專題17.5 期末滿分計(jì)劃之解答壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）（學(xué)生版）2022年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（人教版）

專題17.5期末滿分計(jì)劃之解答壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）【人教版】1．（2021秋?西青區(qū)期末）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個(gè)不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個(gè)不同的三角形…（1）完成下表：連接個(gè)數(shù)出現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)（2）若出現(xiàn)了45個(gè)三角形，則共連接了多少個(gè)點(diǎn)？（3）若一直連接到An，則圖中共有個(gè)三角形．2．（2021春?太倉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC＝x°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數(shù)是；②當(dāng)∠BAD＝∠ABD時(shí)，x＝；當(dāng)∠BAD＝∠BDA時(shí)，x＝．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．1．（2021秋?西青區(qū)期末）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個(gè)不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個(gè)不同的三角形…（1）完成下表：連接個(gè)數(shù)出現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)（2）若出現(xiàn)了45個(gè)三角形，則共連接了多少個(gè)點(diǎn)？（3）若一直連接到An，則圖中共有個(gè)三角形．2．（2021春?太倉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC＝x°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數(shù)是；②當(dāng)∠BAD＝∠ABD時(shí)，x＝；當(dāng)∠BAD＝∠BDA時(shí)，x＝．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．3．（2021春?鎮(zhèn)平縣期末）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a＝4，b＝6，設(shè)三角形的周長是x．（1）直接寫出c及x的取值范圍；（2）若x是小于18的偶數(shù)①求c的長；②判斷△ABC的形狀．4．（2021春?鎮(zhèn)江期末）直線AB、CD為平面內(nèi)兩條直線，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在直線AB、CD上，點(diǎn)P（P不在直線AB、CD上）為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，若AB、CD相交于點(diǎn)O，∠MON＝40°；①當(dāng)點(diǎn)P在△OMN內(nèi)部時(shí)，求證：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；②小芳發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP還存在其它數(shù)量關(guān)系，這種數(shù)量關(guān)系是；③探究，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON外部時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP之間的數(shù)量關(guān)系共有種；（2）如圖2，若AB∥CD，請(qǐng)直接寫出∠MPN與∠AMP、∠CNP之間存在的所有數(shù)量關(guān)系是．5．（2021春?高明區(qū)校級(jí)期末）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．6．（2021秋?甘井子區(qū)期末）如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分別為AB、BD中點(diǎn)．（1）探索CM與EM′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）如圖2，連接MM′并延長交CE于點(diǎn)K，試判斷CK與EK之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．（2021春?泰州期末）已知在四邊形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y(tǒng)，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代數(shù)式直接填空）；（2）如圖1，若x＝y(tǒng)＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角．①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，試求x、y．②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請(qǐng)直接指出x、y滿足什么條件時(shí)，∠DFB不存在．8．（2021秋?婁底期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？9．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．10．（2021秋?婺城區(qū)校級(jí)期末）如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP．（1）示例：在圖1中，通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．答：AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是、．（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．請(qǐng)你觀察、測量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．