非線性控制系統(tǒng)

自動控制原理

教學(xué)課件

2009年淮南師范學(xué)院

校級精品課程電氣信息工程學(xué)院

自動控制原理課程教學(xué)組第八章非線性控制系統(tǒng)分析本章主要內(nèi)容

本章首先闡述非線性控制系統(tǒng)相關(guān)基本概念，簡要學(xué)習(xí)常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動的影響，系統(tǒng)介紹相平面法、描述函數(shù)法，簡介非線性控制系統(tǒng)的逆系統(tǒng)法以及非線性系統(tǒng)的校正方法。本章重點(diǎn)

學(xué)習(xí)本章，掌握非線性系統(tǒng)的性質(zhì)特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)掌握用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、基于描述函數(shù)法計(jì)算系統(tǒng)自振參數(shù)，了解非線性系統(tǒng)的簡化和非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。8-1非線性控制系統(tǒng)概述8-2常用非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動的影響8-3相平面法8-4描述函數(shù)法8-5非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)第八章非線性控制系統(tǒng)分析前述均為線性系統(tǒng)。嚴(yán)格說來，任何一個實(shí)際控制系統(tǒng)，其元部件都或多或少的帶有非線性，理想的線性系統(tǒng)實(shí)際上不存在。當(dāng)能夠采用小偏差法將非線性系統(tǒng)線性化時(shí)，稱為非本質(zhì)性非線性，可以應(yīng)用線性理論；但還有一些元部件的特性不能采用小偏差法進(jìn)行線性化，則稱為本質(zhì)性非線性，如飽和特性、繼電特性等等。這時(shí)不能采用線性理論進(jìn)行研究，所以只運(yùn)用線性理論在工程上是不夠的，還需研究分析非線性理論。什么是非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)的本質(zhì)特征是疊加原理；非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。6①實(shí)際的控制系統(tǒng)本質(zhì)上都是非線性系統(tǒng)；②線性系統(tǒng)可看作是非線性系統(tǒng)的特例。非線性系統(tǒng)一般理解為非線性微分方程所描述的系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)中含有一個或多個具有非線性特性的元件時(shí)，該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。其數(shù)學(xué)模型一般表為：有些可以近似為線性系統(tǒng)，以簡化處理：當(dāng)非線性程度不嚴(yán)重時(shí)，忽略非線性特性的影響；在系統(tǒng)的工作點(diǎn)附近，用小偏差法將非線性模型線性化。必須用非線性系統(tǒng)地分析和設(shè)計(jì)方法非線性程度比較嚴(yán)重大范圍工作為了改善系統(tǒng)的性能有意設(shè)計(jì)的非線性控制器非線性系統(tǒng)千差萬別，對于非線性系統(tǒng)目前還沒有普遍適用的處理方法8-1

非線性控制系統(tǒng)概述1.研究非線性控制理論的意義線性控制系統(tǒng)：

由線性元件組成，輸入輸出間具有疊加性，由線性微分方程描述。

非線性控制系統(tǒng)：

系統(tǒng)中有非線性元件，輸入輸出間不具有疊加性，由非線性微分方程描述。

非本質(zhì)非線性:

能夠用小偏差線性化方法進(jìn)行線性化處理的非線性。本質(zhì)非線性用小偏差線性化方法不能解決的非線性。幾種典型的非線性系統(tǒng)在下圖所示的柱形液位系統(tǒng)中，設(shè)H為液位高度，Qi為液體流入量，Q0為液體流出量，C為貯槽的截面積。根據(jù)水力學(xué)原理，得：其中比例系數(shù)k取決于液體的黏度和閥阻。液位系統(tǒng)的動態(tài)方程為顯然，液位H和液體輸入量Qi的數(shù)學(xué)關(guān)系式為非線性微分方程。由此可見，實(shí)際系統(tǒng)中普遍存在非線性因素。例如，設(shè)下圖液位系統(tǒng)的液位H在H0附近變化，相應(yīng)的液體輸入量Qi在Qi0附近變化時(shí)，可取，對作為泰勒級數(shù)展開，有鑒于H，Qi變化較小，取作泰勒級數(shù)展開式的一次項(xiàng)近似，可得以下小偏差線性方程：忽略非線性特性的影響或作小偏差線性化處理后，非線性系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)，因此可以采用線性定常系統(tǒng)的方法加以分析和設(shè)計(jì)。2.非線性系統(tǒng)的特征非線性系統(tǒng)不能應(yīng)用疊加原理，其運(yùn)動有以下特點(diǎn)：（1）穩(wěn)定性分析復(fù)雜線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與初始狀態(tài)無關(guān)，與輸入信號無關(guān)。而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于結(jié)構(gòu)參數(shù)，而且與輸入信號以及初始狀態(tài)都有關(guān)。例：對于一由非線性微分方程

