專題2.7 數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題【九大題型】（舉一反三）（人教版2024）（解析版）

專題2.7數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題【九大題型】

【人教版2024】

【題型1數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的絕對(duì)值的最小值問(wèn)題】....................................................................................................1

【題型2數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的相遇問(wèn)題】........................................................................................................................8

【題型3數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的中點(diǎn)問(wèn)題】......................................................................................................................12

【題型4數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的相距問(wèn)題】......................................................................................................................19

【題型5數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的和差倍分問(wèn)題】..............................................................................................................24

【題型6數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的定值問(wèn)題】......................................................................................................................32

【題型7數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的折返問(wèn)題】......................................................................................................................37

【題型8數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的規(guī)律問(wèn)題】......................................................................................................................43

【題型9數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的新定義問(wèn)題】..................................................................................................................46

知識(shí)點(diǎn)：數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題主要解題步驟

1)畫圖——在數(shù)軸上表示出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況：運(yùn)動(dòng)方向和速度；

2)寫點(diǎn)——寫出所有點(diǎn)表示的數(shù):一般用含有t的代數(shù)式表示,向右運(yùn)動(dòng)用“+”表示,向左運(yùn)動(dòng)用“-”表示；

3)表示距離——右-左,若無(wú)法判定兩點(diǎn)的左右需加絕對(duì)值；

4)列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式,求值。

注意:要注意動(dòng)點(diǎn)是否會(huì)來(lái)回往返運(yùn)動(dòng)。

【題型1數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的絕對(duì)值的最小值問(wèn)題】

【例1】（23-24七年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）閱讀下面材料：若已知點(diǎn)?表示數(shù)?，點(diǎn)?表示數(shù)?，則?、?兩點(diǎn)之

間的距離表示為??，則??=|???|．

回答下列問(wèn)題：

(1)①點(diǎn)?表示數(shù)?，點(diǎn)?表示數(shù)1，則?、?兩點(diǎn)之間的距離表示為_(kāi)_____；

②點(diǎn)?表示數(shù)?，點(diǎn)?表示數(shù)1，如果??=6，那么?的值為_(kāi)_____；

(2)①如果|?+3|+|??2|=0，那么?=______，?=______；

②當(dāng)代數(shù)式|?+1|+|??2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的整數(shù)?的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____；

第1頁(yè)共53頁(yè).

(3)在數(shù)軸上，點(diǎn)?表示的數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)、?是原點(diǎn)、?在?的右側(cè)且到?的距離是9，動(dòng)點(diǎn)?沿?cái)?shù)軸從點(diǎn)?

開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到達(dá)?點(diǎn)后立刻返回，再回到?點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在此過(guò)程中，點(diǎn)?的運(yùn)動(dòng)速度始終保持每秒2個(gè)單

位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)?的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為?秒．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)直接用含?的代數(shù)式表示??．

【答案】(1)①|(zhì)??1|②7或?5

(2)①?3，2②4

111919

(3)當(dāng)0<?<時(shí)，??=1?2?，當(dāng)<?<5時(shí)，??=2??1，當(dāng)5<?<時(shí)，??=19?2?，當(dāng)<?<10時(shí)，

2222

??=2??19

【分析】此題主要考查有理數(shù)與數(shù)軸的應(yīng)用，

（1）①根據(jù)?、?兩點(diǎn)之間的距離公式即可求解；

②根據(jù)??=6及?、?兩點(diǎn)之間的距離公式分情況討論即可求解；

（2）①根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性即可求解；

②根據(jù)代數(shù)式|?+1|+|??2|的含義為點(diǎn)到?1和2的距離之和，故可得到取最小值時(shí)，相應(yīng)的整數(shù)?的值，即

可求解；

（3）根據(jù)?點(diǎn)位置分情況討論，用含?的式子表示??的長(zhǎng)，即可求解．

解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分類討論求解．

【詳解】（1）①∵點(diǎn)?表示數(shù)?，點(diǎn)?表示數(shù)1，

∴?、?兩點(diǎn)之間的距離表示為|??1|；

②點(diǎn)?表示數(shù)?，點(diǎn)?表示數(shù)1，

∵??=6，

∴|??1|=6

∴??1=6或??1=?6

∴?=7或?=?5

故答案為：①|(zhì)??1|；②7或?5；

（2）①∵|?+3|+|??2|=0，

∴?+3=0，??2=0，

∴?=?3，?=2，

②代數(shù)式|?+1|+|??2|的含義為點(diǎn)到?1和2的距離之和，

∴當(dāng)整數(shù)?的值為?1,0,1,2這4個(gè)值時(shí)，|?+1|+|??2|的最小值為3，

第2頁(yè)共53頁(yè).

即相應(yīng)的整數(shù)?的個(gè)數(shù)為4個(gè)；

故答案為：①?1；2；②4；

（3）在數(shù)軸上，點(diǎn)?表示的數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)、?是原點(diǎn)、?在?的右側(cè)且到?的距離是9，

∴點(diǎn)?表示的數(shù)是?1，點(diǎn)?表示的數(shù)是9，?、?之間的距離??=10，

∵點(diǎn)?的運(yùn)動(dòng)速度始終保持每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)?沿?cái)?shù)軸從點(diǎn)?開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到達(dá)?點(diǎn)后立刻返回，再回到?

點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

∴0＜?＜10

1

當(dāng)0<?<時(shí)，??=?????==1?2?，

2|1?2?|

1

當(dāng)<?<5時(shí)，??=?????==2??1，

2|1?2?|

19

當(dāng)5<?<時(shí)，??=19?2?，

2

19

當(dāng)<?<10時(shí)，??=2??19，

2

111919

當(dāng)0<?<時(shí)，??=1?2?，當(dāng)<?<5時(shí)，??=2??1，當(dāng)5<?<時(shí)，??=19?2?，當(dāng)<?<10時(shí)，

∴2222

??=2??19.

