第21章一元二次方程（知識點及常考題型專題復習）-2024-2025學年人教版數(shù)學九年級上冊

第21章一元二次方程【學習目標】1．回顧一元一次方程相關知識；并了解一元二次方程及相關概念；2．掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3．掌握依據實際問題建立一元二次方程數(shù)學模型的方法．知識網絡知識網絡知識點知識點一一元二次方程的相關概念一元二次方程：化簡后，只含一個未知數(shù)（一元★），且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次★）的整式方程．一般式：（a≠0★）；其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，也叫一元二次方程的根．小試牛刀小試牛刀1．下列關于x的方程：①ax2＋bx＋c＝0；②；③x2－4＋x?＝0；④3x＝x2；⑤4x2＋3x－2＝（2x－1）。其中是一元二次方程的是_________________．2、下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（）A．ax2＋bx＋c＝0B．x2﹣x﹣2＝0C．﹣2＝0D．x2＋2x＝x2﹣13、將方程3x（x—1）＝5（x＋2）化成一元二次方程的一般形式為____________________，其中二次項系數(shù)是__________，一次項系數(shù)是__________，常數(shù)項是______________。4、方程是關于x的一元二次方程，則m＝_________。5、一元二次方程（m＋3）x2＋3x＋m2－9＝0有一個根為0，則m的值為___________。6、若關于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0有一個根是2，則m＋n＝____________．7、若a，b，c滿足，則關于x的方程的解是（

）A．1，0B．－1，0C．1，－1D．無實數(shù)根8、已知a是一元二次方程x2－2017x＋1＝0的一個根，求代數(shù)式的根？9、關于x的方程x2—6x—2021＝0的一個根是m，則m2—6m＋1＝___________，＝___________。知識點知識點二一元二次方程的解法一、基本思想：一元二次方程一元二次方程一元一次方程降次二、基本解法（一）直接開方法概念：利用平方根的定義，直接開平方，求一元二次方程的解的方法。適用形式：x2＝p、（x＋n）2＝p或（mx＋n）2＝p；表示：表示：x2＝pp>0有兩個不等的實數(shù)根：p＝0有兩個相等的實數(shù)根：x1＝x2＝0p<0無實數(shù)根步驟：小試牛刀小試牛刀1．方程的根是_______________．2、若（a2＋b2﹣3）2＝25，則a2＋b2＝（

）【整體思想/換元法】A．8或﹣2B．﹣2C．8D．2或﹣83、直接開方法求下列方程：（1）x2—8＝0；（2）25x2—36＝0．（3）9（x－1）2﹣4＝0（4）（2y—3）2—64＝0；（5）4（2x—1）2—36＝0；（6）x2﹣4x﹢4＝24、已知一元二次方程（x—3）2＝1的兩個解分別是等腰△ABC的底邊長和腰長，求△ABC的周長？（二）配方法概念：將方程左邊配成完全平方式，右邊配成非負常數(shù)，進而直接開平方求解的方法。套用公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2步驟：第1步：第1步：移項：將含有未知數(shù)的項移到左邊，常數(shù)項移到右邊；第2步：化1：兩邊同除以二次項的系數(shù)；第3步：配方：左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方★；第4步：開方：將方程變成的形式；若n≥0，直接開方求解；若n<0，原方程無解第5步：求解：解所得到的一元一次方程，得出原方程的根。小試牛刀小試牛刀1．用配方法解關于x的一元二次方程x2—2x＝4，配方后的方程是（）A．（x—1）2＝4B．（x＋1）2＝4C．（x—1）2＝5D．（x＋1）2＝52．填空：（1）x2＋6x＋_________＝（x＋_________）2；（2）x2－x＋_________＝（x－_________）2；（3）4x2＋4x＋_________＝（2x＋_________）2；（4）。3．已知，求a，b，c的值。4．用配方法解下列方程：（1）x2﹣8x＋1＝0（2）3x2﹣6x＋4＝0（3）2x2＋1＝3x5．二次三項式的值（）A、小于1B、大于1C、大于等于1D、不大于16．用配方法求2y2﹣7y＋2的最小值？（三）公式法判別式：概念概念：一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判別式希臘字母“Δ”表示，即Δ>0有2個不等實數(shù)根：，Δ＝0有2個相等實數(shù)根：Δ<0無實數(shù)根注意：當a、c異號時，方程一定有兩個不等實數(shù)根！求根公式：當Δ≥0時，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的實數(shù)根為，這個式子叫求根公式。公式法：解一元二次方程時，將各系數(shù)直接代入求根公式，直接得出根的方法。小試牛刀小試牛刀1．關于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有兩個不等的實根，則k的取值范圍是（）A．k>－1B．k>－1且k≠0C．k<1D．k<1且k≠02．關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．B．C．且D．且3．直線不經過第二象限，則關于x的方程實數(shù)解的個數(shù)是（

