中考數(shù)學二輪復習沖刺第09講幾何初步及三角形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第09講幾何初步及三角形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.了解直線、射線、線段的概念和性質(zhì)以及表示方法，掌握三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，會解決與線段有關(guān)的實際問題；2.了解角的概念和表示方法，會把角進行分類以及進行角的度量和計算；3.掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點、性質(zhì)和判定；4.了解命題的定義、結(jié)構(gòu)、表達形式和分類，會簡單的證明有關(guān)命題；5.了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性.【知識導圖】【考點梳理】考點一、直線、射線和線段1．直線代數(shù)中學習的數(shù)軸和一張紙對折后的折痕等都是直線，直線可以向兩方無限延伸.(直線的概念是一個描述性的定義，便于理解直線的意義).2．射線直線上一點和它一旁的部分叫做射線.射線只向一方無限延伸.

3.線段直線上兩點和它們之間的部分叫做線段，兩個點叫做線段的端點.考點二、角1．角的概念：(1)定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，兩條射線分別叫做角的邊(2)定義二：一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角.射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部，射線的端點是角的頂點，射線旋轉(zhuǎn)的初始位置和終止位置分別是角的兩條邊.

2．角的平分線：如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線.考點三、相交線1．對頂角(1)定義：如果兩個角有一個公共頂點，而且一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，那么這兩個角叫對頂角.(2)性質(zhì)：對頂角相等2．鄰補角(1)定義：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長線的兩個角叫做鄰補角.(2)性質(zhì)：鄰補角互補.3．垂線（1）定義：當兩條直線相交所得的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線是互相垂直的，它們的交點叫做垂足.垂直用符號“⊥”來表示4．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角(1)基本概念：兩條直線(如a、b)被第三條直線(如c)所截，構(gòu)成八個角，簡稱三線八角，如圖所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是內(nèi)錯角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁內(nèi)角.(2)特點：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都是由三條直線相交構(gòu)成的兩個角.兩個角的一條邊在同一直線(截線)上，另一條邊分別在兩條直線(被截線)上.

考點四、平行線平行線定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號“∥”來表示，.如直線a與b平行，記作a∥b.在幾何證明中，“∥”的左、右兩邊也可能是射線或線段.2．平行公理及推論：(1)經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.(2)平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c3．性質(zhì)：(1)平行線永遠不相交；(2)兩直線平行，同位角相等；(3)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；(4)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；(5)如果兩條平行線中的一條垂直于某直線，那么另一條也垂直于這條直線，可用符號表示為：若b∥c，b⊥a，則c⊥a4．判定方法：(1)定義；(2)平行公理的的推論；(3)同位角相等，兩直線平行；(4)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；(5)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；(6)垂直于同一條直線的兩條直線平行.考點五、命題、定理、證明1．命題：(1)定義：判斷一件事情的語句叫命題.(2)命題的結(jié)構(gòu)：題設(shè)+結(jié)論=命題；(3)命題的表達形式：如果……那么……；若……則……；(4)命題的分類：真命題和假命題；(5)逆命題：原命題的題設(shè)是逆命題的結(jié)論，原命題的結(jié)論是逆命題的題設(shè).2．公理、定理：(1)公理：人們在長期實踐中總結(jié)出來的能作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題叫做公理(2)定理：經(jīng)過推理證實的真命題叫做定理.3．證明：用推理的方法證實命題正確性的過程叫做證明考點六、三角形的概念及其性質(zhì)1．三角形的概念由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2．三角形的分類(1)按邊分類：(2)按角分類：3．三角形的內(nèi)角和外角(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.(2)三角形的任意一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.4．三角形三邊之間的關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.5．三角形內(nèi)角與對邊對應關(guān)系在同一個三角形內(nèi)，大邊對大角，大角對大邊；在同一三角形中，等邊對等角，等角對等邊.6．三角形具有穩(wěn)定性.考點七、三角形的“四心”和中位線三角形中的四條特殊的線段是：高線、角平分線、中線、中位線.1．內(nèi)心：三角形角平分線的交點，是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.2．外心：三角形三邊垂直平分線的交點，是三角形外接圓的圓心，它到三個頂點的距離相等.3．重心：三角形三條中線的交點，它到每個頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍.4．垂心：三角形三條高線的交點.5．三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點的線段是三角形的中位線.中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.【典型例題】題型一、幾何初步例1．判斷下列語句是不是命題①延長線段AB()．②兩條直線相交，只有一交點()．③畫線段AB的中點()．④若|x|=2，則x=2()．⑤角平分線是一條射線()．【思路點撥】判斷語句是否是命題有兩個關(guān)鍵，首先觀察是不是一個完整的句子，再觀察是否作出判斷.【答案與解析】①③兩個語句都沒有作出判斷，所以①不是②是③不是④是⑤是.【總結(jié)升華】本題考查學生對命題概念的理解.【變式】命題：①對頂角相等；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③相等的角是對頂角；④同位角相等.其中假命題有()A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】B.題型二、三角形例2．四邊形ABCD是任意四邊形，AC與BD交點O．求證：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．證明：在△OAB中有OA+OB＞AB在△OAD中有，在△ODC中有，在△中有，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即：，即：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）【思路點撥】直接根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行解答即可．【答案與解析】證明：∵在△OAB中OA+OB＞AB在△OAD中有OA+OD＞AD，在△ODC中有OD+OC＞CD，在△OBC中有OB+OC＞BC，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，即AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．故答案為：OA+OD＞AD；OD﹣OC＞CD；OBC；OB+OC＞BC；2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA．【總結(jié)升華】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【變式】【答案】50°.例3．如圖，將第一個圖（圖①）所示的正三角形連結(jié)各邊中點進行分割，得到第二個圖（圖②）；再將第二個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進行分割，得到第三個圖（圖③）；再將第三個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進行分割，……，則得到的第五個圖中，共有________個正三角形．

