【八年級上冊數(shù)學(xué)】【壓軸題】九大攻略

八上數(shù)學(xué)【壓軸題】九大攻略攻略01三角形邊或角關(guān)系的三種模型幾何探究類問題一直屬于考試壓軸題范圍，在三角形這一章，壓軸題主要考查是證明角的數(shù)量關(guān)系，或者三角形的三邊和差關(guān)系等，接來下我們針對這兩個(gè)版塊做出詳細(xì)分析與梳理。類型一、燕尾角模型例1．在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】如圖，若，則____________．【變式訓(xùn)練2】如右圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．【變式訓(xùn)練3】如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．【變式訓(xùn)練4】模型規(guī)律：如圖1，延長交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，，則__________；②如圖3，__________；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點(diǎn)，已知，，則__________；②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；③如圖6，、的角平分線、交于點(diǎn)D，已知，則__________；④如圖7，、的角平分線、交于點(diǎn)D，則、、之同的數(shù)量關(guān)系為__________．類型二、折疊模型例1.如圖，在中，，將沿直線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．無法確定【變式訓(xùn)練1】如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【變式訓(xùn)練2】如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【變式訓(xùn)練4】如圖，將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為（

）．A．42° B．69° C．44° D．32°類型三、“8”字模型例1.如圖，平分，交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)G，．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．【變式訓(xùn)練2】（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“字形”，試說明：．（2）如圖②，，分別平分，，若，，求的度數(shù)．（3）如圖（3），直線平分，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是__；（4）如圖（4），直線平分的外角，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________．

攻略02全等三角形中的六種模型梳理類型一、倍長中線模型中線倍長法：將中點(diǎn)處的線段延長一倍。目的：=1\*GB3①構(gòu)造出一組全等三角形；=2\*GB3②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個(gè)三角形中去。例1．某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】如圖1，延長△ABC的邊BC到D，使DC＝BC，過D作DE∥AB交AC延長線于點(diǎn)E，求證：△ABC≌△EDC．【理解與應(yīng)用】如圖2，已知在△ABC中，點(diǎn)E在邊BC上且∠CAE＝∠B，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若AD平分∠BAE．（1）求證：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范圍．【變式訓(xùn)練1】如圖1，在中，是邊的中線，交延長線于點(diǎn)，．（1）求證；（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．【變式訓(xùn)練2】（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【變式訓(xùn)練3】在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長交于點(diǎn)．求證：．（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長度．（3）若過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．類型二、截長補(bǔ)短模型截長補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明（往往需證2次全等）例．在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，P為△ABC外一點(diǎn)，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時(shí)，試說明MN＝BM+CN．(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時(shí)，MN＝BM+CN還成立嗎？答：．（請?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，請直接寫出BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．

【變式訓(xùn)練1】如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別在直線、上，且．(1)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊、上時(shí)（如圖1），請說明的理由．(2)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊、延長線上時(shí)（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練2】（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練3】在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長；②如圖2，若，求的大?。愋腿⒆銎叫芯€證明全等例1．如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．求讓：【變式訓(xùn)練1】P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．【變式訓(xùn)練2】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點(diǎn)M．請?zhí)骄浚?1)如圖（1），當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，點(diǎn)D在AB延長線上時(shí)，若BD=CE，請判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上，點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，若BD=CE，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由；類型四、旋轉(zhuǎn)模型例．如圖1，，，，、相交于點(diǎn)，連接．（1）求證：，并用含的式子表示的度數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，取，的中點(diǎn)分別為點(diǎn)、，連接，，，如圖2，判斷的形狀，并加以證明．【變式訓(xùn)練1】四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時(shí)（如圖1），請證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時(shí)（如圖2），請你寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請直接寫出的長為．【變式訓(xùn)練2】（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．則：①∠AEB的度數(shù)為°；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系．（3）探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時(shí)，設(shè)直線AD與BE相交于點(diǎn)O，試在備用圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由．【變式訓(xùn)練3】如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）探究證明：把繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．類型五、手拉手模型例．在等邊中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DF，連接CF．(1)如圖（1），點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，連接AF．若，求AF的長；(2)如圖（2），點(diǎn)G在AC上且，求證：；(3)如圖（3），，，連接AF．過點(diǎn)F作AF的垂線交AC于點(diǎn)P，連接BP、DP．將沿著BP翻折得到，連接QC．當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，直接寫出的面積．【變式訓(xùn)練1】△ACB和△DCE是共頂點(diǎn)C的兩個(gè)大小不一樣的等邊三角形．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接AE，BE．①求證：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度數(shù)．(2)類比探究：如圖2，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接AE，AD，BE，CM為△DCE中DE邊上的高，請求∠ADB的度數(shù)及線段DB，AD，DM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展延伸：如圖3，若設(shè)AD（或其延長線）與BE的所夾銳角為α，則你認(rèn)為α為多少度，并證明．【變式訓(xùn)練2】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，不需要證明．【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同學(xué)受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個(gè)和△ABD全等的三角形，將BD進(jìn)行轉(zhuǎn)化再計(jì)算，請你準(zhǔn)確的敘述輔助線的作法，再計(jì)算；【變式思考】（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，則CD＝．【變式訓(xùn)練3】（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請用含的式子表示）類型六、一線三角模型例.在中，，，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C且于D，于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①≌；②；(2)當(dāng)直線MN燒點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【變式訓(xùn)練1】【問題解決】（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如圖①，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系為：______________；【類比探究】（2）如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)0°<∠BAC<180°時(shí)，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明：若變化，寫出它們的關(guān)系式；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），請求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練2】（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．【變式訓(xùn)練3】探究：（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．請直接寫出線段BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系是．拓展：（2）如圖（2），將探究中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問探究中的結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．應(yīng)用：（3）如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，請直接寫出△DEF的形狀是．

