第11講 整式（3個知識點+8個考點+易錯分析）解析版

第11講整式（3個知識點+8個考點+易錯分析）

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.了解單項式、多項式、整式的概念

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）2.理解單項式的系數(shù)和次數(shù)的概念

模塊三核心考點舉一反三3.理解多項式中項、項的系數(shù)、多項式的次數(shù)等概念

模塊四小試牛刀過關(guān)測4.了解整式在解決實際問題中的應(yīng)用

知識點1.單項式

1

單項式的概念：如-2xy2，mn，-1，它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫單項式，單獨的一個數(shù)或

3

一個字母也是單項式．

要點歸納：（1）單項式包括三種類型：①數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；②單獨的一個

數(shù)；③單獨的一個字母．

st1

（2）單項式中不能含有加減運算，但可以含有除法運算．如：可以寫成st。但若分母中含有字母，

22

5

如就不是單項式，因為它無法寫成數(shù)字與字母的乘積．

m

單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)．

要點歸納：（1）確定單項式的系數(shù)時，最好先將單項式寫成數(shù)與字母的乘積的形式，再確定其系數(shù)；

（2）圓周率π是常數(shù)．單項式中出現(xiàn)π時，應(yīng)看作系數(shù)；

（3）當一個單項式的系數(shù)是1或-1時，“1”通常省略不寫；（4）單項式的系數(shù)是帶分數(shù)時，通常寫成假

15

分數(shù)，如：1x2y寫成x2y．

44

單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)．

要點歸納：單項式的次數(shù)是計算單項式中所有字母的指數(shù)和得到的，計算時要注意以下兩點：

第1頁共26頁.

（1）沒有寫指數(shù)的字母，實際上其指數(shù)是1，計算時不能將其遺漏；

（2）不能將數(shù)字的指數(shù)一同計算．

知識點2.多項式（重點）

1.多項式的概念：幾個單項式的和叫做多項式．

要點歸納：“幾個”是指兩個或兩個以上．

多項式的項：每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項．

要點歸納：（1）多項式的每一項包括它前面的符號．

（2）一個多項式含有幾項，就叫幾項式，如：6x2-2x-7是一個三項式．

多項式的次數(shù)：多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)．

要點歸納：（1）多項式的次數(shù)不是所有項的次數(shù)之和，而是多項式中次數(shù)最高的單項式的次數(shù)．（2）一

個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應(yīng)寫出．

知識點3.整式（重點）

整式

單項式與多項式統(tǒng)稱為整式．

要點：（1）單項式、多項式、整式這三者之間的關(guān)系如圖所示．

即單項式、多項式必是整式，但反過來就不一定成立．

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．

易錯點1.確定單項式的系數(shù)和次數(shù)時出錯

單項式的系數(shù)包括前面的符號,且只與數(shù)字因數(shù)有關(guān),而次數(shù)只與字母有關(guān);確定系數(shù)時容易漏掉系數(shù)中的

“_”號和“π”.確定次數(shù)時注意不要把“π”的次數(shù)也計算在內(nèi)

易錯點2.混淆多項式次數(shù)和單項式次數(shù)

不要與單項式的次數(shù)混淆,誤將所有字母的指數(shù)和作為多項式的次數(shù)

考點1：單項式的判斷

1x＋14m

【例1】下列代數(shù)式2x，－ab2c，，πr2，，a2＋2a，0，中，單項式有()

32xn

A．4個B．5個C．6個D．7個

1

解析：2x，－ab2c，πr2，0，都符合單項式的定義，共4個．故選A.

3

第2頁共26頁.

方法總結(jié)：數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式是單項式，單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式．分母中含字母

的不是單項式，分子中含加、減運算的式子也不是單項式．

【變式1-1】（2023秋?赤坎區(qū)校級期末）下列式子是單項式的是()

A．a(chǎn)-1B．a(chǎn)2C．a(chǎn)+bD．a(chǎn)+b=1

【分析】直接利用數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項式，即可得出答案．

【解答】解：A、a-1是多項式，不合題意；

B、a2是單項式，符合題意；

C、a+b是多項式，不合題意；

D、a+b=1是方程，不合題意．

故選：B．

【點評】此題主要考查了單項式，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．

【變式1-2】（2023秋?舟山期末）下列各式不是單項式的是()

b1

A．3B．a(chǎn)C．D．x2y

a2

【分析】根據(jù)單項式的定義：數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項式，單獨的一個數(shù)或字母也是單項式，找

出單項式即可．

b

【解答】解：因為式子的分母含有字母，

a

b

所以式子不是單項式．

a

故選：C．

【點評】此題考查的是單項式，掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵．

m+n12R

【變式1-3】在代數(shù)式、2x2y、、-5、a、中，單項式的個數(shù)是（）

2xp

A．6B．5C．3D．4

【答案】D

【分析】根據(jù)單項式的概念即可判斷．

m+n1

【詳解】解：是多項式，不是整式，

2x

2R

則單項式有2x2y,-5,a,共4個，

p

故選：D．

【點睛】本題考查單項式的概念，屬于基礎(chǔ)題型．

考點2：確定單項式的系數(shù)和次數(shù)

【例2】分別寫出下列單項式的系數(shù)和次數(shù)．

第3頁共26頁.