）A．0個B．1個C．2個D．1個或2個4．不解方程，判斷下列方程根的情況（1）x2＋9＝6x（2）x2＋3x＝－15．已知關于x的方程x2＋（m＋2）x＋2m＝0．求證：不論m取任意實數(shù)，該方程總有兩個實數(shù)根：6．求證：關于x的一元二次方程總有實數(shù)根．（提示：c＝m2＋m—1）7．已知關于x的一元二次方程x2＋kx—3＝0．（1）求證：不論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當k＝4時，用配方法解此方程。8．用公式法解一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．解：移項，得________________．二次項系數(shù)化為1，得x2＋_______＝________．配方得：即∵a≠0，∴4a2>0.（1）即（2）當b2—4ac<0時，原方程無解．9．用公式法解下列方程：（四）因式分解法因式分解：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫多項式的因式分解，也叫把這個多項式分解因式。因式分解法：通過因式分解使一元二次方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次的方法（x＋a）（x＋b）＝0，則：x＋a＝0或x＋b＝0★★因式分解的方法提公因式法：pa＋pb＋pc＝p（a＋b＋c）平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）完全平方公式：x2±2bx＋b2＝（x±b）2“十”字相乘法：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）★★因式分解法的一般步驟第1步：移項，使一元二次方程等式右邊為0；第2步：分解，將左邊分解為兩個一次因式的積；第3步：賦值，令每個因式分別為0，得到兩個一元一次方程；第4步：求解，解兩個一元一次方程，即方程的解（x＋q）【歸納】：右化零，左分解，兩因式，各求解！小試牛刀小試牛刀1．方程x（x＋3）＝0的根是（）A、x＝3B、x＝0C、x1＝0，x2＝﹣3D、x1＝0，x2＝32．方程2x2＝3x的解為（）A、0B、1.5C、﹣1.5D、0或1.53．若等腰三角形的底和腰是方程的兩個根，則三角形的周長為（）【分類討論】A．9B．12C．9或12D．不能確定4．若實數(shù)a，b滿足（4a＋4b）（4a＋4b－2）－8＝0，則a＋b＝_____________．【換元法】5．設a，b是直角三角形兩條直角邊的長，且，則直角三角形的斜邊長為____________.6．已知，且．則的值是_________．7．已知，則____________．8．解方程：（2）（5）x2＋4x﹣5＝0（6）（x﹣3）2＝2（3﹣x）知識點知識點三一元二次方程根與系數(shù)的關系若一元二次方程的兩個實數(shù)根是，則：韋達定理△≥0【注意使用條件為：a≠0，Δ≥0】韋達定理△≥0小試牛刀小試牛刀1．求下列方程兩根x1，x2的和與積：（1）（2）（3）2．已知關于x的方程x2＋4x＋q＝0的一個根為－4，求它的另一個根及q的值．3．已知關于x的一元二次方程2x2＋ax—4＝0的一個根是1，求a的值及該方程的另一根．4．已知關于x的方程x2＋ax＋a－1＝0．（1）若該方程的一個根為4，求a的值及方程的另一根；（2）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個實數(shù)根．5．已知的兩根是x1，x2。求：6．若兩根是m，n。則：。7．若a≠b，且則＝。8．設x1，x2是關于x的方程的兩個實數(shù)根，且。則m＝。9．已知關于x的一元二次方程.（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程兩實根為，，且，求m的值．10．已知關于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a﹣c）＝0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．（1）若x＝﹣1是方程的根，判斷△ABC的形狀；（2）若方程有兩個相等的實數(shù)根，判斷△ABC的形狀；（3）若△ABC是等邊三角形，求一元二次方程的根．知識點知識點四列一元二次方程解實際問題一、解題步驟第1步：審題第1步：審題，分清已知量、未知量、等量關系等；

第2步：設未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關的量）；

第3步：列方程。根據題目中等量關系，列出方程；

第4步：解方程。注意分式方程需檢驗；第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意；

第6步：解答.二、常考題型?傳播/握手問題：a表示傳播前的人數(shù)，x表示每輪每人傳播的人數(shù)，n表示傳播輪數(shù)，b表示總人數(shù)，則：b＝a（1＋x）n?增長率問題：a為起始量，b為終止量，n為增長（或降低）的次數(shù)：增長率公式：b＝a（1＋x）n降低率公式：b＝a（1－x）n?幾何圖形問題：面積公式：，，，體積公式：V長方體＝abh，V正方體＝a3，V圓柱＝πR2h，?數(shù)字問題：兩位數(shù)：十位上的數(shù)字×10＋個位上的數(shù)字三位數(shù)：百位上的數(shù)字×100＋十位上的數(shù)字×10＋個位上的數(shù)字?銷售利潤問題★（1）利潤＝售價－進價；（2）；（3）售價＝進價×（1＋利潤率）；（4）總利潤＝每件利潤×銷售量＝總銷售額－總成本；小試牛刀小試牛刀?傳播/握手問題1．同學互贈圖書，每人都向其他成員贈送一本，共互贈210本圖書，若共有x名同學，則可列方程（）A．x（x＋1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝2102．八年級組織籃球賽，賽制為單循環(huán)式（每兩班間賽一場），共15場比賽，則八年級班級個數(shù)為（）A．5B．6C．7D．83．在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，則參加酒會的人數(shù)為（）A．9人B．10人C．11人D．12人4．某電腦病毒傳播非?？?，若一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．求每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？?增長率問題1．某種植基地2016年蔬菜產量80噸，2018年產量達到100噸，設年平均增長率為x，則可列方程（）A．80（1＋x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80C．80（1＋2x）＝100D．80（1＋x2）＝1002．某地2016年貧困人口9萬人，通過社會各界努力，2018年貧困人口減少至1萬人．設年平均下降率為x，則可列方程為（）A．B．C．D．3．某公司今年1月份生產成本是400萬元，由于改進技術，生產成本逐月下降，3月份生產成本是361萬元．假設該公司2、3、4月每月生產成本下降率相同．（1）求每月生產成本的下降率；（2）預測4月份該公司的生產成本．4．某鋼鐵廠計劃今年第一季度一月份的總產量為500t，三月份的總產量為720t，若平均每月的增長率相同．（1）求第一季度平均每月的增長率；（2）若第二季度平均每月增長率保持與第一季度平均每月增長率相同，請你估計該廠今年5月份總產量能否突破1000t．?幾何圖形問題：1．如圖，某小區(qū)計劃在一塊長32m，寬20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余空地上種植草坪，使草坪面積為570m2．若設道路的寬為xm，則下列方程正確的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570B．32x＋2×20x＝32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570D．32