黑龍江省牡丹江市高中名校2025屆高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析

黑龍江省牡丹江市高中名校2025屆高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（）A． B． C． D．2．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實數(shù)λ的最大值為（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為（）A． B． C． D．4．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28，進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個“完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28恰好在同一組的概率為A． B． C． D．6．我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比，第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺間高度差為100米，則下列選項中與該塔的實際高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米7．若x，y滿足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．8．單位正方體ABCD-，黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”．白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（iN*）.設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白兩螞蟻的距離是（）A．1 B． C． D．09．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．10．如圖，在正方體中，已知、、分別是線段上的點，且.則下列直線與平面平行的是（）A． B． C． D．11．函數(shù)的定義域為，集合，則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，且)，則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知滿足且目標函數(shù)的最大值為7，最小值為1，則___________．14．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則的取值范圍為_____．15．在一次醫(yī)療救助活動中，需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加，則不同的選派案共有________種.(用數(shù)字作答)16．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，底面是菱形，對角線交于點為棱的中點，．求證：（1）平面；（2）平面平面．18．（12分）如圖，內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，平面ABC，，．（1）求證：平面ACD；（2）設(shè)，表示三棱錐B-ACE的體積，求函數(shù)的解析式及最大值．19．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）在曲線上取一點，直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，交曲線于點，求的最大值.20．（12分）為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對行人闖紅燈進行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中隨機選取了200人進行調(diào)查，當(dāng)不處罰時，有80人會闖紅燈，處罰時，得到如表數(shù)據(jù)：處罰金額（單位：元）5101520會闖紅燈的人數(shù)50402010若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.（1）當(dāng)罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少？（2）將選取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類：類市民在罰金不超過10元時就會改正行為；類是其他市民.現(xiàn)對類與類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷，則前兩位均為類市民的概率是多少？21．（12分）設(shè)直線與拋物線交于兩點，與橢圓交于兩點，設(shè)直線（為坐標原點）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過定點，并求出該定點的坐標；（2）是否存在常數(shù)，滿足？并說明理由.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個實數(shù)解、、（），求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．【詳解】解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P?ABC，正方體的棱長為2，

該幾何體的表面積：．故選C．【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．2、D【解析】

利用等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)出λ，由d∈[1，2]，能求出實數(shù)λ取最大值．【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數(shù)，∴d＝1時，實數(shù)λ取最大值為λ．故選D．【點睛】本題考查實數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡z,復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為故選：B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算，模長公式和幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

或，從而明確充分性與必要性.【詳解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點睛】本題考查充分性與必要性，簡單三角方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

推導(dǎo)出基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，由此能求出6和28恰好在同一組的概率．【詳解】解：將五個“完全數(shù)”6，28，496，8128，33550336，隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，∴6和28恰好在同一組的概率．故選：B．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．6、B【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離，進而由比例即可求得該塔的實際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺到塔底的高度為米，塔的實際高度為米，幾何關(guān)系如下圖所示：由題意可得，解得；且滿足，故解得塔高米，即塔高約為480米.故選：B【點睛】本題考查了對中國文化的理解與簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最值，判斷a的范圍即可．【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因為的最大值為，所以在點處取得最大值，則，即.故選：A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．8、B【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點，得到每爬1步回到起點，周期為1．計算黑螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點，即可計算出它們的距離．【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即過1段后又回到起點，可以看作以1為周期，由，白螞蟻爬完2020段后到回到C點；同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑螞蟻爬完2020段后回到D1點，所以它們此時的距離為.故選B.【點睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.9、D【解析】

由已知等式求出z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復(fù)數(shù)=-1+，虛部為1故選D．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

連接，使交于點，連接、，可證四邊形為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理即可得解．【詳解】如圖，連接，使交于點，連接、，則為的中點，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面.故選：B.【點睛】本題主要考查了線面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題．11、A【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【詳解】解：由函數(shù)得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【點睛】本題考查了交集及其運算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.12、C【解析】