答：BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是、．（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP、BQ．你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．11．（2021春?香坊區(qū)期末）已知：點(diǎn)P為∠EAF平分線上一點(diǎn)，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，點(diǎn)M、N分別是射線AE、AF上的點(diǎn)，且PM＝PN．（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC的延長線上時(shí)（如圖1），求證：BM＝CN；（2）在（1）的條件下，AM+AN＝AC；（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長線上時(shí)（如圖2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四邊形ANPM的面積．12．（2021春?常熟市期末）如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，（1）在圖1中，分別畫出點(diǎn)P到邊AC、BC、BA的垂線段PF、PG、PH，這3條線段相等嗎？為什么？（2）在圖2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余條件都不變，請(qǐng)你判斷并寫出PE與PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．（2021?羅湖區(qū)校級(jí)期末）用三角板和直尺作圖．（不寫作法，保留痕跡）如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)．（1）試在直線l上取一點(diǎn)M，使MA+MB的值最?。?）試在直線l上取一點(diǎn)N，使NB﹣NA最大．14．（2021?香洲區(qū)校級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．15．（2021秋?臨沂期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向左平移3個(gè)單位長度后得到的△A2B2C2；（3）如果AC上有一點(diǎn)P（a，b）經(jīng)過上述兩次變換，那么對(duì)應(yīng)A2C2上的點(diǎn)P2的坐標(biāo)是．16．（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期末）如圖（1），方格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)．（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的△A1B1C1；（2）寫出AA1的長度；（3）如圖（2），A、C是直線MN同側(cè)固定的點(diǎn)，B是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線MN上畫出點(diǎn)B，使AB+BC最?。?7．（2021?太原期末）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點(diǎn)的一條直線可把它分成兩個(gè)小等腰三角形．為此，請(qǐng)你解答問題（1）．（1）已知：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：下面兩個(gè)等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請(qǐng)你在圖②、圖③中分別畫出一條直線，把它們分成兩個(gè)小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所有等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)；（3）接著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個(gè)頂點(diǎn)畫一條直線可以將原三角形分成兩個(gè)小等腰三角形．請(qǐng)你畫出兩個(gè)不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標(biāo)出可能的各內(nèi)角的度數(shù)．（說明：要求畫出的兩個(gè)三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）請(qǐng)你寫出兩個(gè)符合（3）中一般規(guī)律的非等腰三角形的特征．18．（2021?東營期末）根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個(gè)“□2﹣?2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個(gè)的思考過程；（2）將以上10個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n個(gè)乘積，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn為正數(shù)，a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＞b2＞b3＞…＞bn，且a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝an+bn，試由（1）、（2）猜測一個(gè)一般性的結(jié)論．（不要求證明）19．（2021?浙江期末）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？20．（2021春?太原期末）閱讀下列材料，解決相應(yīng)問題：“友好數(shù)對(duì)”已知兩個(gè)兩位數(shù)，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后，得到兩個(gè)與原兩個(gè)兩位數(shù)均不同的新數(shù)，若這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積與交換位置后兩個(gè)新兩位數(shù)的乘積相等，則稱這樣的兩個(gè)兩位數(shù)為“友好數(shù)對(duì)”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68與34和86都是“友好數(shù)對(duì)”．（1）36和84“友好數(shù)對(duì)”．