滲流力學(xué)課件

滲流力學(xué)目錄第三章單相液體的穩(wěn)定滲流理論第四章彈性微可壓縮液體的不穩(wěn)定滲流第六章兩相滲流理論基礎(chǔ)第三章單相液體的穩(wěn)定滲流理論第一節(jié)基本概念1、滲流方式線性滲流，非線性滲流單相滲流，多相滲流單向、平面、空間滲流液體參數(shù)（密度等）不隨坐標(biāo)位置變化，如常態(tài)下的水。如變化為非均質(zhì)流體，如氣體，考慮壓縮性的水、油等。2、均質(zhì)液體3、穩(wěn)定滲流壓力、滲流速度等運(yùn)動(dòng)要素不隨時(shí)間發(fā)生變化。4、注水開發(fā)油田可認(rèn)為是穩(wěn)定滲流供給壓力（注水壓力）不變，生產(chǎn)井壓力不變，原油粘度、滲透率不變。本章研究條件：

均質(zhì)液體穩(wěn)定滲流地層水平均質(zhì)：h、Φ、k不變油水性質(zhì)無差異（μ）、無彈性（ρ）實(shí)際油水性質(zhì)有差異，是不穩(wěn)定滲流。第二節(jié)單相液體穩(wěn)定滲流基本方程的解及其應(yīng)用單相液體穩(wěn)定滲流時(shí)有：（1）在極坐標(biāo)下，（1）可表示為：（2）

N=0時(shí)為單相流，n=1時(shí)為平面徑向流，n=2時(shí)為球面向心流。一、單向滲流n=0時(shí)，（2）式為：（1）測(cè)巖心滲透率hBLpepw邊界條件：x=0，p=peX=L，p=pw（1）對(duì)（1）式積分，并代入邊界條件得地層中任意點(diǎn)壓力為（2）（2）為單向流動(dòng)壓力分布公式。1、壓力分布公式2、單向穩(wěn)定滲流時(shí)的產(chǎn)量公式由式中上式分離變量：積分：得產(chǎn)量(3)3、單向液體穩(wěn)定滲流的滲流速度和壓力公式因?qū)ⅲ?）式代入的滲流速度為：（4）對(duì)（2）式求導(dǎo)得壓力梯度公式為：（5）4、單向液體穩(wěn)定滲流特性分析pepwx等壓線流線pepw壓力與x關(guān)系水動(dòng)力場(chǎng)圖

等壓線：壓力相等的點(diǎn)的連線；流線：與等壓線垂直的線；水動(dòng)力場(chǎng)圖：由等壓線與流線組成的正交網(wǎng)圖。規(guī)定兩條等壓線間壓差相等，兩條流線間流量相等。5、液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)移規(guī)律液體從供給邊緣移動(dòng)到x處所需時(shí)間t為：二、平面徑向滲流點(diǎn)源：向四周發(fā)散流體的點(diǎn)，如注水井；點(diǎn)匯：流體向該點(diǎn)匯集，如采油井。點(diǎn)源點(diǎn)匯設(shè)有一水平均質(zhì)等厚的圓形地層，中心一口水動(dòng)力完善井，邊外有充足水源供給。已知：k、Φ、h、Re、Rw、pe、pw、μpepwRwRerQ1、平面徑向穩(wěn)定滲流的壓力分布公式數(shù)學(xué)模型：r=Rw，p=pwr=Re，p=pe（1）（2）令則（1）式變?yōu)椋悍蛛x變量積分得：則即分離變量積分：（3）代入邊界條件得：代回（3）得：平面徑向流壓力分布式：（4）由（4）式知，平面徑向滲流時(shí)，壓力分布與半徑呈對(duì)數(shù)關(guān)系。從整個(gè)地層看，壓降面象個(gè)漏斗狀的曲面，稱壓降漏斗。rppepwRe水動(dòng)力場(chǎng)2、平面徑向滲流產(chǎn)量公式及分析由分離變量積分有：（5）由（5）式知，增加油井產(chǎn)量的辦法：

增大生產(chǎn)壓差（pe-pw）提高地層流動(dòng)系數(shù)kh/μ（壓裂，酸化，熱采）ab應(yīng)用時(shí)控油面積：3、滲流速度及壓力梯度穩(wěn)定滲流時(shí)，Q=Av=常數(shù)，則滲流速度：把（5）式代入：（6）（6）式表示v與r成雙曲函數(shù)關(guān)系。又則壓力梯度：壓力梯度也與r成雙曲函數(shù)關(guān)系。v，dp/drrRwR越小，v越大，dp/dr越大，能量損失越大。4、平均地層壓力平均地層壓力反映地層平均能量的大小，用面積加權(quán)平均法求平均地層壓力。rdrpRe取小環(huán)形單元體，面積為平均地層壓力為：代入代入上下限，不計(jì)Rw2項(xiàng)，則如代入有5、液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)移規(guī)律因則液體質(zhì)點(diǎn)從r0移到r需時(shí)間t為從供給邊緣移到井底的時(shí)間為：體積系數(shù)Bo：原油在油藏的體積與在地面脫氣后的體積之比。Bo>1作業(yè)：

9題：（1）、（2）、（3），在（1）中計(jì)算各半徑處的滲流速度。

10題

11題四、有滲透率突變情況下的滲流問題由于油層污染等會(huì)使?jié)B透率發(fā)生突然變化。1、滲透率突變地層中的單向流L1，k1L2，k2pep1pw設(shè)滲透率突變處壓力為p1，則有因Q1=Q2=Q壓力分布：在0<x<L1期間：在L2<x<L2期間：2、滲透率突變地層中的平面徑向流：ReR1PeP1k1k2設(shè)滲透率突變處壓力為p1，則壓力分布R1<r<Re：Rw<r<R1：第三節(jié)油井不完善性對(duì)滲流的影響1、完善井：全部鉆開油層，且鉆穿部分裸露的井2、水動(dòng)力不完善井：未全部鉆開油層或下套管完井，改變了油層滲流狀況。一、不完善井分類1、打開程度不完善2、打開性質(zhì)不完善3、雙重不完善二、不完善井對(duì)滲流的影響滲流面積減小滲流阻力增大。井產(chǎn)量減小。不完善性對(duì)滲流的影響可看成是變化了的井半徑的影響，稱這一半徑為折算半徑。折算半徑Rwr實(shí)際的不完善井用一個(gè)產(chǎn)量與之相等，但油井半徑較小的完善井代替，這一假想完善井的半徑稱實(shí)際不完善井的折算半徑。則不完善井的產(chǎn)量：△PC井的不完善性引起的附加壓降等于：C－表皮系數(shù)，為一反映井壁污染和不完善井結(jié)構(gòu)的附加滲流阻力的無量剛值。井產(chǎn)量公式為：則

C>0，滲流阻力增加，油井不完善或污染；

C<0，滲流阻力減小，油井超完善.第四節(jié)油井的穩(wěn)定試井定義：通過人為改變油井的工作制度，在穩(wěn)定情況下測(cè)出壓力和產(chǎn)量關(guān)系曲線，以確定合理工作制度和地層參數(shù)的方法。n=1n<1n>1，不正常x△p用公式表示為：－采油指數(shù)n－滲流指數(shù)（1/2<n<1)5mm8mm6mm7mm井底壓力高于飽和壓力時(shí)，地層為單相流，Q與Δp成線性關(guān)系，n=1；實(shí)際試井中往往如圖2曲線，即剛開始為直線，然后呈曲線，原因有：

1）壓差增大時(shí)，滲流速度增大破壞了直線滲流定率，出現(xiàn)了非線性滲流規(guī)律；

2）當(dāng)壓差增大時(shí)，井底流動(dòng)壓力低于飽和壓力，井底附近地區(qū)出現(xiàn)脫氣現(xiàn)象，產(chǎn)生兩相流動(dòng)，從而降低了油相相對(duì)滲透率而使?jié)B流阻力增大。

3）曲線3為流動(dòng)不穩(wěn)定測(cè)得的曲線，需重新測(cè)試，這時(shí)的能量除壓能外還有彈性能。系統(tǒng)試井可解決以下問題：1）確定合理的工作制度，在直線段取最大產(chǎn)量；2）確定地層參數(shù)和油井生產(chǎn)能力。在指示曲線的直線段：

