（寒假）新高考數學一輪復習考點精講+隨堂檢測12雙曲線方程及其性質（教師版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第第頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第12課雙曲線方程及其性質考點01雙曲線的定義及標準方程【例1】設是雙曲線左支上的動點，分別為左右焦點，則（

）A．B．C．4D．【答案】A【分析】利用雙曲線的方程的特點和雙曲線的定義即可求解.【詳解】由，得解得．因為是雙曲線左支上的動點，所以.由雙曲線的定義可知．故選：A.【變式1-1】如果雙曲線上一點到它的右焦點的距離是，那么點到它的左焦點的距離是（

）A．B．C．或D．不確定【答案】C【分析】根據雙曲線的定義即可求得答案.【詳解】設雙曲線的左、右焦點為，則；則，由雙曲線定義可得，即，所以或，由于，故點到它的左焦點的距離是或，故選：C【變式1-2】已知點，動點滿足，則動點的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由雙曲線的定義可知，動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，利用待定系數法求軌跡方程.【詳解】，，又動點滿足，動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，設雙曲線方程為，則有，動點的軌跡方程為．故選：A．考點02根據方程表示圓、橢圓、雙曲線求參數【例2】已知方程表示的焦點在y軸的雙曲線，則m的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先化為雙曲線的標準方程，再建立不等式求解即可.【詳解】方程可化為：，由方程表示的焦點在y軸的雙曲線，得，解得.故選：C.【變式2-1】“”是“表示雙曲線”的（

）．A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據方程表示雙曲線以及充分、必要條件等知識確定正確答案.【詳解】當，即或時，表示雙曲線，所以“”是“表示雙曲線”的充分不必要條件．故選：B【變式2-2】（多選）已知方程表示的曲線為C，則下列四個結論中正確的是（

）A．當時，曲線C是橢圓B．當或時，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則【答案】BCD【分析】根據給定條件，利用橢圓、雙曲線方程的特征逐項判斷作答.【詳解】對于A，當時，，則曲線是圓，A錯誤；對于B，當或時，，曲線是雙曲線，B正確；對于C，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，C正確；對于D，若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得，D正確．故選：BCD考點03雙曲線的焦點三角形問題【例3】已知雙曲線的左焦點為為坐標原點，右焦點為，點為雙曲線右支上的一點，且的周長為為線段的中點，則（

）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根據右焦點為，得到，進而得到，再根據的周長為得到，然后利用三角形中位線求解.【詳解】解：因為右焦點為，所以，又因為，則，又因為，則，所以為坐標原點，且為線段的中點，所以，故選：B【變式3-1】設，是雙曲線的左?右焦點，過的直線交雙曲線的左支于，兩點，若直線為雙曲線的一條漸近線，，則的值為（

）A．11B．12C．14D．16【答案】C【分析】根據雙曲線的標準方程可得,再由雙曲線的定義可得，得到,再根據得到答案.【詳解】根據雙曲線的標準方程，得,由直線為雙曲線的一條漸近線，得,解得,得.由雙曲線的定義可得①，②，①②可得,因為過雙曲線的左焦點的直線交雙曲線的左支于,兩點,所以,得.故選：C.

【變式3-2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的右支相交于A，B兩點，，且的周長為10，則雙曲線C的焦距為．【答案】【分析】根據雙曲線的定義，解得，然后根據的周長為10，解得各邊長，最后根據余弦定理求解即可；【詳解】

設，，，根據雙曲線的定義可知：，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得雙曲線的焦距為．故答案為：.考點04雙曲線的簡單幾何性質【例4】已知雙曲線與，下列說法正確的是（）A．兩個雙曲線有公共頂點B．兩個雙曲線有公共焦點C．兩個雙曲線有公共漸近線D．兩個雙曲線的離心率相等【答案】C【分析】根據雙曲線方程可得答案.【詳解】雙曲線的焦點和頂點都在x軸上，而雙曲線的焦點和頂點都在y軸上，故A、B錯誤；雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，故C正確；雙曲線的離心率，而雙曲線的離心率，故D錯誤.故選：C.【變式4-1】已知離心率為的雙曲線C：的左、右焦點分別為，M是雙曲線C的一條漸近線上的點，且，O為坐標原點，若，則雙曲線的實軸長是（

）A．32B．16C．84D．4【答案】B【分析】根據，求出，，再根據以及求出即可得解.【詳解】由題意知，不妨令點在漸近線上，由題意可知，所以，由，可得，即，又，，所以，所以雙曲線C的實軸長為16.故選：B．【變式4-2】已知雙曲線的離心率為，虛軸長為4，則的方程為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】曲線方程化為標準方程為，再根據已知列出方程組求出即得解.【詳解】曲線方程化為標準方程為，則依題意可得解得.所以的方程為.故選：D．考點05求雙曲線離心率【例5】已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，點關于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由雙曲線的性質可得四邊形為矩形，然后結合雙曲線的定義及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得結果.【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接，，，如圖所示，