攻略03與角平分線有關(guān)的輔助線的三種考法類型一、角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線例1．如圖，已知，P是的平分線上的任意一點(diǎn)，交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，如果，求的長．【變式訓(xùn)練1】如圖，中，，點(diǎn)分別在邊，上，，．求證：平分．【變式訓(xùn)練2】圖，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF與CE相交于點(diǎn)M．(1)EC＝BF；(2)EC⊥BF；(3)連接AM，求證：AM平分∠EMF．【變式訓(xùn)練3】已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時(shí)，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．類型二、過邊上的點(diǎn)向角平分線作垂線構(gòu)造等腰三角形例1.如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為______cm2．【變式訓(xùn)練1】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，若BD＝4，則CE＝________．【變式訓(xùn)練2】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長線于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求證：CD=DF類型三、利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長補(bǔ)短例1.已知：如圖，，，分別平分和，點(diǎn)E在上．用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練1】如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【變式訓(xùn)練2】如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC．求證：AE是∠DAB的平分線．（提示：過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F．）【變式訓(xùn)練3】如圖所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BD的延長線上，CD交AB于點(diǎn)F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求證：∠ABD＝∠ACD；(2)求證：AD平分∠CDE；(3)若在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有DC＝DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．【變式訓(xùn)練4】已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），滿足．（1）如圖2，若，且，則________，_______．（2）求證：．（3）如圖3，若，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．

攻略04軸對稱問題的三種考法類型一、函數(shù)中的最值問題（和最小，差最大問題）例1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與軸交于點(diǎn)A、與軸交于點(diǎn)B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直線BC與直線AB關(guān)于軸對稱.(1)求△ABC的面積；(2)如圖2，D為OA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，作等腰直角△BDE，求證：AB⊥AE；(3)如圖3，點(diǎn)E是軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點(diǎn)M是射線AF上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使OM＋NM的值最?。咳舸嬖?，請寫出其最小值，并加以說明.【變式訓(xùn)練1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，，，．（1）如圖①，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長；（2）如圖②，若點(diǎn)在軸上，且，求的度數(shù)；（3）如圖③，設(shè)平分交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，的最大值為，判斷是否存在這樣點(diǎn)，，使的值最?。咳舸嬖?，請?jiān)诖痤}卷上作出點(diǎn)，，并直接寫出作法和的最小值；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，B(2，2)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB（點(diǎn)A在x軸正半軸上）．（1）若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在第二象限時(shí)，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點(diǎn)M是FB一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是OB一動(dòng)點(diǎn)，且OM+NM的值最小，請?jiān)趫D2中畫出點(diǎn)M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，，，．（1）如圖①，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長；（2）如圖②，若點(diǎn)在軸上，且，求的度數(shù)；（3）如圖③，設(shè)平分交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，的最大值為，判斷是否存在這樣點(diǎn)，，使的值最?。咳舸嬖?，請?jiān)诖痤}卷上作出點(diǎn)，，并直接寫出作法和的最小值；若不存在，請說明理由．類型二、幾何圖形中的最短路徑問題例．已知點(diǎn)在內(nèi)．（1）如圖1，點(diǎn)關(guān)于射線的對稱點(diǎn)是，點(diǎn)關(guān)于射線的對稱點(diǎn)是，連接、、.①若，則______；②若，連接，請說明當(dāng)為多少度時(shí)，；（2）如圖2，若，、分別是射線、上的任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展開后，得折痕（如圖①），點(diǎn)為其交點(diǎn).（1）探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，若分別為上的動(dòng)點(diǎn).①當(dāng)?shù)拈L度取得最小值時(shí)，求的長度；②如圖③，若點(diǎn)在線段上，，則的最小值=.【變式訓(xùn)練2】如圖，等邊（三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都是的三角形）的邊長為，動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別以每秒的速度由向和由向運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，，和交于點(diǎn)．（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，與始終相等嗎？請說明理由；（2）連接，求為何值時(shí)，；（3）若于點(diǎn)，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且使最短．當(dāng)時(shí)，的最小值為多少？請直接寫出這個(gè)最小值，無需說明理由．【變式訓(xùn)練3】如圖1，已知直線的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)、，在直線上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和最短的問題，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)，通過這種方法可以求解很多問題.（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在軸上，求的最小值；（2）如圖3，在銳角三角形中，，，的角平分線交于點(diǎn)，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.（3）如圖4，，，，點(diǎn)，分別是射線，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________.【變式訓(xùn)練4】已知：如圖，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一點(diǎn)，∠ABE＝∠ABC，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，交BE于點(diǎn)P．(1)直接寫出圖中除ABC外的所有等腰三角形；(2)求證：BD＝PC；(3)點(diǎn)H、G分別為AC、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)DHG周長取取小值時(shí)，求∠HDG的度數(shù)．類型三、最短路徑問題的實(shí)際應(yīng)用例1.如圖1，直線表示一條河的兩岸，且現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，橋的長度等于河寬度且橋與河岸垂直．使村莊經(jīng)橋過河到村莊現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)在圖2設(shè)計(jì)兩種：小明：作，交于點(diǎn)，點(diǎn)．在處建橋．路徑是．小紅：作，交于點(diǎn)，點(diǎn)；把平移至BE，連AE，交于，作于．在處建橋．路徑是．（1）在圖2中，問：小明、小紅誰設(shè)計(jì)的路徑長較短？再用平移等知識說明理由．（2）假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計(jì)在處實(shí)施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點(diǎn)某小船從舊橋下到新橋下，到達(dá)后立即返回，在兩橋之間不停地來回行駛，船的航行方向和水流方向與橋保持垂直船在靜水每小時(shí)14千米，水流每小時(shí)2千米，第二天早上6點(diǎn)時(shí)小明發(fā)現(xiàn)船在兩橋之間（未到兩橋）且離舊橋40千米處行駛求這兩橋之間的距離．【變式訓(xùn)練1】（1）如圖1，，是直線同旁的兩個(gè)定點(diǎn)，請?jiān)谥本€上確定一點(diǎn)P，使得最?。唬?）如圖2，已知，P是內(nèi)一點(diǎn)，．請?jiān)谏险乙稽c(diǎn)，上找一點(diǎn)，使得的周長最小，畫出圖形并求出這個(gè)最小值．【變式訓(xùn)練2】閱讀下列材料，解決提出的問題：最短路徑問題:如圖（1），點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在直線l上找到一個(gè)點(diǎn)C，使得點(diǎn)C到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離和最短？我們只需連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求．如圖（2），如果點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)C，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離和最短？我們可以利用軸對稱的性質(zhì)，作出點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)B，這時(shí)對于直線l上的任一點(diǎn)C，都保持CB＝CB，從而把問題（2）變?yōu)閱栴}（1）．因此，線段AB與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求．為了說明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′．因?yàn)锳B′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．任務(wù)：數(shù)學(xué)思考：（1）材料中劃線部分的依據(jù)是．（2）材料中解決圖（2）所示問題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是．（填字母代號即可）A．轉(zhuǎn)化思想B．分類討論思想C．整體思想遷移應(yīng)用（3）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，點(diǎn)P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝8cm，則BP+DP的最小值為cm．