—采油指數(shù)，即單位壓差下的油井產(chǎn)量，表示油井產(chǎn)能。又由平面徑向流公式：由試井資料求出后，可求出地層附近滲透率：補(bǔ)充作業(yè)：1、求得不完善井的產(chǎn)量相當(dāng)于完善井產(chǎn)量的80％，已知供給半徑1000米，井半徑0.1米,計(jì)算附加阻力系數(shù)及油井折算半徑。2、均質(zhì)水平圓形地層中心一口生產(chǎn)井，油井以定產(chǎn)量Q生產(chǎn)，已知井折算半徑Rwr、井底壓力pw、供給壓力pe油層厚h、滲透率k，若Re到R1為線性滲流，R1到Rwr為非線性滲流，求壓力P的表達(dá)式。第五節(jié)勢(shì)的疊加和多井干擾理論一、多井同時(shí)生產(chǎn)時(shí)的物理現(xiàn)象井間干擾：同一油層內(nèi)同時(shí)有兩口井以上油井生產(chǎn)，其中一口井工作制度發(fā)生變化后，必然要影響到其他井，這種現(xiàn)象稱井間干擾。井間干擾特征：地層中壓力場(chǎng)發(fā)生重新分布。第五節(jié)勢(shì)的疊加和多井干擾理論MM4M2M3M1M3M4M2M1MQQQ-Q二、勢(shì)的疊加理論（一）勢(shì)的基本概念勢(shì)是一個(gè)量，這個(gè)量的梯度形成一個(gè)力場(chǎng)。勢(shì)的概念常與Laplace方程聯(lián)系在一起，其解叫勢(shì)函數(shù)。由達(dá)西公式：令則“Ф“就定義為勢(shì)，常稱速度勢(shì)。（１）勢(shì)具有壓力的含義，對(duì)（１）微分有：（２）在穩(wěn)定滲流場(chǎng)中，壓力分布滿足Laplace，即：將（１）式代入有：（３）滿足Laplace方程的函數(shù)為線性函數(shù)，線性函數(shù)可進(jìn)行疊加。1、平面上一點(diǎn)的勢(shì)設(shè)平面上有一點(diǎn)匯，在距離點(diǎn)匯r圓周處的流量為：令則分離變量得平面上一點(diǎn)的勢(shì)為：（4）

q：?jiǎn)挝缓穸鹊漠a(chǎn)量（產(chǎn)液強(qiáng)度）

r：地層中任意點(diǎn)到井的距離；

Ф：距井半徑r處地層中的勢(shì)；C：常數(shù)，與邊界條件有關(guān)。對(duì)注水井，q為負(fù)值，則點(diǎn)源的勢(shì)為：（5）2、空間一點(diǎn)的勢(shì)設(shè)空間有一點(diǎn)匯，則距點(diǎn)匯r半徑球面上的滲流速度為：又則空間一點(diǎn)匯勢(shì)為：空間點(diǎn)源勢(shì)為：（二）勢(shì)理論在滲流力學(xué)中的應(yīng)用1、用勢(shì)理論求平面徑向流產(chǎn)量公式平面徑向流點(diǎn)匯的勢(shì)為：[1]r=Re時(shí)，Ф=Фe；r=Rw時(shí)，Ф=Фw；則：[2][3][2]-[3]有：[4]代入：[5]2、球面向心流產(chǎn)量公式：hRФ整個(gè)滲流過程可看成兩部分構(gòu)成：（1）從Re到某一半徑R的平面徑向流，則：[1]（2）從R到Rw的球面向心流。又半球內(nèi)任意點(diǎn)勢(shì)為：則因1/Rw遠(yuǎn)大于1/R，不考慮1/R相，則：[2][1]=[2]得：[3]流動(dòng)很快從球面流轉(zhuǎn)為平面流，常取R=1.5h。（三）勢(shì)的疊加原理勢(shì)的疊加原理：在無限平面地層中同時(shí)存在任意個(gè)點(diǎn)源（匯），當(dāng)滲流服從線性滲流定律時(shí)，由點(diǎn)源（匯）引起的合成流動(dòng)的勢(shì)將等于各個(gè)點(diǎn)源（匯）單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生勢(shì)的代數(shù)合。

n井同時(shí)工作時(shí)，地層中有任意點(diǎn)M，則各井在M點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì)為：q1q2q3qnr1r2r3rnn井同時(shí)生產(chǎn)在M點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì)由疊加原理表示為：上式為勢(shì)的疊加原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，式中：

Ф：任意點(diǎn)合成流動(dòng)時(shí)的勢(shì)；

qi：第I口井產(chǎn)液強(qiáng)度；

ri：I井到任意點(diǎn)距離。利用勢(shì)的疊加原理可求：已知各井井壁勢(shì)（井底壓力）求各井產(chǎn)量；已知各井產(chǎn)量，求井壁處的勢(shì)。三、滲流速度的合成原則1、利用等勢(shì)線和等壓線確定滲流速度求出滲流場(chǎng)的等勢(shì)線分布或流線分布后，用滲流速度與等勢(shì)線的正交關(guān)系確定滲流速度方向。大小可由下式計(jì)算：2、用矢量合成法各井單獨(dú)生產(chǎn)時(shí)的滲流速度：n井同時(shí)生產(chǎn)：v1vnq1qn第六節(jié)勢(shì)的疊加原理的典型應(yīng)用設(shè)在無限大地層中有等產(chǎn)量的一源一匯，相距2a一、等產(chǎn)量的一源一匯1、勢(shì)及流場(chǎng)aa-qqr1r2v2v1v由勢(shì)的疊加原理，地層中任意點(diǎn)的勢(shì)為：（1）MCDAB由（1）式知，r1/r2為常數(shù)時(shí)，勢(shì)相等，則等勢(shì)線方程為：（2）當(dāng)C0=1時(shí)，r1=r2，即y軸是一條等勢(shì)線。又代入（2）整理得：配方得：（3）（3）是圓心在x軸的圓族方程，圓心為（），半徑為2aC0/（1-C02），即等勢(shì)線為一系列圓。由等勢(shì)線與流線的正交關(guān)系，可求出流線的方程為：（4）（4）式表示流線是圓心在y軸上的一系列圓，個(gè)給C0不同的值可得不同的流線，且x軸也是一條流線。流線與等壓線油水界面位置與舌進(jìn)現(xiàn)像2、液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律如只有A井工作，則M點(diǎn)滲流速度為v1，如只有B井工作，M點(diǎn)滲流速度為v2，兩井同時(shí)工作時(shí)，滲流速度為v，因三角形ABM與三角形MCD相似，則：（5）穩(wěn)定滲流時(shí)，液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡與流線一致，由（5）式知，v與r1r2的乘積成反比，在x軸上r1r2最小，液體質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)速度最快，稱x軸為主流線。

在注水開發(fā)時(shí)，水質(zhì)點(diǎn)沿x首先到達(dá)生產(chǎn)井井底，沿其它流線運(yùn)動(dòng)的水質(zhì)點(diǎn)以后相繼突入井中，形成舌進(jìn)現(xiàn)象。水驅(qū)前沿進(jìn)入生產(chǎn)井底后，由于這一通道滲流阻力小，后繼注入水會(huì)大量沿這一通道流入井底，使水驅(qū)效率變差。

這是注水開發(fā)采收率低的重要原因。3、以知生產(chǎn)井和注入井勢(shì)時(shí)的產(chǎn)量公式由（1）式，把任意點(diǎn)取在注水井和生產(chǎn)井井壁：上兩式相減有：二、等產(chǎn)量?jī)蓞Rv1ABaar2v2r1vM在無限大地層中存在等產(chǎn)量的兩匯，相距2a。1、勢(shì)及流場(chǎng)由疊加原理地層中任意點(diǎn)的勢(shì)為；（1）由（1）式，r1r2相等時(shí)，勢(shì)相等，則等勢(shì)線方程為；（2）因代入（2）式配方得：（3）（3）式為四次曲線族方程，給C0不同的值，得到不同的等勢(shì)線。等產(chǎn)量?jī)蓞R時(shí)的滲流場(chǎng)Y軸為分流線同樣由流線與等勢(shì)線的正交關(guān)系，可得一雙曲線型流線族方程：（4）給C1不同的值得不同的流線。當(dāng)C1等于無窮大時(shí)，（4）式可轉(zhuǎn)化為x軸和y軸方程，則y軸x軸均為流線。

