9.4.3 菱形及其性質(zhì) 習(xí)題練

第9章中心對(duì)稱圖形——平行四邊形菱形及其性質(zhì)9.4.31012345D67答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評(píng)C8CB9B1011BC1213[2023·福建]如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．1102【點(diǎn)撥】【答案】D如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，DC邊上，添加以下條件不能判定△ABE≌△ADF的是(

)A．BE＝DF

B．∠BAE＝∠DAFC．AE＝AF

D．∠AEB＝∠AFD3【點(diǎn)撥】由四邊形ABCD是菱形可知AB＝AD，∠B＝∠D.添加BE＝DF，可利用SAS證明三角形全等；添加∠BAE＝∠DAF，可利用ASA證明三角形全等；添加AE＝AF，不能證明三角形全等；添加∠AEB＝∠AFD，可利用AAS證明三角形全等．故選C.【答案】C[2022·濟(jì)南]已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，連接DE，DF，∠ADF＝∠CDE.求證：AE＝CF.45如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A．AB＝AD

B．AC⊥BDC．AC＝BD

D．∠DAC＝∠BAC【點(diǎn)撥】由菱形的性質(zhì)可得AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，不能得到AC＝BD，故選C.【答案】C6【點(diǎn)撥】【答案】B7【點(diǎn)撥】【答案】B[2022·湘西州改編]如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，OH＝6，若菱形ABCD的面積為96，則CD的長(zhǎng)為(

)A．6B．8C．10D．148【點(diǎn)撥】【答案】C9【點(diǎn)撥】如圖，取AD的中點(diǎn)M′，連接M′N(xiāo)，M′P，則有MP＝M′P.所以MP＋PN的最小值為線段M′N(xiāo)的長(zhǎng)，即菱形的邊長(zhǎng)．【點(diǎn)易錯(cuò)】解這類(lèi)問(wèn)題同學(xué)們往往不會(huì)利用菱形的軸對(duì)稱性．利用對(duì)稱找點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，將線段和的最小值轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)是解題通法．【答案】B????[2023·嘉興]如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF.10(1)求證：AE＝AF；(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度數(shù)．【解】∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°.∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.由(1)知△ABE≌△ADF.∴∠BAE＝∠DAF＝30°.∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.又∵AE＝AF，∴△AEF是等邊三角形．∴∠AEF＝60°.[2022·濱州改編]如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，連接AE，作∠AEF＝120°且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F.11(1)求菱形ABCD的面積；(2)求證：AE＝EF.【證明】連接EC.∵四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，∠ABC＝60°，∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°.∴EA＝EC，∠DCA＝60°.∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°.∵∠AEF＝120°，∴∠EAC＋∠EFC＝360°－∠AEF－∠ACF＝360°－120°－120°＝120°.∵∠ECA＋∠ECF＝120°，∴∠EFC＝∠ECF.∴EC＝EF.∴AE＝EF.(母題：教材P79練習(xí)T2)如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5cm的菱形，其中對(duì)角線BD的長(zhǎng)為8cm.求：12(1)對(duì)角線AC的長(zhǎng)；(2)菱形ABCD的面積．如圖，菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角∠B＝60°，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接AE，AF，EF.13(1)△AEF的形狀如何？請(qǐng)證明．【解】△AEF為等邊三角形．證明如下：連接AC，如圖①所示．∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°.∵E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，∴AE平分∠BAC，AF平分∠DAC，AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠CAE＝∠CAF＝30°，∴∠EAF＝60°.∵菱形ABCD的面積為BC·AE＝CD·AF，BC＝CD，∴AE＝AF，∴△AEF為等邊三角形．(2)若E為BC上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的任意一點(diǎn)，且∠EAF＝60°，△AEF的形狀如何？請(qǐng)證明．【證明】△