《機械制圖與計算機繪圖》課件 第2章

第2章投影基礎(chǔ)2.1投影法

2.2物體的三面視圖

2.3幾何元素的投影

2.4幾何體的投影

2.5幾何體的軸測圖

2.1投

影

法

2.1.1投影法的基本概念

1．投影法的概念日光或燈光照射物體，在地面或墻面上會產(chǎn)生影子，這種現(xiàn)象就稱為投影。人們在長期的生產(chǎn)實踐中對投影現(xiàn)象進行了科學(xué)的研究與概括，總結(jié)出影子與物體形狀之間的對應(yīng)關(guān)系，從而產(chǎn)生了投影法。所謂投影法，就是用投射線通過物體，向選定的平面投射，并在該面上得到圖形的方法。根據(jù)投影法所得到的圖形，稱為投影；得到投影的平面，稱為投影面，如圖2－1所示。

圖2-1中心投影法

2．投影法的種類

1）中心投影法投射線匯交于一點的投影法，稱為中心投影法，如圖2-1所示。S點稱投射中心，SAa、SBb、SCc、SDd稱之為投射線，平面圖形abcd是空間平面ABCD在投影面上的投影。采用中心投影法繪制的圖樣（稱透視圖）直觀性強，符合人的視覺映像，常被用于表達建筑物的外觀形狀及用于藝術(shù)繪畫。用中心投影法得到的投影不能反映物體的真實形狀和大小，因此在機械圖樣中不被采用。

2）平行投影法假想把中心投影法中的投射中心S移至無限遠，則投射線趨向于相互平行,投射線互相平行的投影方法，

稱為平行投影法，

如圖2-2所示。

圖2-2平行投影法(a)斜投影；

(b)正投影

在平行投影法中，按投射線相對投影面垂直與否，可分為正投影和斜投影。

(1）斜投影：投射線與投影面傾斜的平行投影法，如圖2-2(a)所示。

(2）正投影：投射線與投影面垂直的平行投影法，如圖2-2(b)所示。正投影法能全面、正確地反映物體的真實形狀和大小。作圖方便、準(zhǔn)確、度量性好，是繪制機械圖樣的基本方法，也是應(yīng)用最廣泛的一種圖示法。

2.1.2正投影的基本性質(zhì)

1.真實性

如圖2-3所示,當(dāng)空間直線與投影面平行時，其投影反映直線的真實長度。當(dāng)空間平面與投影面平行時，

其投影反映平面的真實形狀。

這種投影特性稱為真實性。

圖2-3真實性

2.積聚性

如圖2-4所示,當(dāng)空間直線與投影面垂直時，其投影積聚成一點。當(dāng)空間平面與投影面垂直時，其投影積聚成一條直線。

這種投影特性稱為積聚性。

圖2-4積聚性

3.類似性

如圖2-5所示,當(dāng)空間直線與投影面傾斜時，其投影仍為直線。當(dāng)空間平面與投影面傾斜時，其投影仍為平面，但不反映原平面的實形，而是縮小了的類似形。這種投影特性稱為類似性。

圖2-5類似性

2.2物體的三面視圖

圖2-6一個視圖不能反映物體的形狀

2.2.1三視圖的形成

1．三投影面體系

互相垂直相交的三個投影面，稱為三投影面體系，如圖2-7所示。它們分別是：正立投影面：直立在觀察者正對面的投影面，簡稱正面，用字母V表示；水平投影面：水平位置的投影面，簡稱水平面，用字母H表示；側(cè)立投影面：直立在右側(cè)面的投影面，簡稱側(cè)面，用字母W表示。