x=-x(1–x).描述的非線性系統(tǒng)，顯然有兩個平衡點(diǎn)，即x1=0和x2=1。將上式改寫為設(shè)t＝0時(shí)，系統(tǒng)的初態(tài)為x0。積分上式可得非線性一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線由此可見，非線性系統(tǒng)可能存在多個平衡狀態(tài)，各平衡狀態(tài)可能是穩(wěn)定的也可能是不穩(wěn)定的。初始條件不同，自由運(yùn)動的穩(wěn)定性亦不同。更重要的是，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接關(guān)系。（2）可能存在自激振蕩現(xiàn)象

自激振蕩：在沒有外作用時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的具有固定頻率和振幅的穩(wěn)定周期運(yùn)動，簡稱自振。線性二階系統(tǒng)只在阻尼比

=0時(shí)給予階躍作用，將產(chǎn)生周期性響應(yīng)過程，這時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。實(shí)際上，一旦該系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小變化，該周期性狀態(tài)就無法維持，要么發(fā)散至無窮大，要么衰減至零。一般情況下系統(tǒng)不允許自振，但有時(shí)利用高頻小振幅自振克服系統(tǒng)的間隙、死區(qū)等對系統(tǒng)的不良影響，提高系統(tǒng)的精度。振蕩器利用自振產(chǎn)生確定頻率和振幅的振蕩信號。研究自振產(chǎn)生的條件，確定自振的頻率和周期是非線性系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。非線性系統(tǒng)的自激振蕩（3）頻率響應(yīng)發(fā)生畸變在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出分量包含大量的諧波成分，頻率響應(yīng)復(fù)雜，輸出波形會很容易畸變。對于多值非線性環(huán)節(jié)，各次諧波分量的幅值可能躍變。3.非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法相平面法時(shí)域分析法的推廣——利用相平面圖的圖解分析法。僅適用于一階和二階系統(tǒng)。描述函數(shù)法頻域分析法的推廣——圖解分析法。對非線性特性進(jìn)行諧波線性化處理。適用于系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，確定自激振蕩。逆系統(tǒng)法運(yùn)用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)。設(shè)計(jì)外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)。直接研究非線性控制問題，不必求解運(yùn)動方程。一種有前途的非線性系統(tǒng)研究方向。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的比較線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)①數(shù)學(xué)模型線性微分方程（迭加原理）非線性微分方程（不能用迭加原理）②穩(wěn)定性與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)

與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)、初始條件外部輸入有關(guān)③運(yùn)動狀態(tài)穩(wěn)定或不穩(wěn)定穩(wěn)定、不穩(wěn)定、自持振蕩

④研究重點(diǎn)穩(wěn)定性、動態(tài)及靜態(tài)性能穩(wěn)定性、自持振蕩⑤研究方法傳函、頻率法等相平面法、描述函數(shù)法、波波夫法，李亞普諾夫法等⑥典型環(huán)節(jié)比例慣性積分微分振蕩等飽和、死區(qū)、間隙、繼電器等8-2

常見非線性特性及其對系統(tǒng)的影響繼電特性、死區(qū)、飽和、間隙和摩擦是實(shí)際系統(tǒng)中常見的非線性因素。在很多情況下，非線性系統(tǒng)可以表示為在線性系統(tǒng)的某些環(huán)節(jié)的輸入或輸出端加入非線性環(huán)節(jié)。故，非線性因素的影響使線性系統(tǒng)的運(yùn)動發(fā)生變化。設(shè)非線性特性環(huán)節(jié)表示為非線性環(huán)節(jié)可看作變增益比例環(huán)節(jié)按線性比例環(huán)節(jié)描述，定義非線性環(huán)節(jié)輸入和輸出之比為其等效增益。1.繼電特性（1）特性曲線繼電特性0-MMyx來源：繼電器是繼電特性的典型元件。具有圖示性質(zhì)的繼電特性稱理想繼電器。（2）數(shù)學(xué)表達(dá)式造成的影響:

（1）改善系統(tǒng)性能，簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。（2）可能會產(chǎn)生自激振蕩，使系統(tǒng)不穩(wěn)定。2.死區(qū)特性（1）特性曲線

