專題40 新定義問題（4大考點）（解析版）

模塊三重難點題型專項訓(xùn)練

專題40新定義問題（4大考點）

考查類型一定義新運(yùn)算

考查類型二新概念的理解與應(yīng)用

考查類型

考查類型三幾何新定義問題

考查類型四函數(shù)新定義問題

新題速遞

考點類型一定義新運(yùn)算

1．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）對于實數(shù)a，b定義運(yùn)算“”為abb2ab，例如3222322，則

關(guān)于x的方程(k3)xk1的根的情況，下列說法正?確的是（）

A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根

C．無實數(shù)根D．無法確定

【答案】A

【分析】先根據(jù)新定義得到關(guān)于x的方程為x2k3x1k0，再利用一元二次方程根的判別式求解即

可．

【詳解】解：∵k3xk1，

∴x2k3xk1，

∴x2k3x1k0，

22

∴=b24ack341kk26k944kk140，

∴方程x2k3x1k0有兩個不相等的實數(shù)根，

故選A．

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，新定義下的實數(shù)運(yùn)算，正確得到關(guān)于x的方程為

x2k3x1k0是解題的關(guān)鍵．

2．（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)y[x]叫做高斯函數(shù)，其中x為任意實數(shù)，[x]表示不超過x的

最大整數(shù)．定義{x}x[x]，則下列說法正確的個數(shù)為()

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①[4.1]4；

②{3.5}0.5；

③高斯函數(shù)y[x]中，當(dāng)y=3時，x的取值范圍是3x2；

④函數(shù)y{x}中，當(dāng)2.5x3.5時，0y1．

A．0B．1C．2D．3

【答案】D

【分析】根據(jù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，即可解答．

【詳解】解：①[4.1]5，故原說法錯誤；

②{3.5}3.5[3.5]3.530.5，正確，符合題意；

③高斯函數(shù)y[x]中，當(dāng)y=3時，x的取值范圍是3x2，正確，符合題意；

④函數(shù)y{x}中，當(dāng)2.5x3.5時，0y1，正確，符合題意；

所以，正確的結(jié)論有3個．

故選：D．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是明確[x]表示不超過x的最大整數(shù)．

3．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）定義一種運(yùn)算；sin()sincoscossin，

sin()sincoscossin．例如：當(dāng)45，30時，

232162

sin4530，則sin15的值為_______．

22224

【答案】62

4

【分析】根據(jù)sin()sincoscossin代入進(jìn)行計算即可．

【詳解】解：sin15sin(4530)

=sin45cos30cos45sin30

2321

=

2222

62

=

44

62

=．

4

故答案為：62．

4

【點睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．

4．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）若把第n個位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限

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個有序放置的數(shù)為一個數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1﹐y2，y3…yn其中yn是這個數(shù)列中第n

0xn1xn1

個位置上的數(shù)，n1，2，…k且yn并規(guī)定x0xn，xn1x1．如果數(shù)列A只有四個數(shù)，且x1，

1xn1xn1

x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是__________．

【答案】0，1，0，1

x

【分析】根據(jù)定義先確定x0=x4=1與x5=x1=3，可得x0，1，x2，x3，x4，x5依次為1，3，1，2，1，3，

根據(jù)定義其“伴生數(shù)列”B是y1，y2，y3，y4；依次為0，1，0，1即可．

【詳解】解：∵x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，

∴x0=x4=1，x5=x1=3，

x

∴x0，1，x2，x3，x4，x5依次為1，3，1，2，1，3，

∵x0=x2=1，y1=0；x1≠x3，y2=1；x2=x4=1，y3=0；x3≠x5，y4=1；

∴其“伴生數(shù)列”B是y1，y2，y3，y4；依次為0，1，0，1．

故答案為：0，1，0，1．

【點睛】本題考查新定義數(shù)列與伴生數(shù)列，仔細(xì)閱讀題目，理解定義，抓住“伴生數(shù)列”中yn與數(shù)列A中xn1,xn1

關(guān)系是解題關(guān)鍵．

5．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個

11

函數(shù)圖象的“等值點”．例如，點(1,1)是函數(shù)yx的圖象的“等值點”．

22

（1）分別判斷函數(shù)yx2,yx2x的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標(biāo)；如果

