廣西合浦縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題

2024年秋學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版必修第一冊第七章、選擇性必修第一冊第一章至第三章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解出．【詳解】得到，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：D.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，得，，所以漸近線方程為，即故選：C3.已知直線與.若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行列方程，從而求得的值.【詳解】由于，所以，此時(shí)兩直線方程分別，不重合，符合題意，所以故選：B4.已知橢圓的長軸長為8，且離心率為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)概念得到，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意易得，則，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，則，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A．5.一束光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后經(jīng)過點(diǎn)，則該束光線從點(diǎn)到點(diǎn)路徑長為（）A.4 B.5 C.6 D.【答案】B【解析】【分析】先求出關(guān)于軸的對稱點(diǎn),再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，則該光線從點(diǎn)到點(diǎn)的路徑長為．故選：B.6.阿基米德在其著作《關(guān)于圓錐體和球體》中給出了一個(gè)計(jì)算橢圓面積的方法：橢圓長半軸的長度、短半軸的長度和圓周率三者的乘積為該橢圓的面積.已知橢圓的面積為，，為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn).若，則橢圓C的焦距為().A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】先通過，確定a的值，再通過橢圓的面積公式求出b，最后求出c，即可得到橢圓的焦距.【詳解】根據(jù)題意可得，則，因?yàn)椋詀=2，則，所以橢圓C的焦距為：故選：D.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，P是C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】利用拋物線的定義可求的最小值.【詳解】由題意得，準(zhǔn)線為，點(diǎn)A在拋物線C的內(nèi)部，過點(diǎn)A作AB垂直于準(zhǔn)線，垂足為B，過點(diǎn)P作PD垂直于準(zhǔn)線，垂足為D，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，P為AB與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，所以的最小值為故選：C.8.金秋十月，某校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑這四個(gè)項(xiàng)目中選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加.設(shè)事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目恰有一個(gè)相同”，事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目完全不同”，事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇100米跑項(xiàng)目”，則（）A.A與C是對立事件 B.C與D相互獨(dú)立C.A與D相互獨(dú)立 D.B與D不互斥【答案】C【解析】【分析】列舉出甲、乙兩名同學(xué)選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加的所有情況，計(jì)算每個(gè)事件的概率，可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由相互獨(dú)立的定義可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；由互斥事件的概念可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑分別為1，2，3，4，則甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑中選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加的情況有：（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36種，其中A有24種情況，B有6種情況，C有6種情況，D有9種情況，則，，，.由可得A與C不是對立事件，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.，C與D不相互獨(dú)立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.，A與D相互獨(dú)立，選項(xiàng)C正確.由B與D不可能同時(shí)發(fā)生可知B與D互斥，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則的方程可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線結(jié)合雙曲線性質(zhì)得出A，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；將直線與雙曲線兩個(gè)方程聯(lián)立，得到的一元二次方程有一正一負(fù)根，即可得解．【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且漸近線方程為，則直線與雙曲線的左支只有一個(gè)交點(diǎn)，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以直線與雙曲線無交點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；聯(lián)立，消y得，，所以方程有兩個(gè)根，，所以方程有一正一負(fù)根，聯(lián)立，消y得，，所以方程有兩個(gè)根，，所以方程有一正一負(fù)根，直線，均與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，B,D選項(xiàng)正確.故選：BD.10.已知圓的半徑為2，則下列命題是真命題的是（）A.B.點(diǎn)在圓的外部C.若直線平分圓的周長，則D.圓與圓外切【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圓的半徑、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系、圓和圓的位置關(guān)系等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】圓的半徑為2，所以，A選項(xiàng)正確.所以圓的方程為，圓心為，半徑為，，所以點(diǎn)在圓的外部，B選項(xiàng)正確.