y軸具有分流性質(zhì)，也叫分流線。把兩側(cè)的液流分開，使液體不能穿過分流線而流動(dòng)。2、滲流速度分析NAB在地層中任一點(diǎn)N處，A、B兩井單獨(dú)工作時(shí)的速度分別為：兩井同時(shí)工作時(shí)，N點(diǎn)速度為兩速度矢量合。在x軸上，N點(diǎn)速度為：若N為平衡點(diǎn)，即v=0時(shí)：qA=qB時(shí)，r1=r2即兩匯產(chǎn)量相等時(shí)，平衡點(diǎn)應(yīng)在兩井連線的中點(diǎn)，該點(diǎn)液體流動(dòng)速度為零，稱死油點(diǎn)，平衡點(diǎn)附近形成死油區(qū)。平衡點(diǎn)及死油區(qū)位置隨兩匯各自產(chǎn)量比值而改變，且總偏向產(chǎn)量小的井。通過改變兩井產(chǎn)量比例，可使平衡點(diǎn)向產(chǎn)量小的井移動(dòng)，以采出死油區(qū)內(nèi)原油。3、井產(chǎn)量任意點(diǎn)取在生產(chǎn)井壁：任意點(diǎn)取在供給邊緣：則產(chǎn)量公式：（5）第七節(jié)考慮邊界效應(yīng)的鏡像反映法實(shí)際油氣田中，在生產(chǎn)井或注水井附近往往存在各種邊界。邊界的存在對(duì)滲流場(chǎng)的等壓線分布、流線分布和井產(chǎn)量都會(huì)產(chǎn)生影響，這中影響稱為邊界效映。一、直線供給邊沿附近一口井的反映直線供給邊緣附近存在一口生產(chǎn)井時(shí)，直線供給邊緣為一條等勢(shì)線，液流從供給邊緣流向井底，流線與等壓線如圖。等產(chǎn)量一源一匯時(shí)，其滲流場(chǎng)圖與y軸完全對(duì)稱，y軸是一條等勢(shì)線，y軸以右的生產(chǎn)井區(qū)域滲流場(chǎng)與直線供給邊緣附近一口生產(chǎn)井時(shí)的滲流場(chǎng)完全一致。由此，在供給邊緣附近（a，0）處存在一口生產(chǎn)井時(shí)，可設(shè)想成以直線供給邊緣（選作y軸）為鏡面，在其對(duì)稱位置（-a，0）出反映出一口等產(chǎn)量的注水井在作用，則虛擬井與生產(chǎn)井在無窮地層中進(jìn)行勢(shì)的疊加所形成的滲流場(chǎng)的生產(chǎn)井部分，與供給邊緣附近一口井的滲流場(chǎng)圖完全一樣。這種用一個(gè)“異號(hào)像”的作用來代替直線供給邊緣的方法，叫匯源反映法。真實(shí)井虛擬井通過匯源反映后，寫出地層中任意點(diǎn)的勢(shì)的表達(dá)式，在將已知條件取在直線供給邊緣和生產(chǎn)井井底去掉常數(shù)，得井產(chǎn)量公式為：二、直線不滲透邊界附近一口生產(chǎn)井的匯點(diǎn)反映法直線不滲透邊界附近存在一口生產(chǎn)井時(shí)，液體不能穿過不滲透邊界（斷層）而流動(dòng)，斷層起分流作用，為分流線。不滲透邊界附近一口井的滲流場(chǎng)圖，剛好是等產(chǎn)量?jī)蓞R時(shí)的滲流場(chǎng)圖的一半，并以y軸為對(duì)稱軸。直線斷層附近（a，0）存在一口生產(chǎn)井時(shí)，可將斷層看作鏡面，在其對(duì)稱位只映射出一口等強(qiáng)度的匯（生產(chǎn)井的像），從而成為無限地層中兩口井生產(chǎn)。兩口井勢(shì)的疊加的結(jié)果在真實(shí)生產(chǎn)區(qū)形成的滲流場(chǎng)與直線斷層和一口生產(chǎn)井產(chǎn)生的滲流場(chǎng)完全一致。這種反因映為匯點(diǎn)反映。寫出任意點(diǎn)勢(shì)后，將任意點(diǎn)取在供給邊緣（不是斷層）和生產(chǎn)井井底，有產(chǎn)量公式為：總結(jié)1、邊界對(duì)滲流場(chǎng)和井產(chǎn)量的影響可看成以邊界為鏡面，在實(shí)際井的對(duì)稱位置上存在虛擬井“像”的影響，實(shí)際井與虛擬井勢(shì)的疊加形成的滲流場(chǎng)與邊界對(duì)井影響形成的滲流場(chǎng)完全相同。2、反映法的基本原則

不滲透邊界是同號(hào)等產(chǎn)量反映，反映后不滲透邊界保持為分流線；

供給邊界是等產(chǎn)量異號(hào)反映，反映后供給邊界必須保持為等勢(shì)線。三、鏡像反映法的推廣（一）復(fù)雜斷層的鏡像反映法鏡像反映法的目的是取消邊界，其基本準(zhǔn)則是反映后原滲流邊界性質(zhì)不變。對(duì)復(fù)雜邊界，要求：對(duì)井有影響的邊界都必須進(jìn)行映射；對(duì)其中一個(gè)邊界映射時(shí)必須把井和其他邊界一同映射到邊界的另一側(cè)；有時(shí)需要多次映射才能取消邊界。多邊界映射實(shí)例：+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q+q-q-q直角斷層混合邊界45度斷層平行斷層二、圓形供給邊界偏心井的反映+q-qMReФeФwФeM2M1r1r2aad有一圓形地層偏心井，偏心距為d，求井產(chǎn)量和壓力分布。從無限大地層一源一匯的平面滲流場(chǎng)圖知等勢(shì)線為一系列圓，且都與井點(diǎn)相差一定距離。如選取一等勢(shì)圓為供給邊緣，其半徑為Re，圓心與井點(diǎn)距離為d，此時(shí)生產(chǎn)井就為供給邊緣內(nèi)一口偏心井。則只要在適當(dāng)位置上虛擬一口等產(chǎn)量的注入井，就可將偏心井問題轉(zhuǎn)化為無限地層一源一匯問題。1、確定井像的位置無限層一源一匯時(shí)r1/r2相等的點(diǎn)勢(shì)相等，則半徑為Re的圓周上的M1和M2點(diǎn)應(yīng)滿足下式：即則虛擬注入井的位置為：（1）2、偏心井產(chǎn)量因把（1）代入得：（2）有虛擬井后地層中任意點(diǎn)勢(shì)為：（3）將任意點(diǎn)分別取在供給邊緣和生產(chǎn)井井底有：偏心井產(chǎn)量公式為3、地層中任意點(diǎn)勢(shì)分布（4）由（3）式有：代入q有：（5）4、偏心距對(duì)產(chǎn)量的影響定義影響系數(shù)為：（6）式中Q’為偏心井產(chǎn)量；Q為圓心井產(chǎn)量。則：（7）計(jì)算表明，Re=100m,d/Re=0.75時(shí)，偏心井的產(chǎn)量增加了13％。當(dāng)偏心距小于地層半徑之半，則影響較小。作業(yè)：19、20、21、22、23第八節(jié)復(fù)勢(shì)理論在平面滲流問題中的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)解析時(shí)，其實(shí)部和虛部為共軛的調(diào)和函數(shù)；表征滲流場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)也具有共軛調(diào)和性質(zhì)，因此可用復(fù)變函數(shù)來表征滲流場(chǎng)，通過對(duì)復(fù)變函數(shù)的研究來求解較復(fù)雜的滲流問題；通過復(fù)變函數(shù)的保角變換，可把一個(gè)復(fù)雜的滲流場(chǎng)變?yōu)橐粋€(gè)簡(jiǎn)單的滲流場(chǎng)進(jìn)行處理。一、勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)及復(fù)勢(shì)1、勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)單相液體平面徑向穩(wěn)定滲流時(shí)，滲流速度為：有在無源區(qū)域內(nèi)，因即（1）（2）將（1）代入有：

滲流場(chǎng)中滲流速度為矢量，滲流場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)，則φ

稱勢(shì)函數(shù)或速度勢(shì)。（3）由（3）式知，勢(shì)函數(shù)滿足Laplace方程。C1為一常數(shù)，表示一條等勢(shì)線。vxvvydsdydxxyS設(shè)在滲流場(chǎng)中有流線S，其中一點(diǎn)M處的切線方向，為該點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向。設(shè)M點(diǎn)滲流速度為v，則在x、y方向的分速度為vx、vy。

在M點(diǎn)沿流線S取一微小增量dS，則在x、y方向的增量為dx、dy，由相似關(guān)系有：M即（4）（4）為流線方程。因無源滲流場(chǎng)中，即（5）（5）式表示（4）式是某一函數(shù)的全微分，并用dΨ

表示：（6）（a）（a）為全微分的充要條件是全微分函數(shù)（6）式積分有：則Ψ稱為流函數(shù)，Ψ為常數(shù)時(shí)表示流線方程，給定不同的常數(shù)可得不同的流線。由（6）式知滲流速度與流函數(shù)關(guān)系：（7）因滲流場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)，其旋度即有將（7）式代入有：即流函數(shù)也滿足Laplace方程。由復(fù)變函數(shù)理論知，滿足Laplace方程的函數(shù)稱調(diào)和函數(shù)，因此在平面滲流場(chǎng)中，勢(shì)函數(shù)φ（x，y）和流函數(shù)Ψ（x，y）都為調(diào)和函數(shù)，且與滲流速度的關(guān)系為：（9）（8）（9）式為柯西-黎曼（Chuchy-Rieman）條件。證明勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)正交：沿等勢(shì)線，勢(shì)函數(shù)的全微分為零，即：則等勢(shì)線上任一點(diǎn)處的切線斜率為：（10）沿流線，流函數(shù)的全微分也為零：則流線上任一點(diǎn)處的切線斜率為：（11）所以等勢(shì)線與流線正交，勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)為共軛調(diào)和函數(shù)。因勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)滿足C-R條件，則任知其中一個(gè)可求出另一個(gè)，從而確定滲流場(chǎng)。（12）例1、求線性滲流時(shí)勢(shì)函數(shù)及流函數(shù)由達(dá)西定律知：則所以：由C-R條件單向流勢(shì)則為單向流流函數(shù)例2、設(shè)已知生產(chǎn)井的勢(shì)求流函數(shù)。解、則因又即則（13）2、平面滲流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)如復(fù)變函數(shù)w（z）在某一區(qū)域內(nèi)解析，其實(shí)部和虛部存在二階偏導(dǎo)數(shù)，并滿足Laplace方程，即實(shí)部和虛部為共軛調(diào)和函數(shù)。又已知滲流場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)為共軛調(diào)和函數(shù)，則用勢(shì)函數(shù)為實(shí)部、流函數(shù)為虛部構(gòu)成的復(fù)數(shù)為解析函數(shù)，且稱該復(fù)數(shù)為滲流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)，表示為：（14）由（14）式：即（15）例、復(fù)勢(shì)w（z）=az+C，求勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)及滲流速度的絕對(duì)值。解：習(xí)題：54、55、56、57二、復(fù)勢(shì)疊加原理1、平面上點(diǎn)源和點(diǎn)匯的復(fù)勢(shì)生產(chǎn)井在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)為：點(diǎn)源的復(fù)勢(shì)為：即：（1）（1）式中，w（z）—距匯點(diǎn)任意處的復(fù)勢(shì)；