不存在，說明理由；

3

（2）設(shè)函數(shù)y(x0),yxb的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作BCx軸，垂足為C．當(dāng)ABC

x

的面積為3時，求b的值；

2

（3）若函數(shù)yx2(xm)的圖象記為W1，將其沿直線xm翻折后的圖象記為W2．當(dāng)W1,W2兩部分組成

的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出m的取值范圍．

【答案】（1）函數(shù)y=x+2沒有“等值點”；函數(shù)y=x2-x的“等值點”為(0，0)，(2，2)；（2）b43或23；

9

（3）m或1m2．．

8

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【分析】（1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；

bb

（2）根據(jù)定義分別求A(3，3)，B(，)，利用三角形面積公式列出方程求解即可；

22

2

（3）由記函數(shù)y=x-2（x≥m）的圖象為W1，將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2，可得W1與W2

的圖象關(guān)于x=m對稱，然后根據(jù)定義分類討論即可求得答案．

【詳解】解：（1）∵函數(shù)y=x+2，令y=x，則x+2=x，無解，

∴函數(shù)y=x+2沒有“等值點”；

∵函數(shù)y=x2-x，令y=x，則x2xx，即xx20，

，

解得：x12x20，

∴函數(shù)y=x2-x的“等值點”為(0，0)，(2，2)；

3

（2）∵函數(shù)y，令y=x，則x23，

x

解得：x3(負(fù)值已舍)，

3

∴函數(shù)y的“等值點”為A(3，3)；

x

∵函數(shù)yxb，令y=x，則xxb，

b

解得：x，

2

bb

∴函數(shù)yxb的“等值點”為B(，)；

22

11bb

ABC的面積為BC?xBxA??33，

2222

即b223b240，

解得：b43或23；

（3）將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2．

∴W1與W2兩部分組成的函數(shù)W的圖象關(guān)于xm對稱，

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2

yx2xm

∴函數(shù)W的解析式為2，

y2mx2(xm)

