2025年高考數(shù)學復習之小題狂練600題（填空題）：一、二次函數(shù)及方程、不等式（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學復習之小題狂練600題（填空題）：一、二次函數(shù)及方程、不等式（10題）一．填空題（共10小題）1．（2024?青海二模）若x，y滿足約束條件x+y≥2，x-y≤2，y≤2，則z＝y(tǒng)﹣2．（2024?古藺縣校級模擬）已知x，y滿足約束條件x+2y-1≤02x+y+1≥0x-2y+3≥0，則y+33．（2024?普陀區(qū)校級三模）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣x2+2x+3＞0}，則A∩B中的元素個數(shù)為．4．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）若關(guān)于x的不等式mx2﹣5x+m≤0的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是．5．（2024?石家莊模擬）已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x2﹣ax＜0，x∈Z}．若集合M∩N恰有兩個元素，則實數(shù)a的取值范圍是．6．（2024?巴宜區(qū)校級三模）若x、y滿足約束條件x+2y-2≤0x-2y-2≤03x-2y+6≥0，則z＝x+5y7．（2024?浦東新區(qū)三模）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，則A=8．（2024?永嘉縣校級模擬）函數(shù)f（x）＝x2﹣4ax+2a2上有一個動點P，定點A（0，﹣1），則|AP|的最小值是．9．（2024?長寧區(qū)校級三模）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x3﹣3x≤1}，則A∩B＝．10．（2024?安陽三模）已知集合A＝{x|﹣x2﹣2x+a＞0}，B＝R，若A∩B＝?，則a的取值范圍是．

2025年高考數(shù)學復習之小題狂練600題（填空題）：一、二次函數(shù)及方程、不等式（10題）參考答案與試題解析一．填空題（共10小題）1．（2024?青海二模）若x，y滿足約束條件x+y≥2，x-y≤2，y≤2，則z＝y(tǒng)﹣【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算．【答案】2．【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，當直線過點（0，2）時，z取得最大值，最大值為2．故答案為：2．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．2．（2024?古藺縣校級模擬）已知x，y滿足約束條件x+2y-1≤02x+y+1≥0x-2y+3≥0，則y+3x+2的取值范圍為【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓；不等式；直觀想象；數(shù)學運算．【答案】（﹣2，4]．【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，設(shè)k=y+3x+2，k表示點（x，y）與點（﹣2，﹣【解答】解：作出不等式組x+2y-設(shè)k=y+3x+2，則k表示點（x，y）與點P（﹣2，﹣又kPA所以﹣2＜k≤4，即y+3x+2的取值范圍為（﹣2，4]故答案為：（﹣2，4]．【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．3．（2024?普陀區(qū)校級三模）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣x2+2x+3＞0}，則A∩B中的元素個數(shù)為3．【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學運算．【答案】3．【分析】求解一元二次不等式解得集合B，再求A∩B，即可求得其元素個數(shù)．【解答】解：由﹣x2+2x+3＞0，得﹣1＜x＜3，所以B＝{x|﹣1＜x＜3}，A∩B＝{0，1，2}，故A∩B中的元素共有3個．故答案為：3．【點評】本題主要考查交集的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）若關(guān)于x的不等式mx2﹣5x+m≤0的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是(-∞，-5【考點】由一元二次不等式的解求參數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算．【答案】(-∞，-【分析】根據(jù)一元二次不等式解集的性質(zhì)進行求解即可．【解答】解：當m＝0時，不等式為﹣5x≤0?x≥0，顯然不符合題意；當m≠0時，因為關(guān)于x的不等式mx2﹣5x+m≤0的解集為R，所以有m＜所以實數(shù)m的取值范圍是(-∞，-故答案為：(-∞，-【點評】本題主要考查一元二次不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?石家莊模擬）已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x2﹣ax＜0，x∈Z}．若集合M∩N恰有兩個元素，則實數(shù)a的取值范圍是{a|a＞2}．【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算．【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學運算．【答案】{a|a＞2}．【分析】先求出集合M，再對a分情況討論，求出集合N，結(jié)合集合M∩N恰有兩個元素求解即可．【解答】解：集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，①當a＝0時，N＝{x|x2﹣ax＜0，x∈Z}＝{x|x2＜0}＝?，此時M∩N＝?，不符合題意，②當a＞0時，N＝{x|x2﹣ax＜0，x∈Z}＝{x|0＜x＜a，x∈Z}，若集合M∩N恰有兩個元素，則a＞2，③當a＜0時，N＝{x|x2﹣ax＜0，x∈Z}＝{x|a＜x＜0，x∈Z}，若a≤﹣1，則M∩N＝{x|﹣1＜x＜0，x∈Z}＝?，不符合題意，若﹣1＜a＜0，則M∩N＝{x|a＜x＜0，x∈Z}＝?