專題13 平行線的判定和性質(zhì) 帶解析

2022-2023學年湘教版七年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題13平行線的判定和性質(zhì)考試時間：120分鐘試卷滿分：100分評卷人得分一、選擇題(共20分，每題2分)1．(本題2分)（2022春·安徽滁州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，平分，平分，，，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【思路點撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到；所以①錯誤；由角平分線的定義得到，，根據(jù)垂直的定義得到，所以②正確；根據(jù)垂直的定義得到，求得，根據(jù)角的和差得到，等量代換得到；所以③正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，所以④錯誤．【規(guī)范解答】解：∵，∴，∴，∵平分，∴；所以①錯誤；∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，所以②正確；∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴；所以③正確；∵，，∴，，∴，∴，∵平分，∴，∴，，∴，所以④錯誤．故選：B．【考點評析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．2．(本題2分)（2023春·全國·七年級專題練習）將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①如果，則；②；③如果，則有；④如果，必有．正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【思路點撥】利用平行線的判定與性質(zhì)定理和角的和差的意義對每個選項進行逐一判斷即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：，，，，，，，①的結(jié)論正確；，，，②的結(jié)論正確；，．．③的結(jié)論錯誤；，，，．．④的結(jié)論正確．綜上所述，正確的結(jié)論有：①②④，故選：B．【考點評析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，充分利用平行線的判定與性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．3．(本題2分)（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，與交于點E，點G在直線CD上，交于點M，，，，下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④【答案】D【思路點撥】過點F作，，設(shè)，利用豬腳模型、鋸齒模型表示出，即可分析出答案．【規(guī)范解答】解：∵，∴，∴①正確；過點F作，，∵，∴，設(shè)，則，∴，，∴，∴，∴②錯誤；∴，∴③錯誤；∴，∴④正確．綜上所述，正確答案為①④．故選：D．【考點評析】本題主要考查平行線的拐點模型，能識別出模型并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．(本題2分)（2019春·重慶綦江·七年級?？计谀┤鐖D，直線AB∥CD，EF⊥AB，垂足為O，F(xiàn)G與CD相交于點M，若∠DMG＝43°，則∠EFG為（）A．133° B．137° C．143° D．147°【答案】A【思路點撥】過點F作FH∥AB，由此可得AB∥FH∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFH＝∠EOB，∠DMG＝∠HFG，繼而根據(jù)∠EFG＝∠EFH+∠MFH＝∠EOB+∠DMG進行求解即可.【規(guī)范解答】過點F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠EFH＝∠EOB，∠DMG＝∠HFG，∵EF⊥AB，∠DMG＝43°，∴∠EFG＝∠EFH+∠MFH＝∠EOB+∠DMG＝90°+43°＝133°，故選A．【考點評析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理與判定定理是解題的關(guān)鍵.5．(本題2分)（2019春·廣東陽江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，則等于(

)A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】如圖，∵∠1=∠2，∠2=∠5，∴∠1=∠5，∴l(xiāng)1∥l2，∴∠6=∠3，∵∠4=120°，∴∠6=180°-120°=60°，∴∠3=60°.故選B．【考點評析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題時注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．6．(本題2分)（2023春·浙江·七年級階段練習）如圖，E在線段BA的延長線上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點，連CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC，則下列結(jié)論：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度為定值且定值為16°，其中正確結(jié)論的個數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【思路點撥】根據(jù)平行線的判定定理得到AD∥BC，故①正確；由平行線的性質(zhì)得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據(jù)題意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③正確；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴AD∥BC，故①正確；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正確；∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，∵∠FGA=∠DGH，∴90°-2∠FGA=16°，∴∠FGA=∠DGH=37°，故③正確；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④錯誤，故選：B．【考點評析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，對頂角性質(zhì)，一元一次方程，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．7．(本題2分)（2023春·浙江·七年級專題練習）如圖，已知長方形紙片ABCD，點E和點F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點H和點G分別是邊AD和BC上的動點，現(xiàn)將點A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點N，M，P，K，若MNPK，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【答案】D【思路點撥】分兩種情況討論，①當在上方時，延長、相交于點，根據(jù)，推出，得到，求出的度數(shù)，再根據(jù)即可求解；②當在下方時，延長、相交于點，根據(jù)，推出，得到，再根據(jù)即可求解．