第七講套利定價(jià)理論

第七講套利定價(jià)理論第7講套利定價(jià)理論2由于資本資產(chǎn)定價(jià)模型在理論和實(shí)證方面存在的缺陷（β不能很好地反映風(fēng)險(xiǎn)中許多重要的系統(tǒng)因素），一些學(xué)者開(kāi)始轉(zhuǎn)向研究其他的資產(chǎn)定價(jià)理論。史蒂芬·羅斯（1976）運(yùn)用套利思想發(fā)展出了另外一種資產(chǎn)定價(jià)方法，即套利定價(jià)理論。該方法的應(yīng)用已擴(kuò)展到金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)。3一套利的定義套利指的是，如果兩只證券的風(fēng)險(xiǎn)水平相同，但期望收益率存在差異，那么，投資者就可以通過(guò)出售（賣(mài)空）低預(yù)期收益率的證券并將獲得的資金用于購(gòu)買(mǎi)高預(yù)期收益率的證券，從而能在不進(jìn)行額外投資和承受額外風(fēng)險(xiǎn)的情況下賺取利潤(rùn)?？梢?jiàn)，套利具有“午餐”的性質(zhì)：零投資+無(wú)風(fēng)險(xiǎn)+正利潤(rùn)。4二套利定價(jià)的單因素模型證券收益率之間的協(xié)方差通常為正，因?yàn)橛幸恍┖暧^經(jīng)濟(jì)變量會(huì)引起大多數(shù)公司業(yè)績(jī)的同向變動(dòng)，如GNP、利率、通貨膨脹率、技術(shù)革命、勞動(dòng)力成本和原材料成本等。如果這些變量發(fā)生了未預(yù)料到的變化，則整個(gè)證券市場(chǎng)的收益率會(huì)相應(yīng)地發(fā)生意料外的變化。5假設(shè)我們把所有影響公司業(yè)績(jī)的宏觀經(jīng)濟(jì)因素組合成一個(gè)總的宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)，假定它的變化影響所有證券的收益率，并假定，除了這個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)的影響，股票收益率的所有其他不確定性都來(lái)自于公司特有因素。6在前述假設(shè)條件下，證券的持有期收益率就可以表示為：Ri=E(Ri)+βif+ei其中，E(Ri)是證券持有期期初預(yù)期的收益率；ERi＝E0+βiEF，E0表示F為0時(shí)證券的期望收益率，βiEF表示宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)的預(yù)期變動(dòng)對(duì)證券期望收益率的影響。f表示宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)未預(yù)期到的變化，βi表示證券收益率對(duì)F的敏感系數(shù)，ei表示未預(yù)期到的公司特有事件引起的證券收益率的變化。7在應(yīng)用中，通常用證券市場(chǎng)指數(shù)（如標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)）的收益率代表宏觀經(jīng)濟(jì)因素的影響。這樣，就可以將證券持有期的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)表示為Ri-Rf=αi+βi(Rm-Rf)+ei其中，Rm表示證券市場(chǎng)指數(shù)的收益率，Rf表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，αi表示市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為零時(shí)證券i的期望收益率，βi表示證券i的收益率變動(dòng)對(duì)市場(chǎng)指數(shù)收益率變動(dòng)的敏感度。8通過(guò)構(gòu)建充分多樣化的證券組合，可剔除企業(yè)特有因素對(duì)證券收益率的影響。充分多樣化投資組合收益率Rp和Rm之間的關(guān)系可表示為：Rp-Rf=αp+βp(Rm-Rf)對(duì)于兩個(gè)具有相同敏感系數(shù)的證券組合，進(jìn)行相同頭寸、相反方向（買(mǎi)入/賣(mài)空）的交易就能夠剔除市場(chǎng)指數(shù)收益率未預(yù)期到的變化對(duì)投資收益率的影響。