，不符合題意，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是{a|a＞2}．故答案為：{a|a＞2}．【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?巴宜區(qū)校級三模）若x、y滿足約束條件x+2y-2≤0x-2y-2≤03x-2y+6≥0，則z＝x+5y【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算．【答案】132【分析】畫出可行域，將z＝x+5y變形為y=-x5+z【解答】解：作出可行域如圖所示：將z＝x+5y變形為y=-在圖中作出過原點的直線y=-可知當直線平移到點A處時，z＝x+5y取最大值，所以x+2y-2=03x-2y+6=0即A(-所以zmax＝﹣1+5×3故答案為：132【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，作出可行域是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?浦東新區(qū)三模）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，則A=（1，2）【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；補集及其運算．【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學運算．【答案】（1，2）．【分析】先求出集合A，然后結(jié)合集合的補集運算即可求解．【解答】解：因為U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≥2或x≤1}，則A=（1，2故答案為：（1，2）．【點評】本題主要考查了集合的補集運算，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?永嘉縣校級模擬）函數(shù)f（x）＝x2﹣4ax+2a2上有一個動點P，定點A（0，﹣1），則|AP|的最小值是32【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學運算．【答案】32【分析】設(shè)點P的坐標，求出|AP|的表達式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得|AP|的最小值．【解答】解：設(shè)P（x，y），可得y＝x2﹣4ax+2a2，可得|AP|2＝x2+（y+1）2＝x2+（x2﹣4ax+2a2+1）2＝x2+[2（a﹣x）2+1﹣x2]≥x2+（1﹣x2）2＝x4﹣x2+1＝（x2-12）2所以|AP|≥3故|AP|的最小值為32故答案為：32【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．9．（2024?長寧區(qū)校級三模）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x3﹣3x≤1}，則A∩B＝{0，1}．【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算．【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學運算．【答案】{0，1}．【分析】由已知結(jié)合集合交集運算即可求解．【解答】解：因為集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x3﹣3x≤1}，則A∩B＝{0，1}．故答案為：{0，1}．【點評】本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?安陽三模）已知集合A＝{x|﹣x2﹣2x+a＞0}，B＝R，若A∩B＝?，則a的取值范圍是{a|a≤﹣1}．【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算．【專題】集合思想；判別式法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)A∩B＝?得A＝?，即不等式﹣x2﹣2x+a＞0無解，利用Δ≤0求解即可．【解答】解：集合A＝{x|﹣x2﹣2x+a＞0}，B＝R，若A∩B＝?，則A＝?，所以不等式﹣x2﹣2x+a＞0無解，即x2+2x﹣a＜0無解，所以Δ＝4+4a≤0，解得a≤﹣1，所以a的取值范圍是{a|a≤﹣1}．故答案為：{a|a≤﹣1}．【點評】本題考查了集合的運算與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

考點卡片1．交集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．2．補集及其運算【知識點的認識】一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．其圖形表示如圖所示的Venn圖．．【解題方法點撥】常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補集常用于對立事件，否命題，反證法．【命題方向】通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補集的選擇題，有時出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn)．3．二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【知識點的認識】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點撥】二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學的拋物線的焦點、準線和曲線的平移．這里面略談一下他的一些性質(zhì)．①開口、對稱軸、最值與x軸交點個數(shù)，當a＞0（＜0）時，圖象開口向上（向下）；對稱軸x=-b2a；最值為：f（-b2a）；判別式△＝b2﹣4ac，當△＝0時，函數(shù)與x軸只有一個交點；△＞0②根與系數(shù)的關(guān)系．若△≥0，且x1、x2為方程y＝ax2+bx+c的兩根，則有x1+x2=-ba，x1?x③二次函數(shù)其實也就是拋物線，所以x2＝2py的焦點為（0，p2），準線方程為y=-p④平移：當y＝a（x+b）2+c向右平移一個單位時，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命題方向】熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會畫出拋物線的準確形狀，特別是注意拋物線焦點和準線的關(guān)系，拋物線最值得取得，這也是一個常考點．