（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+隨堂檢測(cè)10直線與圓（教師版）

第第頁(yè)第10課直線與圓考點(diǎn)01直線的傾斜角與斜率【例1】直線的傾斜角的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】設(shè)直線的傾斜角為.由已知，可推得.分兩種情況時(shí)以及時(shí)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為.因?yàn)椋?，，所以?又，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，解，可得；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，解，可得.綜上所述，.故選：B.【變式1-1】已知點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為，，直線l：與線段PQ的延長(zhǎng)線相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】先求出的斜率，再利用數(shù)形結(jié)合思想，分情況討論出直線的幾種特殊情況，綜合即可得到答案.【詳解】如下圖所示，

由題知，直線過(guò)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線化為，一定與相交，所以，當(dāng)時(shí)，，考慮直線的兩個(gè)極限位置.（1）經(jīng)過(guò)，即直線，則；（2）與直線平行，即直線，則，因?yàn)橹本€與的延長(zhǎng)線相交，所以，即，故答案為：【變式1-2】已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，求：(1)的取值范圍；(2)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）可看作過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線的斜率，結(jié)合圖形分析求解；（2）整理得，可看作過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線斜率，結(jié)合圖形分析求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)M在函數(shù)的圖象上，且，記點(diǎn)，．由題意可知點(diǎn)在線段AB上移動(dòng)．記點(diǎn)，則可看作過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線的斜率，又因?yàn)椋?，由于，可知線段AB上存在點(diǎn)與N點(diǎn)連線的斜率不存在，所以的取值范圍為．

（2）因?yàn)?，記點(diǎn)，則可看作過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線斜率，又因?yàn)?，，所以的取值范圍為?/p>

考點(diǎn)02求直線的方程【例2】已知在中，點(diǎn)，的角平分線為，邊上的中線所在直線的為，則邊所在直線l的一般式方程為.【答案】【分析】用待定系數(shù)法求出點(diǎn)，再利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱求解，利用截距式方程求解化簡(jiǎn)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)樵诮瞧椒志€上，①，因?yàn)?、C中點(diǎn)在中線上，所以②，聯(lián)立①②解得，，所以，設(shè)B點(diǎn)關(guān)于角平分線的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)?，所以③，因?yàn)锽、N中點(diǎn)在上，所以④，聯(lián)立③④解得，，所以，l即為，化簡(jiǎn)有，所以.

考點(diǎn)03兩直線的位置關(guān)系【例3】已知平行四邊形中，邊所在直線方程為，邊所在直線方程為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別求與邊所在直線的方程．【答案】(1)；(2)所在直線方程為，所在直線方程為.【分析】（1）直接聯(lián)立方程組即可得到的坐標(biāo)；（2）根據(jù)，，設(shè)平行一般式，解出其中未知數(shù)即可.【詳解】（1）聯(lián)立，解得，所以.（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以，設(shè)所在直線的方程為：，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，得，所以所在直線的方程為：，同理，設(shè)所在直線的方程為：，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，得，所以所在直線的方程為：.考點(diǎn)04距離問(wèn)題【例4】已知點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】將問(wèn)題化為求原點(diǎn)到線段上點(diǎn)距離的平方的范圍，進(jìn)而求目標(biāo)式的距離.【詳解】由的圖象如下，

又是上圖線段上的一點(diǎn)，且為原點(diǎn)到該線段上點(diǎn)距離的平方，上述線段端點(diǎn)分別為，到原點(diǎn)距離的平方分別為，由圖知：原點(diǎn)到線段的距離，則，綜上，，故.故選：B【變式4-1】已知，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先對(duì)所求式子配方整理，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，求直線上一點(diǎn)，到直線同側(cè)的兩點(diǎn)間的距離之和的最小值，就是將軍飲馬求最值問(wèn)題，先對(duì)其中一點(diǎn)作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)一步把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，求兩點(diǎn)間的距離，求解即可.【詳解】該式子是表示點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和，又，上述式子表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值（如圖）.

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，即，所以，所以直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值為.故選：D.考點(diǎn)05直線的對(duì)稱問(wèn)題【例5】（多選）已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線：上，則（

）A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．的最小值為D．最大值為3【答案】BCD【分析】設(shè)，利用斜率公式判斷A，利用距離公式判斷B，化折線為直線，利用兩點(diǎn)之間線段最短判斷C，根據(jù)幾何意義判斷D.【詳解】對(duì)于A：設(shè)，若時(shí)，此時(shí)的斜率不存在，，與不垂直，同理時(shí)與不垂直，當(dāng)且時(shí)，，若，則，去分母整理得，，方程無(wú)解，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)，若，則，即，由，所以方程有解，則存在點(diǎn)，使得，故B正確；對(duì)于C：如圖設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)（在線段之間），故C正確；

對(duì)于D：如下圖，，當(dāng)且僅當(dāng)在的延長(zhǎng)線與直線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：BCD【變式5-1】光線從射向軸上一點(diǎn)，又從反射到直線上一點(diǎn)，最后從點(diǎn)反射回到點(diǎn)，則BC所在的直線方程為．【答案】【分析】分別求點(diǎn)關(guān)于軸和直線的對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)幾何關(guān)系求得直線的方程.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，即,由對(duì)稱性可知，點(diǎn)在直線上，所以，直線的方程為，即.