【變式1-1】（23-24七年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)c，

且a，c滿足以下關(guān)系式：|?+3|+(??9)2=0，?=1．

(1)a=______；c=______；

(2)若將數(shù)軸折疊，使得A點(diǎn)與B點(diǎn)重合，則點(diǎn)C與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；

(3)若點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，當(dāng)代數(shù)式|???|+|???|+|???|取得最小值時(shí)，此時(shí)

x=______，最小值為_(kāi)_____．

【答案】(1)?3，9

(2)?11

(3)1，12

【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（2）先求出AB的中點(diǎn)表示的數(shù)，由此即可得到答案；

（3）分圖3-1，圖3-2，圖3-3，圖3-4四種情況討論求解即可．

第3頁(yè)共53頁(yè).

【詳解】（1）解：∵|?+3|+(??9)2=0，|?+3|≥0，(??9)2≥0，

?+3=0，

∴??9=0

?=?3，

∴?=9

故答案為：-3；9；

（2）解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)為-3，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，

∴AB中點(diǎn)表示的數(shù)為-1，

∴點(diǎn)C到AB中點(diǎn)的距離為10，

∴點(diǎn)C與數(shù)-1-10=-11表示的點(diǎn)重合，

故答案為：-11；

（3）解：由題意得|???|+|???|+|???|

=|?+1|+|??1|+|??9|，

∴代數(shù)式|???|+|???|+|???|的值即為點(diǎn)P到A、B、C三點(diǎn)的距離和，

如圖3-1所示，當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)

|???|+|???|+|???|=??+??+??=3??+??+??=3??+16

如圖3-2所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，

|???|+|???|+|???|=??+??+??=??+12

如圖3-3所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，

|???|+|???|+|???|=??+??+??=??+??=??+12

如圖3-4所示，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

|???|+|???|+|???|=??+??+??=3??+20

∴綜上所述，當(dāng)P與B點(diǎn)重合時(shí)，(|???|+|???|+|???|)最小值=12．

第4頁(yè)共53頁(yè).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)性的性質(zhì)，絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，用數(shù)軸表示有理數(shù)等等，

熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

【變式1-2】（23-24七年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖：在數(shù)軸上?點(diǎn)表示數(shù)?，?點(diǎn)表示數(shù)?，?點(diǎn)表示數(shù)?，且

?，?滿足|?+2|+(??8)2=0，?=1，

（1）?=_____________，?=_________________;

（2）若將數(shù)軸折疊，使得?點(diǎn)與?點(diǎn)重合，則點(diǎn)?與數(shù)表示的點(diǎn)重合.

（3）在（1）（2）的條件下，若點(diǎn)?為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為?，當(dāng)代數(shù)式|???|+|???|+|???|取

得最小值時(shí)，此時(shí)?=____________，最小值為_(kāi)_________________.

（4）在（1）（2）的條件下，若在點(diǎn)?處放一擋板，一小球甲從點(diǎn)?處以1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)；同時(shí)

另一小球乙從點(diǎn)?處以2個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看做一點(diǎn)）以原來(lái)

的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為?（秒），請(qǐng)表示出甲、乙兩小球之間的距離?（用?的代數(shù)式表

示）

8?2??(?2??)=10??(0≤?≤3.5)

【答案】（1）?2，8；（2）?9；（3）1；10；（4）?={2??6?(?2??)=3??4(?>3.5).

【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零則這兩個(gè)數(shù)均為零即可得出答案；

1

（2）先求出AB=3，則折點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，故折點(diǎn)表示的數(shù)為B點(diǎn)表示的數(shù)減去AB，即折點(diǎn)表示的數(shù)為：

2

1

1-×3=-0.5，再求出C點(diǎn)與折點(diǎn)的距離為：8-(-0.5)=8.5，所以C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-0.5-8.5=-9；

2

（3）當(dāng)P與點(diǎn)B重合時(shí)，即當(dāng)x=b時(shí)，|x-a|+|x-b|+|x-c|取得最小值；

（4）分小球乙碰到擋板之前和之后，即當(dāng)0≤t≤3.5，t＞3.5時(shí)，表示出甲、乙兩小球之間的距離d即可.

【詳解】解：（1）∵|?+2|+(??8)2=0，|?+2|≥0，(??8)2≥0

∴?+2=0，??8=0

∴?=?2，?=8；

故答案為：?2，8；

（2）因?yàn)?=?2，?=1，

所以AB=1-(-2)=3，

第5頁(yè)共53頁(yè).

將數(shù)軸折疊，使得?點(diǎn)與?點(diǎn)重合，

所以對(duì)折點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，

1

所以對(duì)折點(diǎn)表示的數(shù)為：1-×3=-0.5，

2

C點(diǎn)與對(duì)折點(diǎn)的距離為：8-(-0.5)=8.5，所以C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-0.5-8.5=-9，

即點(diǎn)C與數(shù)-9表示的點(diǎn)重合，

故答案為：-9；

（3）當(dāng)x=b=1時(shí)，

|x-a|+|x-b|+|x-c|=|x-(-2)|+|x-1|+|x-8|=10為最小值；

故答案為：1；10；

（）秒后，甲的位置是，乙的位置是8?2?(0≤?≤3.5)，

4??2??1+2(??3.5)=2??6(?>3.5)

8?2??(?2??)=10??(0≤?≤3.5)

∴?=2??6?(?2??)=3??4(?>3.5).