【思路點撥】分別寫出前三個圖形的正三角形的個數(shù)，并觀察出后一個圖形比前一個圖形多分割出四個小的正三角形，依此類推即可寫出第n個圖形的正三角形的個數(shù)，進而得出第5個圖中正三角形的個數(shù)．【答案與解析】圖①有１個正三角形；圖②有（１＋４）個正三角形；圖③有（１＋４＋４）個正三角形；圖④有（１＋４＋４＋４）個正三角形圖⑤有（１＋４＋４＋４＋４）個正三角形；…．所以共有17個.【總結(jié)升華】這是一道找規(guī)律的題目，對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.【變式】一個三角形的內(nèi)心在它的一條高線上，則這個三角形一定是()．A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形【答案】B.例4．到三角形三個頂點距離相等的點是三角形()的交點．A.三個內(nèi)角平分線B.三邊垂直平分線C.三條中線D.三條高【思路點撥】可分別根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進行思考，首先滿足到A點、B點的距離相等，然后思考滿足到C點、B點的距離相等，都分別在各自線段的垂直平分線上，于是答案可得．【答案】B.【解析】三角形三邊垂直平分線的交點是外心，是三角形外接圓的圓心，到三角形三個頂點距離相等.【總結(jié)升華】考點：線段垂直平分線的定理.【變式】【答案】A.題型三、綜合運用例5．如圖：已知，△ABC中，∠A=50°(1)如圖(1)，點O是∠ABC和∠ACB的平分線交點，則∠BOC=_____；(2)如圖(2)，點P是∠ABC和外角∠ACE的平分線交點，則∠BPC=____；(3)如圖(3)，點M是外角∠BCE和∠CBF的平分線交點，則∠BMC=____.【思路點撥】本題涉及知識點是三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【答案與解析】圖(1)中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)圖(2)中，∠BPC=∠PCE-∠PBC圖(3)中，∠BMC=180°-(∠MBC+∠MCB)

.【總結(jié)升華】本題考查角平分線，三角形內(nèi)角和，外角和內(nèi)角關(guān)系等多個知識點，常采用建立方程或直接推理的方法.例6．探索在如圖-1至圖-3中，△ABC的面積為a.(1)如圖-1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連結(jié)DA，若△ACD的面積為S1，則S1=____(用含a的代數(shù)式表示)；(2)如圖-2，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連結(jié)DE，若△DEC的面積為S2，則S2=____(用含a的代數(shù)式表示)，并寫出理由；(3)在圖-2的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BF=AB，連結(jié)FD，F(xiàn)E，得到△DEF(如圖-3)，若陰影部分的面積為S3，則S3=____(用含a的代數(shù)式表示)；（4）像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連結(jié)所得端點，得到△DEF(如圖-3)，此時，我們稱△ABC向外擴展了一次，可以發(fā)現(xiàn)，擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的____倍．【思路點撥】靈活運用等底同高的兩三角形面積相等來解決問題．【答案與解析】（1）∵BC=CD，∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1=a；（2）2a；連接AD，∵CD=BC，AE=CA，∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，∴S2=2a；（3）結(jié)合（2）得：S3=2a×3=6a；（4）擴展一次后得到的△DEF的面積是6a+a=7a，即是原來三角形的面積的7倍．【總結(jié)升華】本題的探索過程由簡到難，運用類比方法可依次求出．從而使考生在身臨數(shù)學的情境中潛移默化，逐漸感悟到數(shù)學思維的力量，使學生對知識的發(fā)生及發(fā)展過程，解題思想方法的感悟，體會得淋漓盡致，是一道新課標理念不可多得的好題．【變式】去年在面積為10m2的△ABC空地上栽種了某種花卉，今年準備擴大種植規(guī)模，把△ABC向外進行兩次擴展，第一次由△ABC擴展成△DEF，第二次由△DEF擴展成△MGH(如圖)，求這兩次擴展的區(qū)域(即陰影部分)面積共為多少m2？【答案】第一次擴展后的陰影面積為6a=6×10=60(m2)第二次擴展后的陰影面積為42a=42×10=420(m2)兩次擴展后陰影部分面積共為480m2.【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共13小題）1．（2022?柳州）如圖，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】應用兩點的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．進行判定即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意可得，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是②．故選：B．【點評】本題主要考查了線段的性質(zhì)，熟練掌握線段的性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022?廣州）如圖是一個幾何體的側(cè)面展開圖，這個幾何體可以是（）A．圓錐 B．圓柱 C．棱錐 D．棱柱【分析】根據(jù)基本幾何體的展開圖判斷即可．【解答】解：∵圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，∴判斷這個幾何體是圓錐，故選：A．【點評】本題主要考查幾何體的展開圖，熟練掌握基本幾何體的展開圖是解題的關(guān)鍵．3．（2022?淮安）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AC的中點，若AB＝10，則DE的長是（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC＝90°，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E為AC的中點，∴DE＝AC＝5，故選：C．【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022?柳州）如圖，將矩形繞著它的一邊所在的直線l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“面動成體”進行判斷即可．【解答】解：將矩形繞著它的一邊所在的直線l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圓柱體，故選：B．【點評】本題考查認識立體圖形，理解“面動成體”是正確判斷的前提．5．（2022?煙臺）如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（）A．北偏東70° B．北偏東75° C．南偏西70° D．南偏西20°【分析】根據(jù)題意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠C＝75°，從而求出∠BAC的度數(shù)，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠DAB＝∠ABE＝40°，從而求出∠DAC的度數(shù)，即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∵AD∥BE，∴∠DAB＝∠ABE＝40°，∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，∴小島C相對于小島A的方向是北偏東70°，故選：A．【點評】本題考查了方向角，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，直線a∥b，截線c，d相交成30°角，∠1＝146°33′，則∠2的度數(shù)是（）A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′【分析】由鄰補角的定義可求得∠3＝33°27'，再由平行線的性質(zhì)可得∠4＝∠3＝33°27'，利用三角形的外角性質(zhì)即可求∠2．【解答】解：如圖，∵∠1＝146°33′，∴∠3＝180°﹣∠1＝33°27'，∵a∥b，∴∠4＝∠3＝33°27'，∵∠A＝30°，∠2＝∠4+∠A，∴∠2＝33°27'+30°＝63°27'．故選：A．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．7．（2022?襄陽）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如圖方式放置，點A，B分別落在直線m，n上．若∠1＝70°．則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．60° D．70°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ABD，再根據(jù)角的和差關(guān)系求得結(jié)果．【解答】解：∵m∥n，∠1＝70°，∴∠1＝∠ABD＝70°，∵∠ABC＝30°，∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，故選：B．