專題2.4 有理數(shù)的乘方【十大題型】（舉一反三）（人教版2024）（原卷版）

專題2.4有理數(shù)的乘方【十大題型】

【人教版2024】

【題型1乘方運算的符號規(guī)律】............................................................................................................................1

【題型2乘方的逆運算（簡算）】........................................................................................................................2

【題型3乘方中的程序流程圖問題】....................................................................................................................2

【題型4乘方中的整除問題】................................................................................................................................4

【題型5乘方中的進制問題】................................................................................................................................4

【題型6乘方中的末尾數(shù)字問題】........................................................................................................................5

【題型7乘方中的規(guī)律探究】................................................................................................................................6

【題型8算“24”點】............................................................................................................................................6

【題型9乘方的實際應(yīng)用】....................................................................................................................................7

【題型10乘方中的新定義問題】............................................................................................................................8

知識點：有理數(shù)的乘方

1.有理數(shù)的乘方

a×a×a×××××a

一般地，n個相同的乘數(shù)a相乘，即1442443，記作an，讀作“a的n次方”；

n個

在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)；當an看作a的n次方的結(jié)果時，讀作a的n次冪。

求n個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。

1）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負偶正”；

2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0。

注意：除0以外的任何數(shù)的“0次冪”結(jié)果為1。

【題型1乘方運算的符號規(guī)律】

【例1】（23-24七年級·安徽合肥·期中）下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的一組是（）

A．32和23B．（﹣2）3和﹣23

C．﹣32和（﹣3）2D．﹣（2×3）2和﹣2×32

【變式1-1】（23-24七年級·福建廈門·期末）觀察下列三組數(shù)的運算：(?2)3=?8，?23=?8；(?3)3

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=?27，?33=?27；(?4)3=?64，?43=?64．聯(lián)系這些具體數(shù)的乘方，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律．下列用字母?表

示的式子：①當?<0時，?3=(??)3；②當?>0時，??3=(??)3．其中表示的規(guī)律正確的是（）

A．①B．②C．①、②都正確D．①、②都不正確

【變式1-2】（23-24七年級·廣東深圳·期末）已知4個數(shù)：（﹣1）2018，|﹣2|，﹣（﹣1.5），﹣32，其中

正數(shù)的個數(shù)有（）

A．1B．2C．3D．4

【變式1-3】（23-24七年級·山東棗莊·期中）下列各式：①?2=(??)2；②?3=(??)3；③??2=|??2|；

④?3=|?3|．一定成立的有()

A．1個B．2個C．3個D．4個

【題型2乘方的逆運算（簡算）】

【例2】（23-24七年級·福建三明·期中）（1）計算下面兩組算式：

①(3×5)2與32×52；

②[(?2)×3]2與(?2)2×32；

（2）根據(jù)以上計算結(jié)果想開去：(??)3等于什么?（直接寫出結(jié)果）

（3）猜想與驗證：當?為正整數(shù)時，(??)?等于什么?請你利用乘方的意義說明理由．

（4）利用上述結(jié)論，求(?4)2022×0.252023的值．

【變式2-1】（23-24七年級·全國·單元測試）如果?5=?32，?3=8那么??=．

【變式2-2】（23-24七年級·福建廈門·期中）若126×38=?，則126×36的值可以表示為（）

11

．?．??9．??6．?

A6BCD9

33

1

【變式2-3】（七年級廣東東莞期中）2=36,2=2×2=4×9=36，由此你能算出36×

23-24··6(2×3)2322

=（）

．．．1．十分麻煩

A6B8C8D

【題型3乘方中的程序流程圖問題】

【例3】（23-24七年級·河南駐馬店·期中）小可同學設(shè)計了幾張如圖寫有不同運算的卡片A，B，C，D，小

可選擇一個有理數(shù)，讓她的同桌小佳選擇A，B，C，D的順序，進行一次列式計算．

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(1)當小可選擇了4，小佳選擇了?→?→?→?的順序，列出算式并計算結(jié)果；