【點(diǎn)睛】此題考查是列代數(shù)式，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求法是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵．

【變式1-3】（23-24七年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中）已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b滿足(??5)2+|?+?|=0，

請(qǐng)回答問(wèn)題

(1)請(qǐng)直接寫出a，b，c的值：?=________；?=________；?=________；

(2)a、b、c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，點(diǎn)P在0到2之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（即0≤?≤2

時(shí)），請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：|?+1|?|??1|+2|?+5|（請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)過(guò)程）

(3)在（1）（2）的條件下，點(diǎn)A、B、C開(kāi)始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，

同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)t秒鐘過(guò)后，若點(diǎn)B與

點(diǎn)C之間的距離表示為??，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為??．請(qǐng)問(wèn)：?????的值是否隨著時(shí)間t的變化

而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求其值．

【答案】(1)?1，1，5

(2)當(dāng)0≤?≤1時(shí)，原式=4?+10；②當(dāng)1<?≤2時(shí)，原式=2?+12

(3)不變，?????=2

【分析】（1）根據(jù)最小的正整數(shù)時(shí)1，即可得出b的值，根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，即可得出a和c是

第6頁(yè)共53頁(yè).

值；

（2）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論，①當(dāng)0≤?≤1時(shí)，②當(dāng)1<?≤2時(shí)即可求解；

（3）先得出t秒后，點(diǎn)A表示的數(shù)為?1??；點(diǎn)B表示的數(shù)為1+2?；點(diǎn)C表示的數(shù)為5+5?，再得出??和

??的表達(dá)式，計(jì)算即可．

【詳解】（1）解：∵最小的正整數(shù)是1，

∴?=1，

∵(??5)2+|?+?|=0，

∴??5=0,?+?=0，

解得：?=5,?=?1，

故答案為：?1，1，5；

（2）解：①當(dāng)0≤?≤1時(shí)，?+1>0,??1≤0,?+5>0，

∴|?+1|?|??1|+2|?+5|

=(?+1)?(1??)+2(?+5)

=?+1?1+?+2?+10

=4?+10，

②當(dāng)1<?≤2時(shí)，?+1>0,??1>0,?+5>0，

∴|?+1|?|??1|+2|?+5|

=(?+1)?(??1)+2(?+5)

=?+1??+1+2?+10

=2?+12；

（3）解：∵?=?1,?=1,?=5，點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2

個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，

∴t秒后，點(diǎn)A表示的數(shù)為?1??；點(diǎn)B表示的數(shù)為1+2?；點(diǎn)C表示的數(shù)為5+5?，

∴??=(5+5?)?(1+2?)=4+3?，??=(1+2?)?(?1??)=3?+2，

∴?????=(4+3?)?(3?+2)=2，

∴?????的值不變，恒為2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，絕對(duì)值的計(jì)算，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握幾

個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別為0；正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0

的絕對(duì)值是0；以及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法．

第7頁(yè)共53頁(yè).

【題型2數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的相遇問(wèn)題】

【例2】（23-24七年級(jí)·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的

一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為12．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．

(1)數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是，點(diǎn)P表示的數(shù)是（用含t的代數(shù)式表示）；

(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)．求：

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇？

②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度？

【答案】(1)?6；6?4?；

(2)①6秒；②3秒或9秒．

【分析】（1）由已知得??=6，則??=?????=6，因?yàn)辄c(diǎn)B在原點(diǎn)左邊，從而寫出數(shù)軸上點(diǎn)B所表示

的數(shù)；動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為?(?>0)秒，所以運(yùn)動(dòng)的單位長(zhǎng)度為4?，因?yàn)檠財(cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，

所以點(diǎn)P所表示的數(shù)是6?4?；

（2）由題意可得點(diǎn)Q表示的數(shù)為?6?2?．①點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇，則點(diǎn)P與點(diǎn)Q表示的數(shù)相同，即

6?4?=?6?2?，解得?=6．②點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度，則??=6，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義

有|(6?4?)?(?6?2?)|=6，解得?=3或?=9．

【詳解】（1）∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，

∴??=6，

∵A，B兩點(diǎn)間的距離為12，

∴??=12，

∴??=?????=12?6=6，

∵點(diǎn)B在原點(diǎn)左邊，

∴數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為?6；

∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒的長(zhǎng)度為4?，

所以點(diǎn)P所表示的數(shù)為：6?4?；

第8頁(yè)共53頁(yè).

故答案為：?6；6?4?．

（2）∵動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，

∴運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，點(diǎn)Q表示的數(shù)為：?6?2?．

①點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇，則點(diǎn)P與點(diǎn)Q表示的數(shù)相同，即

6?4?=?6?2?，

解得：?=6，

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；

②點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度，則??=6，

即|(6?4?)?(?6?2?)|=6，

解得：?=3或?=9，

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)3秒或9秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度．

【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，絕對(duì)值的幾何意義，理解并運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義是

解題的關(guān)鍵．

【變式2-1】（23-24七年級(jí)·甘肅蘭州·期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)?表示的數(shù)為6，?是數(shù)軸上在?左側(cè)的一

點(diǎn)，且?，?兩點(diǎn)間的距離為10．動(dòng)點(diǎn)?從點(diǎn)?出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為?(?>0)秒．

(1)數(shù)軸上點(diǎn)?表示的數(shù)是_______，點(diǎn)?表示的數(shù)是_______(用含?的代數(shù)式表示)；

(2)動(dòng)點(diǎn)?從點(diǎn)?出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)?、?同時(shí)出發(fā)．求：當(dāng)點(diǎn)?運(yùn)

動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)?與點(diǎn)?相遇？

【答案】(1)?4；6?6?．

(2)當(dāng)點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，點(diǎn)?與點(diǎn)?相遇．

【分析】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩點(diǎn)間的距離及數(shù)軸，根據(jù)題意得出各線段之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．

（1）由題意知??=6，??=?????=10?6=4，因?yàn)?點(diǎn)在原點(diǎn)左邊，從而得出數(shù)軸上點(diǎn)?表示的數(shù)；

動(dòng)點(diǎn)?從點(diǎn)?出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意則得出點(diǎn)?表示的數(shù)；

（2）設(shè)?點(diǎn)運(yùn)動(dòng)?秒時(shí)追上點(diǎn)?，根據(jù)題意列方程6?=10+4?，解得?值．

【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，

第9頁(yè)共53頁(yè).