5ab3c22πxy2

(1)－ab2；(2)；(3).

73

解析：單項式的系數(shù)就是單項式中的數(shù)字因數(shù)；單項式的次數(shù)就是單項式中所有字母指數(shù)的和，只要將這

些字母的指數(shù)相加即可．

解：(1)單項式的系數(shù)是－1，次數(shù)是3；

5

(2)單項式的系數(shù)是，次數(shù)是6；

7

2π

(3)單項式的系數(shù)是，次數(shù)是3.

3

方法總結(jié)：(1)當單項式的系數(shù)是1或－1時，“1”通常省略不寫；單項式的系數(shù)是帶分數(shù)時，通常寫成假

分數(shù)．單項式的系數(shù)包括前面的符號．(2)我們把常數(shù)項的次數(shù)看做0.確定單項式的次數(shù)時，單項式中單獨

一個字母的指數(shù)1不能忽略，如－3x3y，它的指數(shù)是4而不是3.(3)π是圓周率，是一個確定的數(shù)，不是字

母．

【變式2-1】單項式﹣23a2b3的系數(shù)和次數(shù)分別是（）

A．﹣2，8B．﹣2，5C．2，8D．﹣8，5

【分析】根據(jù)單項式的系數(shù)和次數(shù)的概念求解可得．

【解答】解：單項式﹣23a2b3的系數(shù)是﹣23＝﹣8，次數(shù)分別是2+3＝5，

故選：D．

【變式2-2】（2021?海南）下列整式中，是二次單項式的是（）

A．x2+1B．xyC．x2yD．﹣3x

【分析】根據(jù)單項式的次數(shù)的意義判斷即可．

【解答】解：A．x2+1是多項式，故A不合題意；

B．xy是二次單項式，故B符合題意；

C．x2y是次數(shù)為3的單項式，故C不符合題意；

D．﹣3x是次數(shù)為1的單項式，故D不符合題意；

故選：B．

【點評】本題考查了單項式，正確掌握單項式的次數(shù)確定方法是解題關(guān)鍵．

【變式2-3】（2023秋·全國·七年級課堂例題）填表：

3a2b3c4

單項式--3abpr3-22a3b5-x

23

系數(shù)

次數(shù)

34

【答案】-,-3,p,-4,-1,6,2,3,8,1

23

第4頁共26頁.

【分析】先找出每個單項式中所有字母的指數(shù)，然后分別求得每個單項式中所有字母的指數(shù)和即可得到每

個單項式的次數(shù)，據(jù)此完成表格．

【詳解】

3a2b3c4

單項式--3abpr3-22a3b5-x

23

34

系數(shù)--3p-4-1

23

次數(shù)62381

【點睛】本題主要考查的是單項式的概念，掌握單項式的系數(shù)和次數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

考點3：單項式的應(yīng)用

【例3】用單項式表示下列各式，并指出其系數(shù)和次數(shù)．

(1)王明同學(xué)買2本練習(xí)冊花了n元，那么買m本練習(xí)冊要花多少元？

(2)正方體的棱長為a，那么它的表面積是多少？體積呢？

n

解析：(1)根據(jù)買2本練習(xí)冊花了n元，得出買1本練習(xí)冊花元，再根據(jù)買了m本練習(xí)冊，即可列出算式，

2

再根據(jù)系數(shù)、次數(shù)的定義進行解答即可；

(2)根據(jù)正方體的棱長為a和表面積公式、體積公式列出式子，再根據(jù)系數(shù)、次數(shù)的定義進行解答．

解：(1)∵買2本練習(xí)冊花了n元，

n11

∴買1本練習(xí)冊花元，∴買m本練習(xí)冊要花mn元，∴它的系數(shù)是，次數(shù)是2；

222

(2)∵正方體的棱長為a，

∴它的表面積是6a2，系數(shù)是6，次數(shù)是2；

它的體積是a3，系數(shù)是1，次數(shù)是3.

方法總結(jié)：此題考查了列代數(shù)式，用到的知識點是系數(shù)、次數(shù)、正方形的表面積公式、體積公式，根據(jù)題

意列出式子是本題的關(guān)鍵．

xy2

【變式1-1】（2023秋?路北區(qū)期中）已知a表示-5的相反數(shù)，b表示-2的立方，c表示-的系數(shù)，d

2

表示0.6的倒數(shù)．

（1）直接寫出各字母所表示的數(shù)；

（2）計算a，b，c，d中所有負數(shù)的乘積，并判斷結(jié)果是否為正整數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)相反數(shù)、立方、單項式的系數(shù)、倒數(shù)的概念解答即可；

（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則、正整數(shù)的概念解答．

15

【解答】解：（1）a=5，b=(-2)3=-8，c=-，d=；

23

第5頁共26頁.

