滲流力學(xué)-第三章-復(fù)勢(shì)

第3章單相液體穩(wěn)定滲流理論郝永卯工科樓B座630186-60277660haoyongmao@163.com第3章單相液體穩(wěn)定滲流理論第一節(jié)單相液體穩(wěn)定滲流基本方程的解及其應(yīng)用第二節(jié)井的不完善性對(duì)滲流的影響第三節(jié)油井的穩(wěn)定試井第四節(jié)勢(shì)的疊加和多井干擾理論第五節(jié)勢(shì)的疊加原理的典型應(yīng)用第六節(jié)考慮邊界效應(yīng)的鏡像反映法第七節(jié)復(fù)勢(shì)理論在平面滲流問題中的應(yīng)用第八節(jié)平面滲流場(chǎng)的保角變換方法第九節(jié)等值滲流阻力法第七節(jié)復(fù)勢(shì)理論在平面滲流問題中的應(yīng)用一、勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)和復(fù)勢(shì)二、復(fù)勢(shì)疊加原理三、復(fù)勢(shì)理論在多井問題中的應(yīng)用一、勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)和復(fù)勢(shì)——1、勢(shì)函數(shù)計(jì)算機(jī)為手段，通過數(shù)值計(jì)算和圖像顯示的方法，達(dá)到對(duì)工程問題、物理問題等各類問題模擬的目的，也叫一、勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)和復(fù)勢(shì)——2、流函數(shù)計(jì)算機(jī)為手段，通過數(shù)值計(jì)算和圖像顯示的方法，達(dá)到對(duì)工程問題、物理問題等各類問題模擬的目的，也叫一、勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)和復(fù)勢(shì)——3、復(fù)勢(shì)例：復(fù)勢(shì)w（z）=az+C，求勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)及滲流速度的大小。解：習(xí)題：21、22、23、24、27（不用畫滲流場(chǎng)圖）二、復(fù)勢(shì)疊加原理——1、平面點(diǎn)源（匯）的復(fù)勢(shì)點(diǎn)匯在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其勢(shì)函數(shù)為流函數(shù)為以Ф作為解析函數(shù)的實(shí)部，ψ作為虛部構(gòu)成相應(yīng)的復(fù)勢(shì)為：C—復(fù)常數(shù)；z—平面上任意點(diǎn)；r—復(fù)變量z的模；θ—復(fù)變量z的幅角。二、復(fù)勢(shì)疊加原理——1、平面點(diǎn)源（匯）的復(fù)勢(shì)點(diǎn)匯或點(diǎn)源不在坐標(biāo)原點(diǎn)，而在復(fù)平面上任意一點(diǎn)A=a+ib時(shí)，根據(jù)坐標(biāo)平移可將其變成在坐標(biāo)原點(diǎn)情況,其復(fù)勢(shì)可表述為：