系統(tǒng)中的死區(qū)是由測量元件的死區(qū)、放大器的死區(qū)以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)所造成的。死區(qū)特性（2）數(shù)學(xué)表達(dá)式式中對系統(tǒng)的影響：（1）使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差（尤其是測量元件）。（2）可能會提高系統(tǒng)的抗干擾能力或減少振蕩性。來源：各類液壓閥的正重疊量；系統(tǒng)的庫倫摩擦；測量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)；彈簧預(yù)緊力等。3.飽和特性（1）特性曲線飽和特性是系統(tǒng)中最常見非線性特性。部件的飽和現(xiàn)象（2）數(shù)學(xué)表達(dá)式式中：a是線性范圍，K為線性范圍內(nèi)的傳遞系數(shù)（對于放大元件，也稱增益）。飽和特性的存在相當(dāng)于大信號作用時(shí)，增益下降。飽和特性來源：放大器的飽和輸出特性、磁飽和、元件的行程限制、功率限制等等。(1)在大信號作用下，等效傳遞系數(shù)下降跟蹤誤差，響應(yīng)時(shí)間，穩(wěn)態(tài)誤差。(2)可能使振蕩減弱。(3)可利用飽和特性來保護(hù)系統(tǒng)或元件的安全運(yùn)行。作用4.間隙特性（1）特性曲線傳動機(jī)構(gòu)（如齒輪傳動、桿系傳動）的間隙也是控制系統(tǒng)中的一種常見的非線性因素。齒輪傳動中的間隙間隙非線性特性（2）數(shù)學(xué)表達(dá)式間隙非線性特性間隙特性的輸入-輸出波形造成的影響：間隙

輸出相位滯后，減小穩(wěn)定性裕量，動特性變壞

自持振蕩。所以應(yīng)盡量避免或減小。來源：傳動機(jī)構(gòu)的間隙：

①齒輪傳動中的齒隙；②液壓傳動中的油隙；

③磁滯效應(yīng)。5.摩擦特性特性曲線

摩擦非線性對小功率角度隨動系統(tǒng)來說，是一個很重要的非線性因素。它的影響，從靜態(tài)方面看，相當(dāng)于在執(zhí)行機(jī)構(gòu)中引入了死區(qū)，從而造成了系統(tǒng)的靜差，這一點(diǎn)和死區(qū)的影響相類似。摩擦力矩示意圖直流電動機(jī)的方框圖

在非線性系統(tǒng)中，一些更復(fù)雜的非線性特性，其中有些可看成是上述典型特性的不同組合。0yx-MM-hh滯環(huán)+繼電0yx-MM-△△死區(qū)+繼電0yx-MM-△△死區(qū)+滯環(huán)+繼電8-3

相平面法1.相平面的基本概念

令

,設(shè)一個二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程描述：

則，能夠體現(xiàn)x2和x1的關(guān)系。是一種求解二階常微分方程的圖解方法。相平面:把具有直角坐標(biāo)的平面叫做相平面。相軌跡:描繪相平面上的點(diǎn)隨時(shí)間變化的曲線叫相軌跡。相軌跡方程：x2和x1的關(guān)系方程。2.相軌跡繪制的等傾線法

設(shè)系統(tǒng)微分方程可以化為在相平面上形成的曲線稱為等傾線。令等傾線是相軌跡切線斜率相等的點(diǎn)的連線。（1）等傾線的基本概念（2）相軌跡的作圖步驟a.根據(jù)等傾線方程式c.從起始點(diǎn)處的等傾線向相鄰的第二條等傾線畫直線，它的斜率近似等于這兩條相鄰等傾線斜率的平均值。再從該直線與第二條等傾線的交點(diǎn)向相鄰的第三條等傾線畫直線。這段直線的斜率等于第二.第三等傾線斜率的平均值，如此繼續(xù)下去，即可作出相軌跡。做出不同值的等傾線；b.根軌初始條件確定相軌跡的起始點(diǎn)；

等傾線法應(yīng)該遵守的重要原則：1）相軌跡的上半平面，因此相軌跡從左向右走；相軌跡的下半平面，因此相軌跡從右向左走。2）除去平衡點(diǎn)外，相軌跡與x

軸的交點(diǎn)處，由于切線斜率為無窮，所以相軌跡都與x軸垂直。3）兩軸采用的刻度應(yīng)相同。3.線性系統(tǒng)的相軌跡（1）線性一階系統(tǒng)的相軌跡設(shè)系統(tǒng)的微分方程為令

則

可見，軌跡是斜率為的直線，當(dāng)T>0時(shí)，相軌跡沿該直線收斂于原點(diǎn)；當(dāng)T<0時(shí)，相軌跡沿該直線發(fā)散至無窮遠(yuǎn)。（2）二階系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)的微分方程為特征方程的根系統(tǒng)的特征方程為取相坐標(biāo)，可化為：相軌跡方程是

