2024-2025學(xué)年重慶市黔江區(qū)高二上冊(cè)11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市黔江區(qū)高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A B. C. D.2.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.外離3.已知兩條直線：，則（）A.或 B. C. D.4.正四面體ABCD的棱長為1，點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，則BO的長為（）A. B. C. D.5.橢圓左、右焦點(diǎn)分別記為，過左焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).若弦長|AB|的最小值為3，且的周長為8，則橢圓的焦距等于（）A.1 B.2 C. D.6.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線AE的距離為（）A. B. C. D.7.已知直線與圓，點(diǎn)，在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)取最小值時(shí)，則的最小值為（）A. B. C. D.8.已知橢圓的焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于M、N，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓，則橢圓的（）A.焦點(diǎn)在軸上 B.長軸長 C.短軸長為 D.離心率為10.下列命題正確的有（）A.已知向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為B.向量在向量上投影向量的模為C.為空間任意一點(diǎn)，若，若四點(diǎn)共面，則D.設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是11.已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則（）A.的取值范圍是B.的最小值是C.的最大值為D.若直線，則滿足到直線的距離為的點(diǎn)有3個(gè)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為______.13.直線被圓截得的弦長為，則______________.14.已知棱長為的正方體內(nèi)有一內(nèi)切球，點(diǎn)在球的表面上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為______________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15已知直線.（1）求過直線與的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線的方程；（2）求過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程.16.已知直線，橢圓.（1）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求直線被橢圓截得的弦長.17.如圖，正方形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，平面平面平面ABCD，且.（1）求證：平面ABCD；（2）求平面ABF與平面EBF夾角的余弦值.18.如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，.沿MN將翻折到的位置，連接PA，PB，PD，得到如圖2所示的五棱錐.（1）在翻轉(zhuǎn)過程中是否總有平面平面PAG？證明你的結(jié)論；（2）設(shè)點(diǎn)E為線段PA的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段BE上，且，當(dāng)四棱錐MNDB的體積最大時(shí)，是否存在滿足條件的實(shí)數(shù)，使直線MQ與平面PAB所成角的正弦值的最大值.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.19.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作直線，交軌跡于，兩點(diǎn)，，不在軸上.（i）過點(diǎn)作與直線垂直的直線，交軌跡于，兩點(diǎn)，記四邊形的面積為，求的最大值；（ii）設(shè)軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)為，直線，相交于點(diǎn)，試證明點(diǎn)在定直線上，求出該直線方程2024-2025學(xué)年重慶市黔江區(qū)高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】將直線的一般式改成斜截式，根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，即可求出結(jié)果【詳解】根據(jù)題意可知直線可可變形為故直線的斜率為，設(shè)直線傾斜角為，由可得.故選：B2.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.外離【正確答案】C【分析】求出圓心距與兩圓半徑的和、差比較可得．【詳解】由題意圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，半徑分別為，，，因此兩圓外切，故選：C．3.已知兩條直線：，則（）A.或 B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行充要條件即可判斷，【詳解】由題意知，則，解之可得或（舍）.故選：D4.正四面體ABCD的棱長為1，點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，則BO的長為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)，將用基底表達(dá)出來，再求向量模即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長為1，由題意可知，因?yàn)辄c(diǎn)為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?故選：A5.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別記為，過左焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).若弦長|AB|的最小值為3，且的周長為8，則橢圓的焦距等于（）A1 B.2 C. D.【正確答案】B【分析】過焦點(diǎn)的弦長最小時(shí)，弦所在直線與軸（長軸）垂直，此時(shí)弦長為，焦點(diǎn)（弦邊另一個(gè)焦點(diǎn)）的周長為，由此求得，得結(jié)論．【詳解】由題意可知，焦距等于2故選：B．6.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線AE的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】以D為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求點(diǎn)線距．【詳解】以D為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則,，，，則方向的單位向量，那么，所以F到直線AE的距離，故選：D．7.已知直線與圓，點(diǎn)，在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)取最小值時(shí)，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由切線長公式知當(dāng)時(shí)，最小，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求得的最小值，然后作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，可知當(dāng)點(diǎn)為直線與的交點(diǎn)時(shí)，最小，由對(duì)稱知此時(shí)與重合，從而易得最小值．【詳解】，所以當(dāng)時(shí)，最小，由點(diǎn)到直線的距離公式可得此時(shí)，過作直線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接，與直線的交點(diǎn)即為所找的點(diǎn)，由于關(guān)于直線對(duì)稱，，與關(guān)于直線對(duì)稱，因此與就是同一條直線，即點(diǎn)就是點(diǎn)，所以的最小值等于，故選：C．8.已知橢圓的焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于M、N，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由橢圓對(duì)稱性知，原點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，進(jìn)而可求得，由直線斜率可求得，根據(jù)橢圓定義即可求出橢圓的離心率.【詳解】由橢圓對(duì)稱性知，原點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，則，又直線MN的傾斜角為，，所以則，又，所以，所以.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓，則橢圓的（）A.焦點(diǎn)在軸上 B.長軸長為 C.短軸長為 D.