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文檔簡介
第13講整式的加減(2個知識點+7個考點+易錯分析)
模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.掌握去括號法則,能準(zhǔn)確地去括號
模塊二基礎(chǔ)知識全梳理(吃透教材)2.會通過去括號、合并同類項將整式化簡
模塊三核心考點舉一反三3.能進(jìn)行簡單的整式加法和減法運算:
模塊四小試牛刀過關(guān)測4.會運用整式加減解決簡單的實際問題
知識點1.去括號(難點)
去括號法則
如果括號外的因數(shù)是正數(shù),去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同;
如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù),去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反.
要點歸納:
(1)去括號法則實際上是根據(jù)乘法分配律推出的:當(dāng)括號前為“+”號時,可以看作+1與括號內(nèi)的各項相
乘;當(dāng)括號前為“-”號時,可以看作-1與括號內(nèi)的各項相乘.
(2)去括號時,首先要弄清括號前面是“+”號,還是“-”號,然后再根據(jù)法則去掉括號及前面的符號.
(3)對于多重括號,去括號時可以先去小括號,再去中括號,也可以先去中括號.再去小括號.但是一定
要注意括號前的符號.
(4)去括號只是改變式子形式,但不改變式子的值,它屬于多項式的恒等變形.
知識點2.整式的加減(重點)
一般地,幾個整式相加減,如果有括號就先去括號,然后再合并同類項.
要點歸納:
(1)整式加減的一般步驟是:①先去括號;②再合并同類項.
(2)兩個整式相減時,減數(shù)一定先要用括號括起來.
(3)整式加減的最后結(jié)果的要求:①不能含有同類項,即要合并到不能再合并為止;②一般按照某一字母
第1頁共12頁.
的降冪或升冪排列;③不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù),帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù).
易錯點1.去括號時出現(xiàn)錯誤
去括號時,括號前面是“_”號時,常忘記改變括號內(nèi)每一項的符號,出現(xiàn)錯誤;或者括號前有數(shù)字因數(shù),去括號時
沒把數(shù)字因數(shù)與括號內(nèi)的每一項相乘出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象,只有嚴(yán)格按照去括號法則運算,才可能避免上述錯誤
易錯點2.進(jìn)行整式加減時忽略括號的作用
在多項式加法運算中,整式可以不加括號,在多項式減法運算中,被減式可以不加括號,但減式必須加上括號
考點1.去括號
【例1】下列去括號正確嗎?如有錯誤,請改正.
(1)+(-a-b)=a-b;
(2)5x-(2x-1)-xy=5x-2x+1+xy;
(3)3xy-2(xy-y)=3xy-2xy-2y;
(4)(a+b)-3(2a-3b)=a+b-6a+3b.
【變式1-1】(2024?翔安區(qū)二模)-2(a-2b)去括號的結(jié)果是()
A.-2a+2bB.-2a-2bC.-2a+4bD.-2a-4b
【變式1-2】(2024?涼州區(qū)二模)下列去括號正確的是()
A.3(2x+3y)=6x+3yB.-0.5(1-2x)=-0.5+x
1
C.-2(x-y)=-x-2yD.-(2x2-x+1)=-2x2+x
2
【變式1-3】去掉下列各式中的括號:
(1).8m-(3n+5);(2).n-4(3-2m);(3).2(a-2b)-3(2m-n).
考點2.去括號后進(jìn)行整式的化簡
【例2】先去括號,后合并同類項:
1211
(1)x+[-x-2(x-2y)];(2)a-(a+b2)+3(-a+b2);
2323
(3)2a-(5a-3b)+3(2a-b);(4)-3{-3[-3(2x+x2)-3(x-x2)-3]}.
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【變式2-1】(2023秋·全國·七年級課堂例題)化簡:
(1)a+-3b-2a=;
(2)x+2y--2x-y=.
【變式2-2】化簡:3(2x2-y2)-2(3y2-2x2).
【變式2-3】(2023秋?長葛市期中)先去括號,再合并同類項
()()22
12(2b-3a)+3(2a-3b)24a+2(3ab-2a)-(7ab-1)
考點3.整式的化簡求值
11313
【例3】化簡求值:a-2(a-b2)-(a+b2)+1,其中a=2,b=-.
23232
1
【變式3-1】先化簡,再求值:已知x=-4,y=,求5xy2-[3xy2-(4xy2-2x2y)]+2x2y-xy2.