9如果兩個(gè)證券組合具有相同的敏感系數(shù)，但期望收益率不同，那么，投資者通過(guò)賣(mài)空低期望收益率的證券組合，并將獲得的資金用于購(gòu)買(mǎi)高期望收益率的證券組合，就能夠在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)、零投資的情況下賺取利潤(rùn)。10在允許賣(mài)空的情況下，只要有少數(shù)幾個(gè)投資者能夠發(fā)現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，他們的競(jìng)相抬價(jià)或壓價(jià)就能夠促使證券組合的市場(chǎng)相對(duì)價(jià)格發(fā)生變化，直到所有充分多樣化的證券組合必定具有相同的收益－風(fēng)險(xiǎn)比率：(ERp-Rf)/βp=(ERq-Rf)/βq=…=(ERm-Rf)11如果無(wú)套利的期望收益-貝塔系數(shù)關(guān)系對(duì)無(wú)數(shù)不同的充分分散化的投資組合是成立的，那么，這一關(guān)系對(duì)所有單個(gè)證券的成立也幾乎是可以肯定的。當(dāng)然，這并不排除個(gè)別或一小部分證券違反該關(guān)系的可能性。因此，當(dāng)證券市場(chǎng)處于均衡時(shí)，單個(gè)證券的預(yù)期收益率也可以表示為：ERi-Rf=βi(ERm-Rf)這意味著市場(chǎng)只對(duì)證券包含的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)提供補(bǔ)償。12三金融衍生產(chǎn)品的套利定價(jià)理論套利定理考慮一個(gè)試驗(yàn)，其所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合為{1,2,…,m}。假設(shè)我們?cè)诘趇(i=1,2,…,n)個(gè)賭博中投入xi單位的賭金，若試驗(yàn)結(jié)果是j(j=1,2,…,m)，則獲得收益xiri(j)，其中，ri(j)表示在第i個(gè)賭博上投入一單位賭金的收益函數(shù)。投入的賭金數(shù)量可以為正、負(fù)或零。13設(shè)賭博策略為x=(x1,x2,…xn)，則當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果是j(j=1,2,…,m)，該賭博策略的收益為∑xiri(j)。在該試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所構(gòu)成的集合上，要么存在一個(gè)概率向量p=(p1,p2,…,pm)，使得在這個(gè)概率下每一種賭博的期望收益都為零；要么存在一個(gè)在任何試驗(yàn)結(jié)果下都能獲得正收益的賭博策略。14滿(mǎn)足無(wú)套利條件的證券價(jià)格運(yùn)動(dòng)模式。由于所有的衍生證券都可以由其標(biāo)的證券構(gòu)造，因此，在可以選擇由衍生證券和標(biāo)的證券的組合作為賭博策略的情況下，需要研究什么樣的證券價(jià)格運(yùn)動(dòng)模式才能滿(mǎn)足無(wú)套利條件。15幾何布朗運(yùn)動(dòng)。設(shè)現(xiàn)在時(shí)刻是0，用S(y)表示未來(lái)y時(shí)刻的證券價(jià)格。如果對(duì)任何非負(fù)的實(shí)數(shù)y，t，隨機(jī)變量[S(t+y)/S(y)]獨(dú)立于y時(shí)刻及此前的所有價(jià)格，且㏑[S(t+y)/S(y)]是均值為μt，標(biāo)準(zhǔn)差σ√t的正態(tài)隨機(jī)變量，我們就稱(chēng)價(jià)格族S(y)，0≤y<∞服從漂移參數(shù)為μ，波動(dòng)參數(shù)為σ的幾何布朗運(yùn)動(dòng)的分布。16作為幾何布朗運(yùn)動(dòng)的n階近似，我們可以假設(shè)每過(guò)t/n個(gè)單位的時(shí)間，證券的價(jià)格變化一次，且要么以1/2[1+(μ/σ)√t/n]的概率上升為原價(jià)格的u=exp(σ√t/n)，要么以1/2[1-(μ/σ)√t/n]下跌為原價(jià)格的d=exp(-σ√t/n)。根據(jù)套利定理，為了不存在套利機(jī)會(huì)，在每個(gè)時(shí)期購(gòu)買(mǎi)證券的期望收益都應(yīng)為零，因此，p=1/2[1+(μ/σ)√t/n]︽1/2[1+(r/σ-σ/2)

√t/n]。17當(dāng)n→∞時(shí)，該證券價(jià)格變化的概率分布就收斂為漂移參數(shù)為(r-σ2/2)，波動(dòng)參數(shù)為σ的幾何布朗運(yùn)動(dòng)的分布