∴??=6，

則??=?????=10?6=4，

又∵點(diǎn)B在原點(diǎn)左邊，

∴數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為?4；

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒的長(zhǎng)度為6?，

∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，

∴P所表示的數(shù)為：6?6?．

（2）設(shè)點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)?秒時(shí)追上點(diǎn)?，

根據(jù)題意，得6?=10+4?，

解得：?=5，

答：當(dāng)點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，點(diǎn)?與點(diǎn)?相遇．

【變式2-2】（23-24七年級(jí)·福建三明·期中）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)?表示的數(shù)為4，點(diǎn)?表示的數(shù)為1，?是數(shù)

軸上一點(diǎn)，且??=8.

（1）直接寫出數(shù)軸上點(diǎn)?表示的數(shù)；

（2）動(dòng)點(diǎn)?從?出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為?(?>0)秒，動(dòng)點(diǎn)?從

點(diǎn)?出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)t為何值時(shí)P，R兩點(diǎn)會(huì)相遇．

（3）動(dòng)點(diǎn)?從?出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為?(?>0)秒，動(dòng)點(diǎn)?從

點(diǎn)?出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)?從點(diǎn)?出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)

軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若?，?????，?三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)?遇上點(diǎn)?后立即返回向點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)，遇到點(diǎn)?后則停止運(yùn)

動(dòng)．求點(diǎn)?從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)，行駛的路程是多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

【答案】（1）-4；（2）當(dāng)t=1時(shí)，P，R兩點(diǎn)會(huì)相遇；（3）行駛的路程是24.75個(gè)單位長(zhǎng)度．

【分析】（1）根據(jù)AC的距離和點(diǎn)A表示的數(shù)即可求出結(jié)論；

（2）先求出BC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)題意列出方程即可求出結(jié)論；

（3）先求出AB的長(zhǎng)，然后求出點(diǎn)P遇上點(diǎn)?的時(shí)間，并求出此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q的距離，從而求出P、Q的

相遇時(shí)間，然后即可求出結(jié)論．

【詳解】解：（1）∵數(shù)軸上點(diǎn)?表示的數(shù)為4，??=8，點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)

∴點(diǎn)C表示的數(shù)為4－8=-4；

（2）∵點(diǎn)?表示的數(shù)為1，點(diǎn)C表示的數(shù)為-4

第10頁(yè)共53頁(yè).

∴BC=1－（-4）=5

由題意可得3t＋2t=5

解得：t=1

答：當(dāng)t=1時(shí)，P，R兩點(diǎn)會(huì)相遇；

（3）由題意可得：AB=4－1=3

點(diǎn)P遇上點(diǎn)?的時(shí)間為：5÷（3－2）=5（秒）

此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q的距離為3＋（3－1）×5=13

∴P、Q的相遇時(shí)間為13÷（3+1）=3.25（秒）

∴點(diǎn)?從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)，行駛的路程是3×（5＋3.25）=24.75個(gè)單位長(zhǎng)度

答：點(diǎn)?從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)，行駛的路程是24.75個(gè)單位長(zhǎng)度．

【點(diǎn)睛】此題考查的是數(shù)軸與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式和行程問(wèn)題公式是解題關(guān)鍵．

【變式2-3】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，已知數(shù)軸上?，?，?三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別是?，

?，?，且|??10|=0，若點(diǎn)?沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)?，且點(diǎn)?，?表示的數(shù)互為相反數(shù)．

(1)?的值為_(kāi)_____，???的值為_(kāi)_____；

(2)動(dòng)點(diǎn)?，?分別同時(shí)從點(diǎn)?，?出發(fā)，點(diǎn)?以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)?移動(dòng)，點(diǎn)?以每秒?個(gè)單位長(zhǎng)

度的速度向終點(diǎn)?移動(dòng)，點(diǎn)?表示的數(shù)為?．

①若點(diǎn)?，?在點(diǎn)?處相遇，求?的值；

②若點(diǎn)?的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)?的2倍，當(dāng)點(diǎn)?，?之間的距離為2時(shí)，求此時(shí)?的值．

【答案】(1)?6；?4；

14

?=；?或；

(2)①3②30

【分析】（1）由絕對(duì)值的意義，數(shù)軸的定義，相反數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可求出答案；

（2）①利用行程問(wèn)題，即可求出答案；

②根據(jù)題意，進(jìn)行分類討論：當(dāng)P、Q在相遇之前距離為2時(shí)；當(dāng)P、Q在相遇之后距離為2時(shí)；分別求出

答案即可．

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，則

∵|??10|=0，

第11頁(yè)共53頁(yè).

∴?=10，

∵點(diǎn)?沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)?，且點(diǎn)?，?表示的數(shù)互為相反數(shù)，

?+12=?，解得：?=?6，

∴?+?=0?=6

∴???=6?10=?4；

故答案為：?6，?4；

（2）解：①根據(jù)題意，則

??=10?(?6)=16，??=6?(?6)=12，??=10?6=4，

∵點(diǎn)?，?在點(diǎn)?處相遇，

12

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：=12（秒），

∴1

∴12?=4，

1

?=；

∴3

②∵點(diǎn)?的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)?的2倍，

∴點(diǎn)Q的速度是每秒2個(gè)單位；

當(dāng)P、Q在相遇之前距離為2時(shí)；

16?214

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：=（秒），

∴1+23

144

?=?6+=?；

∴33

當(dāng)P、Q在相遇之后距離為2時(shí)；

16+2

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：=6（秒），

∴1+2

∴?=?6+6=0；

4

綜合上述，?的值為?或；

30

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上表示的數(shù)，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，絕對(duì)值的意義，相反數(shù)的定義等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行解題．

【題型3數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的中點(diǎn)問(wèn)題】

【例3】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)c，b是

最小的正整數(shù)，且a，c滿足|?+2|+(??7)2=0．

第12頁(yè)共53頁(yè).

