人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第一章1.2空間向量基本定理課件

1.2空間向量基本定理第一章空間向量與立體幾何整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．了解空間向量基本定理及其意義．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握空間向量的正交分解．(直觀想象)3．掌握在簡單問題中運用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量的方法．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)(教師用書)在平面內(nèi)，任意給定兩個不共線的向量a，b，根據(jù)平面向量基本定理，對于該平面內(nèi)的任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得p＝xa＋yb.特別地，當(dāng)a，b為直角坐標(biāo)平面內(nèi)的向量時，向量p就與坐標(biāo)(x，y)建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從而將向量運算用坐標(biāo)表示，簡化了向量運算，為研究問題帶來了極大的方便．那么，對于空間向量，有沒有類似平面向量基本定理的結(jié)論呢？如圖所示，設(shè)a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，是否可以用向量a，b，c來表示向量p？[討論交流]

問題1．類比平面向量基本定理，怎么推廣得到空間向量基本定理？問題2．空間基底的構(gòu)成條件是什么？單位正交基底的構(gòu)成條件是什么？問題3．類比平面向量的分解，如何分解空間向量？問題4．用向量解決幾何問題的一般步驟是什么？[自我感知]

經(jīng)過認真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)

探究問題2你能證明x，y，z的唯一性嗎？

[新知生成]1．空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝____________．2．基底：把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．xa＋yb＋zc3．空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量________，且長度都為_，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣，把一個空間向量分解為三個________的向量，叫做把空間向量進行________．兩兩垂直1兩兩垂直正交分解【教用·微提醒】

(1)基底中不能有零向量．因為零向量與任意一個非零向量都為共線向量，與任意兩個非零向量都共面．(2)空間中任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底．(3)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表達式也有可能不同．

反思領(lǐng)悟

基底的判斷思路和注意問題1．基本思路(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為空間的一個基底．(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應(yīng)的方向向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進行相關(guān)的判斷．2．注意問題對于三個向量，若其中存在零向量，則這組向量不能作為基底；若其中存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底．[學(xué)以致用]

1．若{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能構(gòu)成空間的一個基底，則t＝(

)A．－1

B．1

C．0

D．－2

√探究2用基底表示空間向量

反思領(lǐng)悟

用基底表示向量時應(yīng)注意的兩點(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運算律進行．(2)若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是保證基向量的模及其夾角已知或易求．

探究3空間向量基本定理的初步應(yīng)用考向1

證明空間位置關(guān)系【鏈接·教材例題】例2如圖1.2-3，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．求證：MN⊥AC1.

[典例講評]

3．如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點，請選擇恰當(dāng)?shù)幕鬃C明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C．

又FG?平面AB′C，AB′?平面AB′C，所以FG∥平面AB′C．又由(1)知EG∥AC，EG?平面AB′C，AC?平面AB′C，可得EG∥平面AB′C．又FG∩EG＝G，F(xiàn)G，EG?平面EFG.所以平面EFG∥平面AB′C．反思領(lǐng)悟

(1)要證兩直線垂直，只需證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為0即可．(2)要證兩直線平行，只需證明兩直線的方向向量a＝λb即可．

考向2

求空間角【鏈接·教材例題】例3如圖1.2-4，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為C′D′，A′D′，D′D的中點．(1)求證：EF∥AC；(2)求CE與AG所成角的余弦值．

√

反思領(lǐng)悟

基向量法求空間角的基本思路將空間角轉(zhuǎn)化為兩條直線的方向向量的夾角(或其補角)，再用基向量表示兩方向向量，并借助向量的運算求出角．

反思領(lǐng)悟

求空間距離(長度)問題的步驟(1)選取空間基向量，將待求線段對應(yīng)的向量用基向量線性表示．(2)求該向量的模，利用空間向量的數(shù)量積運算求得線段的長度．

(1)證明：EF⊥B1C；(2)求EF與C1G所成角的余弦值．

應(yīng)用遷移23題號411．若p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個基底，則p是q的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件√B

[空間不共面的三個向量可以作為空間的一個基底，若a，b，c是三個共面的非零向量，則{a，b，c}不能作為空間的一個基底；但若{a，b，c}為空間的一個基底，則a，b，c不共面，且a，b，c是三個非零向量，所以p是q的必要不充分條件．故選B．]23題號4123題號41

√23題號41

23題號41

√23題號41

23題號41

23題號41

1．知識鏈：(1)空間向量基本定理．(2)空間向量基本定理的應(yīng)用．2．方法鏈：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、類比．3．警示牌：(1)基向量理解錯誤，忽視基向量的條件．(2)利用基向量表示向量時，沒有轉(zhuǎn)化目標(biāo)．(3)向量夾角和線線角的范圍不同，不要混淆．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．若{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c滿足什么條件？[提示]

a，b，c不共面．2．?dāng)⑹隹臻g向量基本定理的內(nèi)容．[提示]

如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.3．如何證明兩種位置關(guān)系(垂直與平行)?[提示]

(1)要證兩直線垂直，由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b＝0可知，可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個向量的數(shù)量積為0即可．(2)要證兩直線平行，可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個向量滿足a＝λb即可．課時分層作業(yè)(四)空間向量基本定理題號135246879101112131415

√

題號135246879101112131415題號135246879101112131415

√題號135246879101112131415B

[如圖，取BC的中點F，連接A1F，則A1D1∥EF，且A1D1＝EF，∴四邊形A1D1EF為平行四邊形，則A1F∥D1E且A1F＝D1E，

題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號3524687910111213141515．(多選)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，平行六面體的各棱長均相等，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1√√√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號3524687910111213141518．正四面體ABCD中，M，N分別為棱BC，AB的中點，則異面直線DM與CN所成角的余弦值為________．

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√√√

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151題號35246879101112131415111．(多選)在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，則下列說法正確的是(

)A．EG⊥PG

B．EG⊥BCC．FG∥BC

D．FG⊥EF√√√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號35246879101112131415112．化學(xué)中，將構(gòu)成粒子(原子、離子或分子)在空間按一定規(guī)律呈周期性重復(fù)排列構(gòu)成的固體物質(zhì)稱為晶體．在結(jié)構(gòu)化學(xué)中，可將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個個包含等同內(nèi)容的基本單位，這個基本單位叫做晶胞．已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點位置，O原子位于棱的中點)．則圖中原子連線BF與B1E