江蘇省南通市海門中學(xué)2024-2025學(xué)年高三（上）數(shù)學(xué)第16周階段性訓(xùn)練模擬練習(xí)【含答案】

江蘇省南通市海門中學(xué)2024-2025學(xué)年高三（上）數(shù)學(xué)第16周階段性訓(xùn)練模擬練習(xí)一．選擇題（共5小題）1．?dāng)?shù)列{an}是公差不為零的正項等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，若b1＝a2，b2＝a5，b3＝a11．則數(shù)列{bn}的公比為（）A．2 B．3 C．5 D．112．記拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，A（4，m）為拋物線上一點，|AF|＝6，直線AF與拋物線另一交點為B，則＝（）A． B． C．2 D．33．P是直線3x﹣4y+5＝0上的一動點，過P作圓C：x2+y2﹣4x+2y+4＝0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)關(guān)于x的方程f（x）＝t有且僅有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍是（）A． B．（﹣∞，﹣e） C．（0，e） D．（e，+∞）5．已知曲線E：y＝ex與y軸交于點A，設(shè)E經(jīng)過原點的切線為l，設(shè)E上一點B橫坐標(biāo)為m（m≠0），若直線AB∥l，則m所在的區(qū)間為（）A．﹣1＜m＜0 B．0＜m＜1 C．1＜m＜ D．＜m＜2二．多選題（共6小題）（多選）6．正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為AB的中點，P為正方體表面上一個動點，則（）A．當(dāng)P在線段BC1上運動時，A1P與AD1所成角的最大值是 B．當(dāng)P在棱B1C1上運動時，存在點P使PE＝PD C．當(dāng)P在面BB1C1C上運動時，四面體P﹣AA1D的體積為定值 D．若P在上底面A1B1C1D1上運動，且正方體棱長為1，AP與AA1所成角為，則點P的軌跡長度是π（多選）7．已知函數(shù)f（x）和g（x）是定義域為R的函數(shù)．若f（x﹣2）＝f（﹣x），f（x）+g（x+3）＝3，f（﹣x﹣2）﹣g（x+1）＝﹣1，且f（﹣1）＝2．則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)y＝g（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱 B．g（1）＝2 C．函數(shù)y＝f（x）的圖像關(guān)于直線x＝﹣1對稱 D．（多選）8．若直線y＝ax+b與曲線y＝2+lnx相切，則a+b的取值可能為（）A．1 B．2 C．3 D．6（多選）9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D，E，F(xiàn)分別為AA1，BB1，CC1的中點，P為棱CC1上的動點，則（）A．平面AB1F⊥平面ABB1A1 B．點B1到平面BCD的距離為 C．DB1與DP所成角的余弦值的取值范圍為 D．以F為球心，為半徑的球面與側(cè)面ABB1A1的交線長為（多選）10．已知a，b∈R+，直線l1：x+（a﹣2）y+1＝0，l2：2bx+y﹣2＝0，且l1⊥l2，則（）A．a(chǎn)b的最大值是1 B．a(chǎn)2+b2的最小值是 C．2a+4b的最小值是4 D．的最小值是3（多選）11．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足2f（3﹣x）﹣f（x）＝x2﹣12x+18，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則（）A．f（0）+f′（0）＝0 B．曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為2x﹣y﹣1＝0 C．f（x）﹣f′（x）≥m在R上恒成立，則m≤﹣2 D．三．填空題（共5小題）12．已知（x+1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，則a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝.（用數(shù)字作答）13．