三個互相垂直相交的投影面之間的交線，稱為投影軸，它們分別是：

Ｘ軸:V面與H面的交線，沿X軸方向可以度量物體的長度尺寸；

Y軸：H面與W面的交線，沿Y軸方向可以度量物體的寬度尺寸；

Z軸：V面與W面的交線，沿Z軸方向可以度量物體的高度尺寸。三根投影軸互相垂直相交，

交點稱為原點，

用字母“O”表示。

圖2-7三投影面體系

2．物體的三視圖

將物體置于三個投影面中，如圖2-8(a)所示，使物體處于觀察者與投影面之間，分別向三個投影面進行投影，可得到三個視圖，它們分別是：主視圖：從物體的前方向后方投影，在V面上得到的視圖；俯視圖：從物體的上方向下方投影，在H面上得到的視圖；左視圖：

從物體的左方向右方投影，

在W面上得到的視圖。

圖2-8三視圖的形成及投影規(guī)律(a)三視圖的形成；(b)三視圖的展開；(c)H、V、W面處在同一平面內(nèi)；

(d)三視圖的位置

3．三投影面展開為了方便繪圖與讀圖，把互相垂直相交的三個投影面展開攤平在同一個平面內(nèi)，展開方法如圖2-8(b)所示。正面V保持不動，將H面繞X軸向下旋轉(zhuǎn)90°，將W面繞Z軸向右旋轉(zhuǎn)90°，使H面、W面與V面處于同一平面內(nèi)，如圖2-8(c)所示。由于視圖所表達的物體的形狀與投影面的大小無關(guān)（投影面大小可隨物體的大小變化）。與投影面之間的距離無關(guān)，因此機械圖樣上不畫投影面的邊框線和投影軸，如圖2-8(d)所示。2.2.2三視圖之間的對應(yīng)關(guān)系將投影面展開到一個平面上后，各視圖必須有規(guī)則的配置，并相互之間形成一定的對應(yīng)關(guān)系，如圖2-9所示。

圖2-9三視圖之間的對應(yīng)關(guān)系

1．位置關(guān)系

以主視圖為準(zhǔn)，俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方。

畫三視圖時必須按以上的投影關(guān)系配置。

2．尺寸關(guān)系

物體有長、寬、高三個方向的尺寸，每個視圖都能夠反映物體兩個方向尺寸：主視圖反映了物體的長度和高度，俯視圖反映了物體的長度和寬度，左視圖反映了物體的寬度和高度。這樣主、俯視圖共同反映了物體的長度尺寸；主、左視圖共同反映了物體的高度尺寸；俯、左視圖共同反映了物體的寬度方向尺寸。由此看出相鄰兩個視圖同一方向的尺寸相等，即：

主、俯視圖長度相等，且對正；主、左視圖高度相等，且平齊；俯、左視圖寬度相等。簡稱“長對正、高平齊、寬相等”的“三等”關(guān)系，就是三視圖的投影規(guī)律。在畫圖、讀圖時，都要嚴(yán)格遵循這一規(guī)律。

3．方位關(guān)系空間的物體有上下、左右、前后六個方向的位置。主視圖反映了物體的上下、左右；俯視圖反映了物體的前后、左右；左視圖反映了物體的前后、上下。由于H投影面和W投影面在展開攤平時各向下、向右旋轉(zhuǎn)了90°，因此俯視圖、左視圖的靠近主視圖的一側(cè)反映物體的后面，遠離主視圖的一側(cè)反映物體的前面，如圖2-9所示。2.2.3三視圖的作圖方法和步驟畫三視圖時，需要根據(jù)正投影的原理、特性及三視圖間的投影規(guī)律，將理性認(rèn)識變?yōu)閳D示能力，在圖紙上畫出各個視圖。（1）確定主視圖，把物體上最能反映形狀特征的一面選為畫主視圖的方向，同時還要注意使俯視圖、左視圖上的虛線盡量少。（2）定出各視圖的位置，并注意各視圖之間須留有適當(dāng)?shù)木嚯x，畫出對稱中心線、軸線或主要邊線等一些主要基準(zhǔn)線。

（3）分析組成物體各表面的投影特性，一般宜先畫投影具有真實性或積聚性的那些表面。（4）畫圖順序一般先從主視圖開始，然后按投影規(guī)律“長對正、高平齊、寬相等”同時繪制三個視圖，特別要注意“寬相等”的畫法，