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．8．（2022?德州）將一副三角板（厚度不計）如圖擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，則∠α的角度為（）A．100° B．105° C．110° D．120°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠α的度數(shù)．【解答】解：∵含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，如圖所示：∴∠ABC＝∠A＝45°，∵∠C＝30°，∴∠α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故選：B．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．9．（2022?淮安）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可．【解答】解：A、∵3+3＝6，∴長度為3，3，6的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；B、∵3+5＜10，∴長度為3，5，10的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；C、∵4+6＞9，∴長度為4，6，9的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；D、∵4+5＝9，∴長度為4，5，9的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．10．（2022?攀枝花）如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若OC＝，BC＝1，∠AOB＝30°，則OA的值為（）A． B． C． D．1【分析】根據(jù)勾股定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故選：A．【點評】本題主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，熟練掌握等角的三角函數(shù)值相等是解題的關(guān)鍵．11．（2022?淄博）經(jīng)過折疊可以圍成正方體，且在正方體側(cè)面上的字恰好環(huán)繞組成一個四字成語的圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法，一線隔一個，“Z”字兩端是對面，即可解答．【解答】解：A、因為圖中兩個空白面不是相對面，所以圖中的四個字不能恰好環(huán)繞組成一個四字成語，故A不符合題意；B、因為圖中兩個空白面不是相對面，所以圖中的四個字不能恰好環(huán)繞組成一個四字成語，故B不符合題意；C、因為金與題是相對面，榜與名是相對面，所以正方體側(cè)面上的字恰好環(huán)繞組成一個四字成語金榜題名，故C符合題意；D、因為圖中兩個空白面不是相對面，所以圖中的四個字不能恰好環(huán)繞組成一個四字成語，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，熟練掌握根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法是解題的關(guān)鍵．12．（2022?菏澤）如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知∠ABC＝36°，則∠D1AD＝（）A．48° B．66° C．72° D．78°【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出∠BAD＝∠BAD1，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得∠BAD1的度數(shù)，最后根據(jù)周角是360°可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意可得：∠BAD＝∠BAD1，∵矩形紙片的對邊平行，即ED∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝36°，∴∠BAD＝180°﹣36°＝144°，∴∠BAD1＝∠BAD＝144°，∴∠D1AD＝360°﹣∠BAD1﹣∠BAD＝360°﹣144°﹣144°＝72°．故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和翻折變換的知識．熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解題的關(guān)鍵．13．（2022?濟南）如圖，AB∥CD，點E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，則∠2的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．57.5° D．65°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根據(jù)角平分線的定義，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，進而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故選：B．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)、角平分線，熟練掌握平行線的性質(zhì)、角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共12小題）14．（2022?益陽）如圖，PA，PB表示以P為起點的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝90°．【分析】根據(jù)題意可得∠APC＝34°，∠BPC＝56°，然后進行計算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：∠APC＝34°，∠BPC＝56°，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，故答案為：90．【點評】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2022?玉林）已知：α＝60°，則α的余角是30°．【分析】根據(jù)如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角即可得出答案．【解答】解：90°﹣60°＝30°，故答案為：30．【點評】本題考查了余角和補角，掌握如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角是解題的關(guān)鍵．16．（2022?湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝40°．【分析】根據(jù)平面鏡反射的規(guī)律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OED的度數(shù)，即可得到∠AEF＝∠OED的度數(shù)．【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∴∠AEF＝∠OED＝40°．故答案為：40°．【點評】本題考查了角的計算，根據(jù)平面鏡反射的規(guī)律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED是解題的關(guān)鍵．17．（2022?阜新）一副三角板如圖擺放，直線AB∥CD，則∠α的度數(shù)是15°．【分析】根據(jù)題意可得：∠EBD＝90°，∠BDE＝45°，∠EDC＝30°，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠ABD+∠BDC＝180°，從而進行計算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∠EDC＝30°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠FDC＝180°，∴∠α＝180°﹣∠EFD﹣∠FDE﹣∠EDC＝180°﹣90°﹣45°﹣30°＝15°，故答案為：15°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2022?鎮(zhèn)江）一副三角板如圖放置，∠A＝45°，∠E＝30°，DE∥AC，則∠1＝105°．【分析】利用平行和對頂角相等求出∠DOA，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠D，根據(jù)外角性質(zhì)求出∠1．【解答】解：如圖，設(shè)DE交AB于O點，∵DE∥AC，∴∠A＝∠BOE＝45°，∴∠DOA＝∠BOE＝45°，∠D＝90°﹣∠E＝90°﹣30°＝60°，∠1＝∠D+∠DOA＝60°+45°＝105°．故答案為：105．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)、對頂角和三角形內(nèi)角和定理，熟練運用平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵．19．（2022?棗莊）光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時會發(fā)生折射．