七年級上冊幾何提優(yōu)：與角相關(guān)的問題

幾何提優(yōu)二與角相關(guān)的問題閱讀與思考角也是一種基本的幾何圖形，凡是由直線組成的圖形都出現(xiàn)角.角既可以看成有公共端點的兩條射線組成的圖形，也可以看成是一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.按角的大小可以分成銳角、直角和鈍角.由于直角和平角在角中顯得特別重要，所以處于不同位置，但兩角的和是一個直角或是一個平角的角仍然得到我們的特別關(guān)注.兩角之和為直角的，這兩個角叫做互為余角；而兩角之和為平角的，這兩個角叫做互為補角，余角和補角的概念及其應(yīng)用在幾何計算和證明中都有十分重要的地位.解與角有關(guān)的問題常用到以下知識與方法：1.角的分類；2.角平分線的概念；3.互余、互補等數(shù)量關(guān)系角；4.用方程的觀點來進行角的計算.例題與求解【例1】如圖，在3×3的網(wǎng)格上標(biāo)出了∠1和∠2，則.解題思路：對圖形進行恰當(dāng)?shù)奶幚恚ㄟ^拼補求出的值.【例2】如果與互補，且，則下列表示的余角的式子中：①；②；③；④.其中正確的有（）A.4個B.3個C.2個D.1個解題思路：彼此互余的角只要滿足一定的數(shù)量關(guān)系即可，而與位置無關(guān).【例3】已知，OC是不在直線OA，OB上的任一條射線.OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC.求∠MON的大小.（題目中考慮的角都小于平角）解題思路：因OC位置不確定，故分類討論是解本例的關(guān)鍵.【例4】鐘表在12點鐘時三針重合，經(jīng)過x分鐘秒針第一次將分鐘和時針?biāo)鶌A的銳角平分，求x的值.解題思路：把秒針第一次將分鐘和時針?biāo)鶌A的銳角平分所得的兩個角用x的代數(shù)式表示，通過解方程求出x的值.【例5】（1）現(xiàn)有一個19°的“模板”（如圖），請你設(shè)計一種辦法，只用這個“模板”和鉛筆在紙上畫出1°的角來.（2）現(xiàn)有一個17°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1°的角來？（3）用一個21°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1°的角來？對（2）（3）兩問，如果能，請你簡述畫法步驟；如果不能，請你說明理由.解題思路：若只連續(xù)使用模板，則得到的是一個19°（或17°或21°）的整數(shù)倍的角，其實，解題的關(guān)鍵是在于能否找到19°（或17°或21°）的一個倍數(shù)與某個特殊角的某個倍數(shù)相差1°.【例6】如圖所示，O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC.（1）如圖①，若，求∠DOE的度數(shù)；（2）在圖①中，若，直接寫出∠DOE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；（3）將圖①中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置.①探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足，試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由圖①圖②解題思路：（1）利用互余、互補關(guān)系易求出∠DOE的度數(shù)；（2）先根據(jù)∠DOE與∠COE的互余關(guān)系列出相應(yīng)的關(guān)系式，然后用∠BOC表示出∠COE，再根據(jù)互補角的關(guān)系用α表示出所求角的度數(shù)；（3）①可設(shè)∠BOC為一個未知數(shù)，分別表示出∠AOC與∠DOE，可得相應(yīng)關(guān)系；②結(jié)合①把所給等式整理為只含所求角的關(guān)系式即可.能力訓(xùn)練A級1.已知一個角的補角等于這個角余角的6倍，那么這個角等于.2.如圖，，，那么不大于90°的角有個，它們的度數(shù)之和是.3.如圖，，若，則等于.4.如圖，O是直線AB上一點，，，OE平分∠BOD，則圖中彼此互補的角有對.5.