2024-2025學(xué)年上海市楊浦區(qū)高三上冊(cè)11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市楊浦區(qū)高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.設(shè)集合，，則________．2.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），表示的共軛復(fù)數(shù)，則________.3.已知向量滿足：，與的夾角為，則__________.4.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最大值，但無最小值，則的取值范圍是_______.5.袋中有形狀和大小相同的兩個(gè)紅球和三個(gè)白球，甲、乙兩人依次不放回地從袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的結(jié)果，則乙摸出紅球的概率是___________．6.展開式中系數(shù)為___________.（答案用數(shù)字作答）7.已知，若，則______.8.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，．則邊的長(zhǎng)度為__________．9.某同學(xué)6次測(cè)評(píng)成績(jī)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，且總體的中位數(shù)為88，若從中任取兩次成績(jī)，則這兩次成績(jī)均不低于93分的概率為__________.10.已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且．若點(diǎn)在拋物線上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．11.已知函數(shù)，若存在唯一的負(fù)整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．12.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為__________.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，下列說法正確的是（）A若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則14.已知，，．求的最大值（）A B. C.5 D.215.設(shè)函數(shù)和的定義域?yàn)?，若存在非零?shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)和再上具有性質(zhì)．現(xiàn)有四組函數(shù)：①，；②，；③，；④，．其中具有性質(zhì)的組數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.416.一般地，對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)取每一個(gè)正整數(shù)時(shí)，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列一個(gè)周期．給出下列四個(gè)判斷：①對(duì)于數(shù)列，若，則為周期數(shù)列；②若滿足：，，則為周期數(shù)列；③若為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)，使得恒成立；④已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零整數(shù)，為其前項(xiàng)和，若存在正整數(shù)，使得恒成立，則為周期數(shù)列．其中所有正確判斷的序號(hào)是（）A.②③④ B.②④ C.②③ D.①②③④三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）．17.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．18.學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)“公序良俗”的認(rèn)知情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中道題目回答即可．現(xiàn)從④、⑥、⑧、⑩四個(gè)題目中至少選答一道的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)（1）現(xiàn)規(guī)定：同時(shí)選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達(dá)人．學(xué)校還調(diào)查了這位學(xué)生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達(dá)人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計(jì)男性

女性

總計(jì)