（填“是”或“不是”）（2）為探究“友好數(shù)對(duì)”的本質(zhì)，可設(shè)“友好數(shù)對(duì)”中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，且a≠b；另一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，且c≠d，則a，b，c，d之間存在一個(gè)等量關(guān)系，其探究和說理過程如下，請(qǐng)你將其補(bǔ)充完整．解：根據(jù)題意，“友好數(shù)對(duì)”中的兩個(gè)數(shù)分別表示為10a+b和10c+d，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后兩個(gè)數(shù)依次表示為和．因?yàn)樗鼈兪怯押脭?shù)對(duì)，所以（10a+b）（10c+d）＝．即a，b，c，d的等量關(guān)系為：．（3）請(qǐng)從下面A、B兩題中任選一題作答，我選擇題．A．請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粚?duì)“友好數(shù)對(duì)”，與本題已給的“友好數(shù)對(duì)”不同．B．若有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為x+2，個(gè)位數(shù)字為x，另一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為x+2，個(gè)位數(shù)字為x+8．且這兩個(gè)數(shù)為“友好數(shù)對(duì)”，直接寫出這兩個(gè)兩位數(shù)．21．（2021秋?九龍坡區(qū)期末）甲、乙兩商場自行定價(jià)銷售某一商品．（1）甲商場將該商品提價(jià)15%后的售價(jià)為1.15元，則該商品在甲商場的原價(jià)為元；（2）乙商場將該商品提價(jià)20%后，用6元錢購買該商品的件數(shù)比沒提價(jià)前少買1件，求該商品在乙商場的原價(jià)是多少？（3）甲、乙兩商場把該商品均按原價(jià)進(jìn)行了兩次價(jià)格調(diào)整．甲商場：第一次提價(jià)的百分率是a，第二次提價(jià)的百分率是b；乙商場：兩次提價(jià)的百分率都是a+b2（a＞0，b＞0，a≠b請(qǐng)問甲、乙兩商場，哪個(gè)商場的提價(jià)較多？請(qǐng)說明理由．22．（2021?天津期末）某企業(yè)有九個(gè)生產(chǎn)車間，現(xiàn)在每個(gè)車間原有的成品一樣多，每個(gè)車間每天生產(chǎn)的成品也一樣多，有A、B兩組檢驗(yàn)員，其中A組有8名檢驗(yàn)員．他們先用兩天將第一、二兩個(gè)車間的成品檢驗(yàn)完畢后，再去檢驗(yàn)第三、四兩個(gè)車間所有成品，又用去了三天時(shí)間；同時(shí)，用這五天時(shí)間，B組檢驗(yàn)員也檢驗(yàn)完余下的五個(gè)車間的成品，如果每個(gè)檢驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度一樣快，每個(gè)車間原有的成品為a件，每個(gè)車間每天生產(chǎn)b件成品．（1）用a、b表示B組檢驗(yàn)員檢驗(yàn)的成品總數(shù)；（2）求B組檢驗(yàn)員的人數(shù)．23．（2021?遂寧期末）如圖，小剛家、王老師家和學(xué)校在一條直路上，小剛與王老師家相距3.5千米，王老師家與學(xué)校相距0.5千米．近來，小剛父母出差，如果王老師騎自行車到小剛家接小剛上學(xué)，就比平時(shí)走路上班多用24分鐘．已知騎自行車的速度是步行速度的3倍．（1）問：王老師騎自行車的速度是多少千米/小時(shí)？（2）為了節(jié)約時(shí)間，王老師與小剛約定每天7：35從家里同時(shí)出發(fā)，小剛走路，王老師騎車，遇到小剛后，立即搭小剛到校．如果小剛和王老師走路的速度一樣，王老師騎車的速度不變，請(qǐng)問他們能否在8：00鐘前趕到學(xué)校？說明理由．24．（2021?泉州期末）周末某班組織登山活動(dòng)，同學(xué)們分甲，乙兩組從山腳下沿著一條道路同時(shí)向山頂進(jìn)發(fā)，設(shè)甲，乙兩組行進(jìn)同一路段所用的時(shí)間之比2：3．（1）直接寫出甲、乙兩組行進(jìn)速度之比；（2）當(dāng)甲組到達(dá)山頂時(shí)，乙組行進(jìn)到山腰A處，且A處離山頂?shù)穆烦躺杏?.2千米，試問山腳離山頂?shù)穆烦逃卸噙h(yuǎn)？（3）在題（2）所述內(nèi)容（除最后的問句處）的基礎(chǔ)上，設(shè)乙組從A處繼續(xù)登山，甲組到達(dá)山頂后休息片刻，再從原路下山，并且在山腰B處與乙組相遇，請(qǐng)你先根據(jù)以上情景提出一個(gè)相應(yīng)的問題，再給予解答．（要求：①問題的提出不需再增添其它條件；②問題的解決必須利用上述情景提供的所有書面條件．）25．（2021?河南期末）如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是．（2）猜想論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．26．（2021?昌平區(qū)期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．求證：EF＝BE+（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠27．（2021秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠C＝∠E＝90°，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°．如圖2，連接CD，CD平分∠ACB，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記∠ADF為α（0°＜α＜180°）．（1）∠CDA的度數(shù)為85°．（2）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，邊DF，DE分別交BC，AC的延長線于點(diǎn)M，N．①求α的度數(shù)范圍；②∠1與∠2度數(shù)的和是否變化？若不變，請(qǐng)求出∠1與∠2的度數(shù)和；若變化，請(qǐng)說明理由．28．（2021?玉溪期末）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．29．（2021秋?揭陽期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且∠ADE＝∠AED，連接DE．（1）當(dāng)∠BAD＝60°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）深入探究：如圖②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他條件不變，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．