2
11
【變式3-2】(2023秋?襄城區(qū)期末)先化簡,再求值:5(3a2b-ab2)-(ab2+3a2b),其中a=,b=.
23
11
【變式3-3】(2024?望城區(qū)一模)先化簡,再求值:-2(a2b-ab2+b2)+(2a2b-3ab2),其中a=1,
42
b=-2.
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考點4.整體思想在整式求值中應(yīng)用
【例4】已知式子x2-4x+1的值是3,求式子3x2-12x-1的值.
【變式4-1】.(2024春?道里區(qū)校級期中)【知識呈現(xiàn)】我們可把5(x-2y)-3(x-2y)+8(x-2y)-4(x-2y)
中的“x-2y”看成一個字母a,使這個代數(shù)式簡化為5a-3a+8a-4a,“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中
的一種重要的思想方法,它在多項式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛.在數(shù)學(xué)中,常常用這樣的方法把復(fù)雜
的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.
【解決問題】
(1)上面【知識呈現(xiàn)】中的問題的化簡結(jié)果為;(用含x、y的式子表示)
(2)若代數(shù)式x2+x+1的值為3,求代數(shù)式2x2+2x-5的值為;
【靈活運用】應(yīng)用【知識呈現(xiàn)】中的方法解答下列問題:
(3)已知a-2b=7,2b-c的值為最大的負(fù)整數(shù),求3a+4b-2(3b+c)的值.
【變式4-2】.(2023秋?南召縣期末)【教材呈現(xiàn)】“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中一種重要的思想方法,它
在多項式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛.下題是華師版七年級上冊數(shù)學(xué)教材第117頁的部分內(nèi)容.
代數(shù)式x2+x+3的值為7,則代數(shù)式2x2+2x-3的值為_____.
【閱讀理解】小明在做作業(yè)時采用的方法如下:由題意得,x2+x+3=7則有x2+x=4,
2x2+2x-3=2(x2+x)-3=2′4-3=5,所以代數(shù)式2x2+2x-3的值為5.
【方法運用】
(1)若代數(shù)式x2+x+1的值為15,求代數(shù)式-2x2-2x+3的值.
(2)若x=2時,代數(shù)式ax3+bx+4的值為11,當(dāng)x=-2時,求代數(shù)式ax3+bx+3的值.
【拓展應(yīng)用】
(3)若3m-4n=-3,mn=-1.求6(m-n)-2(n-mn)的值.
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【變式4-3】數(shù)學(xué)中,運用整體思想在求代數(shù)式的值時非常重要.例如:已知a2+2a=2,則代數(shù)式
2a2+4a+3=2a2+2a+3=2′2+3=7,-a2-2a=-a2+2a=-2.
請根據(jù)以上材料解答下列問題:
(1)若x2-3x=4,求1+2x2-6x的值;
(2)若整式3x2-6x+2的值是8,求整式-2x2+4x+5的值;
(3)當(dāng)x=1時,多項式px3+qx-1的值是5,求當(dāng)x=-1時,多項式px3+qx-1的值.
考點5.利用“無關(guān)”進(jìn)行說理或求值
111
【例5】有這樣一道題“當(dāng)a=2,b=-2時,求多項式3a3b3-a2b+b-(4a3b3-a2b-b2)+(a3b3+a2b)-
244
2b2+3的值”,馬小虎做題時把a=2錯抄成a=-2,王小真沒抄錯題,但他們做出的結(jié)果卻都一樣,你知
道這是怎么回事嗎?說明理由.
【變式5-1】(2023秋?斗門區(qū)期末)(1)已知兩個多項式A、B,A=8a+2b,B=5a-b,求A+B的
值.
(2)某位同學(xué)做一道題:已知兩個多項式A、B,求A-2B的值.他誤將A-2B看成2A-B,求得結(jié)果
為3x2-3x+5,已知B=x2-x-1,求A-2B的正確答案.
第5頁共12頁.
6
【變式5-2】.(2023秋?廣州期末)(1)已知A=-x+2y-4xy,B=-3x-y+xy.當(dāng)x+y=,xy=-1
7
時,求2A-3B的值.
(2)是否存在數(shù)m,使化簡關(guān)于x,y的多項式(mx2-x2+3x+1)-(5x2-4y2+3x)的結(jié)果中不含x2項?若
不存在,說明理由;若存在,求出m的值.