如圖，水面AB與水杯下沿CD平行，光線EF從水中射向空氣時發(fā)生折射，光線變成FH，點G在射線EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，則∠GFH的度數(shù)為25°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)知∠GFB＝∠FED＝45°，結(jié)合圖形求得∠GFH的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠GFB＝∠FED＝45°．∵∠HFB＝20°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°．故答案為：25°．【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等．20．（2022?湘西州）如圖，直線a∥b，點C、A分別在直線a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為40°．【分析】利用平行線的性質(zhì)定理和垂直的意義解答即可．【解答】解：如圖，∵AC⊥BC，∴∠2+∠3＝90°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝50°．∴∠2＝90°﹣∠3＝40°．故答案為：40°．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂直的意義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2022?綿陽）兩個三角形如圖擺放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE與AC交于點M，若BC∥EF，則∠DMC的大小為110°．【分析】延長ED交CB的延長線于點G，利用三角形內(nèi)角和定理可得求出∠E，∠C的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)可求出∠G的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理進行計算即可解答．【解答】解：延長ED交CB的延長線于點G，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°，∵∠EDF＝100°，∠F＝40°，∴∠E＝180°﹣∠F﹣∠EDF＝40°，∵EF∥BC，∴∠E＝∠G＝40°，∴∠DMC＝180°﹣∠C﹣∠G＝110°，故答案為：110°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．22．（2022?鎮(zhèn)江）如圖，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，若DE＝1，則FG＝1．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AB的長，進而利用三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵∠ADB＝90°，E是AB的中點，∴AB＝2DE＝2，∵F、G分別為AC、BC的中點，∴FG是△ACB的中位線，∴FG＝AB＝1，故答案為：1．【點評】此題考查三角形中位線定理，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AB的長解答．23．（2022?東營）如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC＝40°，則∠AOC的度數(shù)為100°．【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OCA＝∠BOC＝40°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算∠AOC的度數(shù)．【解答】解：∵AC∥半徑OB，∴∠OCA＝∠BOC＝40°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠OCA＝180°﹣40°﹣40°＝100°．故答案為：100°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和圓的認識．24．（2022?朝陽）等邊三角形ABC中，D是邊BC上的一點，BD＝2CD，以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE．若CE＝2，則等邊三角形ABC的邊長為3或．．【分析】分兩種情況，先證明△CAE≌△BAD（SAS），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：如圖，E點在AD的右邊，∵△ADE與△ABC都是等邊三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD．在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD＝2，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1＝3，∴等邊三角形ABC的邊長為3，如圖，E點在AD的左邊，同上，△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBD＝120°，過點E作EF⊥BC交CB的延長線于點F，則∠EBF＝60°，∴EF＝BE＝CD，BF＝BE＝CD，∴CF＝BF+BD+CD＝CD，在Rt△EFC中，CE＝2，∴EF2+CF2＝CE2＝4，∴+＝4，∴CD＝或CD＝﹣（舍去），∴BC＝，∴等邊三角形ABC的邊長為，故答案為：3或．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明△CAE≌△BAD是解題的關(guān)鍵．25．（2022?錦州）如圖，A1為射線ON上一點，B1為射線OM上一點，∠B1A1O＝60°，OA1＝3，B1A1＝1．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1＝60°，C1D1與射線OM交于點B2，得△C1B1B2；延長B2D1交射線ON于點A2，以B2A2為邊在其右側(cè)作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2＝60°，C2D2與射線OM交于點B3，得△C2B2B3；延長B3D2交射線ON于點A3，以B3A3為邊在其右側(cè)作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3＝60°，C3D3與射線OM交于點B4，得△C3B3B4；…，按此規(guī)律進行下去，則△C2022B2022B2023的面積為．【分析】過點B1作B1D⊥OA1于點D，連接B1D1，B2D2，B3D3，分別作B2H⊥B1D1，B3G⊥B2D2，B4E⊥B3D3，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及題意可得B1D1∥OA1，B2D2∥OA1，B3D3∥OA1，則有，進而可得出規(guī)律進行求解．【解答】解：過點B1作B1D⊥OA1于點D，連接B1D1，B2D2，B3D3，分別作B2H⊥B1D1，B3G⊥B2D2，B4E⊥B3D3，如圖所示：∴∠B1DO＝∠B1DA1＝∠B2HD1＝∠B3GD2＝∠B4ED3＝90°，∵∠B1A1O＝60°，∴∠DB1A1＝30°，∵B1A1＝1，OA1＝3，∴，，∴，∴，∵菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1＝60°，∴△A1B1D1是等邊三角形，∴∠A1B1D1＝60°，B1D1＝A1B1＝1，∵∠A1B1D1＝∠OA1B1＝60°，∴OA1∥B1D1，∴∠O＝∠B2B1D1，∴，設(shè)B2D1＝x，∵∠B2D1H＝60°，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，同理可得：，，∴，由上可得：，，∴，故答案為：．【點評】本題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）26．（2022?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）AE平分∠BAD交BC于點E，∠BCD＝50°．求證：AE∥DC．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠BAD；（2）根據(jù)角平分線的定義求出∠DAE，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AEB，得到∠AEB＝∠BCD，根據(jù)平行線的判定定理證明結(jié)論．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°；（2）證明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝50°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°，∵∠BCD＝50°，∴∠AEB＝∠BCD，∴AE∥DC．【點評】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2022?淮安）已知：如圖，點A、D、C、F在一條直線上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求證：∠B＝∠E．【分析】利用全等三角形的判定和性質(zhì)定理解答即可．【解答】證明：∵AD＝CF，∴AD+CD＝CF+CD，∴AC＝DF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確利用全等三角形的判定定理進行解答是解題的關(guān)鍵．28．（2022?淄博）如圖，△ABC是等腰三角形，點D，E分別在腰AC，AB上，且BE＝CD，連接BD，CE．求證：BD＝CE．