2025年廣東省高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平合格考試卷試題（含答案解析）

年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試卷滿分150分，考試用時(shí)90分鐘。注意事項(xiàng)： 1. 答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效?？忌仨毐３执痤}卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，條件，條件，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．5．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)一臺(tái)需增加投入20萬元，若年銷售收入（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：臺(tái)）滿足函數(shù)：則當(dāng)該公司所獲年利潤最大時(shí)，年產(chǎn)量為（

）A．50 B．80 C．100 D．1206．的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則（

）A． B． C．1 D．27．下圖是某班學(xué)生的一次數(shù)學(xué)測試成績的頻率分布直方圖，則該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績平均數(shù)的估計(jì)值為（

）

A．80 B．85 C．97 D．1108．在等比數(shù)列中，若，，則（

）A．4 B．2 C． D．9．已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．510．如圖，在三棱錐中，平面，則這個(gè)三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．11．已知、、都是實(shí)數(shù)，若，，則（

）A． B． C． D．12．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值是（

）A．1 B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.13.已知，都為銳角，，，則．14．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則．15．已知，計(jì)算.16．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是17．已知命題，則命題的否定是．18．如圖，在直三棱柱中，．若，則與平面所成的角的大小為．三、解答題：本大題共4小題，第19~21題各10分，第22題12分，共42分.解答需寫出文字說明，證明過程和演算步驟.19．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且.(1)求的值；(2)求的面積；20．已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，的最小值為，求函數(shù)的解析式；(3)若對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．為了調(diào)查某廠2000名工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（單位：個(gè)），產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為，頻率分布直方圖如圖所示.工廠規(guī)定從生產(chǎn)低于20件產(chǎn)品的工人中隨機(jī)地選取2名進(jìn)行培訓(xùn)，則這2名工人不在同一組的概率是多少？22．陽馬是我國古代數(shù)學(xué)對(duì)有一側(cè)棱垂直于底面且底面是矩形的四棱錐的統(tǒng)稱.如圖所示，陽馬中，平面，，相交于點(diǎn)，且，，，，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積參考答案1．D【分析】求出集合、，利用交集定義可求得集合.【詳解】因?yàn)椋虼耍?故選：D.2．C【分析】解一元二次不等式與分式不等式求得集合，可得結(jié)論.【詳解】解二次不等式，可得，則，解分式不等式，可得，則，因?yàn)?，所以是的充要條件.故選：C.3．B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，一次函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知在單調(diào)遞減，故B正確；根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知在單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；根據(jù)一次函數(shù)圖象與性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：B.4．D【分析】根據(jù)函數(shù)有意義列出不等式即可求解.【詳解】由解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D5．B【分析】根據(jù)利潤為總收入減去總成本，得到關(guān)于利潤的解析式，借助函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，設(shè)該公司所獲年利潤為（單位：萬元），當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以.綜上所述，當(dāng)時(shí)，該公司所獲年利潤最大.故選：B6．D【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理，得.故選：D.7．C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可.【詳解】由頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式，可得該班數(shù)學(xué)測試的平均成績：.故選：C.8．D【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，，則，所以.故選：D.9．A【分析】根據(jù)基本不等式直接求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為2.故選：A.10．B【分析】根據(jù)給定條件，利用錐體的體積公式直接計(jì)算即得.【詳解】在三棱錐中，平面，則是三棱錐的高，由，得，所以該三棱錐的體積為.故選：B11．C【分析】舉反例可得AB錯(cuò)誤；由不等式的性質(zhì)可得C正確，D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)A，令，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，；令，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)CD，由，，相加可得，即，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C12．C【分析】化簡函數(shù)解析式后根據(jù)正弦型函數(shù)對(duì)稱軸的性質(zhì)代入求解.【詳解】因?yàn)?，且函?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得.故選：C.14．14【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)求出首項(xiàng)與公差，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和即可得解.【詳解】設(shè)公差為，由，，得，解得，所以，所以．故答案為：15．/【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】.故答案為：.16．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系求解即可.【詳解】依題意，函數(shù)的對(duì)稱軸為，又在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，故或，解得或.故答案為：17．【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定形式可得.【詳解】由全稱量詞命題的否定形式可知，命題的否定為.故答案為：18．/【分析】根據(jù)線面垂直可得線面角的幾何角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.【詳解】連接,由于直三棱柱中，平面，平面，故,又,平面，故平面,由于,所以平面,故為與平面所成的角，由于，所以,，由于為銳角，所以，故答案為：19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和的余弦公式求得正確答案.（2）先求得，然后利用三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】（1）..由正弦定理可得.（2），所以的面積.20．(1)(2)(3)【分析】（1）把代入，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算直接求解即得.（2）令，則，將問題轉(zhuǎn)化為求解最小值問題，根據(jù)和兩種情況分類討論求解即可.（3）利用換元法將恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，則，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)且，所以，即，解得；（2）令，因?yàn)?，所以，則轉(zhuǎn)化為，此拋物線開口向上，且對(duì)稱軸，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)的遞減，在上單調(diào)遞增，則.綜上，；（3）由，得，令，則，，令，則由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，由題意知恒成立，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．【分析】根據(jù)頻率分布直方圖得到分布在和的人數(shù)，然后利用古典概型求概率的公式計(jì)算.【詳解】由頻率分布直方圖得產(chǎn)品數(shù)量分布在的人數(shù)為為，分布在的人數(shù)為，設(shè)生產(chǎn)數(shù)量分布在的兩人為，分布在的4人為，則從生產(chǎn)低于20件產(chǎn)品的工人中隨機(jī)地選取2名員工的樣本點(diǎn)有，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)，且這15個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的，2名工人不在同一組的樣本點(diǎn)有，，，，，，，，共8個(gè)，則2名工人不在同一組的概率為.22．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由中位線