攻略05整式乘除法的三種考法全攻略類型一、不含某項(xiàng)字母求值例1．已知計(jì)算的結(jié)果中不含和的項(xiàng)，求m、n的值．【變式訓(xùn)練1】已知將展開的結(jié)果不含和項(xiàng)，（m、n為常數(shù)）（1）求m、n的值；（2）在（1）的條件下，求的值．（先化簡，再求值）【變式訓(xùn)練2】已知的展開式中不含和項(xiàng)．（1）求的值．（2）先化簡，再求值：．【變式訓(xùn)練3】（1）試說明代數(shù)式的值與、的值取值有無關(guān)系；（2）已知多項(xiàng)式與的乘積展開式中不含的一次項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)為，試求的值；（3）已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及的值．【變式訓(xùn)練4】（1）先化簡，再求值：已知，求的值．（2）若中不含，項(xiàng)，求m，n的值．類型二、與幾何的綜合問題例1.如圖，將邊長為的正方形剪出兩個(gè)邊長分別為，的正方形（陰影部分）．觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)題意，用兩種不同的方法表示陰影部分的面積，即用兩個(gè)不同的代數(shù)式表示陰影部分的面積．方法1：______，方法2：________；（2）從中你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？_________；（3）運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，解決下列問題：①已知，，求的值；②已知，求的值．【變式訓(xùn)練1】【知識生成】通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式，兩個(gè)邊長分別為，的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是的直角三角形拼成如如圖（1）所示的梯形，請用兩種方法計(jì)算梯形面積．(1)方法一可表示為______；方法二可表示為______；(2)根據(jù)方法一和方法二，你能得出，，之間的數(shù)量關(guān)系是______（等式的兩邊需寫成最簡形式）；(3)由上可知，一直角三角形的兩條直角邊長為6和8，則其斜邊長為______；(4)【知識遷移】通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．如圖（2）是邊長為的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．用不同方法計(jì)算這個(gè)正方體體積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式可以為______；（等號兩邊需化為最簡形式）【變式訓(xùn)練2】閱讀理解下列材料：“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想．在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時(shí)，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（如圖1）．所謂“等積法”就是用不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，從而得到一個(gè)等式．如圖1，從整體看是一邊長為的正方形，其面積為．從局部看由四部分組成，即：一個(gè)邊長為的正方形，一個(gè)邊長為的正方形，兩個(gè)長、寬分別為，的長方形．這四部分的面積和為．因?yàn)樗鼈儽硎镜氖峭粋€(gè)圖形的面積，所以這兩個(gè)代數(shù)式應(yīng)該相等，即．同理，圖2可以得到一個(gè)等式：．根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖3可得等式：___________；(2)由圖4可得等式：____________；(3)若，，，且，，求的值．①為了解決這個(gè)問題，請你利用數(shù)形結(jié)合思想，仿照前面的方法在下方空白處畫出相應(yīng)的幾何圖形，通過這個(gè)幾何圖形得到一個(gè)含有，，的等式．②根據(jù)你畫的圖形可得等式：______________；③利用①的結(jié)論，求的值．【變式訓(xùn)練3】（發(fā)現(xiàn)問題）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助我們更容易理解數(shù)學(xué)問題．例如，求圖1陰影部分的面積，可以得到乘法公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2請解答下列問題：（1）請寫出求圖2陰影部分的面積能解釋的乘法公式（直接寫出乘法公式即可）（2）用4個(gè)全等的、長和寬分別為a、b的長方形，拼擺成如圖3的正方形，請你觀察求圖3中陰影部分的面積，蘊(yùn)含的相等關(guān)系，寫出三個(gè)代數(shù)式：（a＋b）2、（a－b）2、ab之間的等量關(guān)系式（直接寫出等量關(guān)系式即可）（自主探索）（3）小明用圖4中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬為a，長為b的長方形紙片拼出一個(gè)面積為（3a＋2b）（2a＋3b）長方形，請?jiān)谙旅娣娇蛑挟嫵鰣D形，并計(jì)算x＋z＝_____（拓展遷移）（4）事實(shí)上，通過計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖5表示的是一個(gè)邊長為a＋b的正方體，請你根據(jù)圖5求正方體的體積，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：______【變式訓(xùn)練4】提出問題：怎么運(yùn)用矩形面積表示(y+2)(y+3)與2y+5的大小關(guān)系（其中y>0）？幾何建模：（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖方式分割（2）變形：2y+5=(y+2)+(y+3)（3）分析：圖中大矩形的面積可以表示為(y+2)(y+3)；陰影部分面積可以表示為(y+3)×1，畫點(diǎn)部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知：(y+2)(y+3)＞(y+2)+(y+3)，即(y+2)(y+3)＞2y+5歸納提煉：當(dāng)a>2，b>2時(shí)，表示ab與a+b的大小關(guān)系．根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n(m>0，n>0)，要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鉛筆畫圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長）類型三、規(guī)律性問題例1.（1）填空：；；．（2）猜想：．（其中n為正整數(shù)，且）．（3）利用（2）猜想的結(jié)論計(jì)算：①②【變式訓(xùn)練1】閱讀下文，尋找規(guī)律：已知：，觀察下列各式：；；；；…(1)填空：①_________；②_________．(2)根據(jù)你的猜想，計(jì)算：①_________；②那么的末尾數(shù)字為_________．【變式訓(xùn)練2】我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖所示）就是一例．這個(gè)三角形的構(gòu)造法則為：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方（左右）兩數(shù)之和．事實(shí)上，這個(gè)三角形給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1、2、1，恰好對應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1、3、3、1，恰好對應(yīng)著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展開式中各項(xiàng)的系數(shù)等等．（1）根據(jù)上面的規(guī)律，（a+b）4展開式的各項(xiàng)系數(shù)中最大的數(shù)為；（2）求出25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5的值；（3）若（x﹣1）2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021，求出a1+a2+a3+……+a2019+a2020的值．【變式訓(xùn)練3】“回文”是漢語特有的一種使用詞序回環(huán)往復(fù)的修辭方法，正著讀，倒著讀，文字一樣，韻味無窮例如：處處飛花飛處處，潺潺碧水碧潺潺．?dāng)?shù)學(xué)中也有像回文聯(lián)一樣的“回文等式”，例如，以下是三個(gè)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“回文等式”：，，．(1)下列選項(xiàng)中能構(gòu)成“回文等式”的是______．（填上所有正確的序號）A．與；B．與；C．與；D．與；E.與(2)請寫出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“回文等式”的一般規(guī)律，并用所學(xué)數(shù)學(xué)知識證明．