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠EBC＝∠DCB，進而利用SAS證明△EBC與△DCB全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC與△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用SAS證明△EBC與△DCB全等解答．29．（2022?徐州）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點，連接DE．過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點．連接DG，交PC于點H．（1）∠EDC的度數(shù)為45°；（2）連接PG，求△APG的面積的最大值；（3）PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（4）求的最大值．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由三角形中位線定理可得DE∥AB，可求解；（2）設(shè)AP＝x，由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理可求AG的長，由三角形面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；（3）由“SAS”可證△CEF≌△GDF，可得CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，可求解；（4）利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)分別求出CH，CE的值，即可求解．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝12，∵D、E分別為BC、PC的中點，∴DE∥AB，DE＝BP，∴∠EDC＝∠ABC＝45°，故答案為：45；（2）設(shè)AP＝x，則BP＝12﹣x，∵DE＝BP，∴DE＝6﹣，∵GF⊥BC，∠EDC＝45°，∴∠EDC＝∠DEF＝45°，∴DF＝EF＝DE＝3﹣x，∵點D是BC的中點，∴BD＝CD＝6，∴CF＝3+x，∵GF⊥BC，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠CGF＝45°，∴GF＝FC，∴GC＝FC＝6+，∴AG＝6﹣，∴S△APG＝×AP×AG＝×x×（6﹣）＝﹣（x﹣6）2+9，∴當x＝6時，△APG的面積的最大值為9；（3）PE⊥DG，DG＝PE，理由如下：∵DF＝EF，∠CFE＝∠GFD＝90°，CF＝GF，∴△CEF≌△GDF（SAS），∴CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，∵∠DGF+∠GDF＝90°，∴∠GDF+∠DCE＝90°，∴∠DHC＝90°，∴DG⊥PE，∵點E是PC的中點，∴PE＝EC，∴DG＝PE；（4）方法一、∵CF＝3+x＝GF，EF＝3﹣x，∴EC＝＝，∵AP＝x，AC＝12，∴PC＝＝，∵∠ACP＝∠GCH，∠A＝90°＝∠GHC，∴△APC∽△HGC，∴＝，∴＝，∴GH＝，CH＝，∴＝＝12×＝≤＝＝＝，∴的最大值為．方法二、如圖，過點H作MH∥AB，交BC于M，∵∠DHC＝90°，∴點H以CD為直徑的⊙O上，連接OH，并延長交AB于N，∵MH∥AB，∴，∵OH，OB是定長，∴ON的取最小值時，OM有最大值，∴當ON⊥AB時，OM有最大值，此時MH⊥OH，CM有最大值，∵DE∥AB，∴MH∥DE，∴，∴當CM有最大值時，有最大值，∵AB∥MH，∴∠HMO＝∠B＝45°，∵MH⊥OH，∴∠HMO＝∠HOM＝45°，∴MH＝HO，∴MO＝HO，∵HO＝CO＝DO，∴MO＝CO，CD＝2CO，∴CM＝（+1）CO，∴＝＝．【點評】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．30．（2022?菏澤）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點D，在DA上取點E，使DE＝DC，連接BE、CE．（1）直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；（2）如圖2，將△BED繞點D旋轉(zhuǎn)，得到△B′E′D（點B′、E′分別與點B、E對應），連接CE′、AB′，在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE′與AB′的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致？請說明理由；（3）如圖3，當△BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線CE′與AD、AB′分別交于點G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的長．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，∠ABC＝∠DAB＝45°，∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，可得結(jié)論；（2）通過證明△ADB'∽△CDE'，可得∠DAB'＝∠DCE'，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得AB'＝AD，即可求解．【解答】解：（1）如圖1，延長CE交AB于H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，∵DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE′與AB′的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是一致，理由如下：如圖2，延長CE'交AB'于H，由旋轉(zhuǎn)可得：CD＝DE'，B'D＝AD，∵∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠CDE'＝∠ADB'，又∵＝1，∴△ADB'∽△CDE'，∴∠DAB'＝∠DCE'，∵∠DCE'+∠DGC＝90°，∴∠DAB'+∠AGH＝90°，∴∠AHC＝90°，∴CE'⊥AB'；（3）如圖3，過點D作DH⊥AB'于點H，∵△BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°，∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，∵DH⊥AB'，∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，∴AB'＝AD，由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，∵AD⊥BC，CD＝，∴DG＝1，CG＝2DG＝2，∴CG＝FG＝2，∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，∴AG＝2GF＝4，∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，∴AB'＝AD＝5．【點評】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．31．（2022?濟寧）如圖，△AOB是等邊三角形，過點A作y軸的垂線，垂足為C，點C的坐標為（0，）．P是直線AB上在第一象限內(nèi)的一動點，過點P作y軸的垂線，垂足為D，交AO于點E，連接AD，作DM⊥AD交x軸于點M，交AO于點F，連接BE，BF．（1）填空：若△AOD是等腰三角形，則點D的坐標為（0，）或（0，2）；（2）當點P在線段AB上運動時（點P不與點A，B重合），設(shè)點M的橫坐標為m．①求m值最大時點D的坐標；②是否存在這樣的m值，使BE＝BF？若存在，求出此時的m值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）分為點P在線段AB上和在BA的延長線兩種情形．當點P在AB上時，AD＝OD，通過解Rt△ACD求得結(jié)果；當點P在BA延長線上時，OD＝OA＝2，從而求得點D坐標；（2）①設(shè)OD＝x，可證得△ACD∽△DOM，從而得出m和x之間二次函數(shù)關(guān)系式，進一步求得結(jié)果；②作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H，可證得AE＝OF，從而表示出FH和OH及DH，根據(jù)△DHF∽△DOM列出關(guān)于x的方程，進而求得x，進一步求得m的值．【解答】解：（1）∵△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，當點P在線段AB上時，AD＝OD，∴∠DAO＝∠AOD＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，∵AC⊥y軸，∴∠CAO＝∠AOB＝60°，∴∠CAD＝∠OAC﹣∠DAO＝60°﹣30°＝30°，在Rt△AOC中，AC＝OC?tan∠AOC＝＝1，OA＝2AC＝2，在Rt△ACD中，AD＝＝，∴DO＝，∴D（0，），當點P在BA的延長線上時，OD＝OA＝2，∴D（0，2），故答案為：（0，）或（0，2）；（2）①設(shè)OD＝x，則CD＝﹣x，∵∠ACD＝∠DOM＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵DM⊥AD，∴∠ADM＝90°，∴∠ADC+∠ODM＝90°，∴∠CAD＝∠ODM，∴△ACD∽△DOM，∴，∴＝，∴m＝x?