30．（2021春?新華區(qū)校級(jí)期末）直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，①當(dāng)∠ABO＝60°時(shí)，求∠AEB的度數(shù)；②點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明變化的情況：若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大??；（2）如圖2，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，請(qǐng)直接寫出∠ABO的度數(shù)．1．（2021秋?西青區(qū)期末）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個(gè)不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個(gè)不同的三角形…（1）完成下表：連接個(gè)數(shù)出現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)（2）若出現(xiàn)了45個(gè)三角形，則共連接了多少個(gè)點(diǎn)？（3）若一直連接到An，則圖中共有個(gè)三角形．2．（2021春?太倉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC＝x°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數(shù)是；②當(dāng)∠BAD＝∠ABD時(shí)，x＝；當(dāng)∠BAD＝∠BDA時(shí)，x＝．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．3．（2021春?鎮(zhèn)平縣期末）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a＝4，b＝6，設(shè)三角形的周長是x．（1）直接寫出c及x的取值范圍；（2）若x是小于18的偶數(shù)①求c的長；②判斷△ABC的形狀．4．（2021春?鎮(zhèn)江期末）直線AB、CD為平面內(nèi)兩條直線，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在直線AB、CD上，點(diǎn)P（P不在直線AB、CD上）為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，若AB、CD相交于點(diǎn)O，∠MON＝40°；①當(dāng)點(diǎn)P在△OMN內(nèi)部時(shí)，求證：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；②小芳發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP還存在其它數(shù)量關(guān)系，這種數(shù)量關(guān)系是；③探究，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON外部時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP之間的數(shù)量關(guān)系共有種；（2）如圖2，若AB∥CD，請(qǐng)直接寫出∠MPN與∠AMP、∠CNP之間存在的所有數(shù)量關(guān)系是．5．（2021春?高明區(qū)校級(jí)期末）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．6．（2021秋?甘井子區(qū)期末）如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分別為AB、BD中點(diǎn)．（1）探索CM與EM′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）如圖2，連接MM′并延長交CE于點(diǎn)K，試判斷CK與EK之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．（2021春?泰州期末）已知在四邊形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y(tǒng)，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代數(shù)式直接填空）；（2）如圖1，若x＝y(tǒng)＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角．①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，試求x、y．②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請(qǐng)直接指出x、y滿足什么條件時(shí)，∠DFB不存在．8．（2021秋?婁底期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？9．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．10．（2021秋?婺城區(qū)校級(jí)期末）如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP．（1）示例：在圖1中，通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．答：AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是、．（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．請(qǐng)你觀察、測量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．答：BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是、．（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP、BQ．你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．11．（2021春?香坊區(qū)期末）已知：點(diǎn)P為∠EAF平分線上一點(diǎn)，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，點(diǎn)M、N分別是射線AE、AF上的點(diǎn)，且PM＝PN．