【規(guī)范解答】解：①當在上方時，延長、相交于點，如圖所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴②當在下方時，延長、相交于點，如圖所示∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴故選D．【考點評析】本題考查了翻折、平行線的判定和性質(zhì)、對頂角等知識點，分情況討論，畫出對應圖形進行求解是解答本題的關(guān)鍵．8．(本題2分)（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，E在線段BA的延長線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【思路點撥】根據(jù)平行線的判定定理得到，故①正確；由平行線的性質(zhì)得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據(jù)平行線同旁內(nèi)角互補得，再根據(jù)題目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根據(jù)，得，但根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明GD=GC，故③錯誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴，故①正確；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正確；∵，∴，∵∠CKG＝∠CGK，∴，∴，又∵，∴，∴，要使，就要使且，∴就要GD=GC，但題目沒給出這個條件且利用現(xiàn)有條件也無法證明GD=GC，∴故③錯誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④錯誤，故選：C．【考點評析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，對頂角性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．9．(本題2分)（2022春·陜西渭南·七年級校考階段練習）如圖，，，垂足分別為B和D，和分別平分和．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的序號是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④【答案】C【思路點撥】由，可證；由角平分線的性質(zhì)可知；題中沒有條件可以證明；由可知，根據(jù)平行線性質(zhì)可得.由此可知①②③④的正誤.【規(guī)范解答】解：∵，，∴．∴，∵，分別平分，∴，，∴，∴，∴，∵不一定平行于，∴不一定垂直于．故①②④正確，③錯誤，故選：C．【考點評析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，靈活應用平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10．(本題2分)（2021春·全國·七年級專題練習）如圖，已知AB∥CD，BE和DF分別平分∠ABF和∠CDE，2∠E-∠F=48°，則∠CDE的度數(shù)為(

)．

A．16° B．32° C．48° D．64°【答案】B【思路點撥】已知BE和DF分別平分∠ABF和∠CDE，根據(jù)角平分線分定義可得∠ABE=∠ABF，∠CDF=∠CDE；過點E作EMAB，點F作FNAB，即可得EMFN，由平行線的性質(zhì)可得∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，由此可得∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=∠ABF+∠CDE，∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF+∠CDE，又因2∠BED-∠BFD=48°，即可得2（∠ABF+∠CDE）-（∠ABF+∠CDE）=48°，由此即可求得∠CDE=32°.【規(guī)范解答】∵BE和DF分別平分∠ABF和∠CDE，∴∠ABE=∠ABF，∠CDF=∠CDE，過點E作EMAB，點F作FNAB，∵，∴EMFN，∴∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，∴∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=∠ABF+∠CDE，∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF+∠CDE，∵2∠BED-∠BFD=48°，∴2（∠ABF+∠CDE）-（∠ABF+∠CDE）=48°，∴∠CDE=32°.故選B.【考點評析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)確定有關(guān)角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.評卷人得分二、填空題(共18分，每題2分)11．(本題2分)（2023春·七年級課時練習）如圖，于點B，于點C，連接AD，DE平分交BC于點E，點F為CD延長線上一點，連接AF，，下列結(jié)論：①；②；③．正確的有______．（填序號）【答案】①②③【思路點撥】①證明AB∥CD，可做判斷；②根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可做判斷；③根據(jù)AF∥ED得內(nèi)錯角相等和同位角相等，再由角平分線的定義得∠ADE=∠CDE，從而可做判斷．【規(guī)范解答】解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，故①正確；②∵AB∥CD，∴∠AFD+∠BAF=180°，∵∠BAF=∠EDF，∴∠AFD+∠EDF=180°，∴AF∥DE，故②正確；③∵AF∥ED，∴∠DAF=∠ADE，∠F=∠CDE，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠DAF=∠F，故③正確；故答案為：①②③．【考點評析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．12．(本題2分)（2023春·浙江·七年級專題練習）一副直角三角板中，，，，現(xiàn)將直角頂點C按照如圖方式疊放，點E在直線AC上方，且，能使三角形ADC有一條邊與EB平行的所有的度數(shù)的和為_______．【答案】345°【思路點撥】根據(jù)平行線的判定定理分情況求解即可．【規(guī)范解答】解：當∠ACE=∠E=45°時，ACBE，理由如下，如圖所示：∵∠ACE=∠DCB=45°，∠B=45°，∴BE⊥CD，又∵AC⊥CD，∴ACBE；當∠ACE=135°時，BECD，理由如下，如圖所示：∵∠ACE=135°，∴∠DCE=135°-90°=45°，∵∠E=45°，∴∠DCE=∠E，∴BECD；當∠ACE=165°時，BEAD．