z—復(fù)平面上任意點(diǎn)；

r—復(fù)變量z的模；θ—復(fù)變量z的幅角。井點(diǎn)為點(diǎn)源時(shí)，復(fù)勢(shì)為：如井點(diǎn)在任意點(diǎn)A=a+ib，其復(fù)勢(shì)為：（2）勢(shì)函數(shù)流函數(shù)為：zrAAθyx（3）2、復(fù)勢(shì)疊加原理若在滲流場(chǎng)中同時(shí)存在兩個(gè)勢(shì)流，其復(fù)勢(shì)分別為：因勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)是共軛調(diào)和函數(shù)，是齊次線性方程，滿足疊加原理?xiàng)l件，即兩個(gè)復(fù)勢(shì)可合成一個(gè)新復(fù)勢(shì)，新復(fù)勢(shì)的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)仍滿足Laplace方程。（4）且則同一滲流場(chǎng)中存在多個(gè)點(diǎn)源匯時(shí)，只需把各個(gè)點(diǎn)源匯單獨(dú)存在時(shí)的復(fù)勢(shì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)相加，即可得多井同時(shí)存在時(shí)的復(fù)勢(shì)，稱平面滲流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)疊加原理。如平面上有n個(gè)點(diǎn)源匯，分別位于A1、A2….An,則任意點(diǎn)復(fù)勢(shì)為：則勢(shì)函數(shù)為：流函數(shù)為：（7）（6）（5）三、復(fù)勢(shì)理論在解決多井工作問題中的應(yīng)用（一）無限地層中的等產(chǎn)量一源一匯r2r1θ2

xy-q+qaaθ1

由復(fù)勢(shì)疊加原理：（1）則勢(shì)函數(shù)為：流函數(shù)為：（3）（2）由（2）式可得等勢(shì)線方程。由（3）式：為流線方程則令化簡(jiǎn)為：配方得：（4）（5）流線為圓。地層中任意點(diǎn)的滲流速度：由則xyqqaaθ1

二、一對(duì)等產(chǎn)量的匯θ2

r1r2M由復(fù)勢(shì)疊加原理，M點(diǎn)的復(fù)勢(shì)為：（1）則勢(shì)函數(shù)為：（2）流函數(shù)為：（3）當(dāng)時(shí)為流線令上式化簡(jiǎn)為：（4）流線方程為雙曲線方程，C0為無窮時(shí)，有x=0或y=0，即x軸和y軸都是流線，其中y軸為分流線。地層中任意點(diǎn)的滲流速度為：

r為任意點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離，M點(diǎn)取在原點(diǎn)時(shí)，r為0，滲流速度為零，為死油點(diǎn)。補(bǔ)充習(xí)題：已知平面滲流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)求勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)。第九節(jié)平面滲流問題的保角變換求解法一、保角變換的概念1、z平面到ζ

平面上的變換在復(fù)平面上復(fù)變數(shù)z=x+iy，引入新的復(fù)變數(shù)ζ=ξ+iη

，ζ與z之間有關(guān)系z(mì)=z（ζ）或ζ=ζ（z），則or即（1）（1）式確定了平面z上的點(diǎn)與ζ上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，ζ=ζ（z）是單值或多值，則z平面上對(duì)應(yīng)ζ平面上一點(diǎn)或幾點(diǎn)。如：則即在z平面上給定一點(diǎn)，在ζ平面上可得到對(duì)應(yīng)的一點(diǎn)。同樣z平面上一條線在ζ面上有對(duì)應(yīng)的一條或幾條線。對(duì)于z平面上的一個(gè)滲流場(chǎng)，同樣可在ζ面上有對(duì)應(yīng)的滲流場(chǎng)。2、解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和幅角設(shè)解析函數(shù)ζ=ζ（z）把z平面一點(diǎn)z=x+iy變換到ζ平面內(nèi)ζ=ξ+iη

的一點(diǎn)。用M和α

分別代表函數(shù)ζ在z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的摸和幅角，即或（2）由（2）式知，在dζ/dz=0時(shí)，變換ζ=ζ（z）使z點(diǎn)處很短的線伸長(zhǎng)或縮短了M倍，并旋轉(zhuǎn)了一個(gè)α角。這樣在z點(diǎn)附近很小的圖形變換到ζ平面內(nèi)具有與原來相同的形狀，在z平面兩條相交的曲線間的夾角變換到ζ平面內(nèi)保持不變，稱這種變換為保角變換。3、變換前后井半徑的關(guān)系復(fù)平面z上有一口半徑為Rw的井，通過變換到ζ平面上將有一口半徑為ρ

w的井與之對(duì)應(yīng)。xzyRwldnζρ

wξηλ

dv由（2）式知：或（3）4、井產(chǎn)量變換前后不變（4）由（2）式：（5）代入（4）有：（6）表示對(duì)應(yīng)井產(chǎn)量相等。二、例設(shè)z平面上的單向流動(dòng)復(fù)勢(shì)為：則作變換：則即三、保角變換的應(yīng)用1、直線供給邊沿附近一口井xyzaPw，Rwxxρ

ePw作變換（1）令z=ia，得ζ=0令z=x，由（1）式有：即說明z平面上的x軸變?yōu)棣破矫嫔习霃綖棣?/p>

e的圓周。（3）即在ζ平面為圓形地層中心井問題，產(chǎn)量公式為：把（3）代入：（4）保角變換的求解方法：尋找一個(gè)適當(dāng)?shù)淖儞Q，將復(fù)雜的物平面變?yōu)檩^易求解的像平面，求出像平面的產(chǎn)量公式后，再利用變換式把參數(shù)代回物平面，從而得到實(shí)際問題的解。2、圓形地層一口偏心井xyZ0，

Rwdφw

Re

ξζpwη作變換：（5）為Z0的共軛復(fù)數(shù)則Z平面Z0點(diǎn)變到ζ平面ζ=0點(diǎn)在Z平面圓周上任取一點(diǎn)Z’，代入（5）式：即Z平面半徑為Re圓周上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)ζ平面為單位圓周上的點(diǎn)。又因則（7）為偏心井產(chǎn)量公式。第十節(jié)等值滲流阻力法利用水電相似原理，以電路圖來描述滲流場(chǎng)，然后按電路定律來求解復(fù)雜的多井排滲流問題的方法，叫等值滲流阻力法。一、水電相似原理2apw+qxpe直線供給邊沿附近一排生產(chǎn)井，單井產(chǎn)量公式為L(zhǎng)井排產(chǎn)量為：（1）式中相當(dāng)于液流滲過Bh斷面面積，流經(jīng)L距離的阻力相當(dāng)于從各井周圍一個(gè)假想的供給邊沿（供給半徑為a/π）流經(jīng)各井的滲流阻力的并聯(lián)，用滲流內(nèi)外阻表示為：