1

（2）由題意得：(-8)′(-)=4，4是正整數(shù)，

2

\所有負數(shù)的乘積結(jié)果是正整數(shù)．

【點評】本題考查的是相反數(shù)、立方、單項式的系數(shù)、倒數(shù)，熟記它們的概念是解題的關(guān)鍵．

【變式1-2】寫出滿足條件的單項式．

（1）寫出所有系數(shù)是2，且只含字母x和y的五次單項式；

（2）系數(shù)是-5，含a，b兩個字母，且a的指數(shù)是2，單項式的次數(shù)是6；

9

（3）系數(shù)是-，次數(shù)是3，含x，y兩個字母，且y的指數(shù)是2．

2

【分析】（1）直接利用單項式的定義分析得出答案；

（2）根據(jù)單項式的系數(shù)是數(shù)字因數(shù)，次數(shù)是所有字母的指數(shù)和，可得答案；

（3）根據(jù)單項式的系數(shù)是數(shù)字因數(shù)，次數(shù)是所有字母的指數(shù)和，可得答案．

【解答】解：（1）由題意可得：2x2y3，2x3y2，2x4y，2xy4；

（2）由題意可得：-5a2b4；

9

（3）由題意可得：-xy2．

2

【點評】本題考查了單項式，利用單項式的系數(shù)是數(shù)字因數(shù)，次數(shù)是所有字母的指數(shù)和．

2

【變式1-3】．（2023秋?衡東縣校級期中）已知單項式-xy2m-1與-22x2y2的次數(shù)相同．

3

（1）求m的值；

2

（2）求當x=-9，y=-2時單項式-xy2m-1的值．

3

【分析】（1）根據(jù)單項式的次數(shù)的定義，即可得到一個關(guān)于m的方程，解方程即可求得m的值；

（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果求得代數(shù)式，然后把x，y的值代入即可求解．

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：1+2m-1=2+2，

解得：m=2；

22

（2）-xy2m-1=-xy3，

33

2

則當x=-9，y=-2時，原式=-′(-9)′(-8)=-48．

3

【點評】本題考查了單項式的次數(shù)的定義，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)．根據(jù)定義求得m的

值是關(guān)鍵．

【變式1-4】．（2023秋?蓬江區(qū)校級月考）已知x2y|a|+(b+2)是關(guān)于x、y的五次單項式，求a2-3ab的值．

【分析】根據(jù)單項式及單項式次數(shù)的定義，可得出a、b的值，代入代數(shù)式即可得出答案．

2|a|

【解答】解：Qxy+(b+2)是關(guān)于x，y的五次單項式，

第6頁共26頁.

ì2+|a|=5

\í，

?b+2=0

ìa=±3

解得：í，

?b=-2

則當a=-3，b=-2時，a2-3ab=9-18=-9；

當a=3，b=-2時，a2-3ab=9+18=27．

【點評】本題考查了單項式的知識，屬于基礎(chǔ)題，掌握單項式的定義及單項式次數(shù)的定義是解答本題的關(guān)

鍵．

考點4：單項式、多項式與整式的識別

【例4】指出下列各式中哪些是單項式？哪些是多項式？哪些是整式？

a＋b112

x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7.

3x7x2＋x

解析：根據(jù)整式、單項式、多項式的概念和區(qū)別來進行判斷．

21

解：，的分母中含有字母，既不是單項式，也不是多項式，更不是整式．

x2＋xx

1

單項式有：－x，10，m2n，a7；

7

a＋b

多項式有：x2＋y2，，6xy＋1，2x2－x－5；

3

a＋b1

整式有：x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，m2n，2x2－x－5，a7.

37

方法總結(jié)：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)單項式和多項式都是整式；(3)單項式不含加、

減運算，多項式必含加、減運算．

m+n1x

【變式4-1】．（2023秋·全國·七年級課堂例題）下列式子：，2x3y，，，a，2x-y中，多項式的個數(shù)是

2x3

（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】根據(jù)多項式的定義進行判斷作答即可．

m+n

【詳解】解：由題意知，，2x-y是多項式，符合要求；

2

故選：B．

【點睛】本題考查了多項式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：幾個單項式的和（或差）叫做多項式．

【變式4-2】．（2023秋·全國·七年級課堂例題）把下列式子分別填在相應(yīng)的大括號內(nèi)：

12n-3pa-bm2n2

-x,a2-,,,-7,9,．

3m35

第7頁共26頁.

單項式：{…}；

多項式：{…}

整式：{…}．

22

ìmnüì21a-bü

【答案】單項式：í-x,-7,9,,Ly；多項式：ía-,,Ly；整式：

?5t?33t

22

ì21a-bmnü

í-x,a-,,-7,9,,Ly

?335t

【分析】根據(jù)整式的分類，單項式和多項式的定義進行判斷即可．

ìm2n2ü

【詳解】解：單項式：í-x,-7,9,,Ly；

?5t

ì21a-bü

多項式：ía-,,Ly；

?33t

22

ì21a-bmnü

整式：í-x,a-,,-7,9,,Ly．

?335t

【點睛】本題主要考查了整式的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握單項式和多項式的定義．

【變式4-3】.把下列各代數(shù)式的序號填入相應(yīng)集合的括號內(nèi)：

11m2+n22

①2a2b+ab2；②a-；③0；④；⑤﹣mn；⑥2x﹣3y=5；⑦2a+6abc+3k

3b35

單項式集合：{}；

多項式集合：{}；

二項式集合：{}．

【答案】單項式集合：{③，⑤，……}；多項式集合：{①，④，⑦，……}；二項式集合：{①，

④，……}

【分析】根據(jù)單項式的定義，由數(shù)字或字母的積組成的代數(shù)式叫做單項式，單獨的一個數(shù)或一個字母也是

單項式和多項式的定義，幾個單項式的和叫做多項式判斷即可；

【詳解】解：單項式集合：{③，⑤，……}；

多項式集合：{①，④，⑦，……}；

二項式集合：{①，④，……}

【點睛】本題主要考查了單項式和多項式的判定，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵．

考點5：確定多項式的項數(shù)和次數(shù)