如圖2-10所示。

圖2-10保持寬相等的三種畫法

例2-1以圖2-11所示物體為例，說明畫三視圖的方法和步驟，如圖2-12所示。

圖2-11軸測圖

圖2-12三視圖的畫圖步驟(a)選主視圖，畫基準(zhǔn)線;(b)先從主視圖畫起;(c)根據(jù)尺寸關(guān)系，

逐一畫全三個視圖;(d)加深、

擦去作圖線，

完成三視圖

2.3幾何元素的投影

2.3.1點的投影

1.點的投影

設(shè)形體上有一點A，如圖2-13(a)所示，過點A向三個投影面作投射線。投射線與投影面的交點就是點A的投影，按規(guī)定空間的點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。即：點A在水平面H上的投影稱為水平投影，用a表示；點A在正面V上的投影稱為正面投影，用a′表示；點A在側(cè)面W上的投影稱為側(cè)面投影，用a″表示。圖2-13形體上點的投影(a)直觀圖;(b)投影圖

點的三面投影在形體視圖上的位置如圖2-13(b)所示。由上述可以看出，點A三個投影之間的投影關(guān)系與三視圖之間的三等關(guān)系是一致的，即：（1）點的水平投影a和正面投影a′的連線垂直于OX軸，即aa⊥OX；（2）點的正面投影a′和側(cè)面投影a″的連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ；（3）點的水平投影a到OX軸的距離等于其側(cè)面投影a″到OZ軸的距離。因此過a的水平線與過a″的垂直線必相交于過原點O的45°斜線。若將三投影面體系看作空間直角坐標(biāo)體系，以投影面為坐標(biāo)面，投影軸為坐標(biāo)軸，原點O為坐標(biāo)原點。則空間一點A至三個投影面的距離，可以用坐標(biāo)來表示，如圖2-14(a)所示。在投影圖上點A三面投影的位置也就可以根據(jù)坐標(biāo)來確定，如圖2-14(b)所示?？臻gA點至各投影面的距離與坐標(biāo)的關(guān)系如下：

A點到H面的距離Aa＝a’ax＝a″ay＝A點的z坐標(biāo)；

A點到Y(jié)面的距離Aa′＝aax＝a″az＝A點的y坐標(biāo)；

A點到W面的距離Aa″＝a′az＝aay＝A點的x坐標(biāo)。圖2-14點的三面投影(a)點投影的直觀圖;(b)展開圖;(c)點的三面投影圖

由以上關(guān)系可知，點的每一投影可由其中的兩個坐標(biāo)所確定。例如a可由A點的x坐標(biāo)及y坐標(biāo)確定；a′可由A點的x坐標(biāo)及z坐標(biāo)確定；同樣a″可由A點的Y坐標(biāo)及z坐標(biāo)確定，即a和a′和a″反映了A點的x、

y、z三個坐標(biāo)值。因此,根據(jù)空間一點A的三個坐標(biāo)(x、y、

z)及投影規(guī)律，便可做出該點的投影圖。反之，如果已經(jīng)知道空間A點的兩個或三個投影，即可求得該點的三個坐標(biāo)。

2．畫和讀點的投影圖

例2-2

如圖2-15(a)所示，已知A點的正面投影a′和側(cè)面投影a″，求作其水平投影a。解根據(jù)點的投影規(guī)律，其作圖步驟如圖2-15(b)所示。

圖2-15求作點的水平投影

3．兩點間的相對位置兩點在空間的相對位置，可以由兩點的坐標(biāo)關(guān)系來確定，如圖2-16(a)所示。兩點間的左右相對位置可由X坐標(biāo)確定，X坐標(biāo)大者在左。兩點間的前后相對位置可由Y坐標(biāo)確定，Y坐標(biāo)大者在前。兩點間的上下相對位置可由Z坐標(biāo)確定，Z坐標(biāo)大者在上。由兩點間的坐標(biāo)差，可以確定兩點間的偏移距離，如以A點為基準(zhǔn)，則B點在A點的右方6mm，前方5mm，上方11mm，