理由如下：延長AC交BE于F，如圖所示：∵∠ACE=165°，∴∠ECF=15°，∵∠E=45°，∴∠CFB=∠ECF+∠E=60°，∵∠A=60°，∴∠A=∠CFB，∴BEAD，綜上，三角形ADC有一條邊與EB平行的所有∠ACE的度數(shù)的和為：45°+135°+165°=345°，故答案為：345°．【考點評析】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．13．(本題2分)（2023春·浙江·七年級專題練習）如圖，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝110°，CD與AB在直線EF異側(cè)．若∠DCF＝60°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和6度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為t秒，在射線CD轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，當時間t的值為____時，CD與AB平行．【答案】2秒或38秒##38秒或2秒【思路點撥】分情況討論：①AB與CD在EF兩側(cè)，分別表示出與,然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，列式計算即可求解；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出與，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計算即可求解；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出與，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計算即可求解【規(guī)范解答】存在．分三種情況：①如圖，AB與CD在EF的兩側(cè)且CD在EF左側(cè)時：，∴0＜t＜20，∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴，，要使，則∠ACD＝∠BAF，即，解得t＝2符合要求②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時，，∴，∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴，∠BAC＝110°﹣t°，要使，則∠DCF＝∠BAC，即，解得t＝38③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時，此時t＞50，∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴，∠BAC＝t°﹣110°，要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，解得t＝38，∵38＜50，∴此情況不存在．綜上所述，當時間t的值為2秒或38秒時，CD與AB平行．故答案為：2秒或38秒．【考點評析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵，要注意分類討論．14．(本題2分)（2023春·七年級課時練習）如圖，已知∠1=72°，∠4=110°，∠3=70°，則∠2=____________．【答案】72°##72度【思路點撥】先根據(jù)平行線的判定定理得到ab，然后再利用平行線的性質(zhì)即可解答．【規(guī)范解答】解：∵∠4＝110°，∠3＝70°，∴∠3+∠4＝180°，∴ab，∴∠2＝∠1＝72°．故答案為：72°．【考點評析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，掌握同旁內(nèi)角互補兩直線平行、兩直線平行內(nèi)錯角相等是解答本題的關(guān)鍵．15．(本題2分)（2023春·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，直線，平分，，，則_______°．【答案】100【思路點撥】過點作，可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】解：過點作，∴，∵，∴，∴∴，∵平分，∴，∵，∴，故答案為：100．【考點評析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．16．(本題2分)（2021秋·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校校考期中）如圖，直線與直線、分別交于點、，，與的角平分線交于點，與交于點，點是上一點，且，連接，是上一點使，作平分，交于點，，則_________．【答案】30度##【思路點撥】根據(jù)，與的角平分線交于點，可得，即可得，則有，進而可得，，，即有，結(jié)合平分，可得，進而可得，問題隨之得解．【規(guī)范解答】∵，∴，∵與的角平分線交于點，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【考點評析】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)等知識，證明是解答本題的關(guān)鍵．17．(本題2分)（2023春·七年級課時練習）如圖，直線分別與直線，相交于點，，且．點在直線，之間，連接，，射線是的平分線，在的延長線上取點，連接，若，，則的度數(shù)為___________．【答案】##度【思路點撥】過分別作的平行線，，則，設(shè)，則，，設(shè)，分別表示出，，利用等式的性質(zhì)得到，進而即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，過分別作的平行線，，則，設(shè)，則，∵射線是的平分線，∴，∵，，，設(shè)∴，∴①，∵∵②∴由①②可得∵，故答案為：【考點評析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．(本題2分)（2023春·浙江·七年級階段練習）已知直線，射線、分別平分，，兩射線反向延長線交于點，請寫出，之間的數(shù)量關(guān)系：________．【答案】【思路點撥】分別過點，作，，根據(jù)，可得，根據(jù)平行線性質(zhì)可得，，根據(jù)角平分線定義可得，進而證出，同理，根據(jù)平角定義可得，，由此證出，進而證出結(jié)論．【規(guī)范解答】分別過點，作，∵，∴∵射線平分∴∵∴∴∵∴∴∵射線平分∴∵，，∴∴∴∴∴∵∴同理：∴∴故答案為：【考點評析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義等知識點，能熟記平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．19．(本題2分)（2023春·全國·七年級階段練習）如圖已知：ABCD，CDEF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+∠4=135°，其中，正確的結(jié)論有____．（填序號）【答案】①②③④【思路點撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一分析判斷即可．