直線平分圓的周長，則直線過圓心，即，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.圓的圓心為，半徑為，與的距離為，所以圓與圓外切，D選項(xiàng)正確.故選：ABD11.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則（）A.為質(zhì)數(shù)B.為直角三角形C.與所成角的正弦值為D.幾何體的體積為【答案】BCD【解析】【分析】對于ABC：根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算分析求解即可；對于D：分析可知幾何體為三棱臺(tái)，且與該三棱臺(tái)的底面垂直，結(jié)合臺(tái)體的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以不是質(zhì)數(shù)，A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，所以為直角三角形，B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以與所成角的正弦值為，C正確；對于選項(xiàng)D：根據(jù)已知6個(gè)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)可得幾何體為三棱臺(tái)，且與該三棱臺(tái)的底面垂直，，所以幾何體的體積為，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線與直線之間的距離為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行線間距離公式即可求解.【詳解】由于與直線平行，故距離為，故答案為：13.甲、乙兩人從九寨溝、峨眉山和青城山這三個(gè)景點(diǎn)中各選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩，已知甲、乙兩人選擇三個(gè)景點(diǎn)游玩的概率分別是，，和，，，則甲、乙兩人選擇相同的景點(diǎn)游玩的概率為__________.【答案】##0.375【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率加法計(jì)算公式即可求得.【詳解】由題意知甲，乙兩人選擇景點(diǎn)游玩相互獨(dú)立，所以甲、乙兩人選擇相同的景點(diǎn)游玩的概率為故答案為：14.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為2的直線與的一條漸近線在第四象限相交于點(diǎn)，四邊形為平行四邊形.若直線的斜率，則的離心率的取值范圍為_____.【答案】【解析】【分析】聯(lián)立的方程與漸近線方程，可得坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式結(jié)合平行求解的斜率，即可化簡得，進(jìn)而可求解離心率.【詳解】由題意可得F1?c,0，由于為平行四邊形，故,直線的方程為，漸近線方程，聯(lián)立，故,所以，因此，化簡得，故離心率為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，平面，平面，四邊形為正方形，E，F(xiàn)位于平面的兩側(cè)．（1）若，試用，，表示；（2）若，，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形，用，，表示出即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，直線的方向向量與法向量所成角的余弦值即為直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】連接，由題意得，又，所以；【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成交的正弦值為.16.已知不過原點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．（1）求直線的傾斜角；（2）若直線過點(diǎn)，求直線的方程；（3）若直線與直線垂直，且直線被圓截得的弦長為2，求直線在軸上的截距．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出直線的截距式，即可求出斜率以及傾斜角；（2）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入到直線方程中即可；（3）根據(jù)弦長得到圓心到直線的距離，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)直線，即，則直線的斜率為，根據(jù)，可求得傾斜角為；【小問2詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，所以直線的方程為；【小問3詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以可設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以，解得，則直線在軸上的截距為.17.已知在中，，，．（1）求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作的外接圓的切線，求該切線方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將三頂點(diǎn)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解出即可；（2）由兩直線垂直得到斜率關(guān)系，再由點(diǎn)斜式得到直線方程即可；【小問1詳解】設(shè)的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解得故的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】由（1）得外接圓的圓心為，半徑為5．因?yàn)?，所以切線的斜率為，故所求切線方程為，即．18.動(dòng)點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為.記點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程.（2）已知直線.①若直線與相交.求的取值范圍；②當(dāng)直線與相交時(shí)，證明：直線被截得的線段的中點(diǎn)在同一條直線上.【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）用坐標(biāo)表示幾何條件化簡可得點(diǎn)軌跡方程；（2）①聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去可求的取值范圍；②法一，由①可得，進(jìn)而求得中點(diǎn)坐標(biāo)，消去參數(shù)可得直線被截得的線段的中點(diǎn)所在直線方程.法二，設(shè)直線與交于，兩點(diǎn).設(shè)Ax1,y1，B【小問1詳解】根據(jù)題意可得，化簡得，即的方程為.【小問2詳解】①解：由，得.由，解得，所以的取值范圍為.②證明：（方法一）由①中，得.設(shè)直線被截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，.由，消去可得，所以直線被截得的線段的中點(diǎn)在直線上.（方法二）設(shè)直線與交于，兩點(diǎn).設(shè)Ax1,y1，B則直線的斜率為，，.因?yàn)辄c(diǎn)，在上，所以，兩式相減得，化簡得，即，所以直線被截得的線段的中點(diǎn)在直線上.19.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，漸近線方程為，，直線與的左、右支分別交于點(diǎn)，（異于點(diǎn)，）.（1）求