當(dāng)為點(diǎn)源時(shí),相應(yīng)的公式不變,只是單位地層厚度的產(chǎn)量q取負(fù)值。等勢(shì)線是以A點(diǎn)為圓心的同心圓族，流線是以A點(diǎn)為中點(diǎn)的射線。二、復(fù)勢(shì)疊加原理——2、疊加原理如果在平面滲流場(chǎng)中同時(shí)存在兩個(gè)點(diǎn)匯，這兩個(gè)點(diǎn)匯在它們單獨(dú)存在時(shí)的復(fù)勢(shì)分別為因勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)是共軛調(diào)和函數(shù)，是齊次線性方程，滿足疊加原理?xiàng)l件，即兩個(gè)復(fù)勢(shì)可合成一個(gè)新復(fù)勢(shì)，新復(fù)勢(shì)以及相應(yīng)的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)仍滿足拉普拉斯方程和柯西—黎曼條件，即且這個(gè)新的復(fù)勢(shì)W(z)就是同時(shí)存在兩個(gè)點(diǎn)匯的平面滲流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)。二、復(fù)勢(shì)疊加原理——2、疊加原理把各點(diǎn)匯單獨(dú)存在時(shí)的復(fù)勢(shì)簡(jiǎn)單地代數(shù)相加，就可得到各點(diǎn)匯同時(shí)存在時(shí)的復(fù)勢(shì)。這稱為平面滲流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)疊加原理。應(yīng)用復(fù)勢(shì)疊加原理可以解決多井干擾問題。若同時(shí)存在n個(gè)點(diǎn)匯、點(diǎn)源，且分別位于復(fù)平面上A1,A2,…，An點(diǎn)，利用疊加原理可得多井干擾時(shí)的綜合復(fù)勢(shì)為：勢(shì)函數(shù)流函數(shù)二、復(fù)勢(shì)疊加原理——3、在多井問題中的應(yīng)用無限大地層存在等產(chǎn)量的一源B和一匯A，相距2a。由復(fù)勢(shì)疊加原理，兩井同時(shí)工作時(shí)的復(fù)勢(shì)勢(shì)函數(shù)流函數(shù)(4)(5)(1)無限大地層等產(chǎn)量一源一匯問題(x,y)二、復(fù)勢(shì)疊加原理——3、在多井問題中的應(yīng)用(1)無限大地層等產(chǎn)量一源一匯問題滲流場(chǎng)分布由(4)式得等勢(shì)線方程又代入上式整理得圓心在x軸上的圓族方程，其圓心坐標(biāo)為半徑給C0不同的數(shù)值，可得到不同的等勢(shì)線。當(dāng)C0=l時(shí)，R=∞，此時(shí)等勢(shì)線為直線，并為y軸。(x,y)二、復(fù)勢(shì)疊加原理——3、在多井問題中的應(yīng)用(1)無限大地層等產(chǎn)量一源一匯問題滲流場(chǎng)分布由式(5)得流線方程因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)下的流線方程圓心在y軸上的圓族方程半徑R圓心二、復(fù)勢(shì)疊加原理——3、在多井問題中的應(yīng)用(1)無限大地層等產(chǎn)量一源一匯問題滲流場(chǎng)分布給C0"不同的值，可得到不同的流線，當(dāng)C0"=0時(shí)，R=∞，此時(shí)流線為一條直線，可以認(rèn)為是圓的特殊情況：C0"=0時(shí)即

該直線為x軸二、復(fù)勢(shì)疊加原理——3、在多井問題中的應(yīng)用(1)無限大地層等產(chǎn)量一源一匯問題滲流速度復(fù)勢(shì)復(fù)速度滲流速度值等于復(fù)速度的模，故產(chǎn)量計(jì)算：二、復(fù)勢(shì)疊加原理——3、在多井問題中的應(yīng)用(2)無限大地層等產(chǎn)量?jī)蓞R問題xyqqaaθ1

θ2

r1r2M由復(fù)勢(shì)疊加原理，M點(diǎn)的復(fù)勢(shì)為：（1）二、復(fù)勢(shì)疊加原理——3、在多井問題中的應(yīng)用(2)無限大地層等產(chǎn)量?jī)蓞R問題則勢(shì)函數(shù)為：流函數(shù)為：當(dāng)時(shí)為流線二、復(fù)勢(shì)疊加原理——3、在多井問題中的應(yīng)用(2)無限大地層等產(chǎn)量?jī)蓞R問題令則

流線方程為雙曲線方程，C0為無窮時(shí)，有x=0或y=0，即x軸和y軸都是流線，其中y軸為分流線。二、復(fù)勢(shì)疊加原理——3、在多井問題中的應(yīng)用(2)無限大地層等產(chǎn)量?jī)蓞R問題地層中任意點(diǎn)的滲流速度為：

r為任意點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離，M點(diǎn)取在原點(diǎn)時(shí)，r為0，滲流速度為零，為死油點(diǎn)。二、復(fù)勢(shì)疊加原理——3、在多井問題中的應(yīng)用說明：復(fù)勢(shì)疊加原理與壓降疊加原理和勢(shì)的疊加原理一樣，都是建立在無限大地層基礎(chǔ)之上的，若井處于邊界附近時(shí)，需要結(jié)合鏡像反映法，將有限地層的滲流場(chǎng)轉(zhuǎn)化為無限地層多井問題，然后再利用疊加原理來求解問題。補(bǔ)充習(xí)題：在直線供給邊緣附近一口生產(chǎn)井，井距邊界距離100m，已知供給邊緣上壓力10MPa，井底壓力7.5MPa，滲透率0.5，油層厚12m，原油體積系數(shù)1.15，地面原油密度0.85，地下原油粘度6mPa.s，油井半徑10cm，試用復(fù)試疊加原理求油井日產(chǎn)量、地層中任意點(diǎn)的等勢(shì)線方程、流線方程和（200m，300m）處點(diǎn)的滲流速度值。