令y=x，則x22x，即x2x20，

，

解得：x12x21，

∴函數(shù)yx22的“等值點”為(-1，-1)，(2，2)；

令y=x，則(2mx)22x，即x24m1x4m220，

當(dāng)m2時，函數(shù)W的圖象不存在恰有2個“等值點”的情況；

當(dāng)1m2時，觀察圖象，恰有2個“等值點”；

當(dāng)m1時，

∵W1的圖象上恰有2個“等值點”(-1，-1)，(2，2)，

∴函數(shù)W2沒有“等值點”，

22

∴4m1414m20，

整理得：8m90，

9

解得：m．

8

9

綜上，m的取值范圍為m或1m2．

8

【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對稱性．解

答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．

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一、新定義問題介紹

新定義的題目大概可分為兩個問題的綜合：模型化問題&變量問題

大部分問題都是兩者兼有之的，不過總會偏向某一方面。

二、新定義的結(jié)構(gòu)：“新定義”=定義條件+名稱與表述

題干——新定義——頂點選點/求值——單變量——多變量

解決這類問題的核心就是提取模型

提取模型就是把定義條件用我們已知的幾何基本模型

（有一些特殊的題提取出的模型可能是代數(shù)模型）運(yùn)用所給的內(nèi)容聯(lián)系學(xué)過的內(nèi)容。進(jìn)行提取分析。

而這就是所謂“提取模型”的含義

三、新定義的類型與作用

第一問：簡單，一般是給出點并選點，用于發(fā)現(xiàn)模型

第二問：偏難，一般是單變量問題（即只有一個變化圖形），用于驗證模型/初步實踐模型

第三問：很難，一般是多變量問題（很多圖形同時變化），用于應(yīng)用/實踐模型

或者

題干：得到模型，第一問：檢驗?zāi)Ｐ?，第二問：實踐模型，第三問：進(jìn)一步實踐模型

或者：題干：，第一問：發(fā)現(xiàn)模型，第二問：驗證模型，第三問：實踐模型

四、解決思路：

第一問：題目一般會給出幾個特殊點，通過這些特殊點將能夠發(fā)現(xiàn)某些關(guān)系（點的軌跡是個圓？可行的點

在圓內(nèi)還是圓上還是圓外？），幫助構(gòu)建模型。

第二問：運(yùn)用第一問構(gòu)建出來的模型，進(jìn)行關(guān)系間的操作以求得范圍邊界（例如相切相交之類），并且以

此來驗證模型是否正確且完善（例如圓上能不能取，線段端點能不能取等等），用訂正后的模型再次訂正

這道題。

第三問：運(yùn)用第二問完善得到的模型，通過對變量的處理以及幾何圖形的關(guān)系得到結(jié)果。

五、核心與主旨

核心：將題干中復(fù)雜的語言翻譯學(xué)生的便于操作的語言

主旨：沒有無緣無故的第一問，三問聯(lián)動處理，逐漸遞進(jìn)，相互依存

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a2abab

1．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考一模）定義新運(yùn)算：對于任意實數(shù)a、b，都有a*b2．例如：

abbab

22

4*2，因為4＞2，所以4*2＝4﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x+x﹣6＝0的兩個根，則x1*x2的值為

（）

A．10或﹣10B．10C．﹣10D．3或﹣3

【答案】A

a2abab

2

【分析】首先解方程x+x﹣6＝0，再根據(jù)運(yùn)算a*b2，分兩種情況進(jìn)行討論求出x1*x2的值即

abba＜b

可．

2

【詳解】解：∵x1，x2是一元二次方程x+x﹣6＝0的兩個根，

∴（x﹣2）（x+3）＝0，

解得：x＝2或﹣3，

2

①當(dāng)x1＝2，x2＝﹣3時，x1*x2＝2﹣2×（﹣3）＝10；

2

②當(dāng)x1＝﹣3，x2＝2時，x1*x2＝﹣3×2﹣2＝﹣10．

故選：A．

【點睛】此題考查了解一元二次方程，已知字母的值求代數(shù)式的值，正確掌握解一元二次方程的方法求出

x1，x2以及利用新定義計算是解題的關(guān)鍵．

2．（2022·湖南永州·統(tǒng)考二模）定義運(yùn)算：把123n縮寫為n！，n！叫做n的階乘，如3！1236，

4！123412．請你化簡1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（）

A．（n＋1）?。?B．n！－1

C．（n＋1）！D．（n＋1）?。?

【答案】A

【分析】利用乘法分配律計算求值即可；

【詳解】解：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n

=1！×1＋2！×（3-1）＋3！×（4-1）＋…＋n！×（n+1-1）

=1?。?！-2?。?！-3！＋…＋（n+1）！-n！

=1！-2！＋（n+1）！

=（n＋1）！－1

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故選：A．

【點睛】本題考查了數(shù)字規(guī)律的探索，利用乘法分配律變形求值是解題關(guān)鍵．

3．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考二模）定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記為lgN，

其滿足運(yùn)算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因為102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100

＝2；lg4+lg3＝lg12．根據(jù)上述定義和運(yùn)算法則，計算（lg2)2+lg2?lg5+lg5的結(jié)果為_____

【答案】1

【分析】根據(jù)題意，按照題目的運(yùn)算法則計算即可．

【詳解】解：∵101=10，

∴l(xiāng)g10=1，

∴原式=（lg2）2+lg2?lg5+lg5

=lg2（lg2+lg5）+lg5

=lg2×lg10+lg5

=lg2+lg5

=lg10

=1．

故答案為1．

【點睛】本題考查學(xué)生的材料閱讀理解能力，正確理解對數(shù)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