在阻尼比和自然振蕩頻率取值不同時(shí)，系統(tǒng)相軌跡方程就會描繪出不同的相軌跡。1）2）3）4）5）（3）二階系統(tǒng)等傾線法等傾線方程為我們就可以畫在取不同值時(shí)，二階系統(tǒng)相軌跡。1）無阻尼運(yùn)動由方程，相軌跡方程為：其中相軌跡如下頁圖所示，在相平面上是為一族同心的橢圓。每個橢圓相當(dāng)于一個簡諧振動。系統(tǒng)無阻尼運(yùn)動時(shí)的相軌跡圖中的奇點(diǎn)(0,0)稱為中心相軌跡的方向如左圖中箭頭所示。相軌跡垂直穿過橫軸。坐標(biāo)原點(diǎn)處相軌跡的斜率不能由該點(diǎn)的坐標(biāo)唯一地確定，該點(diǎn)叫做奇點(diǎn)。2）欠阻尼運(yùn)動其中方程的解為相軌跡如右圖所示。從圖中可以看出，欠阻尼系統(tǒng)不管初始狀態(tài)如何，它經(jīng)過衰減振蕩，最后趨向于平衡狀態(tài)。坐標(biāo)原點(diǎn)是一個奇點(diǎn)，它附近的相軌跡是收斂于它的對數(shù)螺旋線，這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定的焦點(diǎn)。系統(tǒng)欠阻尼運(yùn)動時(shí)的相軌跡3）過阻尼運(yùn)動

這時(shí)方程的解為相軌跡如下頁圖所示。過阻尼時(shí)的相軌跡過阻尼運(yùn)動的時(shí)間響應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)是一個奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。4）負(fù)阻尼運(yùn)動相軌跡圖如右圖所示，此時(shí)相軌跡仍是對數(shù)螺旋線，但相軌跡的運(yùn)動方向與圖不同，隨著t的增長，運(yùn)動過程是振蕩發(fā)散的。這種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。時(shí)系統(tǒng)負(fù)阻尼運(yùn)動時(shí)的相軌跡系統(tǒng)的相軌跡圖如右圖所示，奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。時(shí)系統(tǒng)負(fù)阻尼運(yùn)動時(shí)的相軌跡此時(shí)相軌跡如右圖所示。奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。該奇點(diǎn)是不穩(wěn)定的。斥力系統(tǒng)的相軌跡線性二階系統(tǒng)相軌跡的奇點(diǎn)類型4.奇點(diǎn)和奇線

這樣的點(diǎn)稱為普通點(diǎn)。通過普通點(diǎn)的相軌跡只有一條。（即相軌跡曲線不會在普通點(diǎn)相交）

由相軌跡的斜率方程可知,相平面上的點(diǎn)只要不同時(shí)滿足,則該點(diǎn)相軌跡的斜率是唯一確定的。

（1）普通點(diǎn)54

若相平面中的某點(diǎn)，同時(shí)滿足,則該點(diǎn)相軌跡的斜率,為不定值，這類特殊點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。（2）奇點(diǎn)奇點(diǎn)處，系統(tǒng)運(yùn)動速度和加速度同時(shí)為零，狀態(tài)處于平衡，故奇點(diǎn)又稱平衡點(diǎn)。通過奇點(diǎn)的相軌跡不止一條，它是相軌跡曲線的點(diǎn)。

線性二階系統(tǒng)是非線性二階系統(tǒng)的特殊情況。特征根在s平面上的分布，決定了系統(tǒng)自由運(yùn)動的形式，因而可由此劃分線性二階系統(tǒng)奇點(diǎn)(0,0)的類型。1）焦點(diǎn)。當(dāng)特征根為一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根時(shí)，奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)；當(dāng)特征根為一對具有正實(shí)部的共軛復(fù)根時(shí)，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。2）節(jié)點(diǎn)。當(dāng)特征根為兩個負(fù)實(shí)根時(shí)，奇點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)；當(dāng)特征根為兩個正實(shí)根時(shí)，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。3）鞍點(diǎn)。當(dāng)特征根一個為正實(shí)根，一個為負(fù)實(shí)根時(shí)，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。（3）奇線56非線性系統(tǒng)通常存在多個奇點(diǎn)多個奇點(diǎn)共同作用，會產(chǎn)生特殊的相軌跡：

能夠把相平面劃分為具有不同運(yùn)動特點(diǎn)的多個區(qū)域，這種特殊的相軌跡稱為奇線。1）穩(wěn)定的極限環(huán)2）不穩(wěn)定的極限環(huán)3）半穩(wěn)定的極限環(huán)極限環(huán)各種類型的極限環(huán)對于非線性系統(tǒng)還有一種與線性系統(tǒng)不同的運(yùn)動狀態(tài)---自持振蕩，它在相平面圖上表現(xiàn)為一條孤立封閉曲線，稱之為極限環(huán)或奇線。