（2）（3）則（1）為：（4）（5）在電學(xué)中，兩電阻串聯(lián)時(shí)的電流為（4）、（5）具有物理相似，稱水電相似。上述問題的實(shí)際滲流場(chǎng)與假想滲流場(chǎng)及等值滲流阻力圖為QRinRoutPepW在圓形供給邊沿內(nèi)半徑為R的圓上有一環(huán)形井排，井相距2a，單井產(chǎn)量公式為：環(huán)形井排產(chǎn)量：（6）又2πR=n2a，即R/n=a/π，則（6）式可寫為：（7）滲流內(nèi)外阻為：二、等值滲流阻力法在多井排上的應(yīng)用L1L2L3PE2a1、n1、PW12a2、n2、PW22a3、n3、PW3B1、一個(gè)三面封閉一邊液源供給的油藏內(nèi)3排井用等值滲流阻力法求解：1）繪等值電路圖Rin1pepw1pw2pw3Rin·Rin3Rout1Rout1Rout1Q1+Q2+Q3Q3Q2+Q3Q1Q22）計(jì)算內(nèi)外阻由電路定律列方程有2、圓形地層環(huán)形井排R1RinPin，ninpw1pw2pw3Rin·Rin3Rout1Rout1Rout1Q1+Q2+Q3Q3Q2+Q3Q1Q2pinRin1）等值電路圖2）內(nèi)外阻3）列電路圖由上式可求產(chǎn)量和壓力第四章：彈性微可壓縮液體的不穩(wěn)定滲流1.彈性不穩(wěn)定滲流的物理過程2.無限大地層彈性不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型典型解3.彈性不穩(wěn)定滲流的迭加與映射4.圓形封閉地層中心一口井?dāng)M穩(wěn)態(tài)時(shí)近似解5.帶時(shí)間常數(shù)變量邊界條件的不穩(wěn)定滲流—杜哈美原理6.不穩(wěn)定試井4-1彈性不穩(wěn)定滲流的物理過程當(dāng)?shù)貙訅毫χ饾u下降時(shí)，原來處于壓縮狀態(tài)的可壓縮流體就要發(fā)生膨脹，迫使部分流體從地層流入井底。當(dāng)壓力下降后,巖石顆粒膨脹，巖石孔隙體積減小，又從地層排出部分液體。在油田開發(fā)初期，地層壓力高于飽和壓力，主要依靠巖石與原油的彈性能量開采，稱這種方式為“彈性驅(qū)動(dòng)方式”。彈性驅(qū)動(dòng)時(shí)，因地層內(nèi)壓力隨時(shí)間而變，因此為不穩(wěn)定滲流方式。壓力降從井底開始逐漸向外傳播。第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論一.水壓彈性驅(qū)動(dòng)條件：儲(chǔ)集層外有廣大的含水區(qū)，能充分地向地層補(bǔ)給彈性能量，認(rèn)為補(bǔ)給邊緣上的壓力保持不變。1.油井以定產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)，地層壓力的傳播PeBQ第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論(2)壓力波傳播第二階段(壓力波傳到邊界之后）特點(diǎn)a.壓力下降速度減慢，最后趨于穩(wěn)定b.壓力穩(wěn)定前，井產(chǎn)量一部分來自壓降區(qū)域的彈性膨脹，另部分來自邊水。c.穩(wěn)定后，井底流量與邊水浸入量相等。(1)壓力波傳播第一階段特點(diǎn)a.壓力不斷下降，壓降區(qū)域不斷擴(kuò)大b.井產(chǎn)量來自壓降區(qū)域內(nèi)的彈性膨脹第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論P(yáng)eBQ2.井底壓力保持不變?nèi)钥煞謮毫Σ▊鞑サ牡谝浑A段和第二階段第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論二.封閉彈性驅(qū)條件：儲(chǔ)層外邊無能量補(bǔ)充，為一不滲透的封閉邊界。1.井以定產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)的壓力波傳播BQ第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論t<tB

時(shí)為壓力波傳播的第一階段t>tB

時(shí)為壓力波傳播的第二階段在第二階段，由于無外來流體能量補(bǔ)給，油藏壓力將繼續(xù)下降，下降到一定時(shí)間各點(diǎn)的壓降速度趨于一致，稱“擬穩(wěn)定狀態(tài)”。擬穩(wěn)定狀態(tài)：封閉油藏彈性滲流過程中，井以定產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)，壓力波傳到邊界后經(jīng)過一定時(shí)間，地層內(nèi)各點(diǎn)的壓降速度相等時(shí)的階段，稱“擬穩(wěn)定狀態(tài)”。第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論2.井底壓力保持不變第一階段與前相同，進(jìn)入第二階段后，壓力不斷下降，產(chǎn)量不斷減小，直到產(chǎn)量為零。BQ第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論4-2無限大地層彈性不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型典型解彈性不穩(wěn)定滲流的數(shù)學(xué)模型為：式中?=K/μc稱導(dǎo)壓系數(shù)。當(dāng)K為μm2,μ為mPa.s,c為1/10-1MPa時(shí)，?為cm2/s,表示單位時(shí)間內(nèi)壓降傳播的面積。第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論取極坐標(biāo)，則〈2〉式為：設(shè)有均勻、等厚、水平無限大地層中心一口井進(jìn)行彈性不穩(wěn)定滲流，則流動(dòng)為平面二維流動(dòng)，數(shù)學(xué)模型為：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論井以恒定產(chǎn)量Q生產(chǎn)時(shí)，有相應(yīng)的初始邊界條件為：t=0,p=po

(0≤r≤∞)下面用Boitzmann變換求解上數(shù)學(xué)模型，設(shè)μ對(duì)r和t分別求偏導(dǎo)：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論<3>式改寫為：<8>式對(duì)中間變量u進(jìn)行微分：將<6>.<7>式代入：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論化簡(jiǎn)為：或又設(shè)：則<12>式為：><=++u130'''

uPdudPP第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論分離變量:得式中C1為積分常數(shù),則:C2為常數(shù),即:第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論又有達(dá)西公式:則由<17><18>式:第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論t=0時(shí),u=∞,P=Pot=t時(shí),u=u,P=P(r,t)又對(duì)<20>式分離變量積分:第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論從而求得地層中任意點(diǎn)(距井r處),在任意t時(shí)刻的壓力表達(dá)式:第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論當(dāng)u增加(r增加或減小時(shí))，-Ei(-u)減小，Pi-P(r,t)變小，而P(r,t)值增加，即距井越遠(yuǎn)處壓降越小，壓力值越大；時(shí)間t越大時(shí)，u越小，-Ei(-u)值大，則壓降值大，壓力P(r,t)變小。冪積分函數(shù)的變化趨勢(shì)如圖。u-Ei(r,t)第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論－Ei(-u)可查數(shù)學(xué)手冊(cè)中冪積分函數(shù)表。又已知冪積分函數(shù)可展開為：如研究的是注水井，注入量取-Q,地層中任意點(diǎn)壓力增值為：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論對(duì)于井底r=Rw,則一般滿足近似條件，井底壓力隨時(shí)間的變化規(guī)律為：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論例：在一較大的新油田上，有一完善井，地下恒定流量為100m3/D投入生產(chǎn)，Rw=10cm,μo=2mPa·S,h=10m,K=0.5μm2,?=10000cm2/s,預(yù)測(cè)井底壓降情況。解：t=0.1天時(shí)，可用近似公式計(jì)算，則第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論T(天)00.250.5123455.255.5067ΔPw

(10-1MPa)05.675.936.186.446.596.696.776.796.816.846.90計(jì)算得：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論公式<23><25>是井以恒定條件下推導(dǎo)的,對(duì)于產(chǎn)量呈階梯狀變化的情況,應(yīng)對(duì)產(chǎn)量進(jìn)行迭加.如圖,產(chǎn)量共有n個(gè)變化過程,可把流量變化過程看作是n個(gè)流動(dòng)過程的迭加:第一流動(dòng)過程t1時(shí)刻,其流量為Q1-Q0=Q1,第二流動(dòng)過程始于t2時(shí)刻，其流量為Q2-Q1；第n個(gè)流動(dòng)過程始于tn時(shí)刻,其流量為Qn-Qn-1，各流動(dòng)分別在t時(shí)刻產(chǎn)生一壓降ΔPj。Q0QQ2Q1Q3Qnt1=0t2t3tntt第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論則t時(shí)刻總壓降為各壓降之和，即第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論或?qū)?yīng)近似公式有第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論例：無限大地層中有一口生產(chǎn)井，其產(chǎn)量變化如圖所示，推導(dǎo)t時(shí)刻井底壓力表達(dá)式Q0QQ2Q1Q3Qnt1=0t2t3t4tt第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論解：求井底壓力變化，用近似公式(why?)第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論則井底壓力表達(dá)式為：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論

4-3彈性不穩(wěn)定滲流的迭加與映射迭加原理可以處理多井生產(chǎn)時(shí)，滲流場(chǎng)中壓力的變化；鏡像反映法可以處理邊界對(duì)滲流場(chǎng)影響。一、迭加原理彈性滲流時(shí)，在生產(chǎn)井周圍壓力不斷降低，在注水井周圍壓力不斷增加，在整個(gè)滲流場(chǎng)中形成一總的合成流動(dòng)。研究表明，多井工作時(shí)形成的總壓降等于各井單獨(dú)工作時(shí)在該點(diǎn)該時(shí)刻形成的總壓降之和，即壓降的迭加原理。（2004年研究生考題）注意是壓降的疊加，而不是壓力的疊加。第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論設(shè)油田有n口井，氣流量分別為Q1,Q2,Q3,…..Qn,則該井的壓降計(jì)算公式為：式中：Qj——第j口井單井產(chǎn)量；

ΔPj——第j口井在r處t時(shí)刻產(chǎn)生的壓降；

rj

——任意點(diǎn)到j(luò)井的距離；

tj

——第j口井開始生產(chǎn)的時(shí)間；

t——任意生產(chǎn)時(shí)刻。第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論由迭加原理，n口井產(chǎn)生的總壓降為：例:

某油田一探井以20t/d投產(chǎn)，生產(chǎn)15天后距該井1000m處，有一新井以40t/d投入生產(chǎn)。求第一口井生產(chǎn)30天后井底壓力降為多少？已知K=0.25μm2,Rw=10cm,μo=9mPa·s,h=12m,ρ

o=0.85,c=1.8×10-5/10-1MPa,Bo=1.12。第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論解：則第一口井可用近似公式計(jì)算壓降ΔP1則第二口井不能用近似公式計(jì)算壓降ΔP2第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論由迭加原理：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論33，34，35，39，40作業(yè)第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論二、鏡像反映理論當(dāng)源、匯靠近供給邊界、不滲透邊界時(shí)，應(yīng)該按鏡像反映法取消邊界。與穩(wěn)定滲流中的鏡像反映法一樣，供給邊緣附近的井作異號(hào)反映，不滲透邊界的井作同號(hào)反映，同時(shí)應(yīng)注意邊界一起反應(yīng)。第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論4-4圓形封閉地層中心一口井?dāng)M穩(wěn)態(tài)時(shí)近似解圓形封閉地層中心一口井?dāng)M穩(wěn)態(tài)時(shí)精確解比較復(fù)雜，可利用擬穩(wěn)態(tài)時(shí)的特性進(jìn)行近似求解。擬穩(wěn)態(tài)：在封閉油藏彈性滲流過程中，當(dāng)壓力降傳到邊界一段時(shí)間后，油層內(nèi)各點(diǎn)壓降速度相等時(shí)的狀態(tài)。設(shè)彈性滲流仍服從線性滲流定律，則：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論式中：C——綜合壓縮系數(shù)

Vf=π（Re2-Rw2

）h<2>式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論因在擬穩(wěn)態(tài)下，各點(diǎn)壓降速度相等，則：由<4>式：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論

則圓形封閉地層中心一口井?dāng)M穩(wěn)態(tài)情況下滿足以下數(shù)學(xué)模型：P(Rw,t)=Pw(t)<7>第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論則<9>式為：分離變量為：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論代入邊界條件<7>:<11>—<12>：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論若邊界條件壓力Pe(t)已知，可得P(r,t)的另一表達(dá)式，此時(shí)定解問題為：P(Re,t)=Pe(t)<15>同樣有：把<15>式代入：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論<17>—<18>：當(dāng)r=Rw時(shí)，且考慮Re2>>Rw2，則井底壓力表達(dá)式：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論擬穩(wěn)態(tài)時(shí)，圓形封閉地層平均壓力計(jì)算：由面積加權(quán)平均法，有平均地層壓力為：(1)當(dāng)Pw(t)已知時(shí)，把(13)代入得：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論(2)當(dāng)Pe(t)已知時(shí)，把(20)代入得：由以上公式，可進(jìn)行彈性滲流法的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)。當(dāng)產(chǎn)量恒定時(shí)，給定時(shí)間t，得相應(yīng)總排量：V=Qt第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論忽略Rw2項(xiàng)，整理有：作業(yè)：41第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論4-5帶時(shí)間變量邊界條件的不穩(wěn)定滲流

——杜哈美原理在實(shí)際的滲流問題中，會(huì)有大量的帶時(shí)間變量的邊界條件的不穩(wěn)定滲流，如求解變產(chǎn)量總匯的不穩(wěn)定滲流問題。杜哈美（Duhamel）原理則是解決這類問題的有效工具。一、杜哈美原理和迭加原理二、變產(chǎn)量不穩(wěn)定滲流的匯源解第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論4-6不穩(wěn)定試井不穩(wěn)定試井：利用油井以某一產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)或生產(chǎn)一定時(shí)間后關(guān)井時(shí)所實(shí)測(cè)的井底壓力隨時(shí)間變化的資料，用以反求地層參數(shù)的方法。不穩(wěn)定試井可求解如下問題：1.確定井底附近或兩井之間的地層導(dǎo)壓系數(shù)?，流動(dòng)系數(shù)Kh/μ等地層參數(shù)；2.推算地層壓力；3.判斷油井完善程度及估計(jì)油井增產(chǎn)效果；4.發(fā)現(xiàn)油層中可能存在的各種類型邊界（斷層、尖滅、油水界面等）；5.估計(jì)泄油面積內(nèi)的原油儲(chǔ)量。第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論目前常用的有兩種方法：壓力降落法和壓力恢復(fù)法。一、開井壓力降落試井法圓形封閉地層開井生產(chǎn)井底壓力降落曲線可分為三個(gè)階段：Ⅰ、不穩(wěn)定早期，壓力傳到邊界前的第一階段；Ⅱ、不穩(wěn)定晚期，壓力傳到邊界后，擬穩(wěn)定狀態(tài)形成前的階段；Ⅲ、擬穩(wěn)定期。tPwf(t)ⅠⅡⅢ第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論1.不穩(wěn)定早期壓降分析及應(yīng)用在不穩(wěn)定早期，地層中任一點(diǎn)的壓力變化用無限大地層典型解表示：井底壓力隨時(shí)間的變化式為：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論因此以Pwf(t)為橫坐標(biāo)，以Lgt為縱坐標(biāo)，在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)中Pwf(t)—t呈直線關(guān)系，其截距為A,斜率為m。Pwf(t)αLgt由<4><5>式可求得地層參數(shù)，其中流動(dòng)系數(shù)為：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論2、擬穩(wěn)定期壓降曲線分析及應(yīng)用由圓形封閉地層彈性滲流數(shù)學(xué)模型，用拉普拉斯變換，可得井底壓力為：當(dāng)t→∞

時(shí)，e的負(fù)指數(shù)趨于零，有：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論因此以Pwf(t)為縱坐標(biāo)，以t為橫坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中Pwf(t)—t呈直線，截距為D，斜率為m，利用m可求出地層儲(chǔ)量。Pwf(t)αt一般用壓降曲線早期段求流動(dòng)系數(shù)Kh/μ,用擬穩(wěn)定流動(dòng)段求地層儲(chǔ)量。第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論二、關(guān)井壓力恢復(fù)試井法1、壓力恢復(fù)試井的基本公式——赫諾（Horner）公式設(shè)某井以產(chǎn)量Q生產(chǎn)T時(shí)間后關(guān)井，則關(guān)井效應(yīng)可看成原井繼續(xù)以產(chǎn)量Q生產(chǎn)，從關(guān)井時(shí)刻又有-Q的流量從該井點(diǎn)注入，如圖：+QTt+QtPwf(t)-QPo第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論

則關(guān)井后t時(shí)刻井底壓降為：

<1>式即為Horner公式，表明在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)中Pwf與Lgt/(T+t)呈直線。直線斜率為m=0.183Qμ/Kh,由此可求流動(dòng)系數(shù)Kh/μ。第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論當(dāng)t→∞，t/(T+t)→1,由<1>式Pwf(t)→

∞,即可用壓力恢復(fù)曲線的外推法求原始地層壓力。αPwf(t)第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論2、壓力恢復(fù)試井的簡(jiǎn)化公式——MDH公式實(shí)際生產(chǎn)過程中油井的工作制度是在經(jīng)常變化的，關(guān)井前的生產(chǎn)時(shí)間T很難確定，因此對(duì)Horner公式進(jìn)行簡(jiǎn)化。油井關(guān)井前穩(wěn)定生產(chǎn)時(shí)間越長(zhǎng)，油井繼續(xù)以Q生產(chǎn)所引起的壓降就越小。因此，在關(guān)井時(shí)間不太長(zhǎng)的條件下，可以近似的以關(guān)井瞬時(shí)起由虛擬注入井引起的壓力升值，代替井底壓力的恢復(fù)值。第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論TttPwf(t)Po生產(chǎn)井壓力降注入井壓力升第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論上式即為MDH公式，上式表明在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)中，Pwf(t)與Lgt呈直線關(guān)系，其截距為A,斜率為m。從截距A可求油井的折算半徑Rwr：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論本章要點(diǎn)一、基本概念彈性驅(qū)動(dòng)；壓力波傳播的第一、二階段；擬穩(wěn)態(tài)；導(dǎo)壓系數(shù)?；不穩(wěn)定試井。二、內(nèi)容1、彈性不穩(wěn)定滲流的物理過程。2、彈性不穩(wěn)定滲流的無限大地層典型解第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論模型第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論解3、圓形封閉地層中心一口井?dāng)M穩(wěn)態(tài)時(shí)近似解P(Rw,t)=Pw(t)模型第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論P(yáng)(Re,t)=Pe(t)模型2解第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論習(xí)題33：解綜合壓縮系數(shù)：原始儲(chǔ)量：彈性儲(chǔ)量：34題：35題：39題：TtQ1Q2第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論QQttt2t1Q彈性驅(qū)動(dòng)油藏中，某井以Q產(chǎn)量生產(chǎn)t1時(shí)間后關(guān)井，至t2時(shí)刻有開井以Q生產(chǎn)，試推導(dǎo)再生產(chǎn)t時(shí)間的井底壓力表達(dá)式。例：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論解：由壓力迭加原理QQttt2t1Q所以井底壓力表達(dá)式：第四章彈性不穩(wěn)定滲流理論第六章兩相滲流理論基礎(chǔ)前面所講的無論是剛性液體滲流還是彈性液體滲流都是以均質(zhì)流體作為前提，沒有考慮油和水在粘度上和密度上的差別以及毛管力的影響，也未考慮油中氣體的分離。而實(shí)際滲流中由于油水性質(zhì)差異，毛管力的影響，形成油水共滲或伴有氣體的滲流。6.1兩相滲流數(shù)學(xué)模型的建立6.2活塞式水驅(qū)油6.3非活塞式水驅(qū)油本章內(nèi)容包括：6.4油氣兩相滲流理論6.1兩相滲流數(shù)學(xué)模型的建立一、油水兩相滲流數(shù)學(xué)模型的建立1.考慮毛管力的油水兩相單向滲流的數(shù)學(xué)模型<1>運(yùn)動(dòng)方程<2>連續(xù)性方程<3>毛管力方程式中R1,R2為毛細(xì)彎液面主半徑，