(1)?=______，?=______，?=______．

(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左勻速

運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P，Q停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)??=2??時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好

是線段??的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．（注：點(diǎn)O為數(shù)軸原點(diǎn)）

【答案】(1)?2；1；7

48

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度或者每秒16個(gè)單位長(zhǎng)度

(2)Q7

【分析】（1）本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)有理數(shù)的特征、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解答；掌握幾個(gè)非負(fù)

數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0成為解題的關(guān)鍵；

（2）本題主要考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，先求出點(diǎn)Q表示的數(shù)是?1，進(jìn)而得到??=8，然后分當(dāng)點(diǎn)P在??

和??上兩種情況解答即可；掌握數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題成為解題的關(guān)鍵．

【詳解】（1）解：因?yàn)閎是最小的正整數(shù)，所以?=1．

因?yàn)閨?+2|+(??7)2=0，所以?=?2，?=7．

故答案為?2；1；7．

（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段??的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)Q表示的數(shù)是?1，此時(shí)??=7?(?1)=8，

由??=2??，可分兩種情況：

11

當(dāng)點(diǎn)在??上時(shí)，得??=??=，

①P33

17

此時(shí)??=??+??=2+=；

33

77

所以點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為÷2=，

P36(s)

748

所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度=8÷=；

Q67

②當(dāng)點(diǎn)P在??上時(shí)，得??=??=1，

此時(shí)??=?????=2?1=1，

1

所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是1÷2=，

2(s)

1

所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度=8÷=16，

2

48

綜上，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度或者每秒16個(gè)單位長(zhǎng)度．

Q7

第13頁(yè)共53頁(yè).

【變式3-1】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖，在數(shù)軸上有?、?、?三點(diǎn)，分別表示有理數(shù)?，?，?，

且?，?，?滿足式子|?+30|+|?+10|+|??14|=0；如圖：動(dòng)點(diǎn)?從點(diǎn)?出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度一直

向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)5秒后，長(zhǎng)度為6個(gè)單位的線段??（?為線段左端點(diǎn)且與點(diǎn)?重合，?為線段右端點(diǎn)）

從?點(diǎn)出發(fā)以3個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)?到達(dá)點(diǎn)?后，線段??立即以同樣的速度返回向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

點(diǎn)?到達(dá)點(diǎn)?后線段??再以同樣的速度向右運(yùn)動(dòng)，如此往返．設(shè)點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)時(shí)間為?秒．

(1)求?，?，?的值；

(2)當(dāng)?=______秒時(shí)，點(diǎn)?與點(diǎn)?重合，并求出此時(shí)線段??上點(diǎn)?所表示的數(shù)；

(3)記線段??的中點(diǎn)為?，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)?與點(diǎn)?的距離為1個(gè)單位時(shí)，求?的值．

【答案】(1)?=?30，?=?10，?=14

(2)22秒，11

73

?=或

(3)515

【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)的性質(zhì)求解即可；

（2）結(jié)合（1）確定??之間的距離，然后根據(jù)點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)的速度可計(jì)算當(dāng)?=22秒時(shí)，點(diǎn)?與點(diǎn)?重合；當(dāng)?=22

秒時(shí)，線段??的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為17秒，即可確定線段??從?運(yùn)動(dòng)到?所用時(shí)間為6秒，結(jié)合數(shù)軸上點(diǎn)?起始位置

所表示數(shù)為?4，即可確定線段??運(yùn)動(dòng)17秒后，點(diǎn)?所表示數(shù)為11；

（3）由點(diǎn)?為線段??的中點(diǎn)，首先確定點(diǎn)?的起始位置所表示數(shù)為?7，然后結(jié)合在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)?所表示

數(shù)為(?30+2?)，分5≤?≤11，11≤?≤17，17≤?≤23三個(gè)階段逐一分析計(jì)算即可獲得答案．

【詳解】（1）解：∵|?+30|+|?+10|+|??14|=0，

∵|?+30|≥0，|?+10|≥0，|??14|≥0，

∴|?+30|=0，|?+10|=0，|??14|=0，

∴?=?30，?=?10，?=14；

（2）∵?所表示數(shù)為?30，?所表示數(shù)為14，

∴??=14?(?30)=44，

∴點(diǎn)?從運(yùn)動(dòng)到?所用時(shí)間為44÷2=22秒，

即當(dāng)?=22秒時(shí)，點(diǎn)?與點(diǎn)?重合；

線段??的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為22?5=17秒，

第14頁(yè)共53頁(yè).

14?(?10)?6

線段??從?運(yùn)動(dòng)到?所用時(shí)間為=6秒，

3

∵數(shù)軸上點(diǎn)?起始位置所表示數(shù)為?4，

∴線段??運(yùn)動(dòng)17秒后，點(diǎn)?所表示數(shù)為?4+3×(17?6?6)=11；

?10+(?4)

（3）點(diǎn)?的起始位置所表示數(shù)為：=?7；

2

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)?所表示數(shù)為：?30+2?，

①當(dāng)5≤?≤11時(shí)，點(diǎn)?所表示數(shù)為：?7+3(??5)=3??22，

??=|3??22?(?30+2?)|=1，?=?7（舍），?=?9（舍）；

②當(dāng)11≤?≤17時(shí)，點(diǎn)?所表示數(shù)為：11?3(??11)=?3?+44，

73

??==1，?=，?=15；

|?3?+44?(?30+2?)|5

③當(dāng)17≤?≤23時(shí)，點(diǎn)?所表示數(shù)為：?7+3(??17)=3??58，

??=|3??58?(?30+2?)|=1，?=27，?=29．

73

綜上所述，?=或．

515

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)、數(shù)軸與有理數(shù)、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)，

理解題意，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問(wèn)題是解題關(guān)鍵．

【變式3-2】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，b，

18，且a、b滿足(?+10)2+|??10|=0.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，

動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，線段??為“變速區(qū)”，規(guī)則為：從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B

期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，之后立刻恢復(fù)原速，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，之后也立刻

恢復(fù)原速.當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)?=，?=，??=；

(2)M，N兩點(diǎn)相遇時(shí)，求相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù).