（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC的延長線上時(shí)（如圖1），求證：BM＝CN；（2）在（1）的條件下，AM+AN＝AC；（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長線上時(shí)（如圖2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四邊形ANPM的面積．12．（2021春?常熟市期末）如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，（1）在圖1中，分別畫出點(diǎn)P到邊AC、BC、BA的垂線段PF、PG、PH，這3條線段相等嗎？為什么？（2）在圖2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余條件都不變，請(qǐng)你判斷并寫出PE與PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．（2021?羅湖區(qū)校級(jí)期末）用三角板和直尺作圖．（不寫作法，保留痕跡）如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)．（1）試在直線l上取一點(diǎn)M，使MA+MB的值最?。?）試在直線l上取一點(diǎn)N，使NB﹣NA最大．14．（2021?香洲區(qū)校級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．15．（2021秋?臨沂期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向左平移3個(gè)單位長度后得到的△A2B2C2；（3）如果AC上有一點(diǎn)P（a，b）經(jīng)過上述兩次變換，那么對(duì)應(yīng)A2C2上的點(diǎn)P2的坐標(biāo)是．16．（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期末）如圖（1），方格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)．（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的△A1B1C1；（2）寫出AA1的長度；（3）如圖（2），A、C是直線MN同側(cè)固定的點(diǎn)，B是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線MN上畫出點(diǎn)B，使AB+BC最?。?7．（2021?太原期末）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點(diǎn)的一條直線可把它分成兩個(gè)小等腰三角形．為此，請(qǐng)你解答問題（1）．（1）已知：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：下面兩個(gè)等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請(qǐng)你在圖②、圖③中分別畫出一條直線，把它們分成兩個(gè)小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所有等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)；（3）接著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個(gè)頂點(diǎn)畫一條直線可以將原三角形分成兩個(gè)小等腰三角形．請(qǐng)你畫出兩個(gè)不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標(biāo)出可能的各內(nèi)角的度數(shù)．（說明：要求畫出的兩個(gè)三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）請(qǐng)你寫出兩個(gè)符合（3）中一般規(guī)律的非等腰三角形的特征．18．（2021?東營期末）根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個(gè)“□2﹣?2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個(gè)的思考過程；（2）將以上10個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n個(gè)乘積，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn為正數(shù)，a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＞b2＞b3＞…＞bn，且a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝an+bn，試由（1）、（2）猜測一個(gè)一般性的結(jié)論．（不要求證明）19．（2021?浙江期末）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？20．（2021春?太原期末）閱讀下列材料，解決相應(yīng)問題：“友好數(shù)對(duì)”已知兩個(gè)兩位數(shù)，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后，得到兩個(gè)與原兩個(gè)兩位數(shù)均不同的新數(shù)，若這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積與交換位置后兩個(gè)新兩位數(shù)的乘積相等，則稱這樣的兩個(gè)兩位數(shù)為“友好數(shù)對(duì)”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68與34和86都是“友好數(shù)對(duì)”．（1）36和84“友好數(shù)對(duì)”．（填“是”或“不是”）（2）為探究“友好數(shù)對(duì)”的本質(zhì)，可設(shè)“友好數(shù)對(duì)”中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，且a≠b；另一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，且c≠d，則a，b，c，d之間存在一個(gè)等量關(guān)系，其探究和說理過程如下，請(qǐng)你將其補(bǔ)充完整．解：根據(jù)題意，“友好數(shù)對(duì)”中的兩個(gè)數(shù)分別表示為10a+b和10c+d，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后兩個(gè)數(shù)依次表示為和．因?yàn)樗鼈兪怯押脭?shù)對(duì)，所以（10a+b）（10c+d）＝．