一個角的補角的是6°，則這個角是（）A.68°B.78°C.88°D.98°6.用一副三角板可以畫出大于0°且小于176°的不同角度有（）種A.9B.10C.11D.127.如圖，若，∠1是銳角，則∠1的余角是（）A.B.C.D.8.如圖，，OD是∠COB的平分線，OE是∠AOC的平分線，設(shè)，則與α的余角相等的角是（）A.∠CODB.∠COEC.∠DOAD.∠COA9.如圖，已知，OD平分∠AOB，且，求∠AOB的度數(shù).10.如圖，已知∠AOB與∠BOC互為補角，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內(nèi)，，.求∠EOC的度數(shù).11.已知，OC平分∠AOB，，OE平分∠COD.求∠AOE的大小.12.如圖，已知OB，OC，OD為∠AOE內(nèi)三條射線.（1）圖中共有多少個角？（2）若OB，OC，OD為∠AOE四等分線，且圖中所有銳角的和為400°，求∠AOE的度數(shù).（3）若，，求圖中所有銳角的和.B級1.已知一個角的補角比這個角余角的3倍大10°，則這個角的度數(shù)是.2.α，β，γ中有兩個銳角和一個鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計算的值時，有三位同學(xué)分別算出了23°，24°，25°這三個不同的結(jié)果.其中只有一個是正確的答案，則.3.如圖，點O在直線AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一側(cè)的射線，那么在這個圖形中，不大于平角的角共有個.4.如圖，射線OC，OD，OE，OF分別平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若，則.5.4點鐘后，從時針到分針第二次成90°角，共經(jīng)過（）分鐘（答案四舍五入到整數(shù)）A.60B.30C.40D.336.如圖是一個3×3的正方形，則圖中的和等于（）A.270°B.315°C.360°D.405°7.已知，OM，ON，OP分別是∠AOB，∠BOC，∠AOC的平分線，則下列各式中成立的是（）A.B.C.D.以上情況都有可能8.如圖，∠AOC是直角，，且OB，OD分別是∠AOC，∠BOE的平分線，則∠AOE等于（）A.111.5°B.138°C.134.5°D.178°9.如圖，在直線AB上取一點O，在AB同側(cè)引射線OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BOE互余，射線OF和OD分別平分∠COE和∠BOE.求證：.10.如圖，∠A1OA11是一個平角，.求的度數(shù).11.在一個圓形時鐘的表面，OA表示秒針，OB表示分針（O為兩針的選擇中心）.若現(xiàn)在時間恰好是12點整，問經(jīng)過多少秒后，△OAB的面積第一次達到最大？答案例1 45°提示：如圖，通過拼補得∠1+∠2=45°.例2．B 提示：①（90°－∠）+∠=90°符合；②（∠－90°）+∠=∠+∠－90°=180°－90°=90°符合；③④符合.故①②④能表示的余角.13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC，∴∠AOM=∠COM=，∠CON=∠BON=（1）如圖①，若OC在∠AOB內(nèi)，設(shè)∠BOC=x，則圖?圖?圖?例6（1），，且與互為相反數(shù)。且。，，即，（2）有兩種情況，如圖??當(dāng)在上時，；當(dāng)在的延長線上時，，綜上可知，作圖如圖?，結(jié)論?正確，設(shè)，則，，當(dāng)然對于?我們也不難找出其值不為定值的原因。，變化，其值也變化A級1或提示：當(dāng)，在點兩側(cè)時，；當(dāng)，在同一側(cè)時，220341.6提示：所有線段長度總和為∠AOC＝80°－x，∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝40°．（2）如圖②，若OC在A′OB內(nèi)，設(shè)∠BOC＝x，則∠AOC＝80°＋x．∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝40°．（3）如圖③，若OC在∠A′OB′內(nèi)，設(shè)∠BOC ＝x，則∠AOC＝280°－x．∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝140°．（4）如圖④，若OC在∠AOB′內(nèi)，設(shè)∠BOC＝x，則∠AOC＝x－80°．∴∠MON＝∠NOC－∠MOC＝40°．綜上所述：∠MON＝40°或140°．例4x＝提示：顯然x的值大于1小于2，依題意得6x－360(x—1)＝360(x—1)—0.5x．例5提示：設(shè)“模板”角度為α，假設(shè)可由k個α角與t個180°角畫出1°的角來，即k，t滿足等式kα－180t＝1．（1）當(dāng)α＝19°時，取k＝19，t＝2，即用模板連續(xù)畫出19個19°的角，得到361°的角，去掉360°的周角，即得1°的角．（2）當(dāng)α＝17°時，即17k一180t＝1，此時，k＝53，t＝5是一組解，即用模板連續(xù)畫53個17°的角，得到901°的角，除去兩個周角和一個平角，即得1°的角．（3）當(dāng)α＝21°時，即21k—180t＝1無整數(shù)解，不能用21°的模板與鉛筆畫出1°的角．例6(1)∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－30°＝150°．又∵QE平分∠BOC，∠COE＝∠BOC＝75°，∠DOE＝90°－75°＝15°．（2）∠DOE＝90°－＝α．（3）①∠AOC＝180°－2∠COE＝180°—2(90°—∠DOE)＝2∠DOE；②設(shè)∠DOE＝x，∠AOF＝y(tǒng)．則∠AOC－4∠AOF＝2∠DOE－4∠AOF＝2x－4y．2∠BOE＋∠AOF＝2∠COE＋∠AOF＝2(90°—∠DOE)＋∠AOF＝2(90°一x)＋y＝180°一2x＋y．故2x—4y＝180°—2x＋y，即4x—5y＝180°．所以4∠DOE－5∠AOF＝180°．A級1．72°2．10450°提示：一共有10個角，其中∠AOE＝90°，∠BOD＝45°，∠AOB十∠BOE＝90°，∠AOC＋∠COE＝90°，∠AOD＋∠DOE＝90°，∠BOC＋∠COD＝45°．故這10個角的度數(shù)和為90°×4＋45°×2＝360°＋90＝450°．3．304．6提示：∠AOC和∠BOC，∠AOD和∠BOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE和∠DOE，∠AOE和∠COD，∠AOD和∠COE．5．B6．A7．C8．B9．114°提示：設(shè)∠AOC＝x°，是∠BOC＝2x°，∠AOD＝(x)°，∠COD＝(x)°，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝114°10．設(shè)∠AOD＝∠BOD＝x，則∠BOC＝180°—2x．又∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝(180°－2x)．又∵∠BOD＋∠BOE＝∠DOE＝72°，∴x＋(180°－2x)＝72°，解得x＝36°．則∠EOC＝∠BOC＝(180°—2x)＝72°．11．（1）如圖①，若OD在∠A′OB內(nèi)時，∵∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COE＝∠DOE＝∠COD＝30°，∴∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝70°．（2）如圖②，若OD在∠AOB′內(nèi)時，同理，∠AOC＝40°，∠OOE＝30°，∴∠AOE＝∠AOC－∠COE＝10°．綜上所述：∠AOE＝70°或10°．12．（1）共有：4＋3＋2＋l＝10個角．（2）∠AOE＝80°．（3）所有銳角度數(shù)和為：416°．B級1．50°2．345°3．154．64°提示：設(shè)∠EOF＝∠COF＝x，則∠AOE＝2x．∴∠BOC＝∠AOC＝2x＋x＋x＝4x，∠COD＝∠BOD＝∠BOC＝2x，又∵∠FOD＝∠FOC＋∠COD＝x＋2x＝3x＝24°，x＝80°，∴∠AOB＝8x＝64°．5．D6．D沿AB對折，上下圖形能夠完全重合，則∠1＋∠9＝∠4＋∠8＝∠2＋∠6＝90°．7．B8．D9．提示：∠COE＋∠BOE＝90°，∠DOF＝45°，∠AOF＋∠BOD＝135°．10．由題中條件知∠A3OA2—∠A2OA1＝2°①