中考數(shù)學二輪復習沖刺第11講 特殊三角形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第11講特殊三角形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1．了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會識別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定．2.能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定解決簡單問題．3.會運用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識解決有關問題．【知識導圖】【考點梳理】考點一、等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2．性質：(1)具有三角形的一切性質；(2)兩底角相等(等邊對等角)；(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)；(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°．3．判定：(1)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)；(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．考點二、直角三角形1.直角三角形：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性質：(1)直角三角形中兩銳角互余；(2)直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半；(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°；(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.3．判定：(1)兩內角互余的三角形是直角三角形；(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對的角是直角，這個三角形是直角三角形；(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形，第三邊為斜邊．【典型例題】題型一、等腰三角形例1．如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．（1）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（2）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？【變式】把腰長為1的等腰直角三角形折疊兩次后，得到的一個小三角形的周長是________．例2．已知:如圖,菱形ABCD中,E、F分別是CB、CD上的點，BE=DF．(1)求證:AE=AF．(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求證：△AEF為等邊三角形．【變式】如圖，△ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，使AE=BD，連接CE、DE.求證：CE=DE.題型二、直角三角形例3．如圖，△ABC中，CF⊥AB，垂足為F，M為BC的中點，E為AC上一點，且ME=MF．（1）求證：BE⊥AC；（2）若∠A=50°，求∠FME的度數(shù)．例4．如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分別交CE，AE于點G、H.試猜測線段AE和BD的位置和數(shù)量關系，并說明理由．

【變式】.以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個等腰直角三角形的面積Sn=________.題型三、綜合運用例5.如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過程如下：如圖①，連接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH．又∵，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如圖②，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=______.點P到AB邊的距離PE=________.例6．在△ＡＢＣ中，AC=BC，，點D為AC的中點．（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連結CF，過點F作，交直線AB于點H．判斷FH與FC的數(shù)量關系并加以證明．（2）如圖2，若E為線段DC的延長線上任意一點，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結論是否發(fā)生改變，直接寫出你的結論，不必證明．

【變式】如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點B,C,D在一條直線上，點M是AE的中點，下列結論：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≥S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正確結論的個數(shù)是（）A.1個B.2個C.3個D.4個【中考過關真題練】一．選擇題（共9小題）1．（2022?淮安）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AC的中點，若AB＝10，則DE的長是（）A．8 B．6 C．5 D．42．（2022?寧波）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，E為BD上一點，F(xiàn)為CE中點．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長為（）A．2 B．3 C．2 D．43．（2022?賀州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，則∠A的度數(shù)為（）A．34° B．44° C．124° D．134°4．（2022?德州）將一副三角板（厚度不計）如圖擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，則∠α的角度為（）A．100° B．105° C．110° D．120°5．（2022?臺灣）如圖，△ABC中，D點在AB上，E點在BC上，DE為AB的中垂線．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，則根據(jù)圖中標示的角，判斷下列敘述何者正確？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3 C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠36．（2022?大連）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．分別以點A和點C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN．直線MN與AB相交于點D，連接CD，若AB＝3，則CD的長是（）A．6 B．3 C．1.5 D．17．（2022?黑龍江）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC與BC相交于點D，點E是AB的中點，點F是DC的中點，連接EF交AD于點P．