4．（2022·湖北十堰·校聯(lián)考一模）對有理數(shù)x，y定義運(yùn)算：x※y＝ax+by，其中a，b是常數(shù)．如果2※(-1)=-4，

3※2>1，那么a，b的取值范圍為_________

【答案】a1，b2

2※(1)2ab413ab412b

【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算法則可得，即得出2a4，，解出a、

3※23a2b1223

b的取值范圍即可．

2※(1)2ab4

【詳解】根據(jù)題意可知，

3※23a2b1

b412b13a

∴a，b2a4，a，b，

232

13ab412b

∴2a4，，

223

解得：a1，b2．

故答案為：a1，b2．

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【點睛】本題考查新定義下的實數(shù)運(yùn)算，二元一次方程和解一元一次不等式．理解題意掌握新定義的運(yùn)算

法則是解題關(guān)鍵．

5．（2023·重慶黔江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）閱讀以下材料：指數(shù)與對數(shù)之間有密切的聯(lián)系，它們之間可以互化．

x

對數(shù)的定義：一般地，若aN（a0且a1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN，比如

42

指數(shù)式216可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4log216，對數(shù)式2log525，可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式525．

我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：

（）

logaMNlogaMlogaN（a0，a1，M0，N0），理由如下：

mn

設(shè)logaMm，logaNn，則Ma，Na，

mnmn

MNaaa，由對數(shù)的定義得mnlogaMN

又mnlogaMlogaN，

logaMNlogaMlogaN．

請解決以下問題：

(1)將指數(shù)式3481轉(zhuǎn)化為對數(shù)式；

M

(2)求證：loglogMlogN（a0，a1，M0，N0）；

aNaa

(3)拓展運(yùn)用：計算log69log68log62．

【答案】(1)4log381

(2)見解析

(3)2

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系求解即可；

（2）根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系求證即可；

（3）利用對數(shù)運(yùn)算法則求解即可．

【詳解】（1）解：根據(jù)指數(shù)與對數(shù)關(guān)系得：4log381．

故答案為：4log381；

mn

（2）解：設(shè)logaMm，logaNn，則Ma，Na，

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Mam

amn，

Nan

M

loglogamnmnlogMlogN．

aNaaa

M

loglogMlogN．

aNaa

（3）解：log69log68log62

log6982

log636

2．

故答案為：2．

【點睛】本題考查用新定義的知識解題，理解新定義，找到指數(shù)和對數(shù)的關(guān)鍵是求解本題的關(guān)鍵．

2

6．（2022·湖北黃石·黃石十四中?？寄M預(yù)測）x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根，

若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問題：

(1)通過計算，判斷下列方程是否是“差根方程”：

①x2﹣4x﹣5＝0；

②2x2﹣23x+1＝0；

(2)已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；

(3)若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．

【答案】(1)①不是；②是

1

(2)

2

(3)b2＝a2+4a

【分析】（1）根據(jù)“差根方程”定義判斷即可．

21

（2）根據(jù)x+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，從而得到a＝±；

2

2

（3）設(shè)x1，x2是一元二次方程ax+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得

2

b122

到41，整理即可得到b＝a+4a．

aa

（1）

2

解：①設(shè)x1，x2是一元二次方程x﹣4x﹣5＝0的兩個實數(shù)根，

第10頁共88頁.