如圖2-16(b)所示。

圖2-16兩點間的相對位置

2.3.2直線的投影

1．直線投影的概念

直線的投影一般仍然是直線，兩點可以確定一條直線，因此，直線的投影實際上是直線上兩個端點，在同一投影面上投影的連線。如圖2-17所示，己知直線上兩個端點Ａ和Ｂ的三面投影，將它們的同面投影連接起來，即得到直線AB的三面投影。圖2-17直線的三面投影(a)兩點的投影；

(b)直線的投影

如圖2-18(a)所示,一個點若在直線上，則該點的投影必在直線的投影上；同理,一個點若在直線上，則該點的各面投影必在直線的同面投影上；反之，若一個點的各投影都在直線的同面投影上，則該點必在該直線上，如圖2-18(b)所示。即K點必定在直線CD上。圖2-18一般位置直線與直線上點的投影

2．各種位置直線的投影特征空間直線按其與投影面的相對位置，可分為一般位置直線和投影面的平行線、投影面的垂直線三種，后兩種稱為特殊位置直線。

1）一般位置直線同時傾斜于三個投影面的直線，稱為一般位置直線，如圖2-18所示的直線CD。一般位置直線的投影特性:在三個投影面上的投影都傾斜于投影軸，

且小于實長。

2）投影面平行線平行于一個投影面而與另外兩個投影面傾斜的直線，稱為投影面平行線。投影面平行線又可分為三種，其投影圖及投影特性見表２-1。平行于V面，傾斜于H面及W面，簡稱正平線。平行于H面，傾斜于V面及W面，簡稱水平線。平行于W面，傾斜于H面及V面，簡稱側(cè)平線。表2-1投影面平行線的投影特性

3）投影面垂直線垂直于一個投影面的直線，稱為投影面垂直線。因三個投影面是互相垂直的，所以直線與一個投影面垂直，必定與另兩個投影面平行。投影面垂直線又可分為三種，其投影圖及投影特性見表２-2。垂直于V面，平行于H面及W面，簡稱正垂線；垂直于H面，平行于V面及W面，簡稱鉛垂線；垂直于W面，平行于H面及V面，簡稱側(cè)垂線。表2-2投影面垂直線的投影特性

3．畫和讀直線的投影圖

例2-3

已知直線AB為正平線，長度20mm，且B點在A點下方，完成其三面投影圖，如圖2-19(a)所示。

解：因直線AB為正平線，故在V面投影反映實長。（1）過b點做X軸垂線稱為投影連線，b′必在該投影連線上；

(2)以A點為圓心、直線AB長度20為半徑畫弧，與投影連線相交且滿足在a′下方的條件，即為b″,如圖2-19(b)所示。圖2-19作正平線的投影

例2-4如圖2-20所示，對照立體圖，分析三棱錐上各條棱線的空間位置。

解（1）按照三棱錐上每條棱線所標(biāo)的字母，在三視圖上將它們的投影分離出來。（2）根據(jù)不同位置直線投影圖的特征，判別各條棱線的空間位置是：

SA為一般位置線；AB為水平線；

SB為側(cè)平線；BC為水平線；

SC為一般位置線；

AC為側(cè)垂線。

圖2-20三棱錐上的棱線分析

2.3.3平面的投影

1．平面的投影平面在投影圖上一般是用平面圖形(如三角形、四邊形、圓等)來表示其空間位置的。如圖2-21所示，平面的投影一般仍然是平面。若求作三角形的投影時，可先作出三角形上三個頂點A、B、C的投影，然后將各頂點的同面投影連接起來，即得到該平面的投影。如△ABC在H面上的投影△abc即是將A、B、C三點的水平投影連接而成。由此可知，作平面的投影仍然是以點、線投影為基礎(chǔ)。圖2-21平面的投影