攻略06乘法公式壓軸題的四種考法類型一、平方差公式與幾何圖形綜合例1．【探究】如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成圖②的長方形．（1）請你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積：圖①圖②；（2）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：(用字母a、b表示)；【應(yīng)用】請應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：①已知2m﹣n=3，2m+n=4，則4m2﹣n2的值為；②計(jì)算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．【拓展】計(jì)算的結(jié)果為．【變式訓(xùn)練1】如圖，在邊長為的正方形中，剪去一個(gè)邊長為的小正方形（），將余下的部分拼成一個(gè)梯形，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分面積關(guān)系，解決下列問題：（1）如圖①所示，陰影部分的面積為（寫成平方差形式）．（2）如圖②所示，梯形的上底是，下底是，高是，根據(jù)梯形面積公式可以算出面積是（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）．（3）根據(jù)前面兩問，可以得到公式．（4）運(yùn)用你所得到的公式計(jì)算：．【變式訓(xùn)練2】從邊長為的正方形剪掉一個(gè)邊長為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是______（請選擇正確的一個(gè)）．A．B．C．（2）若，，求的值；（3）計(jì)算：．【變式訓(xùn)練3】工廠接到訂單，需要邊長為（a+3）和3的兩種正方形卡紙．（1）倉庫只有邊長為（a+3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為（a+3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)如圖丙所示長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的邊長多少？（用含a代數(shù)式來表示）；（2）若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2測得盒子底部長方形長比寬多3，則S2﹣S1的值為．【變式訓(xùn)練4】（1）如圖1所示，若大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，則陰影部分的面積是______；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2所示的一個(gè)長方形，則它的面積是_________；（2）由（1）可以得到一個(gè)乘法公式是________；（3）利用你得到的公式計(jì)算：．類型二、完全平方公式變形例1．已知，求與的值．例2已知，則________.【變式訓(xùn)練1】已知，求的值．【變式訓(xùn)練2】已知（x+2021）+（x+2022）=49，則（x+2021）（x+2022）的值為（）A．20 B．24 C． D．【變式訓(xùn)練3】已知：，，分別求和的值．【變式訓(xùn)練4】已知，求下列各式的值：【變式訓(xùn)練5】當(dāng)x=______時(shí)，代數(shù)式8x2-12x+5有最小值，最小值為______.類型三、完全平方公式字母的值例1．當(dāng)k取何值時(shí)，是一個(gè)完全平方式？【變式訓(xùn)練1】如果是一個(gè)完全平方公式，求k的值．【變式訓(xùn)練2】若把代數(shù)式化成的形式，其中，為常數(shù)，則______．【變式訓(xùn)練3】（1）設(shè)，則__________．A．

B．

C．

D．【變式訓(xùn)練4】若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式，則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)，完全平方數(shù)是非負(fù)數(shù)．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．（1）若28+210+2n是完全平方數(shù)，求n的值．（2）若一個(gè)正整數(shù)，它加上61是一個(gè)完全平方數(shù)，當(dāng)減去11是另一個(gè)完全平方數(shù)，寫所有符合的正整數(shù)．類型四、完全平方公式與幾何圖形例.乘法公式的探究及應(yīng)用：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)請用兩種不同的方法表示圖2大正方形的面積．方法1：________；方法2：________；(2)觀察圖2，請你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：，，之間的數(shù)量關(guān)系：_______；(3)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．【變式訓(xùn)練1】如圖1是一個(gè)長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）（1）觀察圖2請你寫出（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關(guān)系是；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y=5，xy=，則x-y=；（3）拓展應(yīng)用：若（2021-m）2+（m-2020）2=7，求（2021-m）（m-2020）的值【變式訓(xùn)練2】如圖1是一個(gè)長為4a、寬為b的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．(1)圖2中的陰影部分的面積為：____________（用a、b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關(guān)系是____________；(3)利用（2）中的結(jié)論，若，，求的值____________；(4)實(shí)際上通過計(jì)算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．如圖3，請你寫出這個(gè)等式____________．(5)如圖4，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG、BG、BE，當(dāng)時(shí)，的面積記為，當(dāng)時(shí)，的面積記為，…，以此類推，當(dāng)時(shí)，的面積記為，計(jì)算的值．【變式訓(xùn)練3】如圖，將邊長為的正方形剪出兩個(gè)邊長分別為，的正方形（陰影部分）．觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)題意，用兩種不同的方法表示陰影部分的面積，即用兩個(gè)不同的代數(shù)式表示陰影部分的面積．方法1：______，方法2：________；（2）從中你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？_________；（3）運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，解決下列問題：①已知，，求的值；②已知，求的值．【變式訓(xùn)練4】閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．（1）例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)學(xué)公式是__________．（2）如圖③，請寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關(guān)系是__________（3）利用（2）的結(jié)論，解決問題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根據(jù)圖④，寫出一個(gè)等式：__________．（5）小明同學(xué)用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個(gè)面積為（3a＋b）（a＋3b）長方形，請畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．類似地，利用立體圖形中體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．（6）根據(jù)圖⑥，寫出一個(gè)等式：___________．【變式訓(xùn)練5】用幾個(gè)小的長方形、正方形拼成一個(gè)大的正方形，然后利用兩種不同的方法計(jì)算這個(gè)大的正方形的面積，可以得到一個(gè)等式，利用這些等式也可以求一些不規(guī)則圖形的面積．（1）由圖1可得乘法公式________；（2）如圖2，由幾個(gè)面積不等的小正方形和幾個(gè)小長方形拼成一個(gè)邊長為的正方形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？該結(jié)論用等式表示為________；（3）利用（2）中的結(jié)論解決以下問題：已知，，求的值；（4）如圖3，由兩個(gè)邊長分別為，的正方形拼在一起，點(diǎn)，，在同一直線上，連接，，若，，求圖3中陰影部分的面積．