∴x1+x2＝4，x1?x2＝﹣5，

∴﹣＝22，

|x1x2|x1x24x1x24456

∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；

2

②設(shè)x1，x2是一元二次方程2x﹣23x+1＝0的兩個實數(shù)根，

1

∴x1+x2＝3，x1?x2＝，

2

2

∴﹣＝21，

|x1x2|x1x24x1x2341

2

∴方程2x2﹣23x+1＝0是差根方程；

（2）

x2+2ax＝0，

因式分解得：x（x+2a）＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣2a，

∵關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，

1

∴2a＝±1，即a＝±；

2

（3）

2

設(shè)x1，x2是一元二次方程ax+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個實數(shù)根，

b1

∴x1+x2＝，x1?x2＝，

aa

∵關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，

∴|x1﹣x2|＝1，

2

∴﹣＝2＝，即b1，

|x1x2|x1x24x1x2141

aa

∴b2＝a2+4a．

【點睛】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，

正確的理解“差根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．

考點類型二新概念的理解與應(yīng)用

第11頁共88頁.

1．（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點Pm,n和點P'm,n'，若滿足

m0時，n'n4；m0時，n'n，則稱點P'm,n'是點Pm,n的限變點．例如：點P12,5的限變點

''2

是P12,1，點P22,3的限變點是P22,3．若點Pm,n在二次函數(shù)yx4x2的圖象上，則當(dāng)

1≤m≤3時，其限變點P'的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（）

A．2n'2B．1n'3

C．1n'2D．2n'3

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，當(dāng)0x3時，yx24x2的圖象向下平移4個單位，當(dāng)1x0時，，yx24x2

的圖象關(guān)于x軸對稱，據(jù)此即可求得其限變點P'的縱坐標(biāo)n'的取值范圍，作出函數(shù)圖像，直觀的觀察可得

到n的取值范圍

【詳解】點Pm,n在二次函數(shù)yx24x2的圖象上，則當(dāng)1≤m≤3時，其限變點P'的圖像即為圖

中虛線部分，如圖，

當(dāng)0m3時，yx24x2的圖象向下平移4個單位，當(dāng)1m0時，yx24x2的圖象關(guān)于x軸

對稱，

從圖可知函數(shù)的最大值是當(dāng)m1時，n取得最大值3，

最小值是當(dāng)m0時，n取得最小值2，

2n'3．

故選D．

【點睛】本題考查了新定義，二次函數(shù)的最值問題，分段討論函數(shù)的最值，可以通過函數(shù)圖像輔助求解，

第12頁共88頁.

理解新定義，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵．

x

2．（2021·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）定義：若10N，則xlog10N，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記

為lgN，其滿足運(yùn)算法則：lgMlgNlg(MN)(M0,N0)．例如：因為102100，所以2lg100，

亦即lg1002；lg4lg3lg12．根據(jù)上述定義和運(yùn)算法則，計算(lg2)2lg2lg5lg5的結(jié)果為（）

A．5B．2C．1D．0

【答案】C

【分析】根據(jù)新運(yùn)算的定義和法則進(jìn)行計算即可得．

【詳解】解：原式lg2(lg2lg5)lg5，

lg2lg10lg5，

lg2lg5，

lg10，

1，

故選：C．

【點睛】本題考查了新定義下的實數(shù)運(yùn)算，掌握理解新運(yùn)算的定義和法則是解題關(guān)鍵．

3．（2022·上海·統(tǒng)考中考真題）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦

相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時，這個圓的

半徑為_____．

【答案】22##22

【分析】如圖，當(dāng)?shù)认覉AO最大時，則O經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點C，連接CO交AB于F，連接

OE，DK，再證明DK經(jīng)過圓心，CFAB，分別求解AC，BC，CF，設(shè)O的半徑為r,再分別表示

EF,OF,OE,再利用勾股定理求解半徑r即可．

【詳解】解：如圖，當(dāng)?shù)认覉AO最大時，則O經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點C，連接CO交AB于F，

連接OE，DK，

第13頁共88頁.

QCD=CK=EQ,DACB=90°,

\DCOD=DCOK=90°,DK過圓心O，CFAB，

QAC=BC,DACB=90°,AB=2,

1

\AC=BC=2,AF=BF=CF=AB=1,

2

設(shè)O的半徑為r,

∴CD=r2+r2=2r=EQ,OF=1-r,OE=r,

CFAB,

2

\EF=QF=r,

2

驏2

22琪2

\r=(1-r)+琪r,

桫2

整理得：r2-4r+2=0,

=+=-

解得：r122,r222,

QOC<CF,

\r=2+2不符合題意，舍去，

∴當(dāng)?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為22.