即a，b，c，d的等量關(guān)系為：．（3）請(qǐng)從下面A、B兩題中任選一題作答，我選擇題．A．請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粚?duì)“友好數(shù)對(duì)”，與本題已給的“友好數(shù)對(duì)”不同．B．若有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為x+2，個(gè)位數(shù)字為x，另一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為x+2，個(gè)位數(shù)字為x+8．且這兩個(gè)數(shù)為“友好數(shù)對(duì)”，直接寫出這兩個(gè)兩位數(shù)．21．（2021秋?九龍坡區(qū)期末）甲、乙兩商場自行定價(jià)銷售某一商品．（1）甲商場將該商品提價(jià)15%后的售價(jià)為1.15元，則該商品在甲商場的原價(jià)為元；（2）乙商場將該商品提價(jià)20%后，用6元錢購買該商品的件數(shù)比沒提價(jià)前少買1件，求該商品在乙商場的原價(jià)是多少？（3）甲、乙兩商場把該商品均按原價(jià)進(jìn)行了兩次價(jià)格調(diào)整．甲商場：第一次提價(jià)的百分率是a，第二次提價(jià)的百分率是b；乙商場：兩次提價(jià)的百分率都是a+b2（a＞0，b＞0，a≠b請(qǐng)問甲、乙兩商場，哪個(gè)商場的提價(jià)較多？請(qǐng)說明理由．22．（2021?天津期末）某企業(yè)有九個(gè)生產(chǎn)車間，現(xiàn)在每個(gè)車間原有的成品一樣多，每個(gè)車間每天生產(chǎn)的成品也一樣多，有A、B兩組檢驗(yàn)員，其中A組有8名檢驗(yàn)員．他們先用兩天將第一、二兩個(gè)車間的成品檢驗(yàn)完畢后，再去檢驗(yàn)第三、四兩個(gè)車間所有成品，又用去了三天時(shí)間；同時(shí)，用這五天時(shí)間，B組檢驗(yàn)員也檢驗(yàn)完余下的五個(gè)車間的成品，如果每個(gè)檢驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度一樣快，每個(gè)車間原有的成品為a件，每個(gè)車間每天生產(chǎn)b件成品．（1）用a、b表示B組檢驗(yàn)員檢驗(yàn)的成品總數(shù)；（2）求B組檢驗(yàn)員的人數(shù)．23．（2021?遂寧期末）如圖，小剛家、王老師家和學(xué)校在一條直路上，小剛與王老師家相距3.5千米，王老師家與學(xué)校相距0.5千米．近來，小剛父母出差，如果王老師騎自行車到小剛家接小剛上學(xué)，就比平時(shí)走路上班多用24分鐘．已知騎自行車的速度是步行速度的3倍．（1）問：王老師騎自行車的速度是多少千米/小時(shí)？（2）為了節(jié)約時(shí)間，王老師與小剛約定每天7：35從家里同時(shí)出發(fā)，小剛走路，王老師騎車，遇到小剛后，立即搭小剛到校．如果小剛和王老師走路的速度一樣，王老師騎車的速度不變，請(qǐng)問他們能否在8：00鐘前趕到學(xué)校？說明理由．24．（2021?泉州期末）周末某班組織登山活動(dòng)，同學(xué)們分甲，乙兩組從山腳下沿著一條道路同時(shí)向山頂進(jìn)發(fā)，設(shè)甲，乙兩組行進(jìn)同一路段所用的時(shí)間之比2：3．（1）直接寫出甲、乙兩組行進(jìn)速度之比；（2）當(dāng)甲組到達(dá)山頂時(shí)，乙組行進(jìn)到山腰A處，且A處離山頂?shù)穆烦躺杏?.2千米，試問山腳離山頂?shù)穆烦逃卸噙h(yuǎn)？（3）在題（2）所述內(nèi)容（除最后的問句處）的基礎(chǔ)上，設(shè)乙組從A處繼續(xù)登山，甲組到達(dá)山頂后休息片刻，再從原路下山，并且在山腰B處與乙組相遇，請(qǐng)你先根據(jù)以上情景提出一個(gè)相應(yīng)的問題，再給予解答．（要求：①問題的提出不需再增添其它條件；②問題的解決必須利用上述情景提供的所有書面條件．）25．（2021?河南期末）如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是．（2）猜想論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．26．（2021?昌平區(qū)期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．求證：EF＝BE+（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠27．（2021秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠C＝∠E＝90°，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°．如圖2，連接CD，CD平分∠ACB，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記∠ADF為α（0°＜α＜180°）．（1）∠CDA的度數(shù)為85°．（2）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，邊DF，DE分別交BC，AC的延長線于點(diǎn)M，N．①求α的度數(shù)范圍；②∠1與∠2度數(shù)的和是否變化？若不變，請(qǐng)求出∠1與∠2的度數(shù)和；若變化，請(qǐng)說明理由．28．（2021?玉溪期末）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．29．（2021秋?揭陽期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且∠ADE＝∠AED，連接DE．（1）當(dāng)∠BAD＝60°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）深入探究：如圖②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他條件不變，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．30．（2021春?新華區(qū)校級(jí)期末）直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，①當(dāng)∠ABO＝60°時(shí)，求∠AEB的度數(shù)；②點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明變化的情況：若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大??；（2）如圖2，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，請(qǐng)直接寫出∠ABO的度數(shù)．