（）＝﹣（x﹣）2+，∴當x＝時，m最大＝，∴當m最大＝時，D（0，）；②如圖，假設(shè)存在m，使BE＝BF，作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H，∵BE＝BF，∴GE＝GF，∵△AOB是等邊三角形，∴AB＝OB，∴AG＝OG，∴AG﹣GE＝OG﹣GF，即：AE＝OF，由①知：m＝x，∵∠ACD＝∠CDQ＝∠AQD＝90°，∴四邊形ACDQ是矩形，∴AQ＝CD＝﹣x，在Rt△AEQ中，AE＝＝＝，∴OF＝AE＝，在Rt△OFH中，HF＝＝，OH＝OF＝﹣x，∴DH＝OD﹣OH＝x﹣（﹣x），∵HF∥OM，∴△DHF∽△DOM，∴，∴＝，∴x＝，∴m＝＝2﹣＝．【點評】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“一線三直角”等模型．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共7小題）1．（2023?未央?yún)^(qū)校級三模）唐代李白《日出行》云：“日出東方隈，似從地底來”．描述的是看日出的景象，意思是太陽從東方升起，似從地底而來．如圖，此時觀測到地平線和太陽所成的視圖可能是（）A． B． C． D．【分析】利用圓在海平面以下部分用虛線可對各選項進行判斷．【解答】解：觀測到地平線和太陽所成的視圖可能．故選：C．【點評】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．也考查了視圖．2．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，AB∥CD，CE平分∠BCD，若∠ABC＝58°，則∠ECD的度數(shù)為（）A．39° B．29° C．38° D．28°【分析】先利用平行線的性質(zhì)可得∠ABC＝∠BCD＝58°，然后再利用角平分線的定義進行計算即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∠ABC＝58°，∴∠ABC＝∠BCD＝58°，∵CE平分∠BCD，∴∠ECD＝∠BCD＝29°，故選：B．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023?秦都區(qū)校級模擬）如圖，BE是△ABC外角的平分線，且BE∥AC，∠C＝50°，則∠A等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠DBE＝∠C＝50°，∠A＝∠ABE，再由角平分線的定義得∠ABE＝∠DBE＝50°，從而可求解．【解答】解：∵BE∥AC，∠C＝50°，∴∠DBE＝∠C＝50°，∠A＝∠ABE，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE＝50°，∴∠A＝50°．故選：A．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．4．（2023??？谝荒＃┤鐖D，一副直角三角尺如圖擺放，點D在BC的延長線上，EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠CED＝15°，則∠F的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．45° D．60°【分析】利用平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求解．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30，∴∠ACB＝60°，∵∠ACB＝∠CED+∠EDB，∴∠EDB＝45°，∵∠EDF＝90°，∴∠FDH＝45°，∵EF∥CD，∴∠F＝∠FDH＝45°．故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023?黔江區(qū)一模）如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形∠1＝50°，則∠2的大小為（）A．60° B．80° C．70° D．100°【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及外角性質(zhì)可求∠3，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵∠1＝50°，∴∠3＝∠1+∠A＝50°+60°＝110°，∵直線l1∥l2，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝70°，故選：C．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023?三亞一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D為BC的中點，E為邊AC上一點（不與端點重合），過點E作EG⊥BC于點G，作EH⊥AD于點H，過點B作BF∥AC交EG的延長線于點F．若AG＝3，則陰影部分的面積為（）A．12 B．12.5 C．13 D．13.5【分析】設(shè)DG＝a，CG＝b，則CD＝a+b，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x和y的代數(shù)式的值，然后用含有x和y的代數(shù)式表示出陰影部分的面積，進而求出陰影部分的面積即可．【解答】解：設(shè)DG＝a，CG＝b，則CD＝a+b，∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC，又∵D為BC的中點，∴BD＝AD＝CD＝a+b，BC＝2BD＝2（a+b），∵EG⊥BC，EH⊥AD，∴四邊形DGEH為矩形，∠GEC＝45°，∴DH＝EG＝CG＝b，∵BF∥AC，∴∠FBG＝∠ACB＝45°，∵EF⊥BC，∴∠F＝45°，∴GF＝BG＝BD+DG＝a+b+a＝2a+b，由勾股定理得，AD2+DG2＝AG2，∴（a+b）2+a2＝32，整理得，2a2+2ab+b2＝9，由題意知，S陰＝S△ABC+S△BGF﹣S矩形DGEH＝BC?AD+BG?GF﹣DG?DH＝BD?AD+BG2﹣DG?DH＝（a+b）2+（2a+b）2﹣ab＝a2+2ab+b2+2a2+ab+b2﹣ab＝（2a2+2ab+b2）＝×9＝13.5，故選：D．【點評】本題主要考查直角三角形的知識，熟練掌握勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．7．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，且點M在線段OA上．若OA＝16，則OH的長為（）A．9 B． C． D．【分析】由已知可知∠AOB＝∠BOC＝……＝∠LOM＝30°，∠ABO＝∠BCO＝……＝∠LMO＝90°，可知AB：OB：OA＝BC：OC：OB＝……＝FG：OG：OF＝1：：2，由此可求出OH的長．【解答】解：由圖可知，∠ABO＝∠BCO＝……＝∠LMO＝90°，∵∠AOB＝∠BOC＝……＝∠LOM＝360°÷12＝30°，∴∠A＝∠OBC＝∠OCD＝……＝∠OLM＝60°，∴AB＝OA，OB＝AB＝OA，同理可得，OC＝OB＝（）2OA，OD＝OC＝（）3OA，……OH＝OG＝（）7OA＝（）7×16＝．故選：D．【點評】本題主要考查含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，掌握含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）8．（2023?奉賢區(qū)一模）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心．如果AD＝6，那么線段DG的長是3．【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)三角形的重心到一頂點的距離等于到對邊中點距離的2倍，直接求得結(jié)果．【解答】解：∵三角形的重心到頂點的距離是其到對邊中點的距離的2倍，∴DG＝AG＝3．故答案為：3．【點評】本題考查的是三角形的重心，熟知心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵．9．（2023?蕭縣一模）在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，點A，B，C，D均在格點上，連接AC，BD相交于點E，若小正方形的邊長為1，則點E到AB的距離為．【分析】過點E作FG∥AD，則FG⊥AB，F(xiàn)G⊥CD，先根據(jù)勾股定理計算AC的長，再根據(jù)△ABE∽△CDE，對應邊成比例，得到，所以，從而求出AE的長．【解答】解：過點E作FG∥AD，則FG⊥AB，F(xiàn)G⊥CD，在Rt△ACD中，AC＝，∵AB∥DC，∴△ABE∽△CDE，∴，∴＝，∴＝，∴EF＝FG＝×3＝，即點E到AB的距離為．故答案為：．【點評】本題考查勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．10．（2023?崇明區(qū)一模）如圖，△ABC的兩條中線AD和BE相交于點G，過點E作EF∥BC交AD于點F，那么＝．【分析】由三角形的重心定理得出＝，＝，由平行線分線段成比例定理得出＝，從而得到的值．【解答】解：∵線段AD、BE是△ABC的中線，∴＝，＝，∵EF∥BC，∴＝＝，∴＝．故答案為：．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理、三角形的重心定理；熟練掌握三角形的重心定理，由平行線分線段成比例定理得出FG：DG＝1：2是解決問題的關(guān)鍵11．（2023?崇明區(qū)一模）點P是線段MN的黃金分割點，如果MN＝10cm，那么較長線段MP的長是（5﹣5）cm．【分析】由黃金分割的定義即可計算．【解答】解：較長線段MP＝10×＝（5﹣5）（cm）．故答案為：（5﹣5）．【點評】本題考查黃金分割，掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2023?吉陽區(qū)一模）長方形如圖折疊，D點折疊到D′的位置．已知∠D′FC＝76°，則∠EFC＝128°．【分析】根據(jù)翻折不變性可知∠DFE＝∠D′FE，又因為∠D′FC＝76°，根據(jù)平角的定義，可求出∠EFC的度數(shù)．