離心率為【正確答案】BD【分析】求出橢圓的、、的值，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】在橢圓中，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，橢圓的長軸長為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，橢圓的短軸長為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，橢圓離心率為，D對(duì).故選：BD.10.下列命題正確的有（）A.已知向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為B.向量在向量上的投影向量的模為C.為空間任意一點(diǎn)，若，若四點(diǎn)共面，則D.設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是【正確答案】BCD【分析】由特殊情況判斷A，根據(jù)投影向量的求法判斷B，由空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)判斷C，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系判斷D.【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，向量夾角為，不符合題意，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，向量在向量上的投影向量為，所以投影向量的模為，故B正確；對(duì)C，，可得，若四點(diǎn)共面，則，解得，故C正確；對(duì)D，由，當(dāng)時(shí)，直線方程為，傾斜角，當(dāng)時(shí)，可得斜率，由或，可得或，由，可得或，綜上，可知，故D正確.故選：BCD11.已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則（）A.的取值范圍是B.的最小值是C.的最大值為D.若直線，則滿足到直線的距離為的點(diǎn)有3個(gè)【正確答案】AD【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式列式求解判斷AB；利用兩點(diǎn)間的距離求出最大值判斷C；求出圓心到直線距離判斷D.【詳解】圓的圓心，半徑，對(duì)于A，令，由直線與圓有公共點(diǎn)，得，解得，A正確；對(duì)于B，令，由直線與圓有公共點(diǎn)，得，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的平方與3的差，而，則的最大值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)到直線的距離為，因此直線與圓相交，且經(jīng)過圓的一條半徑的中點(diǎn)，則到直線的距離為的點(diǎn)有3個(gè)，D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為______.【正確答案】【分析】設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱直線任一點(diǎn)為，根據(jù)點(diǎn)對(duì)稱代入即可求解.【詳解】設(shè)直線上任一點(diǎn)x1,y1關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線任一點(diǎn)為可得，解之可得，所以在直線上，代入即可得，化簡(jiǎn)的，即.故答案：13.直線被圓截得的弦長為，則______________.【正確答案】0或10【分析】求出圓心到直線的距離后用勾股定理求得弦長，從而可得參數(shù)值．【詳解】由題意圓心到直線的距離為，圓半徑為，弦長為，則，解得或，故0或10.14.已知棱長為的正方體內(nèi)有一內(nèi)切球，點(diǎn)在球的表面上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為______________.【正確答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可表示出，結(jié)合圖象及球的性質(zhì)求出的取值范圍.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，所以，，所以，因?yàn)楸硎军c(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，所以當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，取得最大值為，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值?2，所以的取值范圍為.故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線.（1）求過直線與的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線的方程；（2）求過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由平行得直線斜率，由點(diǎn)斜式得直線方程并整理；（2）設(shè)出圓的一般方程，代入已知條件列方程組求解．【小問1詳解】由解得，，即直線與的交點(diǎn)為，直線的斜率為直線的斜率，直線的方程為，即.【小問2詳解】設(shè)圓的方程為，則由題意有，解得，，所以，圓的方程為.16.已知直線，橢圓.（1）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求直線被橢圓截得的弦長.【正確答案】（1）證明見解析，（2）【分析】（1）整理直線方程，建立方程組，可得答案；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用弦長公式，可得答案.【小問1詳解】因?yàn)?，整理可得，由，解得，此時(shí)，不管取何值，必成立.所以直線必過定點(diǎn).【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，由，消去得：，，，.17.如圖，正方形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，平面平面平面ABCD，且.（1）求證：平面ABCD；（2）求平面ABF與平面EBF夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）過點(diǎn)E作于，連接HD，先證明四邊形EHDF為平行四邊形，從而可得，利用直線與平面平面的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面ABF與平面EBF夾角的余弦值的向量公式求解即可.【小問1詳解】如圖，過點(diǎn)E作于，連接HD.正三角形BCE的邊長為.平面平面ABCD，平面BCE，平面平面平面ABCD，又平面，四邊形EHDF為平行四邊形.，平面平面平面ABCD.【小問2詳解】平面ABCD，且ABCD為正方形，以點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則，.設(shè)平面ABF的法向量為，由，得，令，則，所以平面ABF的法向量.設(shè)平面EBF的法向量為，由，得，令，則，所以平面EBF的法向量.設(shè)平面ABF與平面EBF的夾角為，則.所以平面ABF與平面EBF夾角的余弦值為.18.如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，.沿MN將翻折到的位置，連接PA，PB，PD，得到如圖2所示的五棱錐.（1）在翻轉(zhuǎn)過程中是否總有平面平面PAG？證明你的結(jié)論；（2）設(shè)點(diǎn)E為線段PA的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段BE上，且，當(dāng)四棱錐MNDB的體積最大時(shí)，是否存在滿足條件的實(shí)數(shù)，使直線MQ與平面PAB所成角的正弦值的最大值.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】（1）是，證明見解析（2）存在，【分析】（1）由菱形易得,再證,即可得平面PAG，從而有平面平面PAG.（2）四棱錐的體積最大，則點(diǎn)到平面MNDB的距離最大.通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAB的法向量，表示出，將直線MQ與平面PAB所成角為的正弦表示成的函數(shù)再求最大值及的值.【小問1詳解】在翻轉(zhuǎn)過程中總有平面平面PAG.證明如下：點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，∴又菱形ABCD中，，∴是等邊三角形，∴是MN的中點(diǎn)，∴.∴∵在菱形ABCD中，，即平面PAG，∴平面PAG，平面，∴平面平面PAG.【小問2詳解】由題意知，四邊形MNDB為等腰梯形，且，所以等腰梯形MNDB的面積.要使得四棱錐的體積最大，只要點(diǎn)到平面MNDB的距離最大即可.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，GA、GM、GP所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則，點(diǎn)為線段PA的中點(diǎn)，，設(shè)，則，，設(shè)平面PAB的法向量為，由，得，令，則，所以平面PAB的法向量.又，設(shè)直線MQ與平面PAB所成角為，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.19.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線