攻略07因式分解的六種方法大全題型一、提取公因式法與公式法綜合例．分解因式：＝______．【變式訓(xùn)練1】因式分解：=________________．【變式訓(xùn)練2】因式分解：_________．【變式訓(xùn)練3】分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．【變式訓(xùn)練4】小軍是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：，，，，，，分別對應(yīng)下列六個(gè)字：抗，勝，必，利，我，疫．現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．抗疫勝利 B．抗疫必勝 C．我必勝利 D．我必抗疫題型二、十字相乘法例．將多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練1】多項(xiàng)式可因式分解成，其中、、均為整數(shù)，求之值為何？（

）A． B． C．3 D．12【變式訓(xùn)練2】分解因式：____．【變式訓(xùn)練3】因?yàn)椋@說明多項(xiàng)式有一個(gè)因式為，我們把代入此多項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)能使多項(xiàng)式的值為0．利用上述閱讀材料求解：(1)若是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，求的值；(2)若和是多項(xiàng)式的兩個(gè)因式，試求，的值．(3)在（2）的條件下，把多項(xiàng)式因式分解．題型四、分組法例．分解因式：【變式訓(xùn)練1】已知，，則m與n的大小關(guān)系是（

）A． B．m>n C． D．m<n【變式訓(xùn)練2】分解因式：．【變式訓(xùn)練3】分解因式：__________．【變式訓(xùn)練4】閱讀理解：把多項(xiàng)式分解因式．解法：觀察上述因式分解的過程，回答下列問題：(1)分解因式：．(2)三邊、、滿足，判斷的形狀．題型四、添項(xiàng)、拆項(xiàng)法例．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8=_______．【變式訓(xùn)練1】把多項(xiàng)式分解因式：x3﹣2x2+1＝_________________．【變式訓(xùn)練2】因式分解：【變式訓(xùn)練3】添項(xiàng)、拆項(xiàng)是因式分解中常用的方法，比如分解多項(xiàng)式可以用如下方法分解因式：①；又比如多項(xiàng)式可以這樣分解：②；仿照以上方法，分解多項(xiàng)式的結(jié)果是______．題型五、換元法（整體思想）例．因式分解：【變式訓(xùn)練1】分解因式：【變式訓(xùn)練2】因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【變式訓(xùn)練3】因式分解：（1）

（2）題型六、主元法例．分解因式：.【變式訓(xùn)練1】因式分解：（1）（2）（3）【變式訓(xùn)練2】因式分解：（1）（2）【變式訓(xùn)練3】因式分解：

攻略08分式方程解的三種考法類型一、整數(shù)解的問題例．關(guān)于x的不等式組有解，且使關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解的所有m的值的和是（

）A．-1 B．2 C．-7 D．0【變式訓(xùn)練1】若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程的解是整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（

）A．4 B．2 C．0 D．【變式訓(xùn)練2】若關(guān)于x的不等式組有且只有兩個(gè)奇數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程有解，則所有滿足條件的整數(shù)m的和是（

）A．7 B．10 C．18 D．21【變式訓(xùn)練3】若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解．則符合條件的所有整數(shù)k的和為（

）A．3 B．1 C．0 D．6【變式訓(xùn)練4】已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，關(guān)于y的不等式組，恰好有三個(gè)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的和是（

）A．1 B．3 C．4 D．6類型二、增根問題例1.若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（

）A．1.5 B．-6 C．1或-2 D．1.5或-6【變式訓(xùn)練1】關(guān)于x的分式方程：．（1）當(dāng)m＝3時(shí)，求此時(shí)方程的根；（2）若這個(gè)關(guān)于x的分式方程會(huì)產(chǎn)生增根，試求m的值．【變式訓(xùn)練2】關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（

）A． B． C．1 D．6【變式訓(xùn)練3】若關(guān)于x的分式方程有增根，則增根是______．【變式訓(xùn)練4】若關(guān)于x的方程有增根，則的值為___________．類型三、無解問題例1．已知關(guān)于x的分式方程﹣1＝無解，則m的值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3【變式訓(xùn)練1】如果關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【變式訓(xùn)練2】若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值是（