若△ABC的面積是24，PD＝1.5，則PE的長是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．38．（2022?青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F(xiàn)為DE中點，連接BF．若AC＝16，BC＝12，則BF的長為（）A．5 B．4 C．6 D．89．（2022?宜賓）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點D是BC邊上的動點（不與點B、C重合），DE與AC交于點F，連結CE．下列結論：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，則＝；④在△ABC內存在唯一一點P，使得PA+PB+PC的值最小，若點D在AP的延長線上，且AP的長為2，則CE＝2+．其中含所有正確結論的選項是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④二．填空題（共10小題）10．（2022?岳陽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，若BC＝6，則CD＝．11．（2022?蘇州）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為．12．（2022?黔西南州）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，AC與DE相交于點F．若BC∥AE，則∠AFE的度數(shù)為．13．（2022?荊州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若CE＝AE＝1，則CD＝．14．（2022?廣安）若（a﹣3）2+＝0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為．15．（2022?河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點D為AB的中點，點P在AC上，且CP＝1，將CP繞點C在平面內旋轉，點P的對應點為點Q，連接AQ，DQ．當∠ADQ＝90°時，AQ的長為．16．（2022?鎮(zhèn)江）如圖，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，若DE＝1，則FG＝．17．（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，則EF＝BE+DF．【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分別有景點M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之間修一條直路，則路線M→N的長比路線M→A→N的長少m（結果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）．18．（2022?鄂州）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點，AD與BE相交于點P，若BD＝CE＝2，則△ABP的周長為．19．（2022?西寧）如圖，△ABC中，AB＝6，BC＝8，點D，E分別是AB，AC的中點，點F在DE上，且∠AFB＝90°，則EF＝．三．解答題（共4小題）20．（2022?溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當AB＝AC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由．21．（2022?鄂爾多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．（1）如圖1，點E、F分別是線段BD、AD上的點，且DE＝DF，AE與CF的延長線交于點M，則AE與CF的數(shù)量關系是，位置關系是；（2）如圖2，點E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交CF于點M．①（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；③若DM＝6，ED＝12，求EM的長．22．（2022?徐州）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點，連接DE．過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點．連接DG，交PC于點H．（1）∠EDC的度數(shù)為°；（2）連接PG，求△APG的面積的最大值；（3）PE與DG存在怎樣的位置關系與數(shù)量關系？請說明理由；（4）求的最大值．23．（2022?菏澤）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點D，在DA上取點E，使DE＝DC，連接BE、CE．（1）直接寫出CE與AB的位置關系；（2）如圖2，將△BED繞點D旋轉，得到△B′E′D（點B′、E′分別與點B、E對應），連接CE′、AB′，在△BED旋轉的過程中CE′與AB′的位置關系與（1）中的CE與AB的位置關系是否一致？請說明理由；（3）如圖3，當△BED繞點D順時針旋轉30°時，射線CE′與AD、AB′分別交于點G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的長．

【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共11小題）1．（2023?蜀山區(qū)校級一模）已知等腰△ABC，∠A的相鄰外角是130°，則這個三角形的頂角為（）A．65°或80° B．80° C．50°或80° D．50°2．（2023?碑林區(qū)校級二模）如圖，△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，點D在邊BC上，且AD＝AC，若CD＝2，則BD的長為（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．33．（2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，則的值為（）A． B． C． D．4．（2023?泰山區(qū)校級一模）輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，則C處與燈塔A的距離是（）海里．A．25 B．25 C．50 D．255．（2023?定遠縣校級一模）如圖所示，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，且AB＝8，MN＝3，則AC的長是（）A．12 B．14 C．16 D．186．（2023?定遠縣校級一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于點D，若∠A＝40°，則有（）A．∠1＝50° B．∠1＝40° C．∠1＝35° D．∠1＝20°7．（2023?海棠區(qū)一模）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則等腰三角形的底角度數(shù)為（）A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°8．（2023?黔江區(qū)一模）如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形∠1＝50°，則∠2的大小為（）A．60° B．80° C．70° D．100°9．（2023?定遠縣校級一模）如圖，將一副直角三角尺重疊擺放，使得60°角的頂點與等腰直角三角形的直角頂點重合，且DE⊥AB于點D，與BC交于點F，則∠FCE的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．75° D．85°10．（2023?