2．各種位置平面的投影特性

平面按其與投影面的相對位置，可分為一般位置平面和投影面垂直面、投影面平行面三種，后兩種稱為特殊位置平面。

1）一般位置平面傾斜于三個投影面的平面，稱為一般位置平面，如圖2-21所示。一般位置平面的投影特性：

在三個投影面上的投影都為原平面的類似形，

且小于原形。

2）投影面垂直面垂直于一個投影面，而與另外兩個投影面傾斜的平面，稱為投影面垂直面。投影面垂直面又可分為三種，其投影圖及投影特性見表2-3。垂直于V面，傾斜于H面及W面，簡稱正垂面；垂直于H面，傾斜于V面及W面，簡稱鉛垂面；垂直于W面，傾斜于V面及H面，簡稱側(cè)垂面。表2-3投影面垂直面的投影特性

3）投影面平行面平行于一個投影面的平面，稱為投影面平行面。因三個投影面是互相垂直的，所以平面與一個投影面平行，必定與另兩個投影面垂直。投影面平行面又可分為三種，其投影圖及投影特性見表2-4。平行于V面，垂直于H面及W面，簡稱正平面；平行于H面，垂直于V面及W面，簡稱水平面；平行于W面，垂直于V面及H面，簡稱側(cè)平面。表2-4投影面平行面的投影特性

3．畫和讀平面的投影圖

例2-5

如圖2-22(a)所示，已知一平面形的兩面投影，求作第三面投影。

解由圖看到該面的正面投影積聚為線，并與軸線傾斜，根據(jù)平面的投影特性，可判斷是正垂面，因而其側(cè)面投影應(yīng)為水平投影的類似形。（1）求出平面各頂點在側(cè)面的投影；（2）

連接各點成為水平投影的類似形，如圖2-22(b)所示。

圖2-22完成平面的三面投影

4．在平面上點和直線

1）平面上的直線直線在平面上的幾何條件是：若一直線通過平面上的兩個點，則此直線必定在該平面上；或一直線通過平面上的一點，并且平行于平面上的另一直線，則此直線必定在該平面上。

2）平面上的點點在平面上的幾何條件是:點在平面內(nèi)的任一直線上，則該點必在該平面上。由此可知：要在平面上取點，必須先在平面上取一直線(輔助線)，然后再在此直線上取點。

例2-6

如圖2-23(a)所示，已知△ABC上K點的正面投影k′，求作其水平投影k。

解

K點既然在平面上，那么必定在平面內(nèi)過該點的任一直線上。因此，可過K點不要作一條輔助直線，K點的水平投影必在該直線上。（1）過c′k′作直線相交于m′，c′m′為直線CM的正面投影。（2）作出直線CM的水平面投影cm，則k必在cm上，如圖2-23(b)所示。圖2-23在平面上作輔助線取點

2.4幾何體的投影

機械零件的形狀雖是多種多樣的，但都可以看成是由一些簡單的幾何體組成。如圖2－24所示的六角頭螺栓毛坯，就可看成是由正六棱柱和正圓柱組成的。這些簡單的幾何體統(tǒng)稱為基本幾何體，