極限環(huán)附近的相軌跡都卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。因此，極限環(huán)將相平面分成內(nèi)部平面和外部平面，極限環(huán)內(nèi)部（外部）的相軌跡，不能穿過極限環(huán)進(jìn)入它的外部（內(nèi)部）。分析極限環(huán)鄰近相軌跡的特點(diǎn)，可將極限環(huán)分成：（1）穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡均收斂于該極限環(huán)，穩(wěn)定極限環(huán)對應(yīng)穩(wěn)定的自持振蕩。（2）不穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡均從該極限環(huán)發(fā)散出去，不穩(wěn)定極限環(huán)對應(yīng)不穩(wěn)定的自持振蕩。（3）半穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡有一側(cè)收斂于該極限環(huán)，而另一側(cè)的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去，半穩(wěn)定極限環(huán)。繪制相軌跡的步驟小結(jié)：a.根據(jù)等傾線方程式c.從起始點(diǎn)處的等傾線向相鄰的第二條等傾線畫直線，它的斜率近似等于這兩條相鄰等傾線斜率的平均值。再從該直線與第二條等傾線的交點(diǎn)向相鄰的第三條等傾線畫直線。這段直線的斜率等于第二.第三等傾線斜率的平均值，如此繼續(xù)下去，即可作出相軌跡。做出不同值的等傾線；b.根軌初始條件確定相軌跡的起始點(diǎn)；解：（1）等傾線方程故等傾線方程為顯然為直線該等傾線的斜率為

例1

做出的相軌跡

對應(yīng)的相軌跡經(jīng)過該等傾線的斜率為

取不同值時(shí)，可在相平面上畫出若干不同的等傾線，在每條等傾線上畫出表示該等傾線斜率值的小線段，這些小線段表示相軌跡通過等傾線時(shí)的方向，從相軌跡的起點(diǎn)按順序?qū)⒏餍【€段連接起來，就得到了所求的相軌跡。X’xa=-1a=-2a=infa=0a=15.非線性系統(tǒng)的相平面分析1、作出系統(tǒng)的相平面圖。對于具有間斷特性的非線性系統(tǒng)，一般表示為數(shù)學(xué)上的分區(qū)作用，因此，在相平面上的相軌跡也是分區(qū)作出的。2、分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由分區(qū)穿越的各段構(gòu)成的相軌跡，最終是收斂還是發(fā)散。3、分析系統(tǒng)是否具有極限環(huán)。4、可以參考線性系統(tǒng)的性能指標(biāo)來考慮該非線性系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間與超調(diào)量等。（1）相平面圖分析（2）具有分段線性的典型非線性系統(tǒng)相軌跡分析步驟（1）用n條分界線（開關(guān)線，轉(zhuǎn)換線）將相平面分成n個線性區(qū)域；（2）分別寫出各個線性區(qū)域的微分方程；（3）求出各線性區(qū)的奇點(diǎn)位置并畫出相平面圖；（4）將各相鄰區(qū)的相軌跡聯(lián)成連續(xù)曲線------非線性系統(tǒng)的相軌跡。關(guān)于奇點(diǎn)：（2）當(dāng)奇點(diǎn)位于本線性區(qū)域之內(nèi)----實(shí)奇點(diǎn)；當(dāng)奇點(diǎn)位于本線性區(qū)域之外----虛奇點(diǎn)；該區(qū)域的相軌跡永遠(yuǎn)不能到達(dá)此點(diǎn)；（3）二階非線性系統(tǒng)只可能有一個實(shí)奇點(diǎn)。（1）每個線性區(qū)有一個奇點(diǎn)；8-4

描述函數(shù)法

描述函數(shù)是非線性特性的一種線性近似表示。用描述函數(shù)后，非線性系統(tǒng)可近似視為線性系統(tǒng)，用線性系統(tǒng)理論去分析，甚至設(shè)計(jì)?？紤]一非線性環(huán)節(jié)N，其輸入為x(t)，輸出為n(t)。描述函數(shù)法：找出一個線性函數(shù)y(t)去逼近n(t)，并且要求按照均方誤差最小的準(zhǔn)則衡量，這種逼近是最佳的。1.描述函數(shù)的基本概念針對一任意非線性系統(tǒng)，設(shè)輸入x=Xsinωt

，輸出為n(t)