【解答】解：根據(jù)翻折不變性得出，∠DFE＝∠EFD′∵∠D′FC＝76°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC＝180°，∴2∠EFD′＝180°﹣76°＝104°∴∠EFD′＝52°，∴∠EFC＝∠EFD′+∠D′FC＝76°+52°＝128°．故答案為：128°．【點評】此題考查了角的計算和翻折變化，掌握長方形的性質(zhì)和翻折不變性是解題的關(guān)鍵．13．（2023?槐蔭區(qū)模擬）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β＝45度．【分析】連接BC，根據(jù)勾股定理AB＝BC＝＝，AC＝＝，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ABC＝90°，求得∠BAC＝∠ACB＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接BC，∵AB＝BC＝＝，AC＝＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵AB＝BC＝，AE＝BD＝1，BE＝CD＝2，∴△ABE≌△BCD，∴∠ACD＝∠ABE＝α，∵AE∥CD，∴∠DCA＝∠CAE＝β，∴α+β＝∠BCA＝45°，故答案為：45．【點評】本題考查了全等圖形，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．14．（2023?瓊山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣3，0），B（3，0），C（3，2），如果△ABC與△ABD全等，那么點D的坐標可以是（3，﹣2）（答案不唯一）（寫出一個即可）．【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)以及坐標與圖形的性質(zhì)即可得出符合題意的答案．【解答】解：如圖所示：延長CB到D，使BD＝BC，連接AD，∵△ABC與△ABD全等，∴BD＝BC，∠ABC＝∠ABD＝90°，∵C的坐標為（3，2），∴D的坐標為（3，﹣2），故答案為：（3，﹣2）（答案不唯一）．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)以及坐標與圖形的性質(zhì)，正確掌握全等圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2023?深圳模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中點，過點B作BD⊥AB，交CE的延長線于點D，若BD＝4，CD＝8，則AC＝．【分析】先根據(jù)題意作出輔助線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AE＝BE＝CE＝x，利用勾股定理推出BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解出x的值，推出AE、BE、CE和DE的長，根據(jù)∠CFE＝∠EBD和∠CEF＝∠DEB推出△CFE∽△DBE，可求出EF和CF的長，再求出AF的長，利用勾股定理即可求出AC的長．【解答】解：如圖所示，過點C作CF⊥AB于點F，設(shè)CE＝x，則DE＝CD﹣CE＝8﹣x，∵在Rt△ABC中，點E為AB的中點，∴AE＝BE＝CE＝x，∵BD⊥AB，∴∠EBD＝90°，∴BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AE＝BE＝CE＝3，DE＝8﹣3＝5，∵CF⊥AB，∴∠CFE＝∠CFA＝90°，∴∠CFE＝∠EBD，又∵∠CEF＝∠DEB，∴△CFE∽△DBE，∴，即，解得：EF＝，CF＝，∴AF＝AE﹣EF＝，∵∠CFA＝90°，∴AC＝＝；故答案為：．【點評】本題主要考查的是直角三角形斜邊的中線和相似三角形，解題關(guān)鍵：一是求出AE、BE、CE和DE的長，二是證出△CFE∽△DBE．三．解答題（共10小題）16．（2023?定遠縣校級一模）【數(shù)學抽象】實驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖①，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角相等，即∠1＝∠2．（1）利用這個規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡，請解釋進入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線n是平行的？（2）如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會隨之改變．若入射光線m與反射光線n平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角∠ABC為多少度？【分析】（1）已知AB∥CD，則∠2＝∠3，根據(jù)入射角等于反射角可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，所以∠5＝∠6，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可知m∥n；（2）（2）由平行線的性質(zhì)得出∠MAC+∠ACN＝180°，根據(jù)平角的定義得出∠2＝（180°﹣∠MAC），∠3＝（180°﹣∠ACN），進而得到∠2+∠3＝90°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得解．【解答】解：（1）∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代換），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（等量減等量，差相等），∴∠5＝∠6（等量代換），∴m∥n（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；（2）如圖，∵∠1＝∠2，∠1+∠2+∠MAC＝180°，∴∠2＝（180°﹣∠MAC），同理，∠3＝（180°﹣∠ACN），∵m∥n，∴∠MAC+∠ACN＝180°，∴∠2+∠3＝[（180°﹣∠MAC）+（180°﹣∠ACN）]＝×360°﹣×（∠MAC+∠ACN）＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABC＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，即兩平面鏡的夾角∠ABC為90°．【點評】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023?定遠縣校級一模）如圖①，在等邊三角形ABC中，點D在BC邊上，點E在AC的延長線上，DA＝DE．（1）求證：∠BAD＝∠EDC；（2）如圖②，M是點E關(guān)于直線BC的對稱點，連接DM，AM，CM，求證：DM＝AM．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可；（2）證明△ADM是等邊三角形即可解決問題．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣∠DAE，∠EDC＝∠ACB﹣∠E＝60°﹣∠E，又∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠E，∴∠BAD＝∠EDC．（2）∵點M是點E關(guān)于直線BC的對稱點，∴DM＝DE，∠EDC＝∠MDC，∵DA＝DE，∴DM＝DA，由（1）可得，∠BAD＝∠EDC，∴∠MDC＝∠BAD，∵在△ABD中，∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，∴∠MDC+∠ADB＝120°，∴∠ADM＝180°﹣（∠MDC+∠ADB）＝60°，∴△ADM是等邊三角形，∴DM＝AM．【點評】本題考查軸對稱，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角的定義等知識．解題的關(guān)鍵是理解和掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)．18．（2023?閻良區(qū)一模）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，，點D是AB邊的中點．點E是射線BC上的一動點（點E不與點B重合）．點F在ED的延長線上，且DF＝DE，DG⊥EF，垂足為點D，DG交邊AC于點G．（1）求證：AF∥BC；（2）當點E在線段BC上時，設(shè)AG＝x，CE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域；（3）當CE＝2時，直接寫出AG的長．【分析】（1）證明△ADF≌△BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠FAD＝∠B，根據(jù)平行線的判定定理證明；（2）連接GF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝BE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到GF＝GE，根據(jù)勾股定理列出關(guān)系式，得到答案；（3）分點E在線段BC上，點E在線段BC的延長線上兩種情況，根據(jù)（2）的結(jié)論，勾股定理計算即可．