山東省五蓮縣2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

山東省五蓮縣2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A． B． C． D．2．已知雙曲線，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，若圓與雙曲線的右支沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率取值范圍是（）．A． B． C． D．3．一個(gè)封閉的棱長(zhǎng)為2的正方體容器，當(dāng)水平放置時(shí)，如圖，水面的高度正好為棱長(zhǎng)的一半．若將該正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，則容器里水面的最大高度為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象為C，以下結(jié)論中正確的是（）①圖象C關(guān)于直線對(duì)稱；②圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.A．① B．①② C．②③ D．①②③5．已知四棱錐的底面為矩形，底面，點(diǎn)在線段上，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).若，則的面積的最小值為（）A．9 B．7 C． D．6．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．8．已知向量，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件9．設(shè)為的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為1，則（）A． B． C． D．10．如圖，平面ABCD，ABCD為正方形，且，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點(diǎn)，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．11．若的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則二項(xiàng)式展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為（）A．85 B．84 C．57 D．5612．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),己知A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為14．（5分）某膳食營(yíng)養(yǎng)科研機(jī)構(gòu)為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素（這些元素可以延緩衰老，還能起到抗癌的效果）對(duì)人體的作用，現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．15．變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是____．16．執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13，則輸入的x的值是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)的最大值為，其中.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若求證:.19．（12分）設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，證明:當(dāng)時(shí)，.20．（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和．21．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù)：①的定義域和值域都是；②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).（1）若在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；（2）找出所有形如的函數(shù)（都是常數(shù)），使其在區(qū)間上是閉函數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱，排除AB，計(jì)算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù)，即fx+1=-f-x+1，函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線與直線的距離，根據(jù)圓與雙曲線的右支沒(méi)有公共點(diǎn)，可得，解得即可．【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，即，∵是直線上任意一點(diǎn)，則直線與直線的距離，∵圓與雙曲線的右支沒(méi)有公共點(diǎn)，則，∴，即，又故的取值范圍為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒(méi)有公共點(diǎn)得出是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，由此得到結(jié)論．【詳解】正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為，又水的體積是正方體體積的一半，且正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，所以容器里水面的最大高度為面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即最大水面高度為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的幾何特征，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和圖象變換的知識(shí)，判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，所以①正確.，所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，所以③錯(cuò)誤.所以①②正確，③錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定，根據(jù)勾股定理，得到之間的等量關(guān)系，再用表示出的面積，利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè)，，則.因?yàn)槠矫?，平面，所?又，，所以平面，則.易知，.在中，，即，化簡(jiǎn)得.在中，，.所以.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用，考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，涉及線面垂直的判定和性質(zhì)，屬中檔題.6、D【解析】

設(shè)，，去絕對(duì)值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，設(shè)，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．7、C【解析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.，值域?yàn)?，非奇非偶函?shù)，排除；B.，值域?yàn)?，奇函?shù)，排除；C.，值域?yàn)?，奇函?shù)，滿足；D.，值域?yàn)椋瞧娣桥己瘮?shù)，排除；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.8、A【解析】

向量，，，則，即，或者-1，判斷出即可．【詳解】解：向量，，，則，即，或者-1，所以是或者的充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

先化簡(jiǎn)已知得,再根據(jù)題意得出f（x）的最小值正周期T為1×2，再求出ω的值．【詳解】由題得,設(shè)x1，x2為f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為1，∴=1，解得T=2；∴=2，解得ω=π．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．10、C【解析】

分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè).則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11、A【解析】

先求，再確定展開(kāi)式中的有理項(xiàng)，最后求系數(shù)之和.【詳解】解：的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256故，要求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)，則則二項(xiàng)式展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為：故選：A【點(diǎn)睛】考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定，基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng)；結(jié)合特殊值，即可排除D選項(xiàng).【詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項(xiàng)A，B；又∵當(dāng)時(shí)，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點(diǎn)共線，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果【詳解】因?yàn)?且α+β=1，所以A,B,C三點(diǎn)共線，因此點(diǎn)C的軌跡為直線AB:【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理以及直線點(diǎn)斜式方程，考查基本分析求解能力，屬中檔題.14、【解析】

記只雌蛙分別為，只雄蛙分別為，從中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，其基本事件為，共15個(gè)，選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為，共9個(gè)，故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．15、5【解析】

分析：畫出可行域，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，可得有最大值.詳解：畫出束條件表示的可行性，如圖，由可得，可得，目標(biāo)函數(shù)變形為，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，可得有最大值，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的定點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.16、8【解析】

根據(jù)偽代碼逆向運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】輸入，若，則，不合題意若，則，滿足題意本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查算法中的語(yǔ)言，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】

（1）根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程，構(gòu)造函數(shù)，并求得，由導(dǎo)函數(shù)求得有最小值，進(jìn)而可知由唯一零點(diǎn)，即可代入求得的值；（2）將解析式代入，結(jié)合零點(diǎn)定義化簡(jiǎn)并分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；求得并令求得極值點(diǎn)，列出表格判斷的單調(diào)性與極值，即可確定與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，，設(shè)切點(diǎn)為，，故，故，則；令，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，由于，故有唯一實(shí)數(shù)根0，即，則；（2）由，得.所以“在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線與曲線在有兩個(gè)交點(diǎn)”；由于.由，解得，.當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：30+0極小值極大值所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因?yàn)椋?，，，故?dāng)或時(shí)，直線與曲線在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，由切線方程求參數(shù)值，構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)零點(diǎn)的意義及綜合應(yīng)用，屬于難題.18、（1）1；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得的最大值，進(jìn)而求得的值.（2）利用（1）的結(jié)論，將轉(zhuǎn)化為，求得的取值范圍，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，證得，由此證得不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，取得最大值.（2）證明:由（1）得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查含有絕對(duì)值的函數(shù)的最值的求法，考查利用基本不等式進(jìn)行證明，屬于中檔題.19、(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，設(shè)，證明函數(shù)單調(diào)遞減，故，得到證明.【詳解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為，故，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，設(shè)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞減，，故恒成立，故單調(diào)遞減.，故當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）4953【解析】

（Ⅰ）遞推公式變形為，由數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，得到，根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項(xiàng)公式；（Ⅱ），根據(jù)新定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算分類討論數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求前2020項(xiàng)和．【詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴又∵數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，∴，即．∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴．（Ⅱ）∵，∴，．∴數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式和數(shù)列的前項(xiàng)和，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型.21、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）要證明，只需證明即可；（2）有3個(gè)根，可轉(zhuǎn)化為有3個(gè)根，即與有3個(gè)不同交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)作出的圖象即可.【詳解】（1）令，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.（2）由已知，，依題意，有3個(gè)零點(diǎn)，即有3個(gè)根，顯然0不是其根，所以有3個(gè)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，作出的圖象，易得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等