）A．－1 B．1 C．0 D．0或1【變式訓(xùn)練3】已知關(guān)于的分式方程無解，則的值為（

）A． B．或 C． D．或或【變式訓(xùn)練4】若分式方程無解，則的值為（

）A．0 B．6 C．0或6 D．0或

攻略09分式方程實(shí)際應(yīng)用的三種考法類型一、銷售利潤問題例1．某公司推出一款桔子味飲料和一款荔枝味飲料，桔子味飲料每瓶售價(jià)是荔枝味飲料每瓶售價(jià)的倍．4月份桔子味飲料和荔枝味飲料總銷售60000瓶，桔子味飲科銷售額為250000元，荔枝味飲料銷售額為280000元．(1)求每瓶桔子味飲料和每瓶荔枝味飲料的售價(jià)？(2)五一期間，該公司提供這兩款飲料12000瓶促銷活動(dòng)，考慮荔枝味飲料比較受歡迎，因此要求荔枝味飲料的銷量不少于桔子味飲料銷量的；不多于枯子味飲料的2倍．桔子味飲料每瓶7折銷售，荔枝味飲料每瓶降價(jià)2元銷售，問：該公司銷售多少瓶荔枝味飲料使得總銷售額最大？最大銷售額是多少元？【變式訓(xùn)練1】某超市銷售A、B兩款保溫杯，已知B款保溫杯的銷售單價(jià)比A款保溫杯多10元，用600元購買B款保溫杯的數(shù)量與用480元購買A款保溫杯的數(shù)量相同．(1)A、B兩款保溫杯銷售單價(jià)各是多少元？(2)由于需求量大，A，B兩款保溫杯很快售完，該超市計(jì)劃再次購進(jìn)這兩款保溫杯共120個(gè)，且A款保溫杯的數(shù)量不少于B款保溫杯數(shù)量的一半，若兩款保溫杯的銷售單價(jià)均不變，進(jìn)價(jià)均為30元/個(gè)，應(yīng)如何進(jìn)貨才使這批保溫杯的銷售利潤最大，最大利潤是多少元？【變式訓(xùn)練2】國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟(jì)”政策后，低排量的汽車比較暢銷，某汽車經(jīng)銷商購進(jìn)A，B兩種型號的低排量汽車，其中A型汽車的進(jìn)貨單價(jià)比B型汽車的進(jìn)貨單價(jià)多2萬元；花50萬元購進(jìn)A型汽車的數(shù)量與花40萬元購進(jìn)B型汽車的數(shù)量相同．(1)求A，B兩種型號汽車的進(jìn)貨單價(jià)；(2)銷售過程中發(fā)現(xiàn)：A型汽車的每周銷售量yA（臺(tái)）與售價(jià)xA（萬元臺(tái)）滿足函數(shù)關(guān)系yA＝﹣xA+18；B型汽車的每周銷售量yB（臺(tái)）與售價(jià)xB（萬元/臺(tái)）滿足函數(shù)關(guān)系yB＝﹣xB+14．若A型汽車的售價(jià)比B型汽車的售價(jià)高1萬元/臺(tái)，設(shè)每周銷售這兩種車的總利潤為w萬元．①當(dāng)A型汽車的利潤不低于B型汽車的利潤，求B型汽車的最低售價(jià)？②求當(dāng)B型號的汽車售價(jià)為多少時(shí)，每周銷售這兩種汽車的總利潤最大？最大利潤是多少萬元？【變式訓(xùn)練3】某家電銷售商城電冰箱的銷售價(jià)為每臺(tái)元，空調(diào)的銷售價(jià)為每臺(tái)元，每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)比每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)多元，商場用元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用元購進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等．（1）求每臺(tái)電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價(jià)分別是多少？（2）現(xiàn)在商場準(zhǔn)備一次購進(jìn)這兩種家電共臺(tái)，設(shè)購進(jìn)電冰箱臺(tái)，這臺(tái)家電的銷售總利潤元，要求購進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的倍，且購進(jìn)電冰箱不多于臺(tái)，請確定獲利最大的方案以及最大利潤．（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對電冰箱出廠價(jià)下調(diào)元，若商店保持這兩種家電的售價(jià)不變，請你根據(jù)以上信息及（2）中條件，設(shè)計(jì)出使這臺(tái)家電銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案．【變式訓(xùn)練4】為迎接“五一”小長假購物高潮，某品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種襯衫，其中甲、乙兩種襯衫的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：襯衫價(jià)格甲乙進(jìn)價(jià)（元件）售價(jià)（元件）260180若用3000元購進(jìn)甲種襯衫的數(shù)量與用2700元購進(jìn)乙種襯衫的數(shù)量相同．（1）求甲、乙兩種襯衫每件的進(jìn)價(jià)；（2）要使購進(jìn)的甲、乙兩種襯衫共300件的總利潤不少于34000元，且不超過34700元，問該專賣店有幾種進(jìn)貨方案；（3）在（2）的條件下，專賣店準(zhǔn)備對甲種襯衫進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，決定對甲種襯衫每件優(yōu)惠元出售，乙種襯衫售價(jià)不變，那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？類型二、方案問題例．某商店決定購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品．已知每件A種紀(jì)念品的價(jià)格比每件B種紀(jì)念品的價(jià)格多5元，用800元購進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量與用400元購進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量相同．（1）求購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元？（2）若該商店決定購進(jìn)這兩種紀(jì)念品共100件，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100件紀(jì)念品的資金不少于800元，且不超過850元，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？（3）已知商家出售一件A種紀(jì)念品可獲利m元，出售一件B種紀(jì)念品可獲利（6﹣m）元，試問在（2）的條件下，商家采用哪種方案可獲利最多？（商家出售的紀(jì)念品均不低于成本價(jià)）【變式訓(xùn)練1】為切實(shí)做好疫情防控工作，開學(xué)前夕，我縣某校準(zhǔn)備在民聯(lián)藥店購買口罩和水銀體溫計(jì)發(fā)放給每個(gè)學(xué)生．已知每盒口罩有100只，每盒水銀體溫計(jì)有10支，每盒口罩價(jià)格比每盒水銀體溫計(jì)價(jià)格多150元．用1200元購買口罩盒數(shù)與用300元購買水銀體溫計(jì)所得盒數(shù)相同．（1）求每盒口罩和每盒水銀體溫計(jì)的價(jià)格各是多少元？（2）如果給每位學(xué)生發(fā)放2只口罩和1支水銀體溫計(jì)，且口罩和水銀體溫計(jì)均整盒購買．設(shè)購買口罩m盒（m為正整數(shù)），則購買水銀體溫計(jì)多少盒能和口罩剛好配套？請用含m的代數(shù)式表示．（3）在民聯(lián)藥店累計(jì)購醫(yī)用品超過1800元后，超出1800元的部分可享受8折優(yōu)惠．該校按（2）中的配套方案購買，共支付總費(fèi)用w元；①當(dāng)總費(fèi)用不超過1800元時(shí)，求m的取值范圍；并求w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．②若該校有900名學(xué)生，按（2）中的配套方案購買，求所需總費(fèi)用為多少元？【變式訓(xùn)練2】某超市準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種牛奶進(jìn)行銷售，若甲種牛奶的進(jìn)價(jià)比乙種牛奶的進(jìn)價(jià)每件少5元，其用90元購進(jìn)甲種牛奶的數(shù)量與用100元購進(jìn)乙種牛奶的數(shù)量相同．（1）求甲種牛奶、乙種牛奶的進(jìn)價(jià)分別是每件多少元？（2）若該商場購進(jìn)甲種牛奶的數(shù)量是乙種牛奶的3倍少5件，兩種牛奶的總數(shù)不超過95件，該商場甲種牛奶的銷售價(jià)格為49元，乙種牛奶的銷售價(jià)格為每件55元，則購進(jìn)的甲、乙兩種牛奶全部售出后，可使銷售的總利潤（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）超過371元，請通過計(jì)算求出該商場購進(jìn)甲、乙兩種牛奶有哪幾種方案？【變式訓(xùn)練3】某公司經(jīng)銷甲種產(chǎn)品，受國際經(jīng)濟(jì)形勢的影響，價(jià)格不斷下降．預(yù)計(jì)今年的售價(jià)比去年同期每件降價(jià)元，如果售出相同數(shù)量的產(chǎn)品，去年銷售額為萬元，今年銷售額只有萬元．（1）今年這種產(chǎn)品每件售價(jià)多少元？（2）為了增加收入，公司決定再經(jīng)銷另一種類似產(chǎn)品乙，已知產(chǎn)品甲每件進(jìn)價(jià)為元；產(chǎn)品乙每件進(jìn)價(jià)為元，售價(jià)元，公司預(yù)計(jì)用不多于萬元且不少于萬元的資金購進(jìn)這兩種產(chǎn)品共件，分別列出具體方案，并說明哪種方案獲利更高．類型三、工程問題例．為穩(wěn)步推進(jìn)網(wǎng)絡(luò)建設(shè)，深化共建共享，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與基站建設(shè)工程．（1）已知乙隊(duì)的工作效率是甲隊(duì)的倍，如果兩隊(duì)單獨(dú)施工完成該項(xiàng)工程，甲隊(duì)比乙隊(duì)多用天，求乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要多少天才能完成該項(xiàng)工程？（2）當(dāng)甲隊(duì)施工天完成基站建設(shè)工程的時(shí)，乙隊(duì)加入該工程，結(jié)果比甲隊(duì)單獨(dú)施工提前天完成了剩余的工程．①求乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要多少天才能完成該項(xiàng)工程？②若乙隊(duì)參與該項(xiàng)工程施工的時(shí)間不超過天，求甲隊(duì)從開始施工到完成該工程至少需要多少天？【變式訓(xùn)練1】某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六兩個(gè)施工隊(duì)前去修筑，要求在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成．（1）已知第五施工隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多32天，第六施工隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多12天，如果第五、六施工隊(duì)先合作20天，剩下的由第五施工隊(duì)單獨(dú)施工，則要誤期2天完成那么規(guī)定時(shí)間是多少天？（2）實(shí)際上，在第五、六施工隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程的時(shí)，公司又承包了更大的工程，需要調(diào)走一個(gè)施工隊(duì)．你認(rèn)為留下哪個(gè)施工隊(duì)繼續(xù)施工能按時(shí)完成剩下的工程？【變式訓(xùn)練1】某校利用暑假進(jìn)行田徑場的改造維修，項(xiàng)目承包單位派遣一號施工隊(duì)進(jìn)場施工，計(jì)劃用天時(shí)間完成整個(gè)工程．當(dāng)一號施工隊(duì)工作天后，承包單位接到通知，有一大型活動(dòng)要在該田徑場舉行，要求比原計(jì)劃提前天完成整個(gè)工程，于是承包單位派遣二號與一號施工隊(duì)共同完成剩余工程，結(jié)果按通知要求如期完成整個(gè)工程．（1）若二號施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工程需要多少天？（2）若此項(xiàng)工程一號、二號施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場施工，完成整個(gè)工程需要多少天？【變式訓(xùn)練2】2019年，在新泰市美麗鄉(xiāng)村建設(shè)中，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別承擔(dān)某處村級道路硬化和道路拓寬改造工程．已知道路硬化和道路拓寬改造工程的總里程數(shù)是8．6千米，其中道路硬化的里程數(shù)是道路拓寬里程數(shù)的2倍少1千米．（1）求道路硬化和道路拓寬里程數(shù)分別是多少千米；（2）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)開始施工，甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程隊(duì)在完成所承擔(dān)的施工任務(wù)后，通過技術(shù)改進(jìn)使工作效率比原來提高了．設(shè)乙工程隊(duì)平均每天施工米，若甲、乙兩隊(duì)同時(shí)完成施工任務(wù)，求乙工程隊(duì)平均每天施工的米數(shù)和施工的天數(shù)．【變式訓(xùn)練3】某市為了做好“全國文明城市”驗(yàn)收工作，計(jì)劃對市區(qū)米長的道路進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)進(jìn)行施工．（1）已知甲工程隊(duì)改造360米的道路與乙工程隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同．若甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多改造30米，求甲、乙兩工程隊(duì)每天改造道路的長度各是多少米．（2）若甲工程隊(duì)每天可以改造米道路，乙工程隊(duì)每天可以改造米道路，（其中）．現(xiàn)在有兩種施工改造方案：方案一：前米的道路由甲工程隊(duì)改造，后米的道路由乙工程隊(duì)改造；方案二：完成整個(gè)道路改造前一半時(shí)間由甲工程隊(duì)改造，后一半時(shí)間由乙工程隊(duì)改造．根據(jù)上述描述，請你判斷哪種改造方案所用時(shí)間少？并說明理由．【變式訓(xùn)練4】2008年5月12日，四川省發(fā)生8.0級地震，某市派出兩個(gè)搶險(xiǎn)救災(zāi)工程隊(duì)趕到汶川支援，甲工程隊(duì)承擔(dān)了2400米道路搶修任務(wù)，乙工程隊(duì)比甲工程隊(duì)多承擔(dān)了600米的道路搶修任務(wù)，甲工程隊(duì)施工速度比乙工程隊(duì)每小時(shí)少修40米，結(jié)果兩工程隊(duì)同時(shí)完成任務(wù)．問甲、乙兩工程隊(duì)每小時(shí)各搶修道路多少米．（1）設(shè)乙工程隊(duì)每小時(shí)搶修道路x米，則用含x的式子表示：甲工程隊(duì)每小時(shí)搶修道路米，甲工程隊(duì)完成承擔(dān)的搶修任務(wù)所需時(shí)間為小時(shí)，乙工程隊(duì)完成承擔(dān)的搶修任務(wù)所需時(shí)間為小時(shí)．（2）列出方程，完成本題解答．