若不等式eax+（2a﹣1）x﹣2lnx≥0對任意x∈（0，+∞）恒成立，則a的取值范圍是．14．已知橢圓C：的左焦點為F（﹣c，0），直線l：x﹣3y+c＝0與C交于A，B兩點，若|AB|＝3|AF|，則C的離心率是．15．已知拋物線Γ：x2＝2py（p＞0）的頂點為O，焦點為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與Γ在y軸右側(cè)交于點E．若E在l上的射影為Q且|FQ|＝4|FO|，則直線EF的斜率為．16．將正方形ABCD沿對角線BD折起，當(dāng)AC＝2時，三棱錐A﹣BCD的體積為，則該三棱錐外接球的體積為．四．解答題（共7小題）17．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，當(dāng)n?2時，2（n﹣1）Sn＝2nSn﹣1+n2﹣n．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求證：．18．已知函數(shù)f（x）＝alnx+x，g（x）＝+1，a∈R．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若0＜a≤1，證明：對任意的x＞0，f（x）＜g（x）恒成立．

19．已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，是橢圓上的點．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)A為C的左頂點，過F2的直線交橢圓C于P，Q兩點，直線AP，AQ分別交直線x＝4于M，N兩點，B是線段MN的中點，在x軸上求出一定點D，使得BD⊥PD．20．已知雙曲線C：的離心率是3，點在C上．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知直線l與C相切，且與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，試問?是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．21．已知函數(shù)f（x）＝x﹣x3．（1）求f（x）的極值；（2）已知，證明：．

22．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣aln（x+1）（a∈R）．（1）若f（x）的最值為a，求實數(shù)a的值；（2）當(dāng)a＝（n∈N*）時，證明：f（x）≥（n+1）a．23．在平面直角坐標(biāo)系中，已知F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），Q為動點，且|F2Q|＝4，線段F1Q的垂直平分線交線段F2Q于點P，設(shè)P的軌跡是曲線C，射線PF1，PF2分別與C交于A，B兩點．（1）求C的方程；（2）若，，求證：λ1+λ2為定值．

參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．【解答】解：因為數(shù)列{an}是公差不為零的正項等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，若b1＝a2，b2＝a5，b3＝a11，則b1＝a1+d，b1q＝a1+4d，，則（a1+4d）2＝（a1+d）（a1+10d），整理得，a1＝2d，所以q＝＝＝2．故選：A．2．【解答】解：A（4，m）為拋物線上一點，|AF|＝6，則，解得p＝4，A（4，m）為拋物線上一點，則2×4×4＝m2，解得m＝，由對稱性，不妨取m＝，A（4，4），F(xiàn)（2，0），故，直線AF的方程為y＝，聯(lián)立，化簡整理可得，x2﹣5x+4＝0，解得x1＝4或x2＝1，故xB＝1，所以|BF|＝，故＝．故選：C．3．【解答】解：將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程：（x﹣2）2+（y+1）2＝1，所以圓心C（2，﹣1），半徑r＝1，點C到直線3x﹣4y+5＝0的距離，顯然|PC|≥d＝3，由于PA，PB切圓C于點A，B，則所以四邊形PACB的面積＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)直線PC垂直于直線3x﹣4y+5＝0時取等號，所以四邊形PACB面積的最小值為．故選：B．4．