，則可以將n(t)表示為傅立葉級數(shù)形式：如果非線性環(huán)節(jié)N的特性是對稱的，則A0=0。

非線性特性的線性化表示方法：以輸出n(t)的基波分量近似地代替整個輸出。亦即略去輸出的高次諧波，將輸出表示為基波幅值

基波初相位此時(shí)，非線性環(huán)節(jié)相當(dāng)于一個對正弦輸入信號的幅值及相位進(jìn)行變換的環(huán)節(jié)，可以仿照線性系統(tǒng)頻率特性的概念建立非線性特性的等效幅相特性。定義：正弦信號作用下非線性環(huán)節(jié)輸出量的基波分量與其輸入正弦量的復(fù)數(shù)比即為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中：N（A）——非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

A——正弦輸入信號的振幅

——非線性環(huán)節(jié)輸出基波分量的振幅——非線性環(huán)節(jié)輸出基波分量相對于輸入信號的相位描述函數(shù)一般為輸入信號振幅的函數(shù)，故記作N(A)，當(dāng)非線性元件中包含儲能元件時(shí)，N同時(shí)為輸入信號振幅及頻率的函數(shù)，記作N（A，

）。用描述函數(shù)表示非線性特性時(shí)，相當(dāng)于用斜率隨輸入振幅A而變的一簇直線代替了元件本來的非線性特性，因此，可以把非線性元件看作是一個放大器，其增益是一個復(fù)數(shù)，該復(fù)數(shù)的模值和幅角是幅值A(chǔ)的函數(shù)。用描述函數(shù)表示非線性元件后，就可以用線性理論中的頻率法來研究非線性系統(tǒng)的基本特性，關(guān)鍵是N（A）的計(jì)算。例1

試計(jì)算繼電特性的描述函數(shù)由于輸出的周期方波信號為奇函數(shù)，則傅氏級數(shù)中的直流分量A0與基波偶函數(shù)分量的系數(shù)A1均為零：

A0=A1=0而基波奇函數(shù)分量的系數(shù)B1為：

故基波分量為：

因此，理想繼電器特性的描述函數(shù)為：

例2

試計(jì)算如下非線性元件元件的描述函數(shù)因?yàn)樗菃沃?、奇對稱的，，先求出：

所以

非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用條件1）非線性系統(tǒng)應(yīng)可簡化成一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式如下圖所示。2）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸入特性y(x)應(yīng)是x的奇函數(shù)，或正弦輸入下的輸出為t的奇對稱函數(shù)，以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常值分量，即A0=0.3）系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。低通濾波作用使非線性環(huán)節(jié)的高次諧波分量大大削弱，近似地只有一次諧波分量通過?；緫?yīng)用條件①

結(jié)構(gòu)上：N(A),G(j

)串聯(lián)

②N(A)奇對稱,y1(t)幅值占優(yōu)③G(j

)低通濾波特性好非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)y(t)ωty(t)ωtωty(t)y(t)ωt2.典型非線性特性的描述函數(shù)（1）死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié)（2）死區(qū)與滯環(huán)繼電特性非線性環(huán)節(jié)飽和特性死區(qū)特性死區(qū)飽和特性常見非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)非線性增益I非線性增益II理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性間隙、滯環(huán)特性3.非線性系統(tǒng)的簡化（1）非線性特性的并聯(lián)兩個非線性特性并聯(lián)的等效非線性特性為兩個非線性特性的疊加。并聯(lián)非線性特性的等效描述函數(shù)為各非線性特性的描述函數(shù)的代數(shù)和。（2）非線性特性的串聯(lián)與前后次序有關(guān)，具體情況具體分析，等效描述函數(shù)需要計(jì)算。（3）線性部分的等效變換用描述函數(shù)法分析非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)僅表示非線性元件在正弦輸入信號作用下，其輸出的基波分量與輸入正弦信號的關(guān)系，因而它不可能像線性系統(tǒng)中的頻率特征那樣能全面地表征系統(tǒng)的性能，只能近似地用與分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩。4.非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法任何非線性系統(tǒng)經(jīng)過對方框圖的變換與簡化都可以表示成由線性部分G(jω)與非線性部分N(A)相串聯(lián)的情況，如下圖所示：上述系統(tǒng)滿足用描述函數(shù)法進(jìn)行分析的條件，則描述函數(shù)可以作為一個具有復(fù)變增益的比例環(huán)節(jié)，用線性系統(tǒng)的頻率特性法，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(乃奎斯特判據(jù))若開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是G(j

)軌跡不包圍復(fù)平面的(-1,j0)。負(fù)倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負(fù)倒特性)線性系統(tǒng)(-1,j0)?根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率特性法，將頻率特性推廣到圖示的非線性系統(tǒng)，則其閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性為：

特征方程為

因?yàn)槭亲钚∠辔画h(huán)節(jié)，根據(jù)線性系統(tǒng)的Nyquist判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于在復(fù)平面上曲線是否包圍實(shí)軸上的（-1，j0)點(diǎn)。由上式得：