簡稱基本體。

圖2-24六角頭螺栓毛坯

根據(jù)基本體表面的幾何性質(zhì)，它們可分為：

(1)平面立體：由若干平面圍成的立體，常見的有棱柱、棱錐等。

(2)曲面立體：由曲面或曲面與平面圍成的立體，其中最常見的曲面體是回轉(zhuǎn)體，如：圓柱、圓錐、圓臺、球等。

2.4.1平面立體平面立體中最常見的形式是棱柱與棱錐，它們均由棱面和底面所圍成。相鄰兩棱面的交線稱為棱線，底面和棱面的交線稱為底邊。

1．棱柱

1）形體特征如圖2-25(a)所示，正六邊形的頂面和底面為兩個形狀、大小完全相同的互相平行的正六邊形，

其余六個棱面均為垂直六邊形平面的矩形。

圖2-25六棱柱投影圖及表面取點(a)直觀圖；(b)投影及表面取點

2）投影分析如圖2-25所示，正六棱柱的上、下底面為水平面，水平投影為正六邊形，反映實形，它們的正面和側(cè)面投影均積聚為一直線；六個棱面和六條棱線均垂直于水平面，其水平投影分別積聚在六邊形的六條邊和六個頂點上。六個棱面的正面和側(cè)面投影分別為三個和兩個可見矩形，各棱線的投影與矩形的邊重合。

3）表面取點棱柱上表面點可分為在棱線上或在平面上兩種情況，在棱線上的點找出所在棱線的三個投影，通過從屬關(guān)系即可求出點的各面投影。在平面上的點，找出點所在平面積聚性投影，

平面上點必定位于該投影上，

即可求出點的各面投影。

例2-7

如圖2-25(b)所示，已知六棱柱表面點K、M的正面投影，求其另兩面投影。分析：點K在棱線上，k、k″必定在該棱線的同面投影上；點M在棱面上，m必定落在其水平投影面的積聚性投影上，根據(jù)m′、m即求得m″，完成其三面投影。

作圖：如圖2-25(b)所示，注意k″所屬棱線在側(cè)視圖上不可見，故k″不可見。

2.棱錐

1）形體特征棱錐的底面為多邊形，各側(cè)面均為過錐頂?shù)娜切?。如圖2－26(a)所示，正三棱錐底面為等邊三角形，三個側(cè)面均為過錐頂?shù)牡妊切巍?/p>

圖2-26棱錐投影圖及表面取點(a)直觀圖；

(b)投影圖及表面取點

2)投影分析如圖2-26(a)所示，正三棱錐的底面△ABC為水平面，其水平投影△abc為等邊三角形，反映實形，正面和側(cè)面投影都積聚為一水平線段。棱面△SAC為側(cè)垂面，所以側(cè)面投影積聚為一直線，水平和正面投影都是類似形。棱面△SAB和△SBC為一般位置平面，三面投影均為類似形。

3)表面取點棱錐上表面點一般情況與棱柱相同，若是一般位置平面，三個投影都沒有積聚性，則需要通過作輔助線取表面點。例2-8如圖2-26(b)所示，已知M點的正面投影m′，求其另兩面投影。分析點M所在棱面△SAB為一般位置平面，投影沒有積聚性。作圖：過s′m′作一條輔助在面線s′l′；求該線的水平投影sl，

m必在直線sl上，根據(jù)m′、m可求得m″，完成其三面投影。2.4.2曲面立體

1.圓柱

1)圓柱面的形成圓柱面可看成是一條直線繞與它平行的軸線回轉(zhuǎn)而成。如圖2－27所示，回轉(zhuǎn)中心稱為軸線，運動直線稱為母線，

任意位置的母線稱為素線。

圖2-27圓柱面的形成

2)投影分析如圖2-28(a)所示，圓柱上、下底面為水平面，其水平投影反映實形，正面與側(cè)面投影積聚成一直線。由于圓柱軸線與水平投影面垂直，圓柱面的水平投影積聚為一個圓周（重合在上下底面圓的實形投影上），其正面和側(cè)面投影為形狀大小相同的矩形。正面投影中，矩形左右兩邊c′c1′和a′a1′分別是圓柱面最左最右素線的投影，這兩條素線的側(cè)面投影與圓柱軸線的投影重合（不必畫出），也是前半個圓柱面與后半個圓柱面在主視圖上可見與不可見的分界線，稱之為轉(zhuǎn)向輪廓線。圖2-28圓柱的投影及表面取點(a)直觀圖；