【解答】解：當(dāng)x≤0時，f′（x）＝（1+x）ex，當(dāng)x＜﹣1時，f′（x）＜0，當(dāng)﹣1＜x≤0時，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）單調(diào)遞減，在（﹣1，0]單調(diào)遞增．當(dāng)x＞0時，f′（x）＝lnx+1，當(dāng)時，f′（x）＜0，當(dāng)時，f′（x）＞0，所以f（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以f（x）的最小值為．畫出函數(shù)f（x）的圖象，如下圖所示．f（x）＝t有四個不同的實數(shù)根，由圖象可知，，所以t的取值范圍是．故選：A．5．【解答】解：∵曲線E：y＝ex與y軸交于點A，∴A（0，1），設(shè)直線l與曲線E相切于點（x0，），∵曲線E：y＝ex，∴y′＝ex，∴切線l的斜率k＝，∴切線l的方程為y﹣＝（x﹣x0），又∵切線l過原點，∴﹣＝（﹣x0），∴x0＝1，∴切線l的斜率k＝e，∵直線AB∥l，∴kAB＝e，∵A（0，1），B（m，em），∴，即em﹣em﹣1＝0，則m是方程em﹣em﹣1＝0的不等于0的根，設(shè)f（m）＝em﹣em﹣1（m≠0），則m是函數(shù)f（m）的不等于0的零點，∵f（1）＝e﹣e﹣1＜0，f（）＝﹣﹣1＜0，f（2）＝e2﹣2e﹣1＞0，且函數(shù)f（m）的圖象在（，2）上連續(xù)，∴m∈（，2）．故選：D．二．多選題（共6小題）6．【解答】解：對于A，A1P與AD1所成角等價于A1P與BC1所成的角，當(dāng)P為BC1的中點時，A1P⊥BC1，此時所成的角最大，為，如圖1所示，選項A錯誤；對于B，過P作BC的垂線交BC于P′，若PE＝PD，則P′E＝P′D，如圖2所示，選項B正確；對于C，因為P到平面AA1D的距離不變，三角形AA1D面積不變，所以四面體P﹣AA1D的體積為定值，如圖3所示，選項C正確；對于D，由題意知，P所在的軌跡是以A1為圓心1為半徑的弧B1D1，所以軌跡長度是×2π×1＝，如圖4所示，選項D錯誤．故選：BC．7．【解答】解：由f（x﹣2）＝f（﹣x）可知f（﹣2+x）＝f（x），即f（x）的圖象關(guān)于直線x＝﹣1對稱，C正確，所以f（﹣x﹣2）＝f（x），則g（x+3）+g（x+1）＝4①，則f（﹣x﹣2）+g（﹣x+1）＝3，g（﹣x+1）+g（x+1）＝4②，即g（x）的圖象關(guān)于點（1，2）對稱，g（1）＝2，g（3）＝2，故B正確；由①②可知g（x+3）＝g（﹣x+1），所以g（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．故A錯誤，所以4是g（x）的周期，由f（﹣1）＝2，f（﹣1）+g（2）＝3，得g（2）＝1，令x＝﹣1，由①得g（0）＝3，4是g（x）的周期，g（0）+g（1）+g（2）+g（3）＝8，所求和共有2024項，故，故D錯誤．故選：BC．8．【解答】解：設(shè)切點為（x0，2+lnx0），∵y′＝，∴．又∵切點（x0，2+lnx0）在直線y＝ax+b上，∴2+lnx0＝ax0+b＝1+b，解得b＝1+lnx．∴l(xiāng)nx0．令，則g′（x）＝，可得g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）mn＝g（1）＝2，故a+b的取值范圍為[2，+∞）．由選項可知，a+b的取值可能為2，3，6．故選：BCD．9．【解答】解：對于A，取AB1的中點G，連接FG，DE，易知G也是DE的中點，在△AB1F中，因為FA＝FB1，G為AB1的中點，所以FG⊥AB1，在△DEF中，因為FD＝FE，G為DE的中點，所以FG⊥DE．又因為AB1，DE?平面ABB1A1，所以FG⊥平面ABB1A1，又因為FG?平面AB1F，所以平面AB1F⊥平面ABB1A1，故A正確；對于B，設(shè)點B1到平面BCD的距離為h，易知S△BCD＝＝2，＝＝2，因為，所以，解得，故B錯誤；對于C，取BC的中點Q，連接AQ，易知AQ⊥BC，以A為坐標(biāo)原點，向量，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，1），，設(shè)，0≤t≤2，則，，t﹣1），設(shè)DB1與DP所成的角為θ，則，令u＝t﹣1（﹣1≤u≤1），則cosθ＝，當(dāng)u＝0，即t＝1時，；當(dāng)0＜u≤1，即1＜t≤2時，cosθ＝，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)﹣1≤u＜0，即0≤t＜1時，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，綜上所述，DB1與DP所成角的余弦值的取值范圍為，故C正確；對于D，由A選項中的結(jié)論知FG⊥平面ABB1A1，，又因為球面的半徑為，所以以F為球心，為半徑的球面與側(cè)面ABB1A1的交線（圓的一部分）的半徑為，如圖，，GE＝1，所以，解得，由圓與正方形的對稱性知＝，因為以F為球心，為半徑的球面與側(cè)面ABB1A1的交線為4段弧長，這4段弧長均相等，所以球面與側(cè)面ABB1A1的交線長為，故D正確．