與線性系統(tǒng)的Nyquist判據(jù)相比，-1/N(A)相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的臨界穩(wěn)定點(diǎn)（-1,j0)。只是在非線性系統(tǒng)中，臨界不是一個點(diǎn)，而是一條曲線。

Nyquist判據(jù)判別非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性：當(dāng)G(j

)為最小相位系統(tǒng)時(shí)，設(shè)：系統(tǒng)開環(huán)的線性部分G(j

)穩(wěn)定例1③G(j

)與負(fù)倒描述函數(shù)相交

閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩(極限環(huán)振蕩)

穩(wěn)定？不穩(wěn)定？

振幅（A）？

頻率(

)？

如果在復(fù)平面上-1／N(A)曲線與G(j

)曲線相交，非線性系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，則在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生周期性振蕩（穩(wěn)定或不穩(wěn)定），穩(wěn)定自持振蕩的振幅由-1／N(A)曲線交點(diǎn)處對應(yīng)的A值決定，振蕩的頻率由G(j

)曲線交點(diǎn)處的

值決定。

非線性系統(tǒng)的自持振蕩是在沒有外界輸入信號作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生的具有固定頻率和振幅的穩(wěn)定的等幅運(yùn)動。

穩(wěn)定性分析不包圍包圍相交于則系統(tǒng)穩(wěn)定不穩(wěn)定自持振蕩當(dāng)微小擾動使振幅A增大由a到c點(diǎn)時(shí)，

c點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j

)軌跡包圍，

系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)增大； 不返回到a。當(dāng)微小擾動使振幅A減小由a到d點(diǎn)，d點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j

)軌跡包圍，

系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)減??； 不返回到a。

a點(diǎn)為不穩(wěn)定自持振蕩點(diǎn)。微小擾動分析法當(dāng)微小擾動使振幅A增大由b到e點(diǎn)時(shí)，

e點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j

)軌跡包圍，

系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A減??； 返回到b。當(dāng)微小擾動使振幅A減小由b到f點(diǎn)，

f點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j

)軌跡包圍，

系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A增大； 返回到b。

b點(diǎn)為穩(wěn)定自持振蕩點(diǎn)。在曲線和曲線的交點(diǎn)處，若沿振幅A增加的方向由不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，該點(diǎn)對應(yīng)的周期運(yùn)動是穩(wěn)定的；反之，若曲線沿振幅A增加的方向在交點(diǎn)處由穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，該點(diǎn)對應(yīng)的周期運(yùn)動是不穩(wěn)定的。曲線例2例3自持振蕩分析穿入穿出相切于

不穩(wěn)定自振的點(diǎn)對應(yīng)半穩(wěn)定的周期運(yùn)動穩(wěn)定自振自振必要條件：例4

分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性(M=1)，求自振參數(shù)。解作圖分析，系統(tǒng)一定自振。由自振條件：得：比較實(shí)/虛部：

演示

例5

非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，

已知：自振時(shí),調(diào)整K使。

求此時(shí)的K值和自振參數(shù)(A,w)以及輸出振幅Ac。(2)定性分析K增大后自振參數(shù)(A,w)的變化規(guī)律。解(1)(2)依圖分析：

例6

非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，

已知：時(shí)，系統(tǒng)是否自振？

確定使系統(tǒng)自振的K值范圍；求K=2時(shí)的自振參數(shù)。(2)G3(s)=s

時(shí)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解先將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化為典型結(jié)構(gòu)解法II

特征方程法

解法I

等效變換法由自振條件解(1)G3(s)=1時(shí)虛部實(shí)部(2)G3(s)=s

時(shí)此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定有解條件：例7

非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，用描述函數(shù)法說明系統(tǒng)是否自振，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的初值(A)范圍。解將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換，求等效G*(s)G*(jw)

從穩(wěn)定區(qū)穿到不穩(wěn)定區(qū)的點(diǎn)—不是自振點(diǎn)分析可知：使系統(tǒng)穩(wěn)定的初始擾動范圍為令解將兩非線性環(huán)節(jié)等效合并，結(jié)構(gòu)圖化為例8

非線性系統(tǒng)如圖所示，分析系統(tǒng)是否存在自振；若存在自振，確定輸出端信號c(t)的振幅和頻率。

依自振條件比較虛實(shí)部分析可知：系統(tǒng)存在自振8-5

非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)通過具體例子，介紹MATLAB在描述函數(shù)法分析中的應(yīng)用。在計(jì)算機(jī)輔助分析中用到了相對描述函數(shù)的概念。非線性系統(tǒng)自振時(shí)