故答案為：22

【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，弦，弧，圓心角之間的

關(guān)系，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，掌握以上知識是解本題的關(guān)鍵．

4．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍

長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為______．

【答案】6

【分析】分類討論：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果．

【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，底邊BC=3

∴AB=AC

當(dāng)AB=AC=2BC時，△ABC是“倍長三角形”；

當(dāng)BC=2AB=2AC時，AB+AC=BC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，此時A、B、C不構(gòu)成三角形，不符合題意；

所以當(dāng)?shù)妊鰽BC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為6．

故答案為6．

第14頁共88頁.

【點睛】本題考查等腰三角形，三角形的三邊關(guān)系，涉及分類討論思想，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用

分類討論思想是解題的關(guān)鍵．

5．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所

22

圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax+2ax+c組成一個開口

向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側(cè)），與

y軸的交點分別為G、H（0，﹣1）．

(1)求拋物線C2的解析式和點G的坐標(biāo)．

(2)點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN與線

段DM的長度的比值．

(3)如圖②，點E是點H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG是以

EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

12

【答案】(1)y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）

33

3

(2)

2

(3)存在，（7﹣2，0）或（﹣7﹣2，0）

【分析】（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數(shù)的解析式．

12

（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2t1），N（t，0），分別求出MN，DM，再求比值即可．

33

（3）先求出E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），分來兩種情況討論：①當(dāng)EG＝EF時，22(x2)21，

可得F（7﹣2，0）或（﹣7﹣2，0）；②當(dāng)EG＝FG時，22＝9x2，F(xiàn)點不存在．

【詳解】（1）解：將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，

第15頁共88頁.

9a6ac0

∴，

c1

1

a

解得3，

c1

12

∴y＝x2+x﹣1，

33

在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，

∴G（0，﹣3）．

12

（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2t1），N（t，0），

33

1224

∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DMt2t1(t22t3)t2t2，

3333

(t22t3)3

MN

∴＝．

222

DM(t2t3)

3

（3）存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：

由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對稱軸為直線x＝﹣1，

∵E點與H點關(guān)于對稱軸x＝﹣1對稱，

∴E（﹣2，﹣1），

設(shè)F（x，0），

①當(dāng)EG＝EF時，

∵G（0，﹣3），

∴EG＝22，

∴22＝(x2)21，

解得x＝7﹣2或x＝﹣7﹣2，

∴F（7﹣2，0）或（﹣7﹣2，0）；

②當(dāng)EG＝FG時，22＝9x2，

此時x無解；

綜上所述：F點坐標(biāo)為（7﹣2，0）或（﹣7﹣2，0）．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討

論是解題的關(guān)鍵．

第16頁共88頁.

1．（2022·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)?？既＃┬露x：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P（m，n）

和點P′（m，n′），若滿足m≥0時，n′=n-4；m＜0時，n′=-n，則稱點P′（m，n′）是點P（m，n）的限變點．例

如：點P1（2，5）的限變點是P1′（2，1），點P2（-2，3）的限變點是P2′（-2，-3）．若點P（m，n）在

二次函數(shù)y=-x2+4x+2的圖象上，則當(dāng)-1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（）

A．2n2B．1n3C．1n2D．2n3

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義得到當(dāng)m≥0時，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3時，得到-2≤n′≤2；當(dāng)m＜0時，

n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0時，得到-2≤n′≤3，即可得到限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是-2≤n′≤3．