【例5】寫出下列各多項式的項數(shù)和次數(shù)，并指出是幾次幾項式．

2

(1)x2－3x＋5；(2)a＋b＋c－d；(3)－a2＋a2b＋2a2b2.

3

解析：根據(jù)多項式的項數(shù)是多項式中單項式的個數(shù)，多項式的次數(shù)是多項式中次數(shù)最高的單項式的次數(shù)，

可得答案．

第8頁共26頁.

2

解：(1)x2－3x＋5的項數(shù)為3，次數(shù)為2，二次三項式；

3

(2)a＋b＋c－d的項數(shù)為4，次數(shù)為1，一次四項式；

(3)－a2＋a2b＋2a2b2的項數(shù)為3，次數(shù)為4，四次三項式．

方法總結(jié)：(1)多項式的項一定包括它的符號；(2)多項式的次數(shù)是多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，而不是各

項次數(shù)的和；(3)幾次項是指多項式中次數(shù)是幾的項．

【變式5-1】（2023秋?蓮都區(qū)期末）多項式x2y-xy-1的次數(shù)和常數(shù)項分別是()

A．3，1B．3，-1C．5，1D．5，-1

【分析】根據(jù)多項式的次數(shù)及常數(shù)項的定義即可求得答案．

【解答】解：多項式x2y-xy-1中的項為x2y，-xy，-1，

它們的次數(shù)分別為2+1=3，1+1=2，0，

那么多項式的次數(shù)為3，其中-1為常數(shù)項，

故選：B．

【點評】本題考查多項式的次數(shù)及常數(shù)項，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．

1

【變式5-2】．（2023秋?慶陽期末）多項式x2+3xy2-z-1的一次項系數(shù)是()

2

1

A．3B．1C．-D．-1

2

【分析】根據(jù)多項式的項與系數(shù)即可求得答案．

111

【解答】解：多項式x2+3xy2-z-1的一次項是-z，其系數(shù)是-，

222

故選：C．

【點評】本題考查多項式，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．

【變式5-3】．（2023秋?山陽縣期末）對于多項式x2-5x-6，下列說法正確的是()

A．它是三次三項式B．它的常數(shù)項是6

C．它的一次項系數(shù)是-5D．它的二次項系數(shù)是2

【分析】利用多項式相關(guān)定義進行解答即可．

【解答】解：A、它是二次三項式，故原題說法錯誤；

B、它的常數(shù)項是-6，故原題說法錯誤；

C、它的一次項系數(shù)是-5，故原題說法正確；

D、它的二次項系數(shù)是1，故原題說法錯誤；

故選：C．

【點評】此題主要考查了多項式，關(guān)鍵是掌握幾個單項式的和叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，

其中不含字母的項叫做常數(shù)項．多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)．

【變式5-4】．（2023秋?贛州期末）多項式m3n4-5m3n5+3的項數(shù)和次數(shù)分別為()

第9頁共26頁.

A．2，7B．3，8C．2，8D．3，7

【分析】多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)，根據(jù)

這個定義即可判定．

【解答】解：m3n4-5m3n5+3是八次三項式，故項數(shù)是3，次數(shù)是8．

故選：B．

【點評】此題考查了多項式的定義．解題的關(guān)鍵是掌握多項式的有關(guān)定義，多項式中每個單項式叫做多項

式的項，這些單項式中的最高次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)．

考點6：根據(jù)多項式的概念求字母的取值

【例6】已知－5xm＋104xm－4xmy2是關(guān)于x、y的六次多項式，求m的值，并寫出該多項式．

解析：根據(jù)多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)可得m＋2＝6，解得m＝4，進而可得此多項式．

解：由題意得m＋2＝6，

解得m＝4，

此多項式是－5x4＋104x4－4x4y2.

方法總結(jié)：此題考查了多項式，解題的關(guān)鍵是弄清多項式次數(shù)是多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)．