3．（2021春?鎮(zhèn)平縣期末）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a＝4，b＝6，設(shè)三角形的周長是x．（1）直接寫出c及x的取值范圍；（2）若x是小于18的偶數(shù)①求c的長；②判斷△ABC的形狀．4．（2021春?鎮(zhèn)江期末）直線AB、CD為平面內(nèi)兩條直線，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在直線AB、CD上，點(diǎn)P（P不在直線AB、CD上）為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，若AB、CD相交于點(diǎn)O，∠MON＝40°；①當(dāng)點(diǎn)P在△OMN內(nèi)部時(shí)，求證：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；②小芳發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP還存在其它數(shù)量關(guān)系，這種數(shù)量關(guān)系是；③探究，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON外部時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP之間的數(shù)量關(guān)系共有種；（2）如圖2，若AB∥CD，請(qǐng)直接寫出∠MPN與∠AMP、∠CNP之間存在的所有數(shù)量關(guān)系是．5．（2021春?高明區(qū)校級(jí)期末）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．6．（2021秋?甘井子區(qū)期末）如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分別為AB、BD中點(diǎn)．（1）探索CM與EM′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）如圖2，連接MM′并延長交CE于點(diǎn)K，試判斷CK與EK之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．（2021春?泰州期末）已知在四邊形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y(tǒng)，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代數(shù)式直接填空）；（2）如圖1，若x＝y(tǒng)＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角．①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，試求x、y．②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請(qǐng)直接指出x、y滿足什么條件時(shí)，∠DFB不存在．

8．（2021秋?婁底期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？9．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．10．（2021秋?婺城區(qū)校級(jí)期末）如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP．（1）示例：在圖1中，通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．答：AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是、．（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．請(qǐng)你觀察、測量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．答：BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是、．（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP、BQ．你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．11．（2021春?香坊區(qū)期末）已知：點(diǎn)P為∠EAF平分線上一點(diǎn)，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，點(diǎn)M、N分別是射線AE、AF上的點(diǎn)，且PM＝PN．（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC的延長線上時(shí)（如圖1），求證：BM＝CN；（2）在（1）的條件下，AM+AN＝AC；（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長線上時(shí)（如圖2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四邊形ANPM的面積．12．（2021春?常熟市期末）如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，（1）在圖1中，分別畫出點(diǎn)P到邊AC、BC、BA的垂線段PF、PG、PH，這3條線段相等嗎？為什么？（2）在圖2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余條件都不變，請(qǐng)你判斷并寫出PE與PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．（2021?羅湖區(qū)校級(jí)期末）用三角板和直尺作圖．（不寫作法，保留痕跡）如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)．（1）試在直線l上取一點(diǎn)M，使MA+MB的值最?。?）試在直線l上取一點(diǎn)N，使NB﹣NA最大．14．（2021?香洲區(qū)校級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．15．（2021秋?臨沂期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向左平移3個(gè)單位長度后得到的△A2B2C2；（3）如果AC上有一點(diǎn)P（a，b）經(jīng)過上述兩次變換，那么對(duì)應(yīng)A2C2上的點(diǎn)P2的坐標(biāo)是．16．