瑤海區(qū)校級模擬）如圖，在等邊△ABC中，點A、C分別在x軸、y軸上，AC＝4，當點A在x軸正半軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）A．4 B．2+ C．+2 D．2+211．（2023?深圳模擬）如圖，∠ABC＝∠ADB＝90°，DA＝DB，AB與CD交于點E，若BC＝2，AB＝4，則點D到AC的距離是（）A． B． C． D．二．填空題（共2小題）12．（2023?金安區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AB交AC于點D，CD＝OD，則∠BAC＝°．13．（2023?深圳模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中點，過點B作BD⊥AB，交CE的延長線于點D，若BD＝4，CD＝8，則AC＝．三．解答題（共8小題）14．（2023?閻良區(qū)一模）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，，點D是AB邊的中點．點E是射線BC上的一動點（點E不與點B重合）．點F在ED的延長線上，且DF＝DE，DG⊥EF，垂足為點D，DG交邊AC于點G．（1）求證：AF∥BC；（2）當點E在線段BC上時，設AG＝x，CE＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域；（3）當CE＝2時，直接寫出AG的長．15．（2023?雁塔區(qū)一模）如圖①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，E為△ABC內一點，連接ED并延長到F，使得ED＝DF，連接AF、CF．（1）求證：BE∥CF；（2）若∠EBD＝∠BAC，求證：AF2＝AB2+BE2；（3）如圖②連接，探索當∠BEC與∠BAC滿足什么數(shù)量關系時，AC＝AF，并說明理由．16．（2023?鼓樓區(qū)校級一模）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝4，E是BC邊上任意一點（不與B、C重合），在三角形外作等邊△CDE，連結AE、BD．（1）根據(jù)題意畫出圖形；（2）求證：AE＝BD；（3）△BDC能否為直角三角形？若能，求出BD長；若不能，請說明理由．17．（2023?瓊山區(qū)一模）已知△ABC為等邊三角形，點D、E分別是BC、AC上一點．（1）如圖1，BD＝CE，連接AD、BE，AD交BE于點F，在BE的延長線上取點G，使得FG＝AF，連接AG，若AF＝4，求△AFG的面積；（2）如圖2，AD、BE相交于點G，點F為AD延長線上一點，連接BF、CF、CG，已知BD＝CE，∠BFG＝60°，∠AEB＝∠BGC，探究BF、GE、CF之間的數(shù)量關系并說明理由；（3）如圖3，已知AB＝12，過點A作AD⊥BC于點D，點M是直線AD上一點，以CM為邊，在CM的下方作等邊△CMN，連DN，當DN取最小值時請直接寫出CM的長．18．（2023?豐臺區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），將BC邊繞點C逆時針旋轉（180°﹣α）得到線段CD．（1）判斷∠B與∠ACD的數(shù)量關系并證明；（2）將AC邊繞點C順時針旋轉α得到線段CE，連接DE與AC邊交于點M（不與點A，C重合）．①用等式表示線段DM，EM之間的數(shù)量關系，并證明；②若AB＝a，AC＝b，直接寫出AM的長．（用含a，b的式子表示）19．（2023?延安一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．（1）如圖1，點E、F分別是線段CD、AD上的點，且DE＝DF，AE與BF的延長線交于點G，則AE與BF的數(shù)量關系是，位置關系是；（2）如圖2，點E、F分別在DC和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交BF于點G．①（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請給出證明：如果不成立，請說明理由；②連接DG，若DG＝4，DE＝6，求EG的長．20．（2023?深圳模擬）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一點，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D，求AD的長．（2）類比探究：如圖2，△ABC中，AC＝14，BC＝6，點D，E分別在線段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°，DE＝2．求AD的長．（3）拓展延伸：如圖3，△ABC中，點D，點E分別在線段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°．延長DE，BC交于點F，AD＝4，DE＝5，EF＝6，DE＜BD，＝；BD＝．21．（2023?黔江區(qū)一模）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，連接DB．（1）證明：△EAC≌△DBC；（2）當點A在線段ED上運動時，猜想AE、AD和AC之間的關系，并證明．（3）在A的運動過程中，當，時，求△ACM的面積．

【名校自招練】一．選擇題（共10小題）1．（2020?西安自主招生）已知等腰三角形一個外角是110°，則它的底角的度數(shù)為（）A．110° B．70° C．55° D．70°或55°2．（2021?江夏區(qū)校級自主招生）如圖，△ABC中，AB＝AC，D、E分別為AB、AC上的點，∠BDE、∠CED的平分線分別交BC于點F、G，EG∥AB，若∠BGE＝100°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．25° D．30°3．（2022?溫江區(qū)校級自主招生）一個等腰直角三角尺和一把直尺按如圖所示的位置擺放，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．40°4．（2019?南岸區(qū)自主招生）如圖，某校園內有一池塘，為得到池塘邊的兩棵樹A，B間的距離，小亮測得了以下數(shù)據(jù)：∠A＝∠CDE，AD＝DC，DE＝10m，則A，B間的距離是（）A．10m B．15m C．20m D．25m5．（2022?巴南區(qū)自主招生）如圖，a∥b，等腰直角三角形ABC的直角頂點C在直線a上，若∠1＝12°，則∠2等于（）A．24° B．30° C．33° D．35°6．（2019?順慶區(qū)校級自主招生）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，直線將△ABC分成兩個三角形，如果其中一個三角形是等腰三角形，這樣的直線有（）條．A．5 B．7 C．9 D．107．（2021?黃州區(qū)校級自主招生）直線a∥b，A、B分別在直線a、b上，△ABC為等邊三角形，點C在直線a、b之間，∠1＝10°，則∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．70°8．（2019?漢陽區(qū)校級自主招生）如圖，已知等邊△ABC外有一點P，P落在∠BAC內，設點P到BC、CA、AB三邊的距離分別為h1，h2，h3且滿足h2+h3﹣h1＝18，那么等邊△ABC的面積為（）A． B． C． D．9．（2021?太倉市自主招生）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過O點作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，過點O作OD⊥AC于D，下列四個結論．①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③點O到△ABC各邊的距離相等；④設OD＝m，AE+AF＝n，則S△AEF＝mn，正確的結論有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（2019?柯橋