【詳解】解：由題意可知，

當(dāng)m≥0時，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，

∴當(dāng)0≤m≤3時，-2≤n′≤2，

當(dāng)m＜0時，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，

∴當(dāng)-1≤m＜0時，-2＜n′≤3，

綜上，當(dāng)-1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是-2≤n′≤3，

故選：D．

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)限變點的定義得到n′關(guān)于m的

函數(shù)．

2．（2021·湖南長沙·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？家荒＃┒x：對于給定的一次函數(shù)yaxb

axbx0

（a、b為常數(shù)，且a0，把形如y的函數(shù)稱為一次函數(shù)yaxb的“相依函數(shù)”，已知一

axbx0

次函數(shù)yx1，若點P2,m在這個一次函數(shù)的“相依函數(shù)”圖象上，則m的值是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【分析】找出一次函數(shù)yx1的“相依函數(shù)”，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可求出m的值．

x1x0

【詳解】解：一次函數(shù)yx1的“相依函數(shù)”為y，

x1x0

∵點P（?2，m）在一次函數(shù)的“相依函數(shù)”圖象上，

∴m＝?1×（?2）?1＝1．

第17頁共88頁.

故選：A．

【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)“相依函數(shù)”的定義，找出一次函數(shù)yx1的“相依

函數(shù)”是解題的關(guān)鍵．

3．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）定義：如果三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么稱這個三角形為“倍

角三角形”．若ABC是“倍角三角形”，A90，BC4，則ABC的面積為____________．

【答案】23或4

【分析】分情況討論，當(dāng)A是B（或C）2倍時，ABC為等腰直角三角形；當(dāng)C2B或B2C

時，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可．

【詳解】解：當(dāng)A2B90時，則CB45，

∴ABAC，

∵BC4，AB2AC242，

∴ABAC22，

1

∴ABC的面積為ABAC4；

2

同理，當(dāng)A2C90時，ABC的面積為4；

當(dāng)C2B時，

∵CB90，

則C60，B30，

∵BC4，

∴AC2，AB422223，

1

∴ABC的面積為ABAC23；

2

當(dāng)B2C時，

∵CB90，

則B=60，C30，

∵BC4，

∴AB2，AC422223，

1

∴ABC的面積為ABAC23；

2

綜上，ABC的面積為23或4；

第18頁共88頁.

故答案為：23或4．

【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確理解“倍角三角形”的概念，分類討論

是解題的關(guān)鍵．

4．（2022·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)yax2abxb叫做一次函數(shù)y

＝ax＋b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax＋b叫做二次函數(shù)yax2abxb的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，

且a0）．若一次函數(shù)y＝ax＋b的“滋生函數(shù)”是yax23xa1，那么二次函數(shù)yax23xa1的“本

源函數(shù)”是______．

【答案】y﹣2x-1

【分析】由“滋生函數(shù)”和“本源函數(shù)”的定義，運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)yax23xa1的本源函數(shù)．

﹣3=a+b

【詳解】解：由題意得

a+1=b

a=﹣2

解得

b=﹣1

∴函數(shù)yax23xa1的本源函數(shù)是y﹣2x-1．

故答案為：y﹣2x-1．

【點睛】本題考查新定義運(yùn)算下的一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是充分理解新定義“本源函數(shù)”．

2

5．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）定義：如果二次函數(shù)ya1xb1xc1，（a10，a1、b1、c1是常數(shù)）與

2

ya2xb2xc2a20，a2、b2、c2是常數(shù)）滿足a1a20，b1b2，c1c20，則這兩個函致互為“旋

轉(zhuǎn)函數(shù)．例如：求函數(shù)2的旋轉(zhuǎn)函數(shù)，由函數(shù)2可知，，，．根

”y2x3x1“”y2x3x1a12b13c11

據(jù)a1a20，b1b2，c1c20求出a2、b2、c2就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

請思考并解決下面問題：

(1)寫出函數(shù)yx24x3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；

2023

(2)若函數(shù)y5x2m1xn與y5x2nx3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求mn的值；

(3)已知函數(shù)y2x1x3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關(guān)于原點的對稱

點分別是A1、B1、C1，試求證：經(jīng)過點A1、B1、C1的二次函數(shù)與y2x1x3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

第19頁共88頁.