(b)投影及表面取點

3）表面取點圓柱上表面點可分為在轉(zhuǎn)向輪廓線上和在面上兩種情況，在轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，作圖關(guān)鍵是要找到該輪廓線的三個投影位置，即可通過從屬關(guān)系直接求出點的各個投影。在回轉(zhuǎn)面的點，找出其積聚性投影，點必定位于該投影上，即可求出點的各面投影。

例2-9

如圖2-28(b)所示，已知圓柱面上點M、N的正面投影m′和側(cè)面投影n″，求作兩點的另兩面投影。

分析由n″可知點N在最后邊的轉(zhuǎn)向輪廓線上，該輪廓線的正面投影與軸線投影重合，故n′不可見，n在中心線位置；點M在圓柱面上，該面的水平投影積聚成圓，故m必在該積聚性投影上，根據(jù)m′、m求得m″。

作圖如圖2-28(b)所示。

2.圓錐

1）圓錐面的形成圓錐面可看成是一條直線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成，如圖2-29(a)所示，

母線上任一點的運動軌跡稱為緯圓。

圖2-29圓錐面的投影及表面取點(a)圓錐的形成；

(b)直觀圖；

(c)投影及表面取點

2）投影分析如圖2-29(b)所示，圓錐軸線垂直于水平面，底面位于水平位置，其水平投影反映實形，正面和側(cè)面投影積聚成一直線；圓錐面在三投影面中都沒有積聚性，水平投影與底面圓的水平投影重合，正面和側(cè)面投影為形狀大小相同的等腰三角形。正面投影中，左右兩邊s′c′、s′a′分別是圓錐面最左最右素線的投影，這兩條素線的側(cè)面投影與圓錐軸線的投影重合，也是前半個圓錐面與后半個圓錐面在主視圖上可見與不可見的轉(zhuǎn)向輪廓線。

3）表面取點圓錐上表面點可分為在輪廓線上或在圓錐面上兩種情況。在輪廓線上的點，作圖關(guān)鍵是要找出所在輪廓線的三個投影，通過從屬關(guān)系即可求出點的各面投影。由于圓錐面在三投影面中都沒有積聚性，在圓錐面上取點需要通過作輔助線的方法：

(1)素線法。由于圓錐面是直母線形成的，回轉(zhuǎn)面上過錐頂?shù)木€都是直線（素線），故作輔助素線求表面點與平面輔助線求點的方法相同。

(2)緯圓法。過已知點作輔助線（緯圓），依據(jù)緯圓所在的平面垂直于軸線，其半徑是輪廓線上的點到軸線距離，確定出緯圓的半徑和圓心。

例2-10

如圖2-29(c)所示，已知圓錐面上點G、Q的正面投影g′、q′，求作兩點的三面投影。

分析由g′可知點G在最左邊的轉(zhuǎn)向輪廓線上，該輪廓線的側(cè)面投影與軸線重合，g在中心線位置；點Q在圓錐面上，需要作緯圓法取點。作圖如圖2-29(c)所示，過程如下：

(1）過q′作直線與軸線垂直，并與轉(zhuǎn)向輪廓線相交，可得到緯圓的半徑；

(2）在水平投影上作與底圓同心的緯圓，則q必在該緯圓上；

(3）根據(jù)q′、q求得q″。

3.圓球

1）圓球面的形成圓球面可看成一個圓（母線）繞其直徑回轉(zhuǎn)而成，如圖2-30(a)所示。

圖2-30圓球的投影及表面取點(`a`)圓球的形成；

(`b`)直觀圖；

(`c`)投影及表面取點

2）投影分析圓球的三個視圖都是與圓球直徑相等的圓，均表示圓球面的投影，沒有積聚性；這三個圓也分別表示圓球面上三個不同方向的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。如圖2-30(b)所示，主視圖中的圓1′，表示前半球與后半球的分界線，是平行于正面的前后方向轉(zhuǎn)向輪廓素線圓的投影，它在H和W面的投影與圓球的前后對稱中心線1、1″重合。