【規(guī)范解答】解：∵ABCD，CDEF，∴ABEF，故①正確；∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∵ABCD，∴∠BAC+∠2=180°，∴2∠1+∠2=180°（1），∵AC⊥CE，∴∠2+∠4=90°（2），∴（1）-（2）得，2∠1-∠4=90°，故②正確；∵ABEF，∴∠BAE+∠3=180°，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠BAE，∴∠1+∠3=180°，∴2∠1+2∠3=360°（3），∵2∠1+∠2=180°（1），（3）-（1）得，2∠3-∠2=180°，故③正確；∵CDEF，∴∠CEF+∠4=180°，∴∠3+∠AEC+∠4=180°，∵AE⊥CE，∴∠1+∠AEC=90°，∴∠AEC=90°-∠1，∴∠3+∠4-∠1=90°，∵2∠1-∠4=90°，∴∠1=45°+∠4，∴∠3+∠4=135°，故④正確．綜上，正確的結(jié)論有：①②③④．故答案為：①②③④．【考點評析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．評卷人得分三、解答題(共62分)20．(本題6分)（2023春·七年級課時練習）已知，點M、N分別是、上兩點，點G在、之間，連接、．(1)如圖1，若，求的度數(shù)．(2)如圖2，若點P是下方一點，平分，平分，已知，求的度數(shù)．(3)如圖3，若點E是上方一點，連接、，且的延長線平分，平分，，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)；(3)．【思路點撥】（1）過G作，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得到的度數(shù)；（2）過G作，過點P作，設(shè)，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，求得，，即可得到；（3）過G作，過E作，設(shè)，，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，可得，，再根據(jù)，據(jù)此計算即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：如圖1，過G作，∵，∴，∴，，∵，∴；（2）解：如圖2，過G作，過點P作，設(shè)，∵，，∴，∴，∵，，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，，∴；（3）解：如圖3，過G作，過E作，設(shè)，，∵交于M，平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，平分，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【考點評析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角，利用平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進行推算．21．(本題6分)（2022春·廣東湛江·七年級校考階段練習）（1）如圖1，點E、F分別在直線上，點P為平面內(nèi)間一點，若，證明：；（2）如圖2，，點E在直線AB上，點F、G分別在直線上，平分，，請?zhí)骄恐g的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，，．直線交分別于點M、N，若，求n的值．【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）【思路點撥】（1）過點P作，根據(jù)角的和差得到，即可判定；（2），過點P作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平角的定義求解即可；（3）過點M作，過點N作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【規(guī)范解答】（1）證明：如圖1，過點P作，∴，∵，∴，∴，又，∴；（2）解：，理由如下：如圖2，過點P作，則，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即；（3）如圖3，過點M作，過點N作，∵，∴，，∴，設(shè)，∴，∵，∴，即，∵，∴，即，由①②得，．【考點評析】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理與性質(zhì)定理及作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．22．(本題6分)（2023春·七年級課時練習）閱讀下面內(nèi)容，并解答問題．已知：如圖1，，直線分別交，于點，．的平分線與的平分線交于點．(1)求證：；(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作的平分線與的平分線交于點，得到圖2，則的度數(shù)為．②如圖3，，直線分別交，于點，．點在直線，之間，且在直線右側(cè)，的平分線與的平分線交于點，則與滿足的數(shù)量關(guān)系為．【答案】(1)見解析(2)①；②結(jié)論：【思路點撥】（1）利用平行線的性質(zhì)解決問題即可；（2）①利用基本結(jié)論求解即可；②利用基本結(jié)論，，求解即可．【規(guī)范解答】（1）證明：如圖，過作，，，，,，平分，平分，，，，，；（2）解：①如圖2中，由題意，，平分，平分，，，故答案為：；②結(jié)論：．理由：如圖3中，由題意，，，平分，平分，，，，故答案為：．【考點評析】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．23．(本題6分)（2023春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知，且，求的度數(shù)．【答案】【思路點撥】運用同角的補角相等，得出，，再運用角的等量關(guān)系，證得，從而得到【規(guī)范解答】解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【考點評析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，補角的性質(zhì)，通過角的等量關(guān)系證得平行線，再運用平行線性質(zhì)得出角的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．24．(本題8分)（2022秋·福建漳州·七年級統(tǒng)考期末）已知，點G是線段上一定點，點E是射線上一點，連接．(1)在圖1中，過點G作，與射線交于H點．①請根據(jù)題意補全圖形，②求的度數(shù)；(2)如圖2所示，點F是射線上一動點，連接，分別作與的角平分線，兩條角平分線交于點M，若，求的度數(shù)（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)①見解析②(2)【思路點撥】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可；②過點C作．利用平行線的性質(zhì)和判定以及垂線的性質(zhì)解決問題；（2）結(jié)論：．利用（1）②中基本結(jié)論解決問題即可．【規(guī)范解答】（1）①如圖1所示．②如圖2，過G作，∴，又∵，∴，∴．∵，∴．∴．;（2）如圖3，過G作，過M作，則．由（1）②可知，．∵平分平分∴∴，∴．【考點評析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，鄰補角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．25．(本