(3)點(diǎn)D為線段??中點(diǎn)，當(dāng)t為多少秒時(shí)，??=??？

【答案】(1)?10,10,28

16

(2)3

31

?=2或?=11或?=或?=17

(3)3

第15頁(yè)共53頁(yè).

【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可．

????

（2）設(shè)M，N相遇于點(diǎn)P，且點(diǎn)P表示的數(shù)為m，則點(diǎn)M用時(shí)為+=?+5，??=10??，點(diǎn)N用

21

????10??10??

時(shí)為+=+8，根據(jù)題意，得+8=?+5，計(jì)算即可．

2122

（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)時(shí)間為t，分五種情況進(jìn)行討論，分別求出每種情況下點(diǎn)M

和點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出??和??，令??=??，解方程即可得出答案．

【詳解】（1）∵A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，b，18，且a、b滿足(?+10)2+|??10|=0，

∴?=?10,?=10，

故A表示的數(shù)是?10，C表示的數(shù)是18，

∴??=18?(?10)=28，

故答案為：?10,10,28．

（2）設(shè)M，N相遇于點(diǎn)P，且點(diǎn)P表示的數(shù)為m，

①當(dāng)點(diǎn)M在??上，點(diǎn)N在??上時(shí)，點(diǎn)M表示的數(shù)為2??10，點(diǎn)N表示的數(shù)為18??，

此時(shí)無(wú)法相遇；

②當(dāng)點(diǎn)M在??上，點(diǎn)N在??上時(shí)，無(wú)法相遇；

③當(dāng)點(diǎn)M在??上，點(diǎn)N在??上時(shí)，

則??=10??，??=?，

????????10??

點(diǎn)M用時(shí)為+=?+5，點(diǎn)N用時(shí)為+=+8，

∴21212

10??

根據(jù)題意，得+8=?+5，

2

16

解得?=，

3

故相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)16．

3

（3）∵A表示的數(shù)是?10，點(diǎn)B表示的數(shù)是10，C表示的數(shù)是18，點(diǎn)D為線段??中點(diǎn)，

∴點(diǎn)D表示的數(shù)是5；

設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，??=??，

①當(dāng)點(diǎn)M在??上，點(diǎn)N在??上時(shí)，點(diǎn)M表示的數(shù)為2??10，點(diǎn)N表示的數(shù)為18??，

此時(shí)??=5?(2??10)=15?2?，??=18???5=13??，

∵??=??，

∴15?2?=13??，

第16頁(yè)共53頁(yè).

解得?=2；

②當(dāng)點(diǎn)M在??上，點(diǎn)N在??上時(shí)，點(diǎn)M表示的數(shù)為??5，點(diǎn)N表示的數(shù)為18??，

此時(shí)??=5?(??5)=10??，??=18???5=13??，

∵??=??，

∴10??=13??，

無(wú)解；

③當(dāng)點(diǎn)M在??上，點(diǎn)N在??上時(shí)，點(diǎn)M表示的數(shù)為??5，點(diǎn)N表示的數(shù)為10?2(??8)=26?2?，

此時(shí)??=5?(??5)=10??，??=26?2??5=1=21?2?，

∵??=??，

∴10??=21?2?，

解得?=11；

④當(dāng)點(diǎn)M在??上，點(diǎn)N在??上時(shí)，點(diǎn)M表示的數(shù)為??5，點(diǎn)N表示的數(shù)為10?2(??8)=26?2?，

此時(shí)??=(??5)?5=??10，??=26?2??5=1=21?2?，

∵??=??，

∴??10=21?2?，

31

解得?=；

3

⑤當(dāng)點(diǎn)M在??上，點(diǎn)N在??上時(shí)，點(diǎn)M表示的數(shù)為2(??15)+10=2??20，點(diǎn)N表示的數(shù)為0?(??13)

=13??，

此時(shí)??=(2??20)?5=2??25，??=5?(13??)=??8，

∵??=??，

∴??8=2??25，

解得?=17；

31

綜上所述，當(dāng)?=2或?=11或?=或?=17時(shí)，??=??．

3

【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)表示的有理數(shù)，分類思想，熟練掌握兩點(diǎn)間距離公式的計(jì)算

是解決本題的關(guān)鍵.

【變式3-3】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·期中）如圖：在數(shù)軸上?點(diǎn)表示數(shù)?3，?點(diǎn)表示數(shù)1，?點(diǎn)表示數(shù)9．

(1)若將數(shù)軸折疊，使得?點(diǎn)與?點(diǎn)重合，則點(diǎn)?與______表示的點(diǎn)重合；

第17頁(yè)共53頁(yè).