3）表面取點圓球面在輪廓線上的點，同樣需找出所在輪廓線的三個投影，通過從屬關(guān)系即可求出點的各面投影。圓球面在三投影面中都沒有積聚性，因圓球的母線是圓，因而圓球面上取點必須通過緯圓法。

例2-11

如圖2-30(c)所示，已知圓球面上點E、F的正面投影e′、f′，求作兩點的三面投影。

分析由f′可知點F在與正面平行的轉(zhuǎn)向輪廓線上，該輪廓線的水平和側(cè)面投影與中心線重合；點E在圓球面上，球面的投影沒有積聚性，故需要用緯圓法求e、e″。

作圖：如圖2-30(c)所示。

(1）過e′作直線與鉛垂方向中心線垂直，并與轉(zhuǎn)向輪廓線相交，可得到緯圓的半徑；

(2）在水平投影上作與輪廓圓同心的緯圓，則e必在該緯圓上；

(3）根據(jù)e′、e求得e″。2.5幾何體的軸測圖

2.5.1軸測投影的基本知識如圖2-31所示，將物體和確定其空間位置的直角坐標(biāo)系，按選定的某一方向，用平行投影法投影到某一選定的平面上，

所得到的圖形稱為軸測投影圖，簡稱軸測圖。

圖2-31軸測投影的形成

1．軸間角和軸向變形系數(shù)

如圖2-31所示，空間坐標(biāo)軸X、Y、Z在軸測投影面上的投影X1、Y1

、Z1稱為軸測軸。相鄰兩軸測軸之間的夾角∠X1O1Y1、∠X1O1Z1、∠Y1O1Z1稱為軸間角。直角坐標(biāo)軸的軸測投影單位長度與相應(yīng)直角坐標(biāo)軸上的單位長度之比，稱為軸向變形系數(shù)。

X軸的軸向變形系數(shù)

Y軸的軸向變形系數(shù)

Z軸的軸向變形系數(shù)

顯然，軸向變形系數(shù)的大小與空間坐標(biāo)軸對軸測投影面的傾斜角度及投影方法有關(guān)。不同種類的軸測圖，其軸間角和變形系數(shù)也不相同，因此軸間角和軸向變形系數(shù)是繪制軸測圖的兩個重要參數(shù)。

2．軸測圖的投影特性軸測圖是用平行投影法得到的一種單面投影圖，因此軸測圖仍保持平行投影的投影特性。（1）物體上互相平行的線段，在軸測圖中仍互相平行；（2）物體上平行于坐標(biāo)軸的線段，在軸測圖中仍然與相應(yīng)的軸測軸平行，因此，其變形系數(shù)也一定與相應(yīng)坐標(biāo)軸的變形系數(shù)相等。

以上投影特性是繪制軸測圖的重要依據(jù)，應(yīng)熟練掌握和運用。物體上平行于各軸的線段，其線段的長度尺寸必須沿軸測軸方向度量，這就是“軸測”二字的含義。物體上不平行于各軸的線段，則不能在圖上直接度量，而應(yīng)按線段上兩端點的坐標(biāo)，分別做出端點的軸測投影，然后連線，即求得線段的軸測投影。在機械圖樣中，

最常用的軸測圖是正等測軸測圖。

2.5.2正等軸測圖

1．正等軸測圖的形成、軸間角和變形系數(shù)使物體上的三個坐標(biāo)軸與軸測投影面傾斜成相同角度，用正投影法所得到的軸測投影圖稱為正等軸測圖，簡稱正等測。正等測圖的軸間角∠X1O1Y1=∠X1O1Z1=∠Y1O1Z1=120°，軸向變形系數(shù)，p=q=r≈0.82。如圖2-32所示，為簡化作圖，常取軸向變形數(shù)系為：p=q=r=1。采用簡化變形系數(shù)畫出的軸測圖，比軸向變形系數(shù)為0.82時畫出的軸測圖放大了1.22倍，但并不影響軸測圖的直觀效果。圖2-32正等測圖軸間角和變形系數(shù)