【變式5-3】.(2023秋?雨湖區(qū)期末)(1)數(shù)學(xué)趙老師布置了一道數(shù)學(xué)題:已知x=2023,求整式
2(x2-5x+1)-(-x+2x2-1)+9x的值,小涵觀察后提出:“已知x=2023是多余的.”你認(rèn)為小涵的說法對
嗎?請說明理由.
(2)已知整式A=2x2-3kx+x+1,整式A與整式B之差是3x2-2kx+x.
①求整式B;
②若k是常數(shù),且A+2B的值與x無關(guān),求k的值.
【變式5-4】.(2024春?鐵西區(qū)期中)【典例展示】
若關(guān)于x,y的代數(shù)式ax+3y-3x-2y+4的值與x無關(guān),求a的值.
解:原式=ax-3x+3y-2y+4
=(a-3)x+y+4
Q代數(shù)式ax+3y-3x-2y+4的值與x無關(guān),
\a-3=0,
\a=3.
【理解應(yīng)用】
已知A=(4x+3)(x-2)-x(1-3m),B=x2+mx-1,且A-4B的值與x無關(guān),求m的值;
【拓展延伸】
用6張長為a,寬為b的長方形紙片按照如圖所示的方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi),大長方形中未被
覆蓋的兩個部分,設(shè)左上角部分的面積為S1,右下角部分的面積為S2,當(dāng)AD的長度發(fā)生變化時,5S2-2S1
的值始終保持不變,求a與b之間的數(shù)量關(guān)系.
第6頁共12頁.
考點6.整式加減的應(yīng)用
【例6】某商店有一種商品每件成本a元,原來按成本增加b元定出售價,售出40件后,由于庫存積壓,
調(diào)整為按售價的80%出售,又銷售了60件.
(1)銷售100件這種商品的總售價為多少元?
(2)銷售100件這種商品共盈利多少元?
【變式6-1】如圖,小紅家裝飾新家,小紅為自己的房間選擇了一款窗簾(陰影部分表示窗簾),請你幫她計
算:
(1)窗戶的面積是多大?
(2)窗簾的面積是多大?
(3)掛上這種窗簾后,窗戶上還有多少面積可以射進(jìn)陽光.
第7頁共12頁.
【變式6-2】做大小兩個長方體紙盒,尺寸如下(單位:cm):
長寬高
小紙盒abc
大紙盒1.5a2b2c
(1)做這兩個紙盒共用料多少平方厘米?
(2)做大紙盒比小紙盒多用料多少平方厘米?
【變式6-3】.(2023秋?成武縣期末)已知三角形的第一條邊的長是a+2b,第二條邊長是第一條邊長的2
倍少3,第三條邊比第二條邊短5.
(1)用含a、b的式子表示這個三角形的周長;
(2)當(dāng)a=2,b=3時,求這個三角形的周長;
(3)當(dāng)a=4,三角形的周長為39時,求各邊長.
【變式6-4】.(2023秋?社旗縣期末)如圖,為了方便學(xué)生停放自行車,學(xué)校建了一塊長邊靠墻的長方形
停車場,其他三面用護(hù)欄圍起,其中停車場的長為(3a+b)米,寬比長少(a-2b)米.
(1)用含a、b的代數(shù)式表示護(hù)欄的總長度;
(2)若a=30,b=5,每米護(hù)欄造價80元,求建此停車場所需護(hù)欄的費用.
第8頁共12頁.
考點7.整式加減的拓展創(chuàng)新題
【例7】(2024春?高新區(qū)期末)對于一個三位自然數(shù)M,若它的百位數(shù)字比個位數(shù)字多6,十位數(shù)字比個
位數(shù)字多1,則稱M為“兒童數(shù)”.如:三位數(shù)721,Q7-1=6,2-1=1,\721是“兒童數(shù)”.
(1)請你寫出一個“兒童數(shù)”;(721除外)
(2)將721按照如下程序運算:721交換百位數(shù)字和個位數(shù)字127,用大數(shù)721減去小數(shù)127得到差為
594,差594不為兩位數(shù),594交換百位數(shù)字和個位數(shù)字495,用大數(shù)594減去小數(shù)495得到差為99,請你
用(1)中所寫“兒童數(shù)”按照程序計算結(jié)果;
(3)設(shè)任意一個“兒童數(shù)”,百位數(shù)字為(a+6),十位數(shù)字為(a+1),個位數(shù)字為a,按照(2)的程序列
式計算,并提出進(jìn)一步的猜想.