死區(qū)＋繼電特性的非線性控制系統(tǒng)例：已知死區(qū)＋繼電特性的非線性控制系統(tǒng)如圖所示，其中繼電特性參數(shù)為M＝1.7，死區(qū)特性參數(shù)為△＝0.7，應(yīng)用描述函數(shù)法作系統(tǒng)分析系統(tǒng)是否存在自振？若有自振須求出自振的振幅x與角頻率ω。解：1.方法一（1）帶死區(qū)的繼電型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為

其負(fù)倒數(shù)函數(shù)為

當(dāng)X為變量，由△開始增加時(shí)，曲線從負(fù)無窮處出發(fā)沿負(fù)實(shí)軸增加，相角始終為－π，所以曲線位于平面的負(fù)實(shí)軸上，幅值大小隨著X的增加先減后增，在X增加到時(shí)，有極大值作曲線。（2）在圖上作曲線，當(dāng)ω＝140時(shí)，曲線穿過實(shí)軸。（3）當(dāng)M＝1.7，△＝0.7時(shí)，曲線的端點(diǎn)值為因此，曲線與在處兩次相交，兩次相交的X值分別為死區(qū)＋繼電特性非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法分析擾動作用使得系統(tǒng)的運(yùn)動脫離A點(diǎn)。而在B點(diǎn)鄰域兩邊的運(yùn)動，基于奈氏穩(wěn)定性判據(jù)而形成自持振蕩。振蕩頻率與振蕩幅值如圖可知分別為對于A點(diǎn)鄰域，被曲線包圍的段上，是增幅的，不被曲線包圍的段上，是減幅的。因此在A點(diǎn)鄰，

2.方法二：MATLAB軟件輔助分析（1）線性部分的頻率特性為：

（2）死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)及相對描述函數(shù)：（3）在程序文件方式下執(zhí)行以下MATLAB程序OK1.m，在同一復(fù)平面上繪制非線性特性的相對負(fù)倒描述函數(shù)與線性部分的Nyquist曲線。

%MATLAB

PROGRAM

OK1.mclear

symstxyzcmx;m=1.7;c=0.7;forx=0.71:0.1:7x=c*4/(pi*x)*sqrt(1-(c/x)^2);y=0;z=-1/x+j*y;plot(-1/x,y,'k*')holdon

endn=[000460];d=conv(conv([10],[0.011]),[0.0051]);g=1.7/0.7*tf(n,d);forw=50:1:400nyquist(g,[w,w+1])holdonend

運(yùn)行該程序，在同一復(fù)平面上繪制非線性特性的相對負(fù)倒描述函數(shù)與線性部分的Nyquist曲線如下圖所示。

相對負(fù)倒描述函數(shù)與Nyquist曲線由于死區(qū)+繼電特性的描述函數(shù)是自振振幅A

的實(shí)函數(shù)，其相對負(fù)倒描述函數(shù)也是自振振幅A的實(shí)函數(shù)，其虛部為零，曲線在負(fù)實(shí)軸上，與系統(tǒng)線性部分Nyquist

曲線的交點(diǎn)也在橫坐標(biāo)上。分母有理化后，運(yùn)行以下程序，由上式分子虛部為零求

symswn;n=simple(j*(1-0.01*j*w)*(1-0.005*j*w))（4）利用交點(diǎn)在橫坐標(biāo)上，其虛部為零，求交點(diǎn)的角頻率與交點(diǎn)的交點(diǎn)的角頻率運(yùn)行結(jié)果為

n=i+3/200*w-1/20000*i*w^2交點(diǎn)虛部為零，運(yùn)行以下程序求交點(diǎn)的角頻率ω

[w]=solve('1-1/20000*w^2=0')運(yùn)行結(jié)果為

w=[100*2^(1/2)][-100*2^(1/2)]即交點(diǎn)的角頻率ω＝141.4rad

/s。運(yùn)行以下程序，將ω＝141.4rad

/s代入線性部分的頻率特

symsw;w=141.4;g=2.43*460/(j*w*(0.01*j*w+1)*(0.005*j*w+1));A=abs(g)程序運(yùn)行結(jié)果：

A=3.7271即交點(diǎn)的

性計(jì)算交點(diǎn)的（5）在此應(yīng)用相對描述函數(shù)的概念。非線性系統(tǒng)自振時(shí)有

symsz;[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.7271');c=0.7;[x]=sqrt(z)*c;x=vpa(x,3)運(yùn)行以下程序，由，求自振的振幅X。程序運(yùn)行結(jié)果：x=[.717][3.24]

(6)所得結(jié)果與方法一非常近似。課程總復(fù)習(xí)

各章概念融會貫通解題方法靈活運(yùn)用

單位反饋的最小相角系統(tǒng)，開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖所示例1解解1