【解答】（1）證明：在△ADF和△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（SAS），∴∠FAD＝∠B，∴AF∥BC；（2）解：連接GF，∵△ADF≌△BDE，∴AF＝BE，∵DF＝DE，DG⊥EF，∴DG是EF的垂直平分線，∴GF＝GE，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝12，∴AC＝＝18，由勾股定理得，GF2＝AF2+AG2，GE2＝CE2+CG2，∴AF2+AG2＝CE2+CG2，即（6﹣y）2+x2＝y(tǒng)2+（18﹣x）2，整理得，y＝x﹣6（6＜x＜12）；（3）解：當點E在線段BC上時，CE＝2，即y＝2，∴x﹣6＝2，解得，x＝6+，即AG＝6+，當點E在線段BC的延長線上時，如圖2，連接GE，GF，由（1）得，AF∥BC，∴∠GAF＝90°，∴AF2+AG2＝CE2+CG2，即（2+6）2+x2＝22+（18﹣x）2，?解得，x＝6﹣，綜上所述，當CE＝2時，AG的長為6+或6﹣．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．（2023?定遠縣校級一模）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A出發(fā)，沿A→B方向運動，速度為每秒2cm；點Q從點B出發(fā)，沿B→C→A方向運動，速度為每秒4cm；兩點同時開始運動，設(shè)運動時間為t秒．（1）①Rt△ABC斜邊AC上的高為9.6cm；②當t＝3時，PQ的長為；（2）當點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒鐘后，△BPQ是等腰三角形？（3）當點Q在邊AC上運動時，直接寫出所有能使△BCQ成為等腰三角形的t的值．【分析】（1）①利用勾股定理可求解AC的長，利用面積法進而可求解Rt△ABC斜邊AC上的高；②可求得AP和BQ，則可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的長；（2）用t可分別表示出BP和BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理可得，∴Rt△ABC斜邊AC上的高為；②當t＝3時，則AP＝6cm，BQ＝4t＝12cm，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（cm），在Rt△BPQ中，由勾股定理可得，即PQ的長為，故答案為：①9.6cm；②；（2）由題意可知AP＝2tcm，BQ＝4tcm，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣2t（cm），當△BPQ為等腰三角形時，則有BP＝BQ，即16﹣2t＝4t，解得，∴出發(fā)秒后△BPQ能形成等腰三角形；（3）在△ABC中，AC＝20cm，當點Q在AC上時，AQ＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t（cm），CQ＝4t﹣12（cm），∵△BCQ為等腰三角形，∴有BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三種情況，①當BQ＝BC＝12時，如圖，過B作BE⊥AC于E，則，由（1）知BE＝9.6cm，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝9.62+（2t﹣6）2，解得t＝6.6或t＝﹣0.6＜0（舍去）；②當CQ＝BC＝12時，則4t﹣12＝12，解得t＝6；③當CQ＝BQ時，則∠C＝∠QBC，∴∠C+∠A＝∠CBQ+∠QBA，∴∠A＝∠QBA，∴QB＝QA，∴，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5；綜上可知當運動時間為6.6秒或6秒或5.5秒時，△BCQ為等腰三角形．【點評】本題為三角形的綜合應用，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、等積法、方程思想及分類討論思想等知識．用時間t表示出相應線段的長，化“動”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應用．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大．熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．20．（2023?撫州一模）如圖：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．（1）AE與FC平行嗎？說明理由．（2）AD與BC的位置關(guān)系如何？為什么？（3）DA平分∠BDF嗎？為什么？【分析】（1）根據(jù)同角的補角相等，可得∠BDC＝∠1，進而得出AE∥FC；（2）根據(jù)AE∥FC，可得∠C+∠ABC＝180°，再根據(jù)∠A＝∠C，可得∠A+∠ABC＝180°，進而得出AD∥BC；（3）根據(jù)BC平分∠EBD，可得∠3＝∠4，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，進而得到∠5＝∠6，即DA平分∠BDF．【解答】解：（1）AE與FC平行．∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°，∴∠BDC＝∠1，∴AE∥FC；（2）AD與BC平行．∵AE∥FC，∴∠C+∠ABC＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；（3）DA平分∠BDF．如圖所示，∵BC平分∠EBD，∴∠3＝∠4，∵AD∥BC，AB∥CD，∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6，∴DA平分∠BDF．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定的綜合運用，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．21．（2023?雁塔區(qū)一模）如圖①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，E為△ABC內(nèi)一點，連接ED并延長到F，使得ED＝DF，連接AF、CF．（1）求證：BE∥CF；（2）若∠EBD＝∠BAC，求證：AF2＝AB2+BE2；（3）如圖②連接，探索當∠BEC與∠BAC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，AC＝AF，并說明理由．【分析】（1）利用SAS證明△BDE?△CDF，可得∠EBD＝∠FCD，運用平行線判定定理即可證得結(jié)論；（2）由全等三角形性質(zhì)可得：BE＝CF，∠EBD＝∠FCD，由等腰三角形性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝，進而可得∠ACF＝90°，運用勾股定理即可得出答案；（3）如圖，連接BF，先證明四邊形BECF是平行四邊形，利用平行四邊形性質(zhì)可得∠BEC＝∠BFC，再運用四邊形內(nèi)角和為360°即可求得答案．【解答】（1）證明：∵D是BC的中點，∴BD＝DC，∵ED＝DF，∠EDB＝∠CDF，∴△BDE?△CDF（SAS），∴∠EBD＝∠FCD，∴BE∥CF；（2）證明：由（1）可知△BDE?△CDF（SAS），∴BE＝CF，∠EBD＝∠FCD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝，∵∠EBD＝∠BAC，∴∠FCD＝∠BAC，∴∠ACF＝∠ACB+∠FCD＝+∠BAC＝90°，∴AF2＝AC2+CF2＝AB2+BE2；（3）解：當∠BEC＝180°﹣∠BAC時，AC＝AF．理由如下：如圖，連接BF，由（1）（2）可得：BE∥CF，BE＝CF，∴四邊形BECF是平行四邊形，∴∠BEC＝∠BFC，∵AC＝AF，AB＝AC，∴∠ABF＝∠AFB，∠AFC＝∠ACF，∵四邊形ABFC的內(nèi)角和為360°，∴∠BAC+∠ABF+∠AFB+∠AFC+∠ACF＝360°，∴∠BAC+2（∠AFB+∠AFC）＝360°，∴∠BAC+2∠BFC＝360°，∴∠BAC+2∠BEC＝360°，∴∠BEC＝180°﹣∠BAC．【點評】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解決問題的關(guān)鍵是運用全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)．22．（2023?瓊山區(qū)一模）已知△ABC為等邊三角形，點D、E分別是BC、AC上一點．（1）如圖1，BD＝CE，連接AD、BE，AD交BE于點F，在BE的延長線上取點G，使得FG＝AF，連接AG，若AF＝4，求△AFG的面積；（2）如圖2，AD、BE相交于點G，點F為AD延長線上一點，連接BF、CF、CG，已知BD＝CE，∠BFG＝60°，∠AEB＝∠BGC，探究BF、GE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）如圖3，已知AB＝12，過點A作AD⊥BC于點D，點M是直線AD上一點，以CM為邊，在CM的下方作等邊△CMN，連DN，當DN取最小值時請直接寫出CM的長．【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，可證△AFG是等邊三角形，即可求解；（2）由“SAS”可證△ABG≌△CBF，可得AG＝CF，由“SAS”可證△CGF≌△DBG，可得CF＝GD，由線段的和差關(guān)系可求解；（3）由“SAS”可證△ACM≌△BCN，可得AM＝BN，∠CAM＝∠CBN＝30°，由直角三角形的性質(zhì)可求DN的最小值＝BD＝3，BN＝DN＝3，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，又∵DB＝EC，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠AFE＝∠BAD+∠ABF＝∠CBE+∠ABF＝∠ABC＝60°，又∵AF＝FG，∴△AFG是等邊三角形，∴S△