為兩相界面上的界面張力。由<3><4>式：<6>式表示總液量與坐標(biāo)x沒關(guān)。<1><2>式代入<6>式：※

上式即為考慮毛管力的油水兩相滲流的數(shù)學(xué)模型2.不考慮毛管力的油水兩相單項(xiàng)滲流的數(shù)學(xué)模型<1>運(yùn)動(dòng)方程<2>連續(xù)性方程把（1）、（2）代入（3）、（4）：或?qū)懗桑海?）（5）（3）飽和度方程：油水兩相為穩(wěn)定滲流時(shí)：3.考慮重力作用的油水兩相滲流只考慮重力作用的一維油水兩相滲流的運(yùn)動(dòng)方程可寫為：（1）（2）xzA（x）g考慮不可壓縮流體，對(duì)一維流動(dòng)，油水兩相滲流的連續(xù)性方程為：由（3）、（4）：即：（5）（1）、（2）代入（5）：則（6）式中將（6）代入（1）式：（7）3.考慮重力作用的油水兩相滲流二、油氣兩相滲流的基本微分方程1.連續(xù)性方程2.運(yùn)動(dòng)方程3.狀態(tài)方程4.基本微分方程方程6-2活塞式水驅(qū)油活塞式水驅(qū)油：假設(shè)水驅(qū)油過程中，油水間有明顯的分界面，且分界面垂直于液流方向向井排移動(dòng)，并把油全部驅(qū)走，就像活塞一樣向井排移動(dòng)，稱活塞式水驅(qū)油。一、考慮油水粘度差異的單相滲流如圖為均質(zhì)等厚油藏，且認(rèn)為液體不可壓縮且不考慮液體密度差。設(shè)供液壓力為Pe，排液道壓力為Pw在水驅(qū)油過程中保持不變，則活塞式水驅(qū)油時(shí)，各部分阻力為：BPeLeLfLoPw單向活塞式水驅(qū)油由于總滲流阻力隨L而變，當(dāng)μo>μw時(shí)，總滲流阻力越來越小，產(chǎn)量Q越來越大?；钊剿?qū)油前緣質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)速度為dLo/dt,與滲流速度關(guān)系為：分離變量積分得含有邊緣移動(dòng)到任一點(diǎn)處的時(shí)間為：前緣到達(dá)井排，即油井全部水淹時(shí)間為：二、考慮油水粘度差別的平面徑向流如圖有均質(zhì)等厚圓形地層中心一口井，供給壓力為Pe，井底壓力為Pw進(jìn)行活塞式水驅(qū)油，則：PwroPeRoRe同樣滲流阻力不斷減小，產(chǎn)量Q不斷增加。6-3非活塞式水驅(qū)油非活塞式水驅(qū)油：在實(shí)際生產(chǎn)中，水滲入到含油區(qū)之后，不能將全部原油置換出來，而是出現(xiàn)一個(gè)油和水同時(shí)混合流動(dòng)的油水混合區(qū)，這種驅(qū)動(dòng)方式叫非活塞式水驅(qū)油。非活塞式水驅(qū)油時(shí)存在三個(gè)區(qū)：水區(qū)、油水混合區(qū)、純油區(qū)。油水混合區(qū)不斷擴(kuò)大，直到生產(chǎn)井排。井排線供給邊緣水油+水油xoxf非活塞式水驅(qū)油單向流模型井排線供給邊緣水油+水油xoxf非活塞式水驅(qū)油單向流模型Sw——含水飽和度So——含油飽和度Swc——束縛水飽和度Sor——?dú)堄嘤惋柡投?/p>

z——可流動(dòng)的含油飽和度

z=So-Sorx水區(qū)兩相區(qū)油區(qū)SoSwSwfSofxoxf飽和度分布曲線zsorswc大量實(shí)驗(yàn)資料表明，在油水兩相區(qū)中，含水飽和度和含油飽和度是隨時(shí)間變化的。當(dāng)原始油水界面垂直于流線，含油區(qū)束縛水飽和度為常數(shù)時(shí)，兩相區(qū)中含水飽和度和含油飽和度分布如圖：Sw圖中兩相區(qū)的前緣上含水飽和度突然下降，稱為“跌變”。水不斷滲入，兩相區(qū)不斷擴(kuò)大，兩相區(qū)內(nèi)油被進(jìn)一步洗出，則飽和度發(fā)生變化。如圖：從圖中可看出，油水前緣上飽和度Swf基本上保持不變，這已被實(shí)驗(yàn)資料證明。xS~t曲線t3t2t1t3>t2>

t1SwSwf油水前緣飽和度的大小取決于巖層的微觀結(jié)構(gòu)和地下油水粘度比值（μr=μo/μw

）。對(duì)同一油層，μr越大，油水前緣含水飽和度越小。在進(jìn)入油區(qū)的累計(jì)水量一定的條件下，油水粘度比越大，兩相區(qū)范圍越大，巖層中井排見水越早，無水采油時(shí)間短，無水采油量小。xS~t曲線μr3μr2μr1μr3>μr2>

μr1Sw水影響水驅(qū)油非活塞性的因素:1.毛管力的影響水驅(qū)油時(shí)，如巖石親油，則由于界面張力而產(chǎn)生的毛管力為阻力，且大小與毛管半徑成反比，則在非均質(zhì)地層中水先進(jìn)入大孔道，而小孔道中仍有油，形成油水共存區(qū)；如巖石親水，水先滲入小孔道，大孔道中留有油。水油油水親油，毛管力為阻力水油油水親水，毛管力為動(dòng)力當(dāng)水主要依靠外來壓差滲入油層時(shí)，則毛管力的影響就變得很小。2.重率差的影響油水粘度差一般是很大的。在外來壓差作用下，大孔道斷面大，阻力小，水先進(jìn)入大孔道，而水的粘度遠(yuǎn)比油小，使大孔道中的阻力越來越小，大孔道中的水竄就會(huì)越來越大，形成嚴(yán)重的指進(jìn)現(xiàn)象。因此，油水粘度差是影響水驅(qū)油非活塞性的主要因素?？紤]了毛管力及重力的影響，則飽和度分布為：由于油水重度差，會(huì)形成上油下水的油水兩相共存區(qū)，但只在油水重率差別較大且油層很厚的情況下才明顯，一般情況作用很小。3、粘度差的影響原始含水飽和度殘余油重力影響毛管力影響水驅(qū)油前緣xSw在混合滲流區(qū)油水兩相分別遵循達(dá)西定律，只不過滲透率為相滲透率。而相滲透率是飽和度的函數(shù)，因此，油水兩相滲流的關(guān)鍵就是研究?jī)上囹?qū)中飽和度的分布及變化規(guī)律。一、油水兩相滲流理論——貝克萊—列維爾特驅(qū)油理論（BuckleyI.andLeverettM.C.MechanismofFluidDisplacementinsands.Trans,AIME,Vol.146,1942）1.含水率和含油率方程（分流量方程）設(shè)油水兩相滲流區(qū)中，油水兩相同時(shí)流動(dòng)，且分別服從達(dá)西直線滲流定律，若不考慮重力和毛管力，則：通過截面的油水量為：其中水占總液量的分?jǐn)?shù)稱為含水率fw:同樣，含油率fo:含水率與含油率之間的關(guān)系為：如地層是傾斜的，與水平夾角為θ，油相壓力為Po，水相壓力為Pw，則毛管力Pc為：Pc=Po-Pw如圖。在考慮重力和毛慣力作用時(shí)，油水滲流速度分別為：θ油x則含水率表達(dá)式為：式中Δρ=ρw-ρo由<1>式知，對(duì)于某一已知油藏，油水粘度比為定值，fw的變化主要取決于兩相滲透率比值的變化，如圖：1KrofwKrwSwKro:油相相對(duì)滲透率Krw:水相相對(duì)滲透率Sw:含水飽和度f(wàn)w:含水率2、等飽和度面移動(dòng)方程在兩相滲流區(qū)中任取一微小矩形六面體，其三邊長(zhǎng)分別為dx,dy,dz,單相滲流方向取x軸方向，如圖：xdxdzdyyza’b’’a’’b’?M’’?M’?M微小六面體中心為M，水相滲流速度為：M’’為：在a’b’面的中心點(diǎn)M’處水相滲流速度為：在dt時(shí)間流入a’b’的水量：在dt時(shí)間流出a’’b’’的水量：在dt時(shí)間入流出的水量差：又t時(shí)刻六面體內(nèi)水相體積：t+dt時(shí)刻六面體內(nèi)水相體積：dt時(shí)間六面體內(nèi)水相體積變化：由質(zhì)量守恒定律，有(a)=(b),則：因fw=fw(Sw)，Sw=Sw(x,t)當(dāng)研究等飽和度面的移動(dòng)規(guī)律時(shí)，即飽和度為定值的平面上，dSw=0,即把（6）式代入得：（7）式為某一飽和度面推進(jìn)的速度式，表明等飽和度平面的移動(dòng)速度等于截面上的總液流速度乘以含水率對(duì)含水飽和度的導(dǎo)數(shù)。（7）式即為Backly—Leverett方程。在含水率與含水飽和度的關(guān)系曲線上，不同含水飽和度時(shí)的含水率的導(dǎo)數(shù)不同，因而各飽和度平面的推進(jìn)速度也不同。對(duì)（7）式兩邊積分：式中：x—等飽和度平面t時(shí)刻到達(dá)的位置；