【變式7-1】(2023秋?北流市期末)我們定義:對于數(shù)對(a,b),若a+b=ab,則(a,b)稱為“和積等數(shù)
333
對”.如:因為2+2=2′2,-3+=-3′,所以(2,2),(-3,)都是“和積等數(shù)對”.
444
(1)下列數(shù)對中,是“和積等數(shù)對”的是;(填序號)
①(3,1.5);
3
②(,1);
4
11
③(-,).
23
(2)若(-5,x)是“和積等數(shù)對”,求x的值;
(3)若(m,n)是“和積等數(shù)對”,求代數(shù)式4[mn+m-2(mn-3)]-2(3m2-2n)+6m2的值.
第9頁共12頁.
【變式7-2】(2023秋?章貢區(qū)期末)給出定義如下:我們稱使等式a-b=ab+1的成立的一對有理數(shù)a,b
為“相伴有理數(shù)對”,記為(a,b).
112212
如:3-=3′+1,5-=5′+1,所以數(shù)對(3,),(5,)都是“相伴有理數(shù)對”.
223323
11
(1)數(shù)對(-2,),(-,-3)中,是“相伴有理數(shù)對”的是;
32
(2)若(x+1,5)是“相伴有理數(shù)對”,則x的值是;
1
(3)若(a,b)是“相伴有理數(shù)對”,求3ab-a+(a+b-5ab)+1的值.
2
【變式7-3】(2023秋?播州區(qū)期末)對于一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位數(shù),若它百位上的數(shù)字比十
位上的數(shù)字大m(m為正整數(shù)),十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大m,則稱這個三位數(shù)為關(guān)于m的“遞差
數(shù)”.
例如:三位數(shù)531,因為5-3=2,3-1=2,所以531是關(guān)于2的“遞差數(shù)”
三位數(shù)987,因為9-8=1,8-7=1,所以987是關(guān)于1的“遞差數(shù)”
(1)判斷三位數(shù)741是否為m的“遞差數(shù)”,若是,求出m的值;若不是,請說明理由.
(2)若有一個三位數(shù)是關(guān)于m的“遞差數(shù)”,其百位上的數(shù)字為x,將其個位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字交
換,得到一個新的三位數(shù),求原三位數(shù)與新三位數(shù)的和.(用含m,x的整式表示).
(3)若(2)中求得的和能被5整除,直接寫出滿足條件的關(guān)于m的“遞差數(shù)”.
一.選擇題(共5小題)
1.(2023秋?青龍縣期末)化簡a-(b-c)正確的是()
第10頁共12頁.
A.a(chǎn)-b+cB.a(chǎn)-b-cC.a(chǎn)+b-cD.a(chǎn)+b+c
2.(2024?臨夏州一模)如圖,長方形的長是3a,寬是2a-b,則長方形的周長是()
A.10a-2bB.10a+2bC.6a-2bD.10a-b
3.(2023秋?玄武區(qū)校級期末)下列去括號所得結(jié)果正確的是()
A.x2-(2x-1)=x2-2x-1B.x2-(-2x+1)=x2-2x-1
C.x2-(-2x-1)=x2+2x+1D.x2-(2x+1)=x2-2x+1
4.(2023秋?游仙區(qū)期末)若x-2y=3,則2(x-2y)-x+2y-5的值是()
A.-2B.2C.4D.-4
5.(2023秋?仙居縣期末)若A=x2y+2x+3,B=-2x2y+4x,則2A-B=()
A.3B.6C.4x2y+6D.4x2y+3
二.填空題(共7小題)
6.(2024?涼州區(qū)二模)多項式36x2-3x+5與3x3+12mx2-5x+7相加后,不含二次項,則常數(shù)m的值是.
7.(2023秋?炎陵縣期末)去括號,合并同類項得:2a-(2a-1)=.
8.(2023秋?曾都區(qū)期末)-[a-(b-c)]去括號應(yīng)得.
9.(2023秋?陽新縣期末)已知|a|=3,|b|=5,且滿足ab<0,則2023(a-b)-2024(a-b)=.
10.(2024春?靖江市校級月考)化簡:5x-2(x-3y)=.
11.(2023秋?高安市期末)已知a+b=2024,
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