故選：ACD．10．【解答】解：直線l1：x+（a﹣2）y+1＝0，l2：2bx+y﹣2＝0，且l1⊥l2，則2b+（a﹣2）＝0，即a+2b＝2．對于A，2＝a+2b≥，兩邊平方得4≥8ab，即，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝1時，ab的最大值是，故A項不正確；對于B，a2+b2＝（2﹣2b）2+b2＝5b2﹣8b+4，當(dāng)時，a2+b2的最小值為，故B項正確；對于C，2a+4b≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝1時，2a+4b的最小值是4，故C項正確；對于D，（a+1）+2b＝3，則，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a+1＝b，即a＝0，b＝1時，等號成立，這與條件a、b均為正數(shù)矛盾，故D項不正確．故選：BC．11．【解答】解：由2f（3﹣x）﹣f（x）＝x2﹣12x+18，可得2f（3﹣x）＝f（x）+x2﹣12x+18，則2f（3+x﹣3）＝f（﹣x+3）+（﹣x+3）2﹣12（﹣x+3）+18，所以2f（x）＝f（3﹣x）+x2+6x﹣9，所以，所以f（x）＝x2，則f′（x）＝2x，所以f（0）＝0，f′（0）＝0，所以f（0）+f′（0）＝0，故A正確；f（1）＝1，f′（1）＝2×1＝2，則切線方程為2x﹣y﹣1＝0，故B正確；f（x）﹣f′（x）＝x2﹣2x≥m在R上恒成立，由x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，可得m≤﹣1，故C錯誤；，令，則g′（x）＝，所以當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）時，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（﹣1，5）時，g′（x）＞0，所以g（x）在（﹣∞，﹣1）、（5，+∞）上單調(diào)遞減，在（﹣1，5）上單調(diào)遞增，所以g（x）極小值＝，所以當(dāng)x＞5時，x2﹣2x﹣7＝（x﹣1）2﹣8＞42﹣8＞0，所以g（x）≥﹣4e，所以，故D正確．故選：ABD．三．填空題（共5小題）12．【解答】解：將已知關(guān)系式兩邊求導(dǎo)得：，令x＝2，可得．故答案為：405．13．【解答】解：令F（x）＝ex+2x，可知F（x）單調(diào)遞增，eax+（2a﹣1）x﹣2lnx≥0恒成立，則eax+2ax≥x+2lnx，即恒成立，令，當(dāng)x∈（0，e）時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（e，+∞）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以g（x）的最大值為，則，故a的取值范圍是．故答案為：．14．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因為|AB|＝3|AF|，所以，所以y2＝﹣2y1．聯(lián)立，整理得（a2+9b2）y2﹣6b2cy﹣b4＝0，則，，從而，整理得81c2＝10a2，故＝．故答案為：．15．【解答】解：設(shè)準(zhǔn)線l與y軸交于點H，則H，又F，因為E在l上的射影為Q且|FQ|＝4|FO|，則，即，則∠FQH＝60°，則，則，則點E的橫坐標(biāo)為，設(shè)點E的縱坐標(biāo)為t，其中t＞0，則，即，則，則直線EF的斜率為＝．故答案為：．16．【解答】解：將正方形ABCD沿對角線BD折起，如圖：設(shè)正方形ABCD邊長為a，則OA＝OB＝OC＝OD＝a，則點O為三棱錐A﹣BCD外接球的球心，半徑為a，在三角形AOC中，作AM⊥OC，設(shè)AM＝h，由于ABCD為正方形，則OA⊥BD，OC⊥BD，OA∩OC＝O，則BD⊥平面AOC，則BD⊥AM，又AM⊥OC，BD∩OC＝O，則AM⊥平面BCD，在△AOC中，根據(jù)面積相等有：＝，又三棱錐A﹣BCD的體積為，則＝，可得h＝，a2＝8，三棱錐A﹣BCD外接球半徑為×＝2，則其體積為＝．