故答案為：考點(diǎn)06點(diǎn)、直線與圓位置關(guān)系的判斷【例6】若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】依題意，方程可以表示圓，則，得；由點(diǎn)在圓的外部可知：，得.故.故選：C【變式6-1】在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與圓相切的直線有（

）條A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】分截距為零和截距不為零兩種情況結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可【詳解】圓的圓心為，半徑，由題意可知切線的斜率存在，當(dāng)截距為零時(shí)，設(shè)切線方程為，即，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以方程有兩個(gè)不相等的根，所以過(guò)原點(diǎn)的切線有兩條，當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)切線方程為，即，所以，解得或，所以不過(guò)原點(diǎn)的切線為或，有2條，綜上，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與圓相切的直線有4條，故選：D【變式6-2】（多選）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則（

）A．直線與圓相交B．直線與圓相離C．點(diǎn)到直線距離大于0.5D．點(diǎn)到直線距離小于5【答案】BCD【分析】根據(jù)圓心到直線的距離判斷AB，再由圓上點(diǎn)到直線距離的最值判斷CD即可.【詳解】由知，圓心為，半徑，直線，則圓心到直線距離.所以直線與圓相離，故A錯(cuò)B對(duì)；由圓心到直線的距離知，圓上點(diǎn)到直線距離的最大最小值分別為，，故CD正確.故選：BCD考點(diǎn)07切線和切線長(zhǎng)問(wèn)題【例7】已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】作出示意圖之后，結(jié)合圖形可知，與圓相切時(shí)，切線長(zhǎng)取到最小值.【詳解】圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，故圓心為，半徑為，直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，如圖所示：

則當(dāng)最小時(shí)，與圓相切，連接，可知，由勾股定理可得.故選：A【例7-1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)P滿足(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程(2)若直線l過(guò)點(diǎn)且與軌跡C相切，求直線l的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）設(shè)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足，再用兩點(diǎn)間距離公式列式化簡(jiǎn)作答.（2）討論直線的斜率，設(shè)出直線l的方程，由圓心到直線的距離等于圓的半徑求解作答.【詳解】（1）設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，所以P點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）由（1）知，軌跡：表示圓心為，半徑為2的圓，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為，圓心到直線l的距離為2，與相切；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，

于是，解得，因此直線的方程為，即，所以直線l的方程為或.

考點(diǎn)08弦長(zhǎng)問(wèn)題【例8】在平面直角坐標(biāo)系上，圓，直線與圓交于兩點(diǎn)，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式表示出圓心到直線距離，并由的范圍確定的范圍；利用垂徑定理表示出，由，根據(jù)基本不等式取等條件可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，則圓心到直線的距離，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，，又，解得：.故選：C.【變式8-1】點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，分別相切于、兩點(diǎn)，則的最小值為；四邊形面積的最小值為；【答案】【分析】由圓的幾何性質(zhì)可知，，分析可知，當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，求出的最小值，結(jié)合勾股定理可求出的最小值，證明出，可得出，結(jié)合三角形的面積公式可求得四邊形面積的最小值.【詳解】圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，如下圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可知，，由勾股定理可知，，當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，且，所以，，由切線長(zhǎng)定理可得，又因?yàn)?，，所以，，所以，，故四邊形面積的最小值為.故答案為：；.考點(diǎn)09圓與圓的位置關(guān)系【例9】已知圓和兩點(diǎn)，圓C上若存在點(diǎn)P，使得，則的最小值為（

）A．7B．6C．5D．4【答案】D【分析】由題意可得在為直徑的圓上，轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)求解.【詳解】，且存在點(diǎn)P，使得，點(diǎn)的軌跡為，點(diǎn)在圓上，兩圓有公共點(diǎn)，兩圓圓心分別為，，圓心距為5，半徑分別為，，解得，故選：D【變式9-1】已知圓的半徑為，圓心在直線上．點(diǎn)，．若圓上存在點(diǎn)，使得，則圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】設(shè)圓心，表示出圓，設(shè)，依題意可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點(diǎn)求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】依題意設(shè)圓心，則圓：，設(shè)，由，則，即，依題意即圓與圓有交點(diǎn)，則，解得，即圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為.故選：B考點(diǎn)10圓的公共弦和公共切線【例10】已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)分別是圓與圓的圓心，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】求出直線的方程，繼而可求得點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)勾股定理可求得線段的長(zhǎng)度，在中，利用余弦定理可求得所求.【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn),作,因?yàn)椋瑒t為線段的中點(diǎn)，聯(lián)立，兩式相減得，故直線的方程為，又化為，故,,則點(diǎn)到直線的距離為，則,則中，故選：【變式10-1】已知圓C的方程為，直線，點(diǎn)P是直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)四邊形PAOB的面積最小時(shí)，直線AB的方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】先判斷出四邊形PAOB的面積最小時(shí)點(diǎn)的位置，根據(jù)圓與圓的交線的求法求得正確答案.【詳解】依題意可知，所以，所以最小時(shí)，最小，此時(shí)，的斜率為，所以此時(shí)直線的斜率為，也即此時(shí)直線的方程為，由解得，則，以為圓心，半徑為的圓的方程為，即，與兩式相減并化簡(jiǎn)得：.故選：A

