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文檔簡介

安徽省利辛一中2025屆高三下學期聯合考試數學試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線,若與軸的交點坐標為,則該雙曲線的標準方程可能為()A. B. C. D.2.已知數列為等差數列,為其前項和,,則()A.7 B.14 C.28 D.843.點為的三條中線的交點,且,,則的值為()A. B. C. D.4.已知函數,若則()A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a)5.函數(其中,,)的圖象如圖,則此函數表達式為()A. B.C. D.6.若x,y滿足約束條件則z=的取值范圍為()A.[] B.[,3] C.[,2] D.[,2]7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的值為()A.0 B.1 C. D.8.若實數、滿足,則的最小值是()A. B. C. D.9.等比數列的各項均為正數,且,則()A.12 B.10 C.8 D.10.對于正在培育的一顆種子,它可能1天后發(fā)芽,也可能2天后發(fā)芽,….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數統計表,則這組種子發(fā)芽所需培育的天數的中位數是()發(fā)芽所需天數1234567種子數43352210A.2 B.3 C.3.5 D.411.在中,角的對邊分別為,若,則的形狀為()A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形12.已知函數,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設滿足約束條件,則目標函數的最小值為_.14.函數的定義域是___________.15.實數,滿足約束條件,則的最大值為__________.16.在的展開式中,的系數為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知平面與直線均垂直于所在平面,且.(1)求證:平面;(2)若,求與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知橢圓:的離心率為,左、右頂點分別為、,過左焦點的直線交橢圓于、兩點(異于、兩點),當直線垂直于軸時,四邊形的面積為1.(1)求橢圓的方程;(2)設直線、的交點為;試問的橫坐標是否為定值?若是,求出定值;若不是,請說明理由.19.(12分)在平面直角坐標系xoy中,曲線C的方程為.以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為.(1)寫出曲線C的極坐標方程,并求出直線l與曲線C的交點M,N的極坐標;(2)設P是橢圓上的動點,求面積的最大值.20.(12分)已知離心率為的橢圓經過點.(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點為,過點的直線與橢圓分別交于,若直線、、的斜率成等差數列,請問的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請說明理由.21.(12分)已知函數.(1)若不等式有解,求實數的取值范圍;(2)函數的最小值為,若正實數,,滿足,證明:.22.(10分)如圖,為等腰直角三角形,,D為AC上一點,將沿BD折起,得到三棱錐,且使得在底面BCD的投影E在線段BC上,連接AE.(1)證明:;(2)若,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

直線的方程為,令,得,得到a,b的關系,結合選項求解即可【詳解】直線的方程為,令,得.因為,所以,只有選項滿足條件.故選:A【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系以及雙曲線的標準方程,考查運算求解能力.2、D【解析】

利用等差數列的通項公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項的性質,即得解【詳解】,解得..故選:D【點睛】本題考查了等差數列的通項公式、求和公式和等差中項,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數學運算的能力,屬于中檔題.3、B【解析】

可畫出圖形,根據條件可得,從而可解出,然后根據,進行數量積的運算即可求出.【詳解】如圖:點為的三條中線的交點,由可得:,又因,,.故選:B【點睛】本題考查三角形重心的定義及性質,向量加法的平行四邊形法則,向量加法、減法和數乘的幾何意義,向量的數乘運算及向量的數量積的運算,考查運算求解能力,屬于中檔題.4、C【解析】

利用導數求得在上遞增,結合與圖象,判斷出的大小關系,由此比較出的大小關系.【詳解】因為,所以在上單調遞增;在同一坐標系中作與圖象,,可得,故.故選:C【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調性,考查利用函數的單調性比較大小,考查數形結合的數學思想方法,屬于中檔題.5、B【解析】

由圖象的頂點坐標求出,由周期求出,通過圖象經過點,求出,從而得出函數解析式.【詳解】解:由圖象知,,則,圖中的點應對應正弦曲線中的點,所以,解得,故函數表達式為.故選:B.【點睛】本題主要考查三角函數圖象及性質,三角函數的解析式等基礎知識;考查考生的化歸與轉化思想,數形結合思想,屬于基礎題.6、D【解析】

由題意作出可行域,轉化目標函數為連接點和可行域內的點的直線斜率的倒數,數形結合即可得解.【詳解】由題意作出可行域,如圖,目標函數可表示連接點和可行域內的點的直線斜率的倒數,由圖可知,直線的斜率最小,直線的斜率最大,由可得,由可得,所以,,所以.故選:D.【點睛】本題考查了非線性規(guī)劃的應用,屬于基礎題.7、A【解析】

根據輸入的值大小關系,代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入,,因為,所以由程序框圖知,輸出的值為.故選:A【點睛】本題考查了對數式大小比較,條件程序框圖的簡單應用,屬于基礎題.8、D【解析】

根據約束條件作出可行域,化目標函數為直線方程的斜截式,數形結合得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標,代入目標函數得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯立,得,可得點,由得,平移直線,當該直線經過可行域的頂點時,該直線在軸上的截距最小,此時取最小值,即.故選:D.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查數形結合的解題思想方法,是基礎題.9、B【解析】