(2)若點(diǎn)?、點(diǎn)?和點(diǎn)?分別以每秒2個(gè)單位、1個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)．

①若?秒鐘過(guò)后，?，?，?三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)，求?值；

②當(dāng)點(diǎn)?在?點(diǎn)右側(cè)時(shí)，是否存在常數(shù)?，使????2??的值為定值，若存在，求?的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由．

【答案】(1)5；

2

①?=1或4或16；②存在，?=?．

(2)3

【分析】（1）求出??的長(zhǎng)度和中點(diǎn)，然后求出中點(diǎn)到點(diǎn)?的距離即中點(diǎn)到點(diǎn)?的重合點(diǎn)的距離，即可求得

點(diǎn)?的重合點(diǎn)；

（2）①分別以?、?、?為中點(diǎn)，列出方程求解即可；②使????2??的值為定值，列出等式中的含?項(xiàng)合并

為0，從而求出?的值．

【詳解】（1）??=9?(?3)=12，

12÷2=6，

∴??的中點(diǎn)表示的數(shù)為：9?6=3，

∵3?1=2，

點(diǎn)B的重合點(diǎn)為3+2=5，

故答案為：5；

（2）解：①由題意可知，?秒時(shí)，點(diǎn)?所在的數(shù)為：?3?2?，點(diǎn)?所在的數(shù)為：1??，點(diǎn)?所在的數(shù)為：

9?4?，

（1）若?為??中點(diǎn)，

(?3?2?)+(9?4?)

則1??=，

2

解得?=1；

（2）若?為??中點(diǎn)，

(?3?2?)+(1??)

則9?4?=，

2

解得?=4；

（3）若?為??中點(diǎn)，

1??+9?4?

則?3?2?=，

2

解得?=16；

第18頁(yè)共53頁(yè).

綜上，當(dāng)?=1或4或16時(shí)，?、?、?三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)；

②假設(shè)存在．

∵?在?右側(cè)，?在?右側(cè)，

∴??=9?4??(1??)=8?3?，??=1???(?3?2?)=?+4，

∴????2??=?(8?3?)?2(?+4)=8??8?(3?+2)?，

2

當(dāng)3?+2=0即?=?時(shí)，

3

40

????2??=8×?2?8=?，為定值，

33

2

故存在常數(shù)?=?使????2??的值為定值．

3

【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能用兩點(diǎn)

間的距離公式列出方程．

【題型4數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的相距問(wèn)題】

【例4】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖1，已知線段??=24，點(diǎn)C為線段??上的一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分

別是??和??的中點(diǎn)．

(1)若??=8，則??的長(zhǎng)為_(kāi)_____；

(2)若??=?，求??的長(zhǎng)；

(3)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度沿線段??向右勻速運(yùn)動(dòng)，Q

點(diǎn)以P點(diǎn)速度的兩倍，沿線段??向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問(wèn)當(dāng)t為多少秒時(shí)P，Q之間的距離為

6？

【答案】(1)??的長(zhǎng)為12；

(2)??的長(zhǎng)為12；

10

當(dāng)?=2或?=時(shí)，之間的距離為；

(3)36

【分析】（1）由??=24，??=8，則??=16，由點(diǎn)D、E分別是??和??的中點(diǎn)，則??=4,??=8，即

可得到答案；

11

（2）由??=24，??=?，則??=24??，由點(diǎn)D、E分別是??和??的中點(diǎn)，則??=12??,??=?，即

22

第19頁(yè)共53頁(yè).

可得到答案；

（3）由??=3?,??=6?，則??+??+??=24或??+?????=24，即可得到答案．

【詳解】（1）解：∵??=24，??=8，

∴??=16，

∵點(diǎn)D、E分別是??和??的中點(diǎn)，

∴??=4,??=8，

∴??=??+??=12，即??的長(zhǎng)為12；

（2）解：∵??=24，??=?，

∴??=24??，

∵點(diǎn)D、E分別是??和??的中點(diǎn)，

11

∴??=12??,??=?，

22

∴??=??+??=12，即??的長(zhǎng)為12；

（3）解：∵??=3?,??=6?，

如圖，

∴??+??+??=24，

如圖，

∴??+?????=24，

∴3?+6+6?=24或3?+6??6=24，

10

解得：?=2或?=，

3

10

當(dāng)?=2或?=時(shí)，之間的距離為；

∴36

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)，線段的和差倍分，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖

形，得出線段之間的關(guān)系式．

【變式4-1】（23-24七年級(jí)·河南周口·階段練習(xí)）在數(shù)軸上點(diǎn)A表示a，點(diǎn)B表示b，且a、b滿足|?+5|+|??7|

=0．

(1)求a，b的值，并計(jì)算點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離．

第20頁(yè)共53頁(yè).

(2)若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)幾秒后，點(diǎn)P到達(dá)B

點(diǎn)？

(3)若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每

秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)幾秒后，P、Q兩點(diǎn)間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度？

【答案】(1)?=?5，?=7，A與B之間的距離為12個(gè)單位長(zhǎng)度

(2)6秒

(3)2秒或4秒

【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求出a、b，再利用AB=|???|求解即可；

（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)距離÷速度=時(shí)間求解即可；

（3）分點(diǎn)P、Q相遇前和相遇后兩種情況求解即可．

【詳解】（1）解：因?yàn)閨?+5|+|??7|=0，

所以?=?5，?=7

所以點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為|?5?7|=12．

（2）解：因?yàn)锳、B兩點(diǎn)之間的距離為12個(gè)單位長(zhǎng)度，

所以12÷2=6秒，

答：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)6秒后到達(dá)B點(diǎn)．

（3）解：由題意，有兩種情況：

P、Q相遇前：(12?4)÷(1+3)=2（秒），

P、Q相遇后：(12+4)÷(1+3)=4（秒），

所以運(yùn)動(dòng)2秒或4秒后，P、Q兩點(diǎn)間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度．

【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值、數(shù)軸，理解絕對(duì)值的非負(fù)性，會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解決數(shù)軸上

的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．

【變式4-2】（23-24七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）在數(shù)軸上，O表示原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)分別表示﹣8和2．

(1)求出線段AB的長(zhǎng)度；

(2)動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，速

度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)P、Q重合時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，用含有t的式子表

示線段PQ的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，t為何值時(shí)，點(diǎn)P、點(diǎn)Q到原點(diǎn)O的距離相等．

第21頁(yè)共53頁(yè).