【變式10-2】（多選）圓和圓的交點(diǎn)為，則有（）A．公共弦所在直線方程為B．線段中垂線方程為C．公共弦的長(zhǎng)為D．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線距離的最大值為【答案】ABD【分析】直接把兩圓的方程作差判斷A；利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出線段的中垂線方程判斷B；求出公共弦長(zhǎng)判斷C；由到的距離加上的半徑判斷D．【詳解】對(duì)于A，由與，兩式作差可得，即，∴公共弦所在直線方程為，故A正確；對(duì)于B，圓的圓心為，圓的圓心，的中點(diǎn)坐標(biāo)，，∴的中垂線的斜率為，可得的中垂線方程為，即，故B正確；對(duì)于C，圓心到直線的距離，半徑為，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到直線的距離為，半徑，則到直線的距離的最大值為，故D正確．故選：ABD考點(diǎn)11與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【例11】已知，，若動(dòng)點(diǎn)滿足，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，則的面積的最小值為（

）A．B．4C．D．【答案】D【分析】由得的軌跡為圓心為，半徑為的圓，根據(jù)點(diǎn)到直線得距離公式求解圓上點(diǎn)到直線的最小距離，即可根據(jù)面積公式求解.【詳解】設(shè)，由可得，化簡(jiǎn)可得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓心為，半徑為的圓，圓心到的距離為，故圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，由于，所以，故的面積的最小值為，

故選：D【變式11-1】（多選）設(shè)動(dòng)直線交圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)為圓心），則下列說(shuō)法正確的有（

）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．當(dāng)取得最大值時(shí)，C．當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為D．的最大值為24【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，將直線方程整理為，然后得到，解方程即可得到定點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)弦長(zhǎng)最大是直徑得到最大時(shí)經(jīng)過(guò)圓心，然后列方程求解即可；C選項(xiàng)，根據(jù)幾何知識(shí)得到當(dāng)直線與過(guò)點(diǎn)和的直線垂直時(shí)最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；D選項(xiàng)，根據(jù)外心的結(jié)論得到，然后求最值即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由動(dòng)直線，可得：，由，即，即直線過(guò)定點(diǎn)，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)取得最大值時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，即，即選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)最小，當(dāng)最小時(shí)，直線與過(guò)點(diǎn)和的直線垂直，則，即，由余弦定理可得，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，即的最大值為24，即選項(xiàng)D正確，故選：ABD．直線與圓隨堂檢測(cè)1.直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離B．相切C．相交D．不確定【答案】C【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，由圓的方程為，所以點(diǎn)A在該圓內(nèi)，則過(guò)該點(diǎn)的直線一定與圓相交，故選：C2.圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由圓與圓位置關(guān)系的判斷可知兩圓外離，得公切線條數(shù)；根據(jù)兩圓半徑相同可確定兩條公切線過(guò)，兩條公切線平行于，假設(shè)公切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得公切線.【詳解】由兩圓方程得：圓心，，半徑，兩圓圓心距，，即兩圓外離，公切線共有條；兩圓半徑相同，兩圓兩條公切線經(jīng)過(guò)中點(diǎn)，兩條公切線與平行，經(jīng)過(guò)中點(diǎn)的公切線斜率顯然存在，可設(shè)為：，，解得：或，即公切線方程為：或；，與平行的公切線方程為，即，，解得：，即公切線方程為或；綜上所述：兩圓的公切線方程為：或或或.故選：C.3.（多選）已知圓與直線，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．圓的圓心坐標(biāo)為B．直線過(guò)定點(diǎn)C．直線與圓相交且所截最短弦長(zhǎng)為D．直線與圓可以相切【答案】ABC【分析】根據(jù)圓的方程直接求出圓心判斷A，直線恒過(guò)定點(diǎn)判斷B，利用垂徑定理結(jié)合圓的性質(zhì)求出最短弦長(zhǎng)判斷C，利用直線恒過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)判斷D.【詳解】對(duì)于A，圓的圓心坐標(biāo)為，正確；對(duì)于B，直線方程即，由可得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，正確；對(duì)于C，記圓心，直線過(guò)定點(diǎn)，則，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)直線截圓所得的弦長(zhǎng)最小，此時(shí)弦長(zhǎng)為，正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓必相交，錯(cuò)誤.故選：ABC4.（多選）若點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)到直線的距離是，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出到已知直線的距離，讓等于列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值，再寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離為：，解得或，∴點(diǎn)坐標(biāo)為或.故選：AC.5.兩條平