【變式6-1】．（2023秋?武功縣期末）已知關(guān)于x、y的多項式-x2y3-10xm+1y3-xy+9x-3是七次五項式，

n是五次項的系數(shù)，求m，n的值．

【分析】根據(jù)關(guān)于x、y的多項式-x2y3-10xm+1y3-xy+9x-3是七次五項式得m+1+3=7，由此可求出m

的值，進而再根據(jù)n是五次項的系數(shù)求出n的值即可．

23m+13

【解答】解：Q關(guān)于x、y的多項式-xy-10xy-xy+9x-3是七次五項式，

\m+1+3=7，

解得：m=3，

又Qn是五次項的系數(shù)，

\n=-1．

【點評】此題主要考查了多項式的定義，熟練掌握多項式的定義，理解多項式的次數(shù)和項數(shù)是解決問題的

關(guān)鍵．

【變式6-2】．（2023秋?合陽縣期末）已知關(guān)于x、y的多項式xy3-3x4+x2ym+2-5mn是五次四項式(m，

n為有理數(shù)），且單項式5x4-myn-3的次數(shù)與該多項式的次數(shù)相同．求m，n的值．

【分析】根據(jù)多項式的次數(shù)、項的定義得出2+m+2=5，-5mn10，即可求出m的值，再根據(jù)單項式的次

數(shù)的定義得出4-m+n-3=5，即可求出n的值．

342m+2

【解答】解：Q關(guān)于x、y的多項式xy-3x+xy-5mn是五次四項式，

\2+m+2=5，-5mn10，

\m=1，n10，

4-mn-3

Q單項式5xy的次數(shù)與該多項式的次數(shù)相同，

第10頁共26頁.

\單項式5x4-myn-3的次數(shù)為五次，

\4-m+n-3=5，

\4-1+n-3=5，

\n=5．

【點評】本題考查了多項式的項、次數(shù)，單項式的次數(shù)，熟練掌握這幾個定義是解題的關(guān)鍵．

【變式6-3】．（2023秋?漢陰縣期末）已知關(guān)于m，n的多項式m2n3+mn2-10ma+3n-4b是六次四項式，

常數(shù)項是2．求a，b的值．

【分析】利用多項式與單項式的次數(shù)與系數(shù)的確定方法得出a+3+1=6，-4b=2是解題關(guān)鍵．

232a+3

【解答】解：Q多項式mn+mn-10mn-4b是六次四項式，常數(shù)項是2，

\a+3+1=6，-4b=2，

1

解得：a=2,b=-．

2

【點評】本題主要考查了多項式與單項式的次數(shù)，利用多項式與單項式的次數(shù)與系數(shù)的確定方法得出

a+3+1=6，-4b=2是解題關(guān)鍵．

【變式6-4】．（2023秋?東豐縣期末）已知多項式x2ym+1+xy2-3x3-6是六次四項式，單項式6x2ny5-m

的次數(shù)與這個多項式的次數(shù)相同，求m+n的值．

【分析】根據(jù)已知得出方程2+m+1=6，求出m=3，根據(jù)已知得出方程2n+5-m=6，求出方程的解即可．

2m+123

【解答】解：Q多項式xy+xy-3x-6是六次四項式，

\2+m+1=6，

\m=3，

2n5-m

Q單項式6xy的次數(shù)與這個多項式的次數(shù)相同，

\2n+5-m=6，

\2n=1+3=4，

\n=2．

\m+n=3+2=5．

【點評】本題考查了多項式的有關(guān)內(nèi)容的應(yīng)用，注意：多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)．

考點7：多項式中不含某項問題

【例7】若關(guān)于x的多項式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次項和一次項，求m、n的值．

解析：多項式不含二次項和一次項，則二次項和一次項系數(shù)為0.

解：∵關(guān)于x的多項式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次項和一次項，

∴m＝0，n－1＝0，則m＝0，n＝1.

方法總結(jié)：多項式不含哪一項，則哪一項的系數(shù)為0.

第11頁共26頁.

1

【變式7-1】．（2023秋?輝縣市期中）對于多項式x|m|-(m-3)x+k2-1

2

（1）若此多項式是關(guān)于x的三次三項式，求m的值．

（2）若此關(guān)于x的多項式不含常數(shù)項，求k的值．

【分析】（1）利用多項式的定義進行解答即可；

（2）關(guān)于x的多項式不含常數(shù)項，得出k2-1=0，再進行計算即可解答．

ìm=3

【解答】解：（1）由題意可知í

?-(m-3)10,

所以m=-3；

（2）由題意可知k2-1=0，

k2=1，

所以k=1或-1．

【點評】此題主要考查了多項式的定義及整式的加減，正確把握其次數(shù)與系數(shù)是解題關(guān)鍵．

【變式7-2】若關(guān)于x的多項式x3-5x2-(2m-1)x2+(2-3n)x-1不含二次項和一次項，求m，n的值．

【分析】根據(jù)多項式不含二次項與一次項，得到兩項系數(shù)為0，即可求出m與n的值．

332

【解答】解：Q多項式x-5x-(2m-1)x+(2-3n)x-1不含二次項和一次項，

\2m-1=0，2-3n=0，

12

解得：m=，n=．

23

【點評】此題考查了多項式中不含x的幾次項問題，熟練掌握多項式合并是解本題的關(guān)鍵．

【變式7-3】．（2022秋?虎林市校級期中）（1）已知多項式-3x3ym+1+xy3+(n-1)x2y2-4是六次三項式，

求(m+1)2n-3的值．

（2）關(guān)于x，y的多項式(3a+2)x2+(9a+10b)xy-x+2y+7不含二次項，求3a-5b的值．

【分析】（1）首先根據(jù)多項式是六次三項式確定m、n的值，從而代入代數(shù)式求解即可．

（2）由于多項式(3a+2)x2+(9a+10b)xy-x+2y+7不含二次項，則3a+2=0，9a+10b=0，求出a、b

的值后再代入代數(shù)式即可求代數(shù)式的值．

【解答】解：（1）由題意可知，多項式最高項的次數(shù)為6，所以m+1=3，

因為多項式為三項式，所以n-1=0，

所以m=2，n=1，

所以(m+1)2n-3=(2+1)2-3=6

（2）由題意可得，3a+2=0且9a+10b=0，

所以3a=-2，9a=-6，10b=6，5b=3，

所以3a-5b=-2-3=-5

第12頁共26頁.