(2)當小可選擇了?2，小佳選擇了?→?→（______）→（______）的順序，若列式計算的結(jié)果剛好為?3，請

通過計算判斷小佳選擇的順序．

【變式3-1】（23-24七年級·江蘇揚州·階段練習）根據(jù)下面的數(shù)值轉(zhuǎn)換器，列出關(guān)于x，y的代數(shù)式，并求

2

1

出當輸入的x與y滿足+=0時的值．

|?+1|??2

【變式3-2】（23-24七年級·北京·期末）按如圖所示的程序進行計算，如果把第一次輸入的數(shù)是20，而結(jié)果

不大于100時，就把結(jié)果作為輸入的數(shù)再進行第二次運算，直到符合要求為止，請求出最后輸出的結(jié)果．

【變式3-3】（23-24七年級·北京東城·期末）小明設(shè)計了一個如圖所示的數(shù)值轉(zhuǎn)換程序．

(1)當輸入?=?5,?=?3吋，求輸出?的值為多少？

(2)若?=?3,?的值大于4，直接寫出一個符合條件的?的值．

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【題型4乘方中的整除問題】

【例4】（23-24七年級·江蘇揚州·期中）(?8)2024+(?8)2023能被下列哪個數(shù)整除？（）

A．3B．5C．7D．9

【變式4-1】（23-24七年級·浙江杭州·期中）試說明257+513能被30整除．

【變式4-2】（23-24七年級·湖南懷化·期末）20232?2023一定能被（）整除

A．2020B．2022C．2024D．2025

【變式4-3】（23-24七年級·四川成都·期中）當自然數(shù)?的個位數(shù)分別為0，1，2，…，9時，?2,?3,?4的個位

數(shù)如表所示：

?個位數(shù)0123456789

?2個位數(shù)0149656941

?3個位數(shù)0187456329

?4個位數(shù)0161656161

······

在10，11，12，13這四個數(shù)中，當?=時，和數(shù)2001?+2002?+2003?+2004?能被5整除．

【題型5乘方中的進制問題】

【例5】（23-24七年級·浙江溫州·期中）遠古美索不達米亞人創(chuàng)造了一套以60進制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng)，

對于大于59的數(shù)，美索不達米亞人則采用六十進制的位值記法，位置的區(qū)分是靠在不同楔形記號組之間留

空，例如：，左邊的表示2×602；中間的表示3×60；右邊的則表示1個單位，用十進制寫出

來是7381，若楔形文記數(shù)，表示十進制的數(shù)為．

【變式5-1】（23-24七年級·山東煙臺·期末）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上

打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”．如圖，一位漁夫從右往左打結(jié)，滿五進一，用來記錄捕到的魚的數(shù)量．由

圖可知，他一共捕到的魚的數(shù)量為（）

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A．34B．194C．1234D．6154

210

【變式5-2】（23-24七年級·全國·競賽）二進制數(shù)(101)2可用十進制表示為1×2+0×2+1×2=5，同

210

樣地，三進制數(shù)(102)3可用十進制表示為1×3+0×3+2×3=11．現(xiàn)有二進制數(shù)?=(11101)2、三進

制數(shù)?=(1010)3，那么?、?的大小關(guān)系是（）．

A．?<?B．?<?C．?=?D．不能確定

【變式5-3】（23-24七年級·安徽合肥·階段練習）我們常用的十進制數(shù)，如2639=2×103+6×102+3×101

+9，我國古代《易經(jīng)》一書記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，如圖，一位母親在從右

到左依次排列的繩子上打結(jié)，并采用七進制（如2513=2×73+5×72+1×71+3），用來記錄孩子自出生后

的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（）

A．1326天B．510天C．336天D．84天

【題型6乘方中的末尾數(shù)字問題】

【例6】（23-24七年級·山東德州·階段練習）觀察下列算式：

31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561?

根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認為32012的末位數(shù)字是．

【變式6-1】（23-24七年級·湖北武漢·期中）?為任意整數(shù)，則下列四組數(shù)字都不可能是?2的末位數(shù)字的應(yīng)

是（）

A．3，4，9，0B．2，3，7，8C．4，5，6，7D．1，5，6，9

【變式6-2】（23-24七年級·福建漳州·期中）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，

26=64，27=128，28=256，…，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認為22023的末位數(shù)字是（）

A．2B．4C．8D．6

【變式6-3】（23-24七年級·重慶渝中·階段練習）若?=25，?=?3，試確定?2011+?2012的末位數(shù)字

是．

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【題型7乘方中的規(guī)律探究】

1

【例7】（七年級山東濰坊期中）如圖，把面積為的正方形進行分割，觀察其規(guī)律，可得算式+

23-24··12

23478

11111

+++…++再加上（）后，結(jié)果就是．

222221

1111

A．B．C．D．

25262728

【變式7-1】（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·期末）觀察數(shù)列：﹣2，4，﹣8，16，……；第7個數(shù)為．

【變式7-2】（23-24七年級·廣東佛山·階段練習）任意大于1的正整數(shù)?的三次冪均可“分裂”成?個連續(xù)奇數(shù)