xo—原始油水界面位置某固定飽和度Sw情況下的fw’(Sw)可由圖上求得。給定一飽和度，可由（8）式求得該飽和度在時(shí)間t推進(jìn)的距離x。若已知油層中水的原時(shí)飽和度分布狀況，可標(biāo)出不同飽和度在t時(shí)刻的推進(jìn)距離，從而給出不同時(shí)刻的飽和度分布曲線。如圖：從圖中看出，含水飽和度的分布出現(xiàn)了雙值，這不符合實(shí)際，實(shí)際飽和度前緣處發(fā)生了不連續(xù)的“躍變”，躍變的位置可用物質(zhì)平衡確定，躍變的位置就是水驅(qū)油前緣位置。水驅(qū)油前緣兩邊的陰影部分面積相等。1水的原始飽和度分布60天120天240天Sw(t1)Sw(t2)Sw(t3)x0Sw對(duì)平面徑向滲流，亦可用類似的方法求解。此時(shí)飽和度面的移動(dòng)方程為：式中A（r）=2πrh對(duì)<9>式積分：式中：R0—原始含油邊緣半徑

r—t時(shí)刻某飽和度面到達(dá)位置半徑3.水驅(qū)油前緣含水飽和度Swf和水驅(qū)前緣位置xf的確定從兩相區(qū)形成到t時(shí)刻滲入兩相區(qū)（xf-x0）范圍內(nèi)的總水量使該范圍內(nèi)含水飽和度增加，由物質(zhì)平衡原理有：對(duì)<8>式微分：式中：fw’’(Sw)為含水率對(duì)Sw的二階微商。把上式帶入<11>式，并變換相應(yīng)積分限，得：上式中，當(dāng)x=xo時(shí)，Sw=Swmax，fw(Swmax)=1，fw’(Swmax)=0x=x時(shí)，Sw=Swf

<12>式為一含水驅(qū)油前緣含水飽和度Swf的隱含數(shù)關(guān)系式，可由作圖法求得。1Swfw1SwcSwfBd過Swc點(diǎn)作fw—Sw曲線的切線，切點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的含水飽和度即為水驅(qū)油前緣含水飽和度Swf，對(duì)應(yīng)的含水率即為fw(Swf)。求出Swf后，再由fw’~Sw關(guān)系曲線上求出fw’(Swf)，然后由<8>式，即可求水驅(qū)油前緣位置xf。當(dāng)水驅(qū)油前緣到達(dá)井排時(shí)，油井就見水。此時(shí)(xf-x0)值即為原始油水邊緣與井排之間的距離(Le-Lo),則由<13>式可求見水時(shí)間T:無水采油量為：無水采收率為：當(dāng)Q恒定生產(chǎn)，則Lo供給邊緣LeLoL排液道油水前緣原始含油邊緣Lfxoxxf4.兩相滲流區(qū)中平均含水飽和度的確定得：代入<13>式：5.井排見水后，兩相滲流區(qū)中含水飽和度變化規(guī)律1）變化規(guī)律水驅(qū)油前緣到達(dá)井排后，兩相滲流區(qū)中含水飽和度的變化規(guī)律與前緣到達(dá)井排前的相似，因此在求解井排見水后兩相區(qū)中含水飽和度變化規(guī)律時(shí)，可假定水區(qū)油前緣在到達(dá)井排處后繼續(xù)向前移動(dòng)，如圖：0Swfwfw’fwxfxxo0Sw給定一時(shí)刻t，由<8>式可算出兩相區(qū)中任一點(diǎn)x處的fw’(Sw)，然后由fw’(Sw)~Sw的關(guān)系曲線找出相應(yīng)的含水飽和度Sw。這樣就可得井排見水后任一時(shí)刻兩相區(qū)中含水飽和度的分布曲線。2）井排飽和度的求法設(shè)井排見水后，井排排液道的含水飽和度為Sw2，則Sw2隨時(shí)間的變化如下求得：由求得給定t的fw’(Sw2)，則可由圖得對(duì)應(yīng)的Sw2，從而得到Sw2~t關(guān)系曲線。3）平均含水飽和度的變化規(guī)律設(shè)有一個(gè)一維的水驅(qū)油模型，模型中含水飽和度分布如圖所示：1Sw1Sw20x1x2xSw式中：x1，x2分別為巖心入口與出口端的位置。由<8>式知，任一飽和度在巖心中所走過的距離與fw’成正比，則上式可表示為：因：Sw1=Swmax,fw(Sw1)=1,fw’(Sw1)=0所以：又由<8>式：又fo(Sw2)=1-fw(Sw2)<18>將<17><18>式代入<16>式式中fo(Sw2)為巖心出口端的含油率。<19>式表明巖心見水后，巖心中平均含水飽和度與出口端含水飽和度的關(guān)系。二、兩相滲流區(qū)的滲流阻力及產(chǎn)量變化規(guī)律在單向非活塞水驅(qū)油過程中，可分為三個(gè)區(qū)：水區(qū)、油水混合區(qū)、純油區(qū)，如能求出兩相區(qū)中的阻力表達(dá)式，則可寫出該區(qū)的產(chǎn)量公式。供給邊緣LeLoL排液道油水前緣原始含油邊緣Lfxoxxf兩相區(qū)的任一截面的油水總量：則dx長(zhǎng)度的滲流阻力為：又x=Le-L，則dx=-dL，上式用dL表示為：則兩相區(qū)中總滲流阻力為由含油率研究表明，可流動(dòng)的含油飽和度z=1-Sw-Sor與fo在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中成直線關(guān)系，且1<μr<10時(shí)，直線截距b=3，其直線方程可寫為：tgα=bμr3μr2μr1lgfolgz由<20><21>式有：<22>式表示的μrωo~z關(guān)系如圖：zμrωo圖示曲線用多項(xiàng)式表示為:

<23>式中系數(shù)A、B、C可由在曲線上任取三點(diǎn)建立聯(lián)立方程求解。又<8>式為且fw(Sw)=1-fo(Sw)，則fw’(Sw)=-fo’(Sw)有：且：上兩式相除由<21>式：代入<24>式：把x化為l：則：從而求得z與l的關(guān)系。則，兩相區(qū)總滲流阻力：b=3代入：則排液道產(chǎn)量公式為：

<27>式為瞬時(shí)產(chǎn)量表達(dá)式，因總滲流阻力不斷變化，則產(chǎn)量也不斷變化。徑向情況可用類似方法求解。式中：補(bǔ)充習(xí)題作業(yè)29題：①②③計(jì)算兩相區(qū)中某處含水飽和度為0.5時(shí)刻的含水率和含油率.

④⑤⑥⑦設(shè)油層厚度10m，寬420m，ф=0.25,Bo=1.5,Le-xo=1公里。當(dāng)排液道以30m3/d生產(chǎn)時(shí)，求無水采油期和無水采收率.則dx長(zhǎng)度的滲流阻力為：又x=Le-L，則dx=-dL，上式用dL表示為：則兩相區(qū)中總滲流阻力為由含油率研究表明，可流動(dòng)的含油飽和度z=1-Sw-Sor與fo在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中成直線關(guān)系，且1<μr<10時(shí)，直線截距b=3，其直線方程可寫為：tgα=bμr3μr2μr1LgfoLgz由<20><21>式有：<22>式表示的μrωo~z關(guān)系如圖：zμrωo圖示曲線用多項(xiàng)時(shí)表示為:

<23>式中系數(shù)A、B