河南省濮陽市2024-2025學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試題

絕密★啟用前2024—2025學年上學期高二年級期中考試數(shù)學考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出直線的斜率，由點斜式方程可得直線方程.【詳解】由題意，直線的斜率為，又過點，故其方程為，即.故選：B.2.在空間直角坐標系中，直線過點且以為方向向量，為直線上的任意一點，則點的坐標滿足的關(guān)系式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出向量，再利用空間向量共線的充要條件列式判斷即得.【詳解】依題意，，，則，所以點的坐標滿足的關(guān)系式是.故選：C.3.若圓過，兩點，則當圓的半徑最小時，圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出以為直徑的圓的方程即可.【詳解】依題意，線段的中點，，圓過，兩點，當圓的半徑最小時，線段為圓的直徑，所以圓的標準方程為.故選：D4.在四面體中，為棱的中點，為線段的中點，若，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】如圖，，又，所以，則.故選：C5.若直線與圓相離，則點（）A.在圓外 B.在圓內(nèi)C.在圓上 D.位置不確定【答案】B【解析】【分析】利用點線距離公式及到的距離，即可判斷點與圓位置關(guān)系.【詳解】由題意，到的距離，即，所以在在圓內(nèi).故選：B6.已知直線經(jīng)過點，且與圓：相交于，兩點，若，則直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)弦長，利用垂徑定理求出圓心到直線的距離.然后分直線斜率存在與不存在兩種情況來求直線的方程.【詳解】已知弦長，半徑.根據(jù)垂徑定理知圓心到直線的距離為.把，代入可得.當直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線的距離為，所以直線斜率不存在時不滿足條件.當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即.根據(jù)點到直線距離公式，由圓心到直線的距離，可得.對進行求解.兩邊平方得，展開得.解得或.當時，直線的方程為，即.當時，直線的方程為，即.故選：A.7.曲線的周長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分類討論寫出圓的標準方程，畫出圖得出結(jié)論.【詳解】曲線曲線的圖像如圖所示：該圖是以四個點為圓心，半徑為的四個半圓，所以該圖的周長為：.故選：B8.如圖，在多面體中，底面是邊長為1的正方形，為底面內(nèi)的一個動點（包括邊界），底面底面，且，則的最小值與最大值分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，然后表示出化簡可求得結(jié)果.【詳解】因為底面平面，所以,因為四邊形為正方形，所以，所以兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，設(shè)，則，所以，因為，所以當時，取得最小值；當或1，或1時，取得最大值4故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用共面向量定理逐項判斷即得.【詳解】由構(gòu)成空間的一個基底，得向量不共面，對于A，若向量，，共面，則存在實數(shù)對使得，即，則向量共面，矛盾，，，不共面，A不是；對于C，由，得，，共面，B是；對于C，若，，共面，則存在實數(shù)對使得，于是，此方程組無解，向量，，不共面，C不是；對于D，由，得向量，，共面，D是.故選：BD10.已知直線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.點不可能在直線上B.直線恒過點C.若點到直線的距離相等，則D.直線上恒存在點，滿足【答案】ABD【解析】【分析】當時，即可判斷A；將線方程可化為，即可判斷B；利用點線的距離公式計算即可判斷C；利用平面向量的坐標表示求出點的軌跡方程，證明點在圓的內(nèi)部即可判斷D.【詳解】A：當時，，所以點不可能在直線上，故A正確；B：直線方程可化為，所以直線恒過定點，故B正確；C：因為點到直線的距離相等，所以，解得或，故C錯誤；D：設(shè)，則，所以，整理得，即點的軌跡方程為.又直線恒過定點，且，所以點在圓的內(nèi)部，所以直線與圓恒有公共點，即直線上恒存在點，滿足，故D正確.故選：ABD11.如圖，在三棱錐中，平面分別為的中點，是的中點，是線段上的動點，則（）A.存在，使得B.不存在點，使得C.的最小值為D.異面直線與所成角的余弦值為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法一一計算可得.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，E0,0,1，，，，所以，，，因為，則，方程無解，故不存在、使得，故A錯誤；因為是線段上的動點，設(shè)，所以，，所以，所以不存在點，使得，故B正確；因為，所以當時取得最小值，即，故C正確；因為，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標系中，點與關(guān)于原點對稱，則點的坐標為__________.【答案】【解析】分析】根據(jù)給定條件，利用對稱性列式計算得解.【詳解】依題意，，解得，所以點的坐標為.故答案為：13.若圓關(guān)于直線對稱，則點與圓心的距離的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再利用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離.【詳解】由題意可知直線經(jīng)過圓心，所以，即，點到圓心距離最小值就是圓心到直線的距離的最小值，又圓心到直線距離.故答案為：14.