【答案版】專題01三角形邊或角關(guān)系的三種模型類型一、燕尾角模型例1．在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：A．【變式訓(xùn)練1】如圖，若，則____________．【答案】230°【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【變式訓(xùn)練2】如右圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．【答案】360°【詳解】解：由圖形可知：∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，∵∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°．故答案為：360°．【變式訓(xùn)練3】如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．【答案】900°【詳解】解：連EF，GI，如圖，∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案為：900°．【變式訓(xùn)練4】模型規(guī)律：如圖1，延長交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，，則__________；②如圖3，__________；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點(diǎn)，已知，，則__________；②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；③如圖6，、的角平分線、交于點(diǎn)D，已知，則__________；④如圖7，、的角平分線、交于點(diǎn)D，則、、之同的數(shù)量關(guān)系為__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【詳解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）=∠BOC-（∠BOC-∠A）=∠BOC-（120°-50°）=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）=120°-（120°-50°）=120°-10°=110°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）=180°-（120°-44°）=142°；④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．類型二、折疊模型例1.如圖，在中，，將沿直線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．無法確定【答案】B【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：，根據(jù)外角性質(zhì)得：，，則，則．故選：B．【變式訓(xùn)練1】如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【詳解】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故選：D．【變式訓(xùn)練2】如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵∠A＝55°，∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折疊可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，∵∠1＝95°，∴∠2＝110°－95°＝15°，故選：B．【變式訓(xùn)練3】如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【詳解】由折疊的性質(zhì)可知∵∴∴故選C【變式訓(xùn)練4】如圖，將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為（