故答案為：．四．解答題（共7小題）17．【解答】解：（1）∵當(dāng)n?2時，，則2（n2﹣n）≠0，∴，當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝2，∴，∴數(shù)列是首項為2，公差為的等差數(shù)列，∴，∴，當(dāng)n?2時，，當(dāng)n＝1時，a1＝1+1＝2，∴數(shù)列{an}的通項公式an＝n+1；（2）證明：由（1）得數(shù)列{an}的通項公式an＝n+1，∵（n+1）2﹣n（n+2）＝1＞0，∴，當(dāng)n＝1時，，當(dāng)n?2時，，綜上所述，．18．【解答】解：（1）f（x）＝alnx+x（x＞0），f′（x）＝+1＝，當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時，由f′（x）＜0，解得x＜﹣a，所以x∈（0，﹣a），此時f（x）單調(diào)遞減，由f′（x）＞0，解得x＞﹣a，此時f（x）單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時，f（x）在（0，﹣a）上單調(diào)遞減，在（﹣a，+∞）上單調(diào)遞增．（2）要證f（x）＜g（x），x＞0，即證alnx+x＜+1，只需證+1＜，只需證（+1）max＜（）min，設(shè)h（x）＝+1，φ（x）＝，則h'（x）＝，0＜a≤1，0＜x＜e時，h'（x）＞0，x＞e時，h'（x）＜0，故h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)x＝e時，h（x）取得最大值h（e）＝，φ'（x）＝＝，故0＜x＜2時，φ'（x）＜0，x＞2時，φ'（x）＞0，故φ在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝2時，φ（x）取得最小值φ（2）＝，∵0＜a≤1，∴﹣﹣1＞＞0，∴＞，即（+1）max＜（）min，所以0＜a≤1時，對任意的x＞0，f（x）＜g（x）恒成立．19．【解答】解：（1）因為是橢圓C上的點，所以b＝，①因為橢圓C的離心率為，所以e＝，②又a2＝b2+c2，③聯(lián)立①②③，解得a＝2，c＝1，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）易知點D在以BP為直徑的圓上，不妨設(shè)直線PQ的方程為x＝my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，此時，易知A（﹣2，0），此時直線AP的方程為y＝，令x＝4，解得y＝，即，同理得，此時MN中點，則以BP為直徑的圓的方程為，令y＝0，此時，，所以（x﹣4）（x﹣x1）﹣3my1＝0，即x2﹣（4+x1）x+4x1﹣3my1＝0，因為點P在直線PQ上，所以x1＝my1+1，此時x2﹣（5+my1）x+my1+4＝0，即（x﹣1）（x﹣my1﹣4）＝0，解得x＝1，故D點坐標(biāo)為（1，0）．20．【解答】解：（1）由雙曲線C離心率是3，點在C上，可得，解得，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，可得（8k2﹣1）x2+16kmx+8m2﹣8＝0，則Δ＝（16km）2﹣4（8k2﹣1）（8m2﹣8）＝0，即8k2+m2＝1．由（1）可知C的漸近線方程為和，不妨設(shè)直線l與直線的交點為A，與直線的交點為B，聯(lián)立，解得，即，聯(lián)立，解得，即，則，得，因為8k2+m2＝1，所以m2＝1﹣8k2，所以，即，故是定值，且該定值為﹣7．21．【解答】解：（1）f（x）＝x﹣x3，f′（x）＝1﹣3x2，令f′（x）＝0，可得．令f′（x）＞0，可得；令f′（x）＜0，可得，或．所以f（x）在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．所以f（x）的極大值為，f（x）的極小值為．（2）證明：由，可得，所以．由對稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以．由（1）可知f（x）在上的最大值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號