請(qǐng)完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“公序良俗”達(dá)人與性別是否有關(guān)．（2）從這名學(xué)生中任選名，記表示這名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩題目數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．附表見上圖．19.已知數(shù)列和滿足，（為常數(shù)且）．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得取到最大值時(shí)的值．20.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．直線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線的斜率為，（1）求的方程；（2）證明：為定值；（3）若上存在點(diǎn)使得，在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線AB的方程．21.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的值；（3）記函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．2024-2025學(xué)年上海市楊浦區(qū)高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.設(shè)集合，，則________．【正確答案】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再利用集合交集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)榧?，，所以?.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），表示的共軛復(fù)數(shù)，則________.【正確答案】1【分析】先由復(fù)數(shù)除法求得，然后再計(jì)算．【詳解】，∴．故1本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，掌握復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則是解題基礎(chǔ)．本題還考查了共軛復(fù)數(shù)的概念．3.已知向量滿足：，與的夾角為，則__________.【正確答案】【分析】首先求出，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，又且與夾角為，所以，所以故4.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最大值，但無最小值，則的取值范圍是_______.【正確答案】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性和最值點(diǎn)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可．【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，則有，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)有最大值，但無最小值，結(jié)合正弦函數(shù)圖象，得，解得，則的取值范圍是.故答案為.5.袋中有形狀和大小相同的兩個(gè)紅球和三個(gè)白球，甲、乙兩人依次不放回地從袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的結(jié)果，則乙摸出紅球的概率是___________．【正確答案】##0.4【分析】由古典概型概率公式計(jì)算即可.【詳解】有兩種情況：①甲摸到紅球乙再摸到紅球得概率為：②甲摸到白球乙再摸到紅球得概率為：，故乙摸到紅球的概率．故6.展開式中的系數(shù)為___________.（答案用數(shù)字作答）【正確答案】【分析】先求二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，再由通項(xiàng)公式求展開式中的系數(shù).【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，，令，可得，所以展開式中含的項(xiàng)為第四項(xiàng)，其系數(shù)為，故答案為.7.已知，若，則______.【正確答案】或【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式得到方程（不等式）組，解得即可.【詳解】因?yàn)榍?，所以或，解得?故或8.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，．則邊的長(zhǎng)度為__________．【正確答案】4【分析】利用余弦定理化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】∵cosB＝，由余弦定理：42＝a2＋（2a）2－2a×2a×解得a＝2，從而c＝4故4.9.某同學(xué)6次測(cè)評(píng)成績(jī)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，且總體的中位數(shù)為88，若從中任取兩次成績(jī)，則這兩次成績(jī)均不低于93分的概率為__________.【正確答案】##0.2【分析】根據(jù)題意有莖葉圖求出，再用古典概率結(jié)合組合計(jì)算即可.【詳解】依題可得只能，得，則不低于93分的成績(jī)有三次，從6次測(cè)評(píng)成績(jī)中任取兩次成繞共有種取法，其中兩次成績(jī)均不低于93分的只有3種情況，則所求概率為.故答案.10.已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且．若點(diǎn)在拋物線上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．【正確答案】##【分析】利用拋物線的性質(zhì)，求得拋物線方程，先判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，然后設(shè)與拋物線相切且與平行的直線并求出來，根據(jù)兩平行線之間的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】由題知，設(shè)Ax則，，又，所以，拋物線方程，聯(lián)立，得，無解，則直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，設(shè)與拋物線相切且與平行的直線為，則聯(lián)立，得，則，解得，則的最小值為.故11.已知函數(shù)，若存在唯一的負(fù)整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】當(dāng)時(shí)，由可得出，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，則，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，令，可得，列表如下：增極大值減且，，，，如圖所示：要使得存在唯一的負(fù)整數(shù)，使得，即，只需，即，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．12.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為__________.【正確答案】【分析】先證明，進(jìn)而可得，設(shè)，則直線與橢圓有交點(diǎn)，聯(lián)立方程，則，即可得解.【詳解】由題意，，則，又，所以，即，設(shè)，則直線與橢圓有交點(diǎn)，聯(lián)立，得，則，解得，所以的最大值為.故答案為.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，下列說法正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【正確答案】D【分析】根據(jù)空間中直線與平面，以及平面與平面的關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，若，，，則或者異面，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，，且與，的交線垂直，才有，否則與不一定垂直，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，，則或者，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，，則，D正確，故選：D14.已知，，．求的最大值（）A. B. C.5 D.2【正確答案】B【分析】由基本不等式和題目條件得到，求出的最大值.【詳解】因?yàn)?，，由基本不等式得，故，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選：B15.設(shè)函數(shù)和的定義域?yàn)椋舸嬖诜橇銓?shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)和再上具有性質(zhì)．現(xiàn)有四組函數(shù)：①，；②，；③，；④，．其中具有性質(zhì)的組數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】①由得，符合題意；②構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性可知不具有性質(zhì)；③由可知具有性質(zhì)；④構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性可知不具有性質(zhì).【詳解】①，令，解得(舍去)或，存在非零實(shí)數(shù)，使得.②，令結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，，故無其他零點(diǎn)，不存在非零實(shí)數(shù)，使得.③，存在，使得.④，，在上單調(diào)遞增，又，故無其他零點(diǎn)，不存在非零實(shí)數(shù)，使得.故選：B.16.一般地，對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)取每一個(gè)正整數(shù)時(shí)，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的一個(gè)周期．給出下列四個(gè)判斷：①對(duì)于數(shù)列，若，則為周期數(shù)列；②若滿足：，，則為周期數(shù)列；③若為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)，使得恒成立；④已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零整數(shù)，為其前項(xiàng)和，若存在正整數(shù)，使得恒成立，則為周期數(shù)列．其中所有正確判斷的序號(hào)是（）A.②③④ B.②④ C.②③ D.①②③④【正確答案】C【分析】對(duì)于①，舉例判斷；對(duì)于②，由數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)都相等，奇數(shù)項(xiàng)都相等判斷；對(duì)于③，由為周期數(shù)列，則一個(gè)周期能必存在最大值判斷；對(duì)于④，舉例判斷.【詳解】對(duì)于①，若為:，，滿足題意，但是數(shù)列不是周期數(shù)列，故①錯(cuò)誤;對(duì)于②，由可知，......，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)都相等，奇數(shù)項(xiàng)都相等，所以當(dāng)時(shí)，能使得當(dāng)取每一個(gè)正整數(shù)時(shí)，都有，故數(shù)列為周期數(shù)列，故②正確;對(duì)于③，若為周期數(shù)列，則一個(gè)周期內(nèi)必存在最大值，它是有界的，故存在正整數(shù)，使得恒成立，故③正確;對(duì)于④，首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列:，，可任取一個(gè)符合題意的數(shù)，不妨取，滿足題意，但很明顯數(shù)列：不是周期數(shù)列，故④錯(cuò)誤.故選：C.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）．17.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）詳見解析；（2）【分析】（1）先論證平面PAD，從而，再由，得到平面PBC即可；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAB的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，由求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，所以，又，且，所以平面PAD，又平面PAD，所以，又，且，所以平面PBC，又平面PBC，所以；【小問2詳解】由題意建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以.18.學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)“公序良俗”的認(rèn)知情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中道題目回答即可．現(xiàn)從④、⑥、⑧、⑩四個(gè)題目中至少選答一道的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)（1）現(xiàn)規(guī)定：同時(shí)選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達(dá)人．學(xué)校還調(diào)查了這位學(xué)生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達(dá)人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計(jì)男性