【點評】本題考查了多項式的知識，解題的關(guān)鍵是能夠確定多項式的次數(shù)，難度不大．

【變式7-4】．（2023秋?巴東縣期末）已知二項式-x3y2-2中，含字母的項的系數(shù)為a，多項式的次數(shù)為

b，且a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為A，B，點C為數(shù)軸上任意一點，對應(yīng)的數(shù)為c．

（1）a=，b=，并在數(shù)軸上標出A，B；

（2）當點C為線段AB的三等分點時，求c的值；

（3）在（2）的條件下，若點C離點B較近時，點P、Q、M分別從點A、B、C同時向左運動，其速度

分別為每秒2個單位長度、1個單位長度和4個單位長度．是否存在常數(shù)k，使kQM-3PQ為定值，若存

在，求k的值；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)多項式的系數(shù)和次數(shù)的定義得出即可；

（2）由（1）得出線段AB的長度，再根據(jù)三等分點的定義得出c的值；

（3）根據(jù)已知條件得出線段QM、PQ的長度，設(shè)運動時間為x秒，代入kQM-3PQ，分類討論得出代數(shù)

式中含有x的項，因為kQM-3PQ為定值，所以含有x項的系數(shù)為0，得出k的值即可．

【解答】解：（1）二項式-x3y2-2中，系數(shù)是-1，次數(shù)是5，

故答案為：-1，5．

（2）Qa=-1，b=5，

\AB=6，

Q當點C為線段AB的三等分點，

\C點表示的數(shù)為1或3．

\c的值為1或3．

（3）存在，

Q在（2）的條件下，若點C離點B較近，

\c=3，

設(shè)運動時間為x秒，

根據(jù)題意得，PQ=3-x-(-1-2x)=x+4，QM=|5-4x-(3-x)|=|2-3x|，

\kQM-3PQ=k|2-3x|-3(x+4)

2

當0<x<時，

3

kQM-3PQ=k(2-3x)-3(x+4)=2k-3kx-3x-12=(-3k-3)x+2k-12，

QkQM-3PQ為定值，

第13頁共26頁.

\-3k-3=0，

\k=-1，

不符合題意，舍去；

2

當?x時，

3

kQM-3PQ=k(3x-2)-3(x+4)=3kx-2k-3x-12=(3k-3)x-2k-12，

QkQM-3PQ為定值，

\3k-3=0，

\k=1．

【點評】本題考查了數(shù)軸，多項式的系數(shù)和次數(shù)，解題關(guān)鍵是能夠利用數(shù)軸表示出線段的長度．

考點8：多項式的應(yīng)用

【例8】如圖，某居民小區(qū)有一塊寬為2a米，長為b米的長方形空地，為了美化環(huán)境，準備在此空地的四

個頂點處各修建一個半徑為a米的扇形花臺，在花臺內(nèi)種花，其余種草．如果建造花臺及種花費用每平方

米為100元，種草費用每平方米為50元．那么美化這塊空地共需多少元？

解析：四個角圍成一個半徑為a米的圓，陰影部分面積是長方形面積減去一個圓面積．

解：花臺面積和為πa2平方米，草地面積為(2ab－πa2)平方米．所以需資金為[100πa2＋50(2ab－πa2)]元．

方法總結(jié)：用式子表示實際問題的數(shù)量關(guān)系時，首先要分清語言敘述中關(guān)鍵詞的含義，理清它們之間的數(shù)

量關(guān)系和運算順序．

【變式8-1】．（2023秋?山陽縣期末）如圖是某居民小區(qū)的一塊寬為2a米，長為b米的長方形空地，為了

美化環(huán)境，準備在這塊長方形空地的四個頂點處各修建一個半徑為a米的扇形花臺，然后在花臺內(nèi)種花，其

余種草．（單位：m)

（1）請用含a，b的式子表示種草的面積；

（2）當a=10，b=35時，求種草的面積．(p取3.14)

【分析】（1）根據(jù)種草面積=長方形面積-一個半徑為a米的圓的面積，列出代數(shù)式進行計算即可；

（2）把a=10，b=35代入（1）中所求代數(shù)式，進行計算即可．

【解答】解：（1）由題意得：2a×b-p′a2=(2ab-pa2)平方米，

第14頁共26頁.