又因為，所以，所以四邊形為矩形，設，則，由雙曲線的定義可得：，，又因為為直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因為為直角三角形，，所以，即：，所以，即.故選：D.【變式5-1】已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過點，直線與軸交于點，點在的右支上，且滿足，則的離心率為（

）A．B．2C．D．【答案】D【分析】首先寫出直線點斜式方程并求出點，由向量線性運算的坐標表示可以求出，將其代入雙曲線方程即可求解.【詳解】由題意知直線的方程為，令，得，所以．又因為，不妨設，所以有，解得，所以，將其代入雙曲線方程，化簡得，解得或（舍去），所以的離心率．故選：D.【變式5-2】設，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，點M在x軸上，，平分，則C的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由題意，結合雙曲線的定義以及角平分線定理可得，，，，，，在，中，由余弦定理結合，計算可得答案.【詳解】

可知，，得，設，則，由雙曲線的定義可知：.因為平分，所以，故，又，即有，，，，，在，中，由余弦定理可得，，，由，可得.故選：C.考點06求雙曲線離心率的取值范圍【例6】已知點F是雙曲線（）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據雙曲線的對稱性結合題意可得為等腰三角形，由此可得，進而得到關于的齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題意可知即為等腰三角形，

故是銳角三角形，只需，將代入可得，故在中，，，則，化簡整理，得，∴，∴，又，∴，故選：B.【變式6-1】已知雙曲線的左、右焦-1點分別為，，若在上存在點不是頂點，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由題意判斷P點在雙曲線右支上，推出，可得，從而利用在中求出，再結合三角形內角和推出，繼而推出，由此可得答案.【詳解】設與y軸交于Q點，連接，則，

因為，故P點在雙曲線右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形內角和為，故，則，即，即，所以的離心率的取值范圍為，故選：A【變式6-2】已知雙曲線為左焦點，分別為左?左頂點，為右支上的點，且（為坐標原點）.若直線與以線段為直徑的圓相交，則的離心率的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意可推出，設，由勾股定理可得，結合直線與以線段為直徑的圓相交可得，由此結合的根的分布，列不等式即可求得答案.【詳解】設雙曲線的右焦點為，則，則，

為右支上的點，取的中點為B，連接，則，設，則，則，在中，，即，又直線與以線段為直徑的圓相交，故，設，則，則需使，解得，即雙曲線離心率的范圍為，即的離心率的取值范圍為，故選：D考點07雙曲線的漸近線【例7】已知雙曲線C：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則C的方程為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意可得，結合漸近線方程列式求，進而可得結果.【詳解】設雙曲線C的半焦距為，由橢圓可得，由題意可得，解得，所以雙曲線C：，即.故選：D.【變式7-1】過雙曲線的左焦點F作C的其中一條漸近線的垂線l，垂足為M，l與C的另一條漸近線交于點N，且，則C的漸近線方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據題意及圖形可求出漸進線的傾斜角，即可得答案.【詳解】如圖，設雙曲線右焦點為，OM，ON為雙曲線的兩條漸進線.由題意可知，，又，則M為FN中點，則為等腰三角形，則，又，則.所以雙曲線的漸進線方程為：.故選：B

【變式7-2】已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的漸近線方程為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據共線向量的性質、角平分線的性質，結合雙曲線的定義、余弦定理、雙曲線的漸近線方程進行求解即可.【詳解】因為，所以∽．設，則，設，則，．因為平分，由角平分線定理可知，，所以，所以．由雙曲線定義知，即，解得．又由，得，所以，即是等腰三角形．由余弦定理知，即，化簡得，所以，則雙曲線的漸近線方程為．

故選：D【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是利用角平分線性質和共線向量的性質.考點08雙曲線的弦長問題【例8】已知雙曲線C：的漸近線方程為，左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線l交雙曲線的右支于M，N兩點，若的周長為36，則雙曲線C的方程為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意可得，則直線為，代入雙曲線方程中，利用弦長公式求出，再由雙曲線的定義和的周長為36，可求出，從而可求出雙曲線的方程.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，則雙曲線方程為，，，所以直線為，設，由，得，則，所以，因為，，所以，因為的周長為36，所以，所以，得，所以雙曲線方程為，故選：D【變式8-1】設動點與點之間的距離和點到直線的距離的比值為，記點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若為坐標原點，直線交曲線于兩點，求的面積.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據題意，結合距離公式列出方程，整理即可得到曲線的方程；（2）聯立方程組，設，利用弦長公式和點到直線的距離公式，結合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）解：由動點與點之間的距離和到直線：的距離的比值為，可得，整理得，即曲線的方程為.（2）解：聯立方程組，整理得，設，，可得，，所以，又由點到直線的距離，所以的面積.考點9雙曲線的中點弦問題【例9】已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點為，則這條弦所在直線的斜率為（