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)（）的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點，為直線：上的動點，為圓：上的動點，則的最小值為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義可設(shè)，利用待定系數(shù)法得的坐標為，即可根據(jù)三點共線，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.【詳解】令，則，依題意，圓是由點，確定的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點坐標為，則，整理得，而該圓的方程為，則，解得，點的坐標為，因此，當時，最小，最小值為，所以當時，的值最小為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)的形式，設(shè)，則，利用阿波羅尼斯圓的定義待定出點，即可利用點到直線的距離求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線和直線的交點上，且圓過點.（1）求圓的方程；（2）若圓的方程為，判斷圓與圓的位置關(guān)系.【答案】（1）（2）圓與圓相交.【解析】【分析】（1）先求出兩直線的交點，結(jié)合兩點的距離公式和圓的標準方程計算即可求解；（2）由題意知的圓心為，半徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系即可下結(jié)論.【小問1詳解】由，得，即圓心坐標為.，圓的方程為.【小問2詳解】由（1）知，圓的圓心為，半徑.圓的方程可化為，則圓的圓心為，半徑.，，圓與圓相交.16.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，為的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定逆定理可證得，，然后利用線面垂直的判定定理得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由題意可得兩兩垂直，所以以為坐標原點，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：，，.，，.平面，平面，又平面，.【小問2詳解】解：四邊形是矩形，，平面，平面，，所以以為坐標原點，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，令，可得，平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.17.已知直線：.（1）若直線與.平行，且之間的距離為，求的方程；（2）為上一點，點，，求取得最大值時點的坐標.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出直線m的方程，利用平行線間距離公式列式求解.（2）求出點關(guān)于直線的對稱點坐標，結(jié)合圖形，利用線段和差關(guān)系確定點位置，進而求出其坐標.【小問1詳解】由直線m與平行，設(shè)直線m方程為，由m，之間的距離為，得，解得或，所以直線m的方程為或.【小問2詳解】設(shè)點關(guān)于直線：的對稱點為，則，解得，即，而，當且僅當三點共線時取等號，直線的方程為，即，由，解得，點，所以取得最大值時點P的坐標.18.如圖，在斜三棱柱中，平面平面是邊長為2的等邊三角形，為的中點，且為的中點，為的中點，.（1）設(shè)向量為平面的法向量，證明：；（2）求點到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先建立空間直角坐標系，應用面面垂直性質(zhì)定理得出平面，進而得出法向量,最后應用空間向量數(shù)量積運算即可；（2）應用空間向量法求法向量及向量應用公式運算即可；（3）應用空間向量法求二面角余弦值即可.【小問1詳解】如圖，連接.，平面平面，平面平面平面，平面.是邊長為2的等邊三角形，.以為坐標原點，直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標系，則，.是平面的一個法向量，令.，，.【小問2詳解】.設(shè)平面的法向量為，則令，可得，平面的一個法向量為，點到平面的距離為.【小問3詳解】.設(shè)平面的法向量為，則令，可得，平面的一個法向量為.由（2）可知平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為..19.在平面直角坐標系中，定義為兩點，的“切比雪夫距離”，又設(shè)點P及直線上任意一點Q，稱的最小值為點P到的“切比雪夫距離”，記作.（1）已知點和點，直線：，求和.（2）已知圓C：和圓E：.（i）若兩圓心的切比雪夫距離，判斷圓C和圓E的位置關(guān)系；（ii）若，圓E與x軸交于M，N兩點，其中點M在圓C外，且，過點M任作一條斜率不為0的直線與圓C交于A，B兩點，記直線為，直線為，證明：.【答案】（1），；（2）（i）內(nèi)切；（ii）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義直接計算，設(shè)是上一點，分類討論計算出，再確定最小值得；（2）（i）求出圓心坐標，根據(jù)切比雪夫距離的定義，由或求得參數(shù)，并檢驗是否滿足題意，然后根據(jù)圓心距判斷兩圓位置關(guān)系；（ii）由已知求出，得出兩點坐標，設(shè)直線方程為，，直線方程代入圓方程后，應用韋達定理得，從而證明，得直線與關(guān)于軸對稱，然后由直線上任意一點與直線上點關(guān)于軸對稱，它們是一一對應的關(guān)系，且，則其最小值也相等，從而證得結(jié)論成立，【小問1詳解】，，，所以，直線方程為，是上一點，，當，即時，，當t?1>2，即或時，，所以的最小值是2，所以；【小問2詳解】（i）圓標準方程是，圓心為，半徑為2，圓的圓心為，半徑為，，若，則或，時，，不合題意，時，，滿足題意，此時，，因此兩圓內(nèi)切；若，則或，時，，不合題意，時，，滿足題意，此時，，兩圓內(nèi)切．所以圓C和圓E內(nèi)切；（ii）圓E與x軸交于M，N兩點，則方程，即（*）有兩個不等的實數(shù)解，所以Δ=4a2?4(2a2?3a?4)>0，方程（*）的兩解為，則，由韋達定理有，所以，解得或（舍去），時方程（*）為，解得，，交點為和，點M在圓C外，則MC>2，因此，，設(shè)直線的方程為