先求出復(fù)合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和的包含關(guān)系，利用集合間包含關(guān)系與充要條件之間的關(guān)系，判斷正確答案.【詳解】，且)，由得或，即的定義域為或，（且）令，其在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為即.故選：C.【點睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-2【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大最小值時所在的頂點即可．【詳解】由題意得：目標函數(shù)在點B取得最大值為7，在點A處取得最小值為1，∴，，∴直線AB的方程是：，∴則，故答案為.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值的方法，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于軸對稱的點的等價命題是方程在區(qū)間上有解，化簡方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】解：根據(jù)題意，若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則方程在區(qū)間上有解，即方程在區(qū)間上有解，設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，又由，可得：當(dāng)時，為減函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，故函數(shù)有最小值，又由；比較可得：，故函數(shù)有最大值，故函數(shù)在區(qū)間上的值域為；若方程在區(qū)間上有解，必有，則有，即的取值范圍是；故答案為：；【點睛】本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題,函數(shù)零點問題的拓展.由于函數(shù)的零點就是方程的根，在研究方程的有關(guān)問題時，可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點是借助函數(shù)的零點，結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.15、【解析】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數(shù).【詳解】首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，然后從名男醫(yī)生、名女醫(yī)生中分別抽調(diào)2名男醫(yī)生、名女醫(yī)生，故選派的方法為：.故答案為．【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．16、【解析】

由圖可得的周期、振幅，即可得，再將代入可解得，進一步求得解析式及.【詳解】由圖可得，，所以，即，又，即，，又，故，所以，.故答案為：【點睛】本題考查由圖象求解析式及函數(shù)值，考查學(xué)生識圖、計算等能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

(1)連結(jié)根據(jù)中位線的性質(zhì)證明即可.(2)證明,再證明平面即可.【詳解】解：證明：連結(jié)是菱形對角線的交點,為的中點,是棱的中點,平面平面平面解：在菱形中,且為的中點,,,平面平面,平面平面．【點睛】本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎(chǔ)題.18、（1）見解析（2），最大值．【解析】

（1）先證明，，故平面ADC．由，即得證；（2）可證明平面ABC，結(jié)合條件表示出，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形，∴，．∵平面ABC，平面ABC，∴．∵AB是圓O的直徑，∴，且，平面ADC，∴平面ADC．∵，∴平面ADC．（2）解∵平面ABC，，∴平面ABC．在中，，．在中，∵，∴，∴，∴．∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，∴當(dāng)時，體積有最大值．【點睛】本題考查了線面垂直的證明和三棱錐的體積，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.19、（1）（2）最大值為【解析】

（1）利用消去參數(shù)，求得曲線的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程.（2）設(shè)出兩點的坐標，求得的表達式，并利用三角恒等變換進行化簡，再結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）由消去得曲線的普通方程為.所以的極坐標方程為，即.（2）不妨設(shè)，，，，，則當(dāng)時，取得最大值，最大值為.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為極坐標方程，考查極坐標系下線段長度的乘積的最值的求法，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.20、（1）降低（2）【解析】

（1）計算出罰金定為10元時行人闖紅燈的概率，和不進行處罰時行人闖紅燈的概率，求解即可；（2）闖紅燈的市民有80人，其中類市民和類市民各有40人，根據(jù)分層抽樣法抽出4人依次排序，計算所求的概率值.【詳解】解：（1）當(dāng)罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率為；不進行處罰，行人闖紅燈的概率為；所以當(dāng)罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低；（2）由題可知，闖紅燈的市民有80人，類市民和類市民各有40人故分別從類市民和類市民各抽出兩人，4人依次排序記類市民中抽取的兩人對應(yīng)的編號為，類市民中抽取的兩人編號為則4人依次排序分別為，，，，，，，，，，，，共有種前兩位均為類市民排序為，，有種，所以前兩位均為類市民的概率是.【點睛】本題主要考查了計算古典概型的概率，屬于中檔題.21、（1）證明見解析（0，2）；（2）存在，理由見解析【解析】

（1）設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OA⊥OB，求出b，即可知直線過定點（2）由斜率公式分別求出，，聯(lián)立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數(shù)的關(guān)系得