\種草的面積為(2ab-pa2)平方米；

（2）當a=10，b=35時，種草的面積為：

2ab-pa2

=2′10′35-3.14′102

=2′10′35-3.14′100

=700-314

=386（平方米），

答：種草的面積為386平方米．

【點評】本題主要考查了列代數(shù)式和代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是理解題意，列出代數(shù)式．

【變式8-2】如圖是某居民小區(qū)的一塊長為4a米，寬為b米的長方形空地，為了美化環(huán)境，準備在這個

長方形的四個頂點處各修一個半徑為a米的四分之一圓形花臺，然后在花壇內(nèi)種花，其余植草．（本題

中的取3.14)

（1）請用含a，b的式子表示種花的面積和種草的面積．

（2）如果a=10，b=20.1，且建造花臺及種花費用每平方米需要資金100元，種草每平方米需要資金50

元，那么美化這塊空地共需資金多少元？

【分析】（1）由已知圖形是長方形，四角都有一塊半徑相同的四分之一圓形的花臺，所以四角花臺構(gòu)成一

個正圓，則種草的面積等于長方形的面積減去半徑為a的圓的面積；

（2）把a=10，b=20.1代入（1）中式子，再分別乘以各自的單價，相加即可求解．

【解答】解：（1）種花的面積為：3.14′a2=3.14a2平方米；

種草的面積為：(4ab-3.14a2)平方米；

（2）當a=10，b=20.1時，

3.14a2′100+(4ab-3.14a2)′50

=3.14′102′100+(4′10′20.1-3.14′102)′50

=314′100+(804-314)′50

=31400+490′50

=55900（元)．

答：美化這塊空地共需資金55900元．

【點評】此題考查列代數(shù)式，關(guān)鍵是觀察圖形，要明確種草的面積等于長方形的面積減去半徑為a的圓的面

積．

第15頁共26頁.

【變式8-3】．（2023秋?市中區(qū)期中）如圖，某居民小區(qū)有一塊長為a，寬為2b的長方形空地．為了美化

環(huán)境，準備在這個長方形空地的四個頂點處修建一個半徑為b的扇形花臺，其余部分鋪設(shè)草坪．

（1）草坪（陰影部分）的周長為，面積為．（結(jié)果用含有a，b，p的式子表示）

（2）如果鋪設(shè)草坪的費用為每平方米50元．當a=6米，b=2米，p取3時，鋪設(shè)草坪共需多少元？

【分析】（1）結(jié)合圖形及已知條件列得代數(shù)式即可；

（2）結(jié)合（1）中所求列式計算即可．

【解答】解：（1）2(a-2b)-p′2b=2a-4b+2pb；

a×2b-pb2=2ab-pb2；

即草坪（陰影部分）的周長為2a-4b+2pb；面積為2ab-pb2，

故答案為：2a-4b+2pb；2ab-pb2；

（2）當a=6米，b=2米，p取3時，

2ab-pb2=2′6′2-3′22=12（平方米），

則12′50=600（元)，

即鋪設(shè)草坪共需600元．

【點評】本題考查列代數(shù)式及代數(shù)式求值，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵．

【變式8-4】（2023秋?武漢期末）A、B為數(shù)軸上的兩個點，點A對應(yīng)的數(shù)記為a，點B對應(yīng)的數(shù)記為b，

且8xyb-10+(a+8)xy-1是關(guān)于x、y的三次二項式．解答下列問題：

（1）a=，b=；

（2）若數(shù)軸上有一點C，且3AC=BC，求點C對應(yīng)的數(shù)；

（3）若點M、N分別從O、B出發(fā)，同時向左勻速運動，點M的速度為m個單位長度每秒，點N的速度

是3個單位長度每秒，點P、Q分別為線段AM、線段BN的中點．設(shè)運動時間為t秒，在點M，N的運

動過程中，若PQ+MN的長度與t的取值無關(guān)，求m的值及PQ+MN的長度．

【分析】（1）根據(jù)多項式為關(guān)于x、y的三次二項式，得出1+b-10=3，a+8=0，從而求出a、b的值；

（2）設(shè)點C對應(yīng)的數(shù)為x，且3AC=BC，判斷出點C在點B的左邊，于是有3|-8-x|=12-x，即可求出

x的值；

（3）t秒后，M對應(yīng)的數(shù)為-mt，N對應(yīng)的數(shù)為12-3t，根據(jù)數(shù)軸上中點的定義即可表示出中點的坐標，

再計算MN、PQ的長，根據(jù)PQ+MN的長度與t的取值無關(guān)，即t的系數(shù)為0，從而得解．

第16頁共26頁.