【答案】(1)yx24x3；

(2)1；

(3)見解析．

【分析】（1）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出另一個函數(shù)的a、b、c的值，從而得出函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)定義得出m和n的二元一次方程組，從而得出答案；

（3）首先求出A、B、C三點的坐標(biāo)，然后得出對稱點的坐標(biāo)，從而求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)新定義進(jìn)

行判定．

1a0

【詳解】（1）根據(jù)題意得b4，

3c0

a1

解得b4

c3

故解析式為：yx24x3．

m1n

（2）根據(jù)題意得

n30

m2

∴

n3

20232023

∴mn23120231．

（3）根據(jù)題意得A(1,0)，B(3,0)，C(0,6)

∴A1(1,0)，B1(3,0)，C1(0,6)

又y2x1x32x24x6

2

且經(jīng)過點A1，B1，C1的二次函數(shù)為y2x1x32x4x6

a1a2220

∵b1b24

c1c2660

∴兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)，新定義型；涉及了待定系數(shù)法，關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)等知識，正確理

第20頁共88頁.

解題意，熟練運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．

6．（2022·山東濟(jì)寧·?？级＃径x】如圖1，A，B為直線l同側(cè)的兩點，過點A作關(guān)于直線l的對稱點

A，連接AB交直線l于點P，連接AP，則稱點P為點A，B關(guān)于直線l的“等角點”．

【運(yùn)用】

3232

(1)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A2,1，B2,1兩點．C3,，D3,，E3,三

333

點中，點________是點A，B關(guān)于直線x3的等角點；

(2)已知：如圖3，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸、y軸上，O0,0，B4,2，矩形OABC的對角線相

交于點M，點N為點M和點B關(guān)于x軸的“等角點”．求MNB的面積．

【答案】(1)E

4

(2)

3

11

【分析】（1）點A關(guān)于直x3的對稱點為A4,1，得到直線AB的解析式為yx，進(jìn)而得出結(jié)論

33

3

（2）延長BA至B，使ABBA，得到直線MB的解析式為yx4，從而得出結(jié)論．

2

【詳解】（1）解：點A關(guān)于直線x3的對稱點為A4,1，

11

∴直線AB的解析式為yx，

33

2

當(dāng)x3時，y，

3

故答案為：E；

（2）解：如圖，延長BA至B，使ABBA，

第21頁共88頁.

∵O0,0,B4,2，

∴M2,1,B4,2，

3

∴直線MB的解析式為yx4，

2

8

∴N,0，

3

111184

SMNBSMBBSNBBBB·xBxMBB·xBxN44244．

222233

【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求直線解析式、對稱點的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．

考點類型三幾何新定義問題

1．（2021·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異

2

二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點A0,2，點C2,0，則互異二次函數(shù)yxmm與正方形OABC

有交點時m的最大值和最小值分別是（）

517517

A．4，-1B．，-1C．4，0D．，-1

22

【答案】D

【分析】分別討論當(dāng)對稱軸位于y軸左側(cè)、位于y軸與正方形對稱軸x=1之間、位于直線x=1和x=2之間、

位于直線x=2右側(cè)共四種情況，列出它們有交點時滿足的條件，得到關(guān)于m的不等式組，求解即可．

第22頁共88頁.

【詳解】解：由正方形的性質(zhì)可知：B（2,2）；

2

若二次函數(shù)yxmm與正方形OABC有交點,則共有以下四種情況:

m0

當(dāng)m0時，則當(dāng)A點在拋物線上或上方時，它們有交點，此時有2，

mm2

解得：1m0；

0m1

當(dāng)0m1時，則當(dāng)C點在拋物線上或下方時，它們有交點，此時有2，

2mm0

解得：0m1；

1m2

當(dāng)1m2時，則