【答案】(1)AB＝10；(2)PQ＝10﹣2t且0≤t≤5；(3)為0.75、5時(shí)，點(diǎn)P、點(diǎn)Q到原點(diǎn)O的距離相等．

【分析】（1）用點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離加上點(diǎn)B到原點(diǎn)O的距離，即可求出線段AB的長(zhǎng)度．

（2）用線段AB的長(zhǎng)度減去動(dòng)點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度，再加上動(dòng)點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度，用含有t的代數(shù)式表

示線段PQ的長(zhǎng)即可．

（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時(shí)；②點(diǎn)P、點(diǎn)Q在原點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)；求出t為何值時(shí)，

點(diǎn)P、點(diǎn)Q到原點(diǎn)O的距離相等即可．

【詳解】(1)AB＝OA+OB＝8+2＝10,

(2)PQ＝10﹣5t+3t＝10﹣2t,

由10﹣2t≥0，

解得0≤t≤5．

(3)①點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時(shí)，

由10﹣2t＝0，

解得t＝5．

②點(diǎn)P、點(diǎn)Q在原點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)，

OP＝8﹣5t,

OQ＝2+3t,

由8﹣5t＝2+3t,

解得t＝0.75,

所以t為0.75、5時(shí)，點(diǎn)P、點(diǎn)Q到原點(diǎn)O的距離相等．

【點(diǎn)睛】本題考查負(fù)數(shù)的意義和應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離的求法，考查了分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握．

【變式4-3】（23-24七年級(jí)·福建三明·期中）已知數(shù)軸上有?、?、?三個(gè)點(diǎn)，分別表示有理數(shù)?24、?10、

10，動(dòng)點(diǎn)?從?出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)?移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為?秒．若用??，??，??分別表

示點(diǎn)?與點(diǎn)?、點(diǎn)?、點(diǎn)?的距離，試回答以下問(wèn)題．

(1)當(dāng)點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)，??=______，??=______，??=______；

第22頁(yè)共53頁(yè).

(2)當(dāng)點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)了?秒時(shí)，請(qǐng)用含?的代數(shù)式表示?到點(diǎn)?、點(diǎn)?、點(diǎn)?的距離：??=______，??=______，

??=______；

(3)經(jīng)過(guò)幾秒后，點(diǎn)?到點(diǎn)?、點(diǎn)?的距離相等？此時(shí)點(diǎn)?表示的數(shù)是多少？

(4)當(dāng)點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)到?點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)?從?點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向?點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，?點(diǎn)到達(dá)?點(diǎn)后，再立即以

同樣速度返回，運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)?．在點(diǎn)?開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，?、?兩點(diǎn)之間的距離能否為4個(gè)單位長(zhǎng)度？如果能，請(qǐng)

直接寫出點(diǎn)?表示的數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】(1)10，4，24；

(2)?，|?14+?|，|?34+?|；

(3)?7；

(4)?5，?1，2.5，4.5．

【分析】（1）根據(jù)題意求得?=10時(shí)，?點(diǎn)的位置，進(jìn)而求得兩點(diǎn)距離；

（2）先表示出?點(diǎn)的位置表示的數(shù)，進(jìn)而求得兩點(diǎn)距離；

（3）根據(jù)題意，列一元一次方程，解方程求解即可；

（4）分?點(diǎn)到達(dá)?點(diǎn)之前，和?點(diǎn)到達(dá)?點(diǎn)之后，兩種情形，根據(jù)兩點(diǎn)距離為，建立一元一次方程解方程求

解即可；

此題考查了數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問(wèn)題，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

【詳解】（1）∵?、?、?三個(gè)點(diǎn)，分別表示有理數(shù)?24、?10、10，動(dòng)點(diǎn)?從?出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度向終點(diǎn)?移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為?秒，

∴?=10時(shí)，?點(diǎn)表示的數(shù)為?24+10=?14，

∴當(dāng)?點(diǎn)運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)，??=|?14?(?24)|=10，??=|?14?(?10)|=4，??=|?14?10|=24，

故答案為：10，4，24；

（2）依題意，當(dāng)?點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了?秒時(shí)，

則??=?，點(diǎn)?表示的數(shù)為?24+?，

∴??=|?24+??(?10)|=|?14+?|，??=|?24+??10|=|?34+?|，

故答案為：?，|?14+?|，|?34+?|；

（3）∵??=??，

∴?=|?34+?|，

即?=?34+?或??=?34+?，

第23頁(yè)共53頁(yè).

解得：?=17，

∴點(diǎn)?表示的數(shù)為?24+17=?7；

（4）根據(jù)題意，設(shè)經(jīng)過(guò)?秒后?、?兩點(diǎn)之間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，?點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到?點(diǎn)需要的時(shí)間為：20÷1=20

（秒）

①當(dāng)?點(diǎn)未到達(dá)?點(diǎn)，

此時(shí)??=3?，??=?，則?點(diǎn)表示的數(shù)為?24+3?，點(diǎn)?表示的數(shù)為?10+?，

則??=|?10+??(?24+3?)|=|14?2?|=4，

即14?2?=4或14?2?=?4，

解得：?=5或?=9，

∴點(diǎn)表示的數(shù)為?5或?1；

②當(dāng)?點(diǎn)從?點(diǎn)返回后，

此時(shí)??=?????=|34?(3??34)|=|68?3?|，??=?，

則?點(diǎn)表示的數(shù)為?24+68?3?=?3?+44，點(diǎn)?表示的數(shù)為?10+?，

則??=|?10+??(?3?+44)|=|4??54|=4，

即4??54=4或4??54=?4，

2925

解得?=或?=，

22

∴點(diǎn)?表示的數(shù)為4.5或2.5，

綜上所述，點(diǎn)?表示的數(shù)為?5，?1，2.5，4.5．

【題型5數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的和差倍分問(wèn)題】

【例5】（23-24七年級(jí)·江西南昌·期末）已知數(shù)軸上的兩