【解答】解：（1）若8xyb-10+(a+8)xy-1是關(guān)于x、y的三次二項式，

則1+b-10=3，a+8=0，

解得a=-8，b=12，

故答案為：-8，12；

（2）設(shè)點C對應(yīng)的數(shù)為x，

Q3AC=BC，

\點C在點B的左邊，

\3|-8-x|=12-x，

解得x=-18或x=-3，

即點C對應(yīng)的數(shù)為-3或-18；

（3）t秒后，M對應(yīng)的數(shù)為：-mt，N對應(yīng)的數(shù)為：12-3t，

QP、Q為AM、BN的中點，

-8-mt24-3t

\P點對應(yīng)的數(shù)為：，Q點對應(yīng)的數(shù)為：，

22

\MN=|-mt-12+3t|=|(3-m)t-12|

-8-mt24-3t

\PQ=|-|

22

-32-mt+3t

=||

2

(3-m)t-32

=||，

2

QPQ+MN的長度與t無關(guān)，

\m=3，

\PQ+MN=16+12=28．

【點評】本題考查了多項式，數(shù)軸上兩點之間的距離，中點坐標的求法，熟練掌握多項式的項、次數(shù)的定

義是解題的關(guān)鍵．

考點9：整式的規(guī)律探究

【例9】用棋子擺出下列一組“口”字，按照這種方法擺下去，則第n個“口”字需要用棋子（）

A．（4n﹣4）枚B．4n枚C．（4n+4）枚D．n2枚

【答案】B

【分析】觀察圖形可知，構(gòu)成每個“口”字的棋子數(shù)量，等于構(gòu)成邊長為(n+1)的正方形所需要的棋子數(shù)量減

第17頁共26頁.

去構(gòu)成邊長為(n+1-2)的正方形所需要的棋子數(shù)量.

【詳解】解：由圖可知第n個“口”字需要用棋子的數(shù)量為(n+1)2-(n+1-2)2=4n,

故選擇B.

【點睛】本題考查了規(guī)律的探索.

【變式9-1】．（2023春·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）觀察下列單項式：-x，2x2，-3x3，4x4，…，根據(jù)

你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第10個單項式為_____________．

【答案】10x10

【分析】根據(jù)第2、4、6個單項式歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．

【詳解】解：觀察可知，第2個單項式為2x2，

第4個單項式為4x4，

第6個單項式為6x6，

歸納類推得：第n個單項式為nxn，其中n為偶數(shù)，

所以第10個單項式為10x10，

故答案為：10x10．

【點睛】本題考查了單項式的規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．

【變式9-2】如圖所示，用同樣規(guī)格的黑白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請觀察下列各圖：則第n個圖形

中需要用黑色瓷磚塊．（用含n的代數(shù)式表示）

【答案】（4n+4）

【分析】仔細觀察圖形，找到圖形的變化規(guī)律，利用規(guī)律求解即可．

【詳解】第1個圖形中有黑色瓷磚（1+2）2﹣12＝8塊；

第2個圖形中有黑色瓷磚（2+2）2﹣22＝12塊；

第3個圖形中有黑色瓷磚（3+2）2﹣32＝16塊；

…

第n個圖形中有黑色瓷磚（n+2）2﹣n2＝4n+4塊；

故答案為（4n+4）．

【點睛】考查了圖形的變化規(guī)律，找到圖形的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．

【變式9-3】（2023?十堰）用火柴棍拼成如圖圖案，其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小菱形，

第②個圖案由6個小等邊三角形圍成2個小菱形，…，若按此規(guī)律拼下去，則第n個圖案需要火柴棍的

根數(shù)為．（用含n的式子表示）

第18頁共26頁.

【分析】第①個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：12＝3×4，第②個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：18＝

3×6，第③個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：24＝3×8，…，據(jù)此可求得第n個圖案所需要的火柴棍的

根數(shù)．

【解答】解：∵第①個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：12＝3×4，

第②個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：18＝3×6，

第③個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：24＝3×8，

…，

∴第n個圖案需要火柴棍的根數(shù)為：3（2n+2）＝6n+6．

故答案為：6n+6．

【點評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給圖形分析出圖形變化的規(guī)律

【變式9-4】.觀察下列圖形：

它們是按一定規(guī)律排列的．

(1)依照此規(guī)律，第20個圖形共有幾個五角星？

(2)擺成第n個圖案需要幾個五角星？

(3)擺成第2015個圖案需要幾個五角星？

解析：通過觀察已知圖形可得每個圖形都比其前一個圖形多3個五角星，根據(jù)此規(guī)律即可解答．

解：(1)根據(jù)題意得∵第1個圖中，五角星有3個(3×1)；第2個圖中，有五角星6個(3×2)；第3個

圖中，有五角星9個(3×3)；第4個圖中，有五角星12個(3×4)；∴第n個圖中有五角星3n個．∴第20

個圖中五角星有3×20＝60個．

(2)由(1)可知，擺成第n個圖案需要3n個五角星．

(3)擺成第2015個圖案需要五角星2015×3＝6045(個)．

方法總結(jié)：此題首先要結(jié)合圖形具體數(shù)出幾個值．注意由特殊到一般的分析方法．此題的規(guī)律為擺成

第n個圖案需要3n枚五角星．

一．選擇題（共6小題）

51

1．（2024?肇源縣開學(xué)）在代數(shù)式x2+5，-1，x2-3x+2，p，，x2+中，整式有()

xx+1

A．3個B．4個C．5個D．6個

【分析】根據(jù)整式的定義進行解答．

第19頁共26頁.

51

【解答】解：和x2+分母中含有未知數(shù)，則不是整式，其余的都是整式．

xx+1

故選：B．

【點評】本題重點對整式定義的考查：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，減，乘，除四種

運算，但在整式中除數(shù)不能含有字母．單項式和多項式統(tǒng)稱為整式．

2．（2023秋?法庫縣期末）下列說法正確的是()

A．整式就是多項式B．p是單項式

3x-1

C．x4+2x3是七次二項式