）A．B．C．1D．【答案】D【分析】運用點差法，結合一元二次方程根與系數的關系進行求解判斷即可.【詳解】設該弦為，設，則有，兩式相減，得，因為雙曲線C的一條弦的中點為，所以，因此由，即這條弦所在直線的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因為，所以該弦存在，故選：D【變式9-1】已知雙曲線的中心在原點，且它的一個焦點為，直線與其相交于、兩點，線段中點的橫坐標為，求此雙曲線的方程．【答案】【分析】設雙曲線的方程為，利用點差法求出的關系，再結合，求出，即可得解.【詳解】設雙曲線的方程為，由題意可得，設，，由直線與其相交于、兩點，線段中點的橫坐標為，得的中點為，則，由且，兩式相減得，則，即，所以，聯立，解得，，故所求雙曲線的方程為．考點10直線與雙曲線的綜合問題【例10】已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線與曲線交于兩點，直線與相交于．求證：點在定直線上．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）利用可整理得到軌跡方程；（2）設，，表示出直線的方程，聯立后可整理得到，聯立與雙曲線方程可得韋達定理的結論，利用可整理得到所求定直線.【詳解】（1），，，整理可得：，又，曲線的方程為：.（2）

由題意知：直線斜率不為，則可設，設，則直線，直線，由得：，由得：，則，即，，，，，解得：，即點在定直線上.【變式10-1】如圖，已知點和點在雙曲線上，雙曲線的左頂點為，過點且不與軸重合的直線與雙曲線交于，兩點，直線，與圓分別交于，兩點.

(1)求雙曲線的標準方程；(2)設直線，的斜率分別為，，求的值；(3)證明：直線過定點.【答案】(1)；(2)；(3)直線過定點,證明見解析.【分析】（1）根據雙曲線上的點求標準方程；（2）利用韋達定理運算求解即可；（3）利用聯立方程組，結合韋達定理求得的坐標，猜想過定點，并用三點共線與斜率的關系證明求解.【詳解】（1）因為點和點在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線的標準方程為.（2）由題可知，直線的斜率不等于零，故可設直線的方程為，設，聯立，整理得，若，即，直線的斜率為，與漸近線平行，此時直線與雙曲線有且僅有一個交點，不滿足題意，所以，所以，，因為,所以，所以.（3）（i）當軸時，且，所以，則，聯立，整理得，即，解得或，當時，，所以，由于對稱性，，此時直線過定點；（ii）當不垂直于軸時，以下證明直線仍過定點設為，因為，所以聯立，即，所以，解得或，當時，，所以,同理，將上述過程中替換為可得，所以，，因為，所以，所以，所以三點共線，即此時直線恒過定點，綜上直線過定點.雙曲線方程及其性質隨堂檢測1.已知雙曲線與雙曲線，則兩雙曲線的（

）A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】通過的范圍，結合曲線，求解焦距，實半軸長，虛半軸長，判斷選項即可．【詳解】的實半軸的長為5，虛半軸的長為3，實數滿足，曲線是雙曲線，實半軸的長為，虛半軸的長為，顯然兩條曲線的實軸的長與虛軸的長不相等，所以A、B均不正確；焦距為：，焦距相等，所以D正確；離心率為：和，不相等，所以C不正確．故選：D．2.（多選）若方程所表示的曲線為，則下面四個說法中正確的是（

）A．若，則為橢圓B．若為橢圓，且焦點在軸上，則C．曲線可能是圓D．若為雙曲線，則【答案】BC【分析】根據橢圓，圓，雙曲線方程的特征，列不等式求解，即可判斷選項.【詳解】方程所表示的曲線為.A.當，取時，方程為，表示圓，錯誤；B.若為橢圓，且焦點在y軸上，則，即，所以B正確；C.時，方程為，表示圓，所以C正確；.若為雙曲線，可得，解得或，所以D錯誤.故選：BC3.雙曲線C：的右頂點為，點均在C上，且關于y軸對稱.若直線AM，AN的斜率之積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據已知條件列方程，化簡求得，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意，設，則，且，而，，，所以.故選：A4.已知點，，動點P滿足，當點P的縱坐標是時，額點P到坐標原點的距離為．【答案】【分析】首先求動點的軌跡方程，再求點的坐標，即可求的值.【詳解】由題意可知，點的軌跡是以為焦點的雙曲線的左支，其中，，，則動點的軌跡方程是