女性

總計(jì)

請(qǐng)完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“公序良俗”達(dá)人與性別是否有關(guān)．（2）從這名學(xué)生中任選名，記表示這名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．附表見上圖．【正確答案】（1）列聯(lián)表見解析，有關(guān)；（2）分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全列聯(lián)表，求得，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能有0，1，2，3，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【小問1詳解】這100位學(xué)生中，“公序良俗”達(dá)人有20人，由此補(bǔ)全列聯(lián)表如下：性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計(jì)男性133043女性75057總計(jì)2080100零假設(shè)：“公序良俗”達(dá)人與性別無關(guān)，可得，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可推斷不成立，即認(rèn)為“公序良俗”達(dá)人與性別有關(guān)．【小問2詳解】由題意，隨機(jī)變量的可能有，，，，可得，，，，所以的分布列如下：0123所以數(shù)學(xué)期望.19.已知數(shù)列和滿足，（為常數(shù)且）．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得取到最大值時(shí)的值．【正確答案】（1）證明見解析（2）或【分析】（1）由等比數(shù)列的定義即可判斷；（2）通過單調(diào)性即可判斷.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，（為常?shù)，且），上述兩個(gè)等式相加可得，則，所以，，因?yàn)?，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，所以，，則，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】解：因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)和，且，則，由（1）可知，，所以，，所以，，則，由（1）可得，所以，，所以，，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞減，且當(dāng)且時(shí)，，且，所以，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，所以，數(shù)列從第項(xiàng)開始單調(diào)遞減，所以當(dāng)或使得取到最大值，.20.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．直線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線的斜率為，（1）求的方程；（2）證明：為定值；（3）若上存在點(diǎn)使得，在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線AB的方程．【正確答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）由離心率及所過點(diǎn)求橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，且，得，點(diǎn)差法及斜率兩點(diǎn)式求，即可證；（3）設(shè)弦的中點(diǎn)，點(diǎn)重心,，聯(lián)立直線與橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理及重心坐標(biāo)性質(zhì)得坐標(biāo)與m的表達(dá)式，代入橢圓求參數(shù)，即可得直線方程.【小問1詳解】由已知，得，解得，則橢圓的方程為；【小問