（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期末）如圖（1），方格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)．（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的△A1B1C1；（2）寫出AA1的長度；（3）如圖（2），A、C是直線MN同側(cè)固定的點(diǎn)，B是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線MN上畫出點(diǎn)B，使AB+BC最?。?7．（2021?太原期末）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點(diǎn)的一條直線可把它分成兩個(gè)小等腰三角形．為此，請(qǐng)你解答問題（1）．（1）已知：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：下面兩個(gè)等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請(qǐng)你在圖②、圖③中分別畫出一條直線，把它們分成兩個(gè)小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所有等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)；（3）接著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個(gè)頂點(diǎn)畫一條直線可以將原三角形分成兩個(gè)小等腰三角形．請(qǐng)你畫出兩個(gè)不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標(biāo)出可能的各內(nèi)角的度數(shù)．（說明：要求畫出的兩個(gè)三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）請(qǐng)你寫出兩個(gè)符合（3）中一般規(guī)律的非等腰三角形的特征．18．（2021?東營期末）根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個(gè)“□2﹣?2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個(gè)的思考過程；（2）將以上10個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n個(gè)乘積，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn為正數(shù)，a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＞b2＞b3＞…＞bn，且a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝an+bn，試由（1）、（2）猜測一個(gè)一般性的結(jié)論．（不要求證明）19．（2021?浙江期末）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？20．（2021春?太原期末）閱讀下列材料，解決相應(yīng)問題：“友好數(shù)對(duì)”已知兩個(gè)兩位數(shù)，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后，得到兩個(gè)與原兩個(gè)兩位數(shù)均不同的新數(shù)，若這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積與交換位置后兩個(gè)新兩位數(shù)的乘積相等，則稱這樣的兩個(gè)兩位數(shù)為“友好數(shù)對(duì)”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68與34和86都是“友好數(shù)對(duì)”．（1）36和84“友好數(shù)對(duì)”．（填“是”或“不是”）（2）為探究“友好數(shù)對(duì)”的本質(zhì)，可設(shè)“友好數(shù)對(duì)”中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，且a≠b；另一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，且c≠d，則a，b，c，d之間存在一個(gè)等量關(guān)系，其探究和說理過程如下，請(qǐng)你將其補(bǔ)充完整．解：根據(jù)題意，“友好數(shù)對(duì)”中的兩個(gè)數(shù)分別表示為10a+b和10c+d，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后兩個(gè)數(shù)依次表示為和．因?yàn)樗鼈兪怯押脭?shù)對(duì)，所以（10a+b）（10c+d）＝．即a，b，c，d的等量關(guān)系為：．（3）請(qǐng)從下面A、B兩題中任選一題作答，我選擇題．A．請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粚?duì)“友好數(shù)對(duì)”，與本題已給的“友好數(shù)對(duì)”不同．B．若有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為x+2，個(gè)位數(shù)字為x，另一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為x+2，個(gè)位數(shù)字為x+8．且這兩個(gè)數(shù)為“友好數(shù)對(duì)”，直接寫出這兩個(gè)兩位數(shù)．21．（2021秋?九龍坡區(qū)期末）甲、乙兩商場自行定價(jià)銷售某一商品．（1）甲商場將該商品提價(jià)15%后的售價(jià)為1.15元，則該商品在甲商場的原價(jià)為元；（2）乙商場將該商品提價(jià)20%后，用6元錢購買該商品的件數(shù)比沒提價(jià)前少買1件，求該商品在乙商場的原價(jià)是多少？（3）甲、乙兩商場把該商品均按原價(jià)進(jìn)行了兩次價(jià)格調(diào)整．甲商場：第一次提價(jià)的百分率是a，第二次提價(jià)的百分率是b；乙商場：兩次提價(jià)的百分率都是a+b2（a＞0，b＞0，a≠b請(qǐng)問甲、乙兩商場，哪個(gè)商場的提價(jià)較多？請(qǐng)說明理由．22．（2021?天津期末）某企業(yè)有九個(gè)生產(chǎn)車間，現(xiàn)在每個(gè)車間原有的成品一樣多，每個(gè)車間每天生產(chǎn)的成品也一樣多，有A、B兩組檢驗(yàn)員，其中A組有8名檢驗(yàn)員．他們先用兩天將第一、二兩個(gè)車間的成品檢驗(yàn)完畢后，再去檢驗(yàn)第三、四兩個(gè)車間所有