等數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)

力學(xué)高等數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)11/22一、微積分基礎(chǔ)知識(shí)1.函數(shù)，導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)：自變量，因變量，定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域等；函數(shù)一些基本性質(zhì)（如連續(xù)性，對(duì)稱(chēng)性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函數(shù)等。導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)當(dāng)自變量在點(diǎn)x處有一增量△x時(shí)，函數(shù)y對(duì)應(yīng)有一改變量△y=f(x+△x)-f(x)，則當(dāng)△x趨于零時(shí)，若比值△y/△x極限存在（為一確定有限值），則這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處導(dǎo)數(shù)，記作：這時(shí)稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處是可導(dǎo)。22/22函數(shù)y=f(x)在x處導(dǎo)數(shù)f’(x)等于曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)x處切線(xiàn)斜率，即：

導(dǎo)數(shù)幾何意義：在物理上，動(dòng)點(diǎn)位置矢量對(duì)時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)就是該動(dòng)點(diǎn)速度矢量；位置矢量對(duì)時(shí)間二階導(dǎo)數(shù)（也是：速度矢量對(duì)時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)）是動(dòng)點(diǎn)加速度矢量，詳見(jiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)部分——速度矢量與加速度矢量。33/22注意：以下是易混同兩個(gè)表示：和前者：只要是在上面加一點(diǎn)，都是對(duì)時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)，即：，當(dāng)然加兩點(diǎn)，則是對(duì)時(shí)間二階導(dǎo)數(shù)，即：后者：永遠(yuǎn)是函數(shù)對(duì)自變量導(dǎo)數(shù)。如對(duì)于函數(shù)y=y(x)，則44/22若自變量有多個(gè)，則應(yīng)該用偏導(dǎo)，是函數(shù)y=y(x,t)(同時(shí)又有x=x(t))對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)。（注意：，對(duì)于多元函數(shù)，普通）。55/22基本求導(dǎo)公式：(1)(C)

=0，(2)(xm)

=m

xm-1，(3)(sinx)

=cosx，(4)(cosx)

=-sinx，(5)(tanx)

=sec2x，(6)(cotx)

=-csc2x，(7)(secx)

=secxtanx，(8)(cscx)

=-cscxcotx，(9)(ax)

=ax

lna，(10)(ex)

=ex，，66/22函數(shù)和、差、積、商求導(dǎo)法則：(1)(u

v)

=u

v

，(2)(Cu)

=Cu

(C是常數(shù))，(3)(uv)

=u

v+u

v

，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：

反函數(shù)求導(dǎo)法：求導(dǎo)法則77/22復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：

解：函數(shù)y=lntanx是由y=lnu，u=tanx復(fù)合而成，

例1y=lntanx

，求dxdy。

88/22

例2y=3xe，求dxdy。

99/22

例3212sinxxy+=，求dxdy。

1010/22函數(shù)y=y(x)微分存在充分必要條件是：函數(shù)存在有限導(dǎo)數(shù)y’=f’(x)，這時(shí)函數(shù)微分是：微分：若函數(shù)y=y(x)改變量可表示為：式中dx=△x，則此改變量線(xiàn)性主部A(x)dx稱(chēng)為函數(shù)y微分，記作：1111/222.不定積分不定積分：對(duì)函數(shù)y=y(x)，假如在給定區(qū)間[a,b]上有則其逆運(yùn)算就是求G(x)不定積分（即：求G(x)原函數(shù)）：上式中能夠看出：G(x)（被積函數(shù)）原函數(shù)為y(x)+C，不止一個(gè)。其中，C為積分常數(shù)。1212/223.定積分由上面不定積分,再加上一定初始條件，被積函數(shù)原函數(shù)就是唯一確定。幾何意義：由y=f(x)函數(shù)曲線(xiàn)，初始條件表示直線(xiàn)，x軸所圍成曲邊梯形面積。牛頓——萊布尼茲公式（Newton-Leibnizformula）：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，或分段連續(xù)，則y=f(x)在[a,b]上有原函數(shù)，設(shè)F(x)是f(x)在[a,b]上一個(gè)原函數(shù)，則(定積分與不定積分內(nèi)在聯(lián)絡(luò))1313/22基本積分表

k

x

C(k是常數(shù))，

arctanx

C，

arcsinx

C，

ln|x|

C，

sinx

C，

cosx

C，1414/22基本積分表1515/22不定積分性質(zhì)

性質(zhì)1函數(shù)和不定積分等各個(gè)函數(shù)不定積分和，即

性質(zhì)2求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零常數(shù)因子能夠提到積分號(hào)外面來(lái)，即1616/22例4例51717/22

arctanx

ln|x|

C．例6例7例8定積分1818/22三、矢量分析基礎(chǔ)(因?yàn)槲锢韺W(xué)研究需要而產(chǎn)生了矢量)1.矢量定義：含有一定大小和方向，且加法遵從平行四邊形法則量。矢量表示：2.矢量加法、減法：矢量加法應(yīng)滿(mǎn)足平行四邊形法則，而減法是加法逆運(yùn)算，可用三角形法則；如圖所表示。普通計(jì)算矢量加法、減法時(shí)，對(duì)各分量分別相加減：1919/223.矢量數(shù)乘

以實(shí)數(shù)

乘以矢量稱(chēng)為矢量數(shù)乘，記作，顯然有：實(shí)數(shù)只是一個(gè)系數(shù)，矢量數(shù)乘能夠看作是把原矢量模伸縮為原來(lái)倍。方向?yàn)椋簳r(shí)，與方向不變；時(shí)，與方向相反。4.矢量正交分解

把矢量分解成沿著幾個(gè)正交單位矢量方向上分矢量，各分矢量按照平行四邊形法則，又可合成原矢量。2020/225.矢量標(biāo)積和矢積

已知兩矢量和，夾角記作：，則：（1）矢量標(biāo)積（又稱(chēng)：數(shù)量積、點(diǎn)乘、點(diǎn)積、內(nèi)積）：（結(jié)果為標(biāo)量）（2）矢量矢積（又稱(chēng)：叉乘、叉積、外積）：∴矢積結(jié)果為矢量；大小為以A、B為邊平行四邊形面積：2121/226.矢量對(duì)t導(dǎo)數(shù)對(duì)矢量函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)矢函數(shù)），假如極限：存在，就稱(chēng)它為矢函數(shù)導(dǎo)數(shù)，