第3章單相液體穩(wěn)定滲流理論第一節(jié)單相液體穩(wěn)定滲流基本方程的解及其應(yīng)用第二節(jié)井的不完善性對(duì)滲流的影響第三節(jié)油井的穩(wěn)定試井第四節(jié)勢(shì)的疊加和多井干擾理論第五節(jié)勢(shì)的疊加原理的典型應(yīng)用第六節(jié)考慮邊界效應(yīng)的鏡像反映法第七節(jié)復(fù)勢(shì)理論在平面滲流問題中的應(yīng)用第八節(jié)平面滲流場(chǎng)的保角變換方法第九節(jié)等值滲流阻力法第八節(jié)平面滲流場(chǎng)的保角變換方法在復(fù)平面上復(fù)變數(shù)z=x+iy，引入解析函數(shù)ζ=ζ（z）可把z平面一點(diǎn)z=x+iy變換到ζ平面內(nèi)一點(diǎn)ζ=ξ+iη。用M和α分別代表函數(shù)ζ在z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的模和幅角，即：或

在dζ/dz=0時(shí)，變換ζ=ζ（z）使z點(diǎn)處很短的線伸長(zhǎng)或縮短了M倍，并旋轉(zhuǎn)了一個(gè)α角。所以在z點(diǎn)附近很小的圖形變換到ζ平面內(nèi)具有與原來相似的形狀，在z平面兩條相交曲線間的夾角變換到ζ平面后保持不變，稱這種變換為保角變換。z平面上的滲流場(chǎng)進(jìn)行保角變換為ζ平面的滲流場(chǎng)后：

（1）井半徑伸縮了M倍；

（2）井產(chǎn)量保持不變第八節(jié)平面滲流場(chǎng)的保角變換方法例：設(shè)z平面上的單向流動(dòng)復(fù)勢(shì)為：則作變換：則即第3章單相液體穩(wěn)定滲流理論第一節(jié)單相液體穩(wěn)定滲流基本方程的解及其應(yīng)用第二節(jié)井的不完善性對(duì)滲流的影響第三節(jié)油井的穩(wěn)定試井第四節(jié)勢(shì)的疊加和多井干擾理論第五節(jié)勢(shì)的疊加原理的典型應(yīng)用第六節(jié)考慮邊界效應(yīng)的鏡像反映法第七節(jié)復(fù)勢(shì)理論在平面滲流問題中的應(yīng)用第八節(jié)平面滲流場(chǎng)的保角變換方法第九節(jié)等值滲流阻力法第九節(jié)等值滲流阻力法水電相似原理滲流阻力法在多排井上的應(yīng)用等值滲流阻力的計(jì)算

利用水電相似原理，以電路圖來描述滲流場(chǎng)，然后按電路定律來求解復(fù)雜的多井排滲流問題的方法，叫滲流阻力法（水電模擬法、電模擬法）。一、水電相似原理——1、直線井排n——井?dāng)?shù)，令井排寬度B＝n2a，上式可寫成(1)距直線供給邊緣L處平行地布置一排n口井，井距為2a，利用復(fù)勢(shì)理論和反映法，可得到井排總產(chǎn)量為RouRin2apw+qxpeL(a)實(shí)際流動(dòng)；(b)假想流動(dòng)

一、水電相似原理——1、直線井排直線井排的外阻直線井排的內(nèi)阻以把實(shí)際液流假想為由兩種簡(jiǎn)單滲流的組合:一是自供給邊緣向井排處的假想排液道的單向流，滲流斷面為Bh、距離為L(zhǎng)；二是各井周圍假想一圓形供給邊緣（半徑為a/π），即一平面徑向流，而總滲流阻力為各井滲流阻力的1/n。一、水電相似原理——1、直線井排電路中全排井的滲濾內(nèi)阻Rin可看作是n口井內(nèi)阻并聯(lián)的結(jié)果，一口井的內(nèi)阻滲流場(chǎng)與電場(chǎng)具有物理相似性，稱為水電相似。一、水電相似原理——2、環(huán)形井排

