335

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B1作B1DOA1于點(diǎn)D，連接B1D1,B2D2,B3D3，分別作B2HB1D1,B3GB2D2,B4EB3D3，

如圖所示：

∴B1DOB1DA1B2HD1B3GD2B4ED390，

∵B1A1O60，

∴DB1A130，

∵B1A11，OA13，

115

∴DABA，OD，

121122

3

∴BDAB2AD2，

11112

BD3

∴tanO1，

OD5

∵菱形A1B1C1D1，且B1A1D160，

∴A1B1D1是等邊三角形，

∴A1B1D160，B1D1A1B11，

∵A1B1D1OA1B160，

∴OA1//B1D1，

∴OB2B1D1，

第21頁(yè)共51頁(yè).

3

∴tanBBDtanO，

2115

設(shè)B2D1x，

∵B2D1H60，

13

∴HDBDcos60x,BHBDsin60x，

12122212

B2H5

∴B1Hx，

tanB2B1H2

511

∴xx1，解得：x，

223

1

∴BD，

213

4

∴AB，

223

416

同理可得：BD，BD，

3294327

1664

∴AB,AB，

3394427

n1n1

由上可得：4，14，

AnBnBn1Dn

333

20212202120