的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此規(guī)律，若?3分裂后，其中有一個

奇數(shù)是117，則?的值是

【變式7-3】（23-24七年級·浙江溫州·期中）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，

26=64，27=128,28=256……通過觀察，用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定218的個位數(shù)字是．

【題型8算“24”點】

3

【例8】（23-24七年級·浙江杭州·期末）（1）在玩“24點”游戲時，“3、3、7、7”列式并計算為：7×

3+7

=7×3+3=24是依據(jù)運算律_____；

（2）小明抽到以下4張牌：

請你幫他寫出運算結(jié)果為24的一個算式：______．

（3）如果?、?表示正，?、?表示負，請你用（2）中的4張牌表示的數(shù)寫出運算結(jié)果為24的一個算式：

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______．

【變式8-1】（23-24七年級·山東威?！て谀┯幸环N“二十四點”游戲，其游戲規(guī)則是：任取1至13之間的

四個自然數(shù)，將這四個數(shù)（每個數(shù)用且只用一次，可以加括號）進行有理數(shù)混合運算，使其結(jié)果等于24．現(xiàn)

有四個有理數(shù)1,2,2,3，請仿照“二十四點”游戲規(guī)則寫出一個算式，使其結(jié)果等于24．

【變式8-2】（23-24七年級·湖北武漢·期中）紅紅有5張寫著以下數(shù)字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成

下列各題：

(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字乘積最大，最大值是．

(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片數(shù)字相除商最小，最小值是．

(3)從中取出除0以外的4張卡片，將這4個數(shù)字進行加、減、乘、除或乘方等混合運算，使結(jié)果為24，（注：

每個數(shù)字只能用一次，如：23×[1?（?2）]），請另寫出兩種符合要求的運算式子．

【變式8-3】（23-24七年級·山東淄博·期末）小明和同學們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去

掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算（每張牌上的數(shù)字只能用一次），使得

運算結(jié)果等于24．小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出兩個結(jié)果等于24的算式．

【題型9乘方的實際應(yīng)用】

【例9】（23-24七年級·吉林長春·期中）細菌是靠分裂進行生殖的，也就是1個細菌分裂成2個細菌，分裂

完的細菌長大以后又能進行分裂．例如，圖中所示為某種細菌分裂的電鏡照片，顯示這種細菌每20分鐘就

能分裂一次．1個這種細菌經(jīng)過3個小時可以分裂成個細菌．

【變式9-1】（23-24七年級·全國·隨堂練習）拉面是把一根較粗的面條先對折成2根再拉開，然后將兩端捏

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緊，再對折成4根再拉開，…，一直重復這個流程，面條的數(shù)量會不斷增多，也會不斷變細．

(1)將這個流程重復7次后，面條的數(shù)量會變成多少根？

(2)若剛開始時的面條的橫截面積為8cm2，則將這個流程重復8次后，平均每一根面條橫截面積是多少？（每

一次拉開的長度都與第一根面條的長度相同且粗細均勻）

【變式9-2】（23-24七年級·全國·隨堂練習）如圖，當你把一張紙對折1次時可以得到2層，對折2次時可

以得到4層，對折3次時可以得到8層，繼續(xù)對折下去（最多折7次）．

(1)你能發(fā)現(xiàn)層數(shù)與折紙次數(shù)之間的關(guān)系嗎？

(2)如果每層紙的厚度是0.05毫米，求對折7次時紙的總厚度．

【變式9-3】（23-24七年級·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知第一個正方體紙盒的棱長為6cm，第二個正方體紙盒的體

積比第一個正方體紙盒的體積大127cm3．

(1)求第二個正方體紙盒的棱長；

(2)第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多多少？

【題型10乘方中的新定義問題】

【例10】（23-24七年級·陜西西安·階段練習）若任意數(shù)?、?有這樣運算規(guī)律：1?2=22?1×2，

3?4=42?3×4．

(1)則?2?3=__________；?3?(?5)=_________；

(2)根據(jù)上述題，試用字母?、?表示其規(guī)律；

(3)若[?]表示不大于?的最大整數(shù)，如：[?2.2]=?3，[5.8]=5，則求：[??]?[4.1]．

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【變式10-1】（23-24七年級·江蘇常州·期中）我們根據(jù)乘方運算，得出了一種新的運算，如下表是兩種運

算對應(yīng)關(guān)系的一組實例：

乘方運算21=222=423=8…31=332=932=27…

新運算log22=1log24=2log28=3…log33=1log39=2log327=3…

根據(jù)上表規(guī)律，某同學寫出了三個式子：①log216=4，②log525=5，③1og464=3．其中正確的

是