圓形供給邊界一環(huán)形井排，供給半徑Re，環(huán)形井排半徑為R，環(huán)上均勻布有n口等產(chǎn)量的生產(chǎn)井，井距為2a。環(huán)形井排總產(chǎn)量：∵

∴

RouRin二、多井排應(yīng)用

多排井同時(shí)工作時(shí)，同樣可以按照上述類似的方法，將滲流過程用一組合分支電路圖來表示，然后應(yīng)用電場(chǎng)定律求解，得到多排井同時(shí)工作時(shí)每一排井的產(chǎn)量或井底壓力。但應(yīng)用時(shí)要求同一井排上各井的井距、井徑、產(chǎn)量或井底壓力都應(yīng)當(dāng)相等。不同排上的參數(shù)可不相同。二、多井排應(yīng)用——1、單向供液油藏內(nèi)3排井用等值滲流阻力法求解：1）繪滲流電路圖L1L2L3Pe2a1、n1、PW12a2、n2、PW22a3、n3、PW3BRin1pepw1pw2pw3Rin2·Rin3Rout3Rout2Rout1Q1+Q2+Q3Q3Q2+Q3Q1Q2二、多井排應(yīng)用——1、單向供液油藏內(nèi)3排井2）計(jì)算內(nèi)外阻pepw1pw2pw3Rin2·Rin3Rout3Rout2Rout1Q1+Q2+Q3Q3Q2+Q3Q1Q2L1L2L3Pe2a1、n1、PW12a2、n2、PW22a3、n3、PW3B二、多井排應(yīng)用——1、單向供液油藏內(nèi)3排井3）由電路定律列方程組Rin1pepw1pw2pw3Rin2·Rin3Rout3Rout2Rout1Q1+Q2+Q3Q3Q2+Q3Q1Q2二、多井排應(yīng)用——2、圓形地層環(huán)形井排R1RinPin，nin1）繪滲流電路圖pw1pw2pw3Rin2·Rin3Rout3Rout2Rout1Q1+Q2+Q3Q3Q2+Q3Q1Q2pinRinRin1二、多井排應(yīng)用——2、圓形地層環(huán)形井排2）計(jì)算內(nèi)外阻pw1pw2pw3Rin2·Rin3Rout3Rout2Rout1Q1+Q2+Q3Q3Q2+Q3Q1Q2pinRinRin1二、多井排應(yīng)用——2、圓形地層環(huán)形井排由上式可求產(chǎn)量和壓力pw1pw2pw3Rin2·Rin3Rout3Rout2Rout1Q1+Q2+Q3Q3Q2+Q3Q1Q2pinRinRin13）由電路定律列方程組二、多井排應(yīng)用——3、兩面供液油藏

進(jìn)行行列切割注水開發(fā)時(shí)，或者圓形地層中在邊緣和頂部同時(shí)進(jìn)行注水時(shí)，都會(huì)出現(xiàn)兩方面有液源供給的情況，在此種情況下，生產(chǎn)井排為單數(shù)，否則中間地區(qū)的油就采不出來。

利用滲流阻力法求解：須注意注入井排的注入量有可能是向兩邊供給，更重要的是在所有的生產(chǎn)井排中必然有一排井受到兩方面液流的供給。這樣的井排稱為分流井排，它把滲流區(qū)分為兩部分，而每一部分就相當(dāng)于有單方向液流供給。二、多井排應(yīng)用——3、兩面供液油藏三、等值滲流阻力的計(jì)算

四個(gè)以上的聯(lián)立方程組解起來就相當(dāng)繁瑣，所以對(duì)于井排在三排以上時(shí)，如果所有井的井底壓力都相同時(shí)，為了簡(jiǎn)化求解聯(lián)立方程，可按串、并聯(lián)先求出各個(gè)節(jié)點(diǎn)的等值滲流阻力，導(dǎo)