4．一元二次不等式及其應(yīng)用【知識點的認識】含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式．特征當△＝b2﹣4ac＞0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當△＝b2﹣4ac＝0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當△＝b2﹣4ac＜0時．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點．【解題方法點撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】①一元二次不等式恒成立問題：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價條件是：a＜0且△＜0．②分式不等式問題：f(x)g(x)＞0?f（x）?g（x）＞f(x)g(x)＜0?f（x）?g（x）＜f(x)g(x)≥0?f(x)g(x)≤0?5．由一元二次不等式的解求參數(shù)【知識點的認識】含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式．特征當△＝b2﹣4ac＞0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當△＝b2﹣4ac＝0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當△＝b2﹣4ac＜0時．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點．【解題方法點撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0，﹣設(shè)定一元二次不等式的解，并根據(jù)解的形式建立不等式．﹣求出根，結(jié)合數(shù)軸分析區(qū)間．﹣通過區(qū)間分析，確定參數(shù)的取值范圍．設(shè)a，b，c為常數(shù)，若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），則不等式ax2﹣bx+c＜0的解集是（）解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），可得﹣3，2是方程ax2+bx+c＝0的兩根，且a＜0，則-3+2=-ba-3×2=ca不等式ax2﹣bx+c＜0整理可得x2-bax+即x2﹣x﹣6＞0，解得x＞3或x＜﹣2，所以不等式ax2﹣bx+c＜0的解集為（3，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．6．簡單線性規(guī)劃【知識點的認識】線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一種重要的數(shù)學模型．簡單的線性規(guī)劃指的是目標函數(shù)含兩個自變量的線性規(guī)劃，其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出．我們高中階段接觸的主要是由三個二元一次不等式組限制的可行域，然后在這個可行域上面求某函數(shù)的最值或者是斜率的最值．【解題方法點撥】1．畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化．2．在通過求直線的截距zb的最值間接求出z的最值時，要注意：當b＞0時，截距zb取最大值時，z也取最大值；截距zb取最小值時，z也取最小值；當b＜0時，截距zb取最大值時，z取最小值；截距【命題方向】例：若目標函數(shù)z＝x+y中變量x，y滿足約束條件x+2y≥（1）試確定可行域的面積；（2）求出該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解．解：（1）作出可行域如圖：對應(yīng)得區(qū)域為直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），則可行域的面積S=1（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，則平移直線y＝﹣x+z，則由圖象可知當直線經(jīng)過點A（2，3）時，直線y＝﹣x+z得截距最小，此時z最小為z＝2+3＝5，當直線經(jīng)過點B（4，3）時，直線y＝﹣x+z得截距最大，此時z最大為z＝4+3＝7，故該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解為（4，3），（2，3）這是高中階段接觸最多的關(guān)于線性規(guī)劃的題型，解這種題一律先畫圖，把每條直線在同一個坐標系中表示出來，然后確定所表示的可行域，也即范圍；最后通過目標函數(shù)的平移去找到它的最值．題型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域典例1：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx+分為面積相等的兩部分，則k的值是（）A．73B．37C．43分析：畫出平面區(qū)域，顯然點（0，43）在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點（0，4解答：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．由于直線y＝kx+43過定點（0，43）．因此只有直線過AB中點時，直線y＝因為A（1，1），B（0，4），所以AB中點D（12，5當y＝kx+43過點（12，52）時，5答案：A．點評：二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點定域．注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線．測試點可以選一個，也可以選多個，若直線不過原點，則測試點常選取原點．題型二：求線性目標函數(shù)的最值典例2：設(shè)x，y滿足約束條件：，求z＝x+y的最大值與最小值．分析：作可行域后，通過平移直線l0：x+y＝0來尋找最優(yōu)解，求出目標函數(shù)的最值．解答：先作可行域，如圖所示中△ABC的