）．A．42° B．69° C．44° D．32°【答案】A【詳解】由圖形翻折的性質(zhì)可知，，，，，利用“8”字模型，，故選：A．類型三、“8”字模型例1.如圖，平分，交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)G，．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=，∵，∴，∴；（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=（38°+42°）=40°．【變式訓(xùn)練1】如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．【答案】540°【詳解】解：如圖所示：由三角形的外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【變式訓(xùn)練2】（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“字形”，試說明：．（2）如圖②，，分別平分，，若，，求的度數(shù)．（3）如圖（3），直線平分，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是__；（4）如圖（4），直線平分的外角，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________．【答案】（1）見解析；（2）26°；（3）；（4）【詳解】解：（1）180°，180°，．，；（2），分別平分，，設(shè)，，則有，，（36°+16°）=26°（3）直線平分，平分的外角，，，∴180°-，∴180°∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∴∴∴180°，即90°．（4）連接PB，PD直線平分的外角，平分的外角，，，∵180°，180°∴360°同理得到：360°∴720°∴720°∵180°，180°∴360°，180°-

專題02全等三角形中的六種模型梳理類型一、倍長中線模型中線倍長法：將中點(diǎn)處的線段延長一倍。目的：=1\*GB3①構(gòu)造出一組全等三角形；=2\*GB3②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個(gè)三角形中去。例1．某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】如圖1，延長△ABC的邊BC到D，使DC＝BC，過D作DE∥AB交AC延長線于點(diǎn)E，求證：△ABC≌△EDC．【理解與應(yīng)用】如圖2，已知在△ABC中，點(diǎn)E在邊BC上且∠CAE＝∠B，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若AD平分∠BAE．（1）求證：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范圍．【答案】[探究與發(fā)現(xiàn)]見解析；[理解與應(yīng)用]（1）見解析；（2）1＜x＜4【詳解】解：[探究與發(fā)現(xiàn)]證明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；[理解與應(yīng)用]（1）證明：如圖2中，延長AE到F，使EF=EA，連接DF，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴ED=EC，在△DEF與△CEA中，，∴△DEF≌△CEA（SAS），∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，在△ABD與△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（AAS），∴BD=FD，∴AC=BD；（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，∴AB=AF=2x，∵BD=3，AD=5，在△ABD中，由三角形的三邊關(guān)系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜4，即x的取值范圍是1＜x＜4．【變式訓(xùn)練1】如圖1，在中，是邊的中線，交延長線于點(diǎn)，．（1）求證；（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）如圖1所示，延長至點(diǎn)，使，在與中，，，，，，在與中，,，，；（2）如圖所示，，，平分，，，，，，作，在與中，，，，，在與中，，，，，，設(shè)，，，．【變式訓(xùn)練2】（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【詳解】證：（1）如圖所示，延長AD至P點(diǎn)，使得AD=PD，連接CP，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC的中點(diǎn)，BD=CD，在△ABD與△PCD中，，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三邊關(guān)系可得AC+PC＞AP，∴；（2）如圖所示，取DE中點(diǎn)H，連接AH并延長至Q點(diǎn)，使得AH=QH，連接QE和QC，∵H為DE中點(diǎn)，D、E為BC三等分點(diǎn)，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此時(shí)，延長AE，交CQ于K點(diǎn)，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴；（3）如圖所示，取DE中點(diǎn)M，連接AM并延長至N點(diǎn)，使得AM=NM，連接NE，CE，∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可證△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此時(shí)，延長AE，交CN于T點(diǎn)，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【變式訓(xùn)練3】在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長交于點(diǎn)．求證：．（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長度．（3）若過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）；（3）線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或【詳解】（1）證明：如圖1，直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，又為邊中點(diǎn)，，在和中，，，．（2）解：如圖2，延長與的延長線相交于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，，又為中點(diǎn)，，又，∴在和中，，，，，，∵，，，，，，，．（3）位置關(guān)系：，數(shù)量關(guān)系：分四種情況討論∵直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，∴，①如圖3，當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，由（1）可知，，即，，，，∵，．②當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，如圖，延長交的延長線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，又為邊中點(diǎn)，，在和中，，，．，即，，，，∵，．③如圖4，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)．由（2）得：，，，∴，即，．④當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)，如圖，延長交的延長線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，，又為中點(diǎn)，，又，∴在和中，，，，，∴，即，．綜上所述，線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或．類型二、截長補(bǔ)短模型截長補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明（往往需證2次全等）例．在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，P為△ABC外一點(diǎn)，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時(shí)，試說明MN＝BM+CN．(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時(shí)，MN＝BM+CN還成立嗎？答：．（請?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，請直接寫出BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】(1)見解析；(2)一定成立；(3)MN＝NC﹣BM【解析】(1)證