由等比數列的性質求得,再由對數運算法則可得結論.【詳解】∵數列是等比數列,∴,,∴.故選:B.【點睛】本題考查等比數列的性質,考查對數的運算法則,掌握等比數列的性質是解題關鍵.10、C【解析】

根據表中數據,即可容易求得中位數.【詳解】由圖表可知,種子發(fā)芽天數的中位數為,故選:C.【點睛】本題考查中位數的計算,屬基礎題.11、C【解析】

利用正弦定理將邊化角,再由,化簡可得,最后分類討論可得;【詳解】解:因為所以所以所以所以所以當時,為直角三角形;當時即,為等腰三角形;的形狀是等腰三角形或直角三角形故選:.【點睛】本題考查三角形形狀的判斷,考查正弦定理的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬于基礎題.12、C【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數為標準正弦型三角函數,即可容易求得最小值.【詳解】由于,故其最小值為:.故選:C.【點睛】本題考查利用降冪擴角公式、輔助角公式化簡三角函數,以及求三角函數的最值,屬綜合基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據滿足約束條件,畫出可行域,將目標函數,轉化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點,此時,目標函數取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標函數,轉化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點此時,目標函數取得最小值,最小值為故答案為:-1【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數形結合的思想方法,屬于基礎題.14、【解析】

由于偶次根式中被開方數非負,對數的真數要大于零,然后解不等式組可得答案.【詳解】解:由題意得,,解得,所以,故答案為:【點睛】此題考查函數定義域的求法,屬于基礎題.15、10【解析】

畫出可行域,根據目標函數截距可求.【詳解】解:作出可行域如下:由得,平移直線,當經過點時,截距最小,最大解得的最大值為10故答案為:10【點睛】考查可行域的畫法及目標函數最大值的求法,基礎題.16、【解析】

根據二項展開式定理,求出含的系數和含的系數,相乘即可.【詳解】的展開式中,所求項為:,的系數為.

故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式定理的應用,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】

(Ⅰ)證明:過點作于點,∵平面⊥平面,∴平面又∵⊥平面∴∥,又∵平面∴∥平面(Ⅱ)∵平面∴,又∵∴∴∴點是的中點,連結,則∴平面∴∥,∴四邊形是矩形設,得:,又∵,∴,從而,過作于點,則∴是與平面所成角∴,∴與平面所成角的正弦值為考點:面面垂直的性質定理;線面平行的判定定理;線面垂直的性質定理;直線與平面所成的角.點評:本題主要考查了線面平行的證明和直線與平面所成的角,屬立體幾何中的??碱}型,較難.本題也可以用向量法來做:用向量法解題的關鍵是;首先正確的建立空間直角坐標系,正確求解平面的一個法向量.注意計算要仔細、認真.≌18、(1)(2)是為定值,的橫坐標為定值【解析】

(1)根據“直線垂直于軸時,四邊形的面積為1”列方程,由此求得,結合橢圓離心率以及,求得,由此求得橢圓方程.(2)設出直線的方程,聯立直線的方程和橢圓方程,化簡后寫出根與系數關系.求得直線的方程,并求得兩直線交點的橫坐標,結合根與系數關系進行化簡,求得的橫坐標為定值.【詳解】(1)依題意可知,解得,即;而,即,結合解得,,因此橢圓方程為(2)由題意得,左焦點,設直線的方程為:,,.由消去并整理得,∴,.直線的方程為:,直線的方程為:.聯系方程,解得,又因為.所以.所以的橫坐標為定值.【點睛】本小題主要考查根據橢圓離心率求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關系,考查直線和直線交點坐標的求法,考查運算求解能力,屬于中檔題.19、(1),,;(2).【解析】

(1)利用公式即可求得曲線的極坐標方程;聯立直線和曲線的極坐標方程,即可求得交點坐標;(2)設出點坐標的參數形式,將問題轉化為求三角函數最值的問題即可求得.【詳解】(1)曲線的極坐標方程:聯立,得,又因為都滿足兩方程,故兩曲線的交點為,.(2)易知,直線.設點,則點到直線的距離(其中).面積的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的相互轉化,涉及利用橢圓的參數方程求面積的最值問題,屬綜合中檔題.20、(1);(2)是,【解析】

(1)根據及可得,再將點代入橢圓的方程與聯立解出,即可求出橢圓的方程;(2)可設所在直線的方程為,,,,將直線的方程與橢圓的方程聯立,用根與系數的關系求出,然后將直線、、的斜率、、分別用表示,利用可求出,從而可確定點恒在一條直線上,結合圖形即可求出的面積.【詳解】(1)因為橢圓的離心率為,所以,即,又,所以,①因為點在橢圓上,所以,②由①②解得,所以橢圓C的方程為.(1)可知,,可設所在直線的方程為,由,得,設,,,則,,設直線、、的斜率分別為、、,因為三點共線,所以,即,所以,又,因為直線、、的斜率成等差數列,所以,即,化簡得,即點恒在一條直線上,又因為直線方程為,且,所以是定值.【點睛】本題主要考查橢圓的方程,直線與橢圓的位置關系及橢圓中的定值問題,屬于中檔題.21、(1)(2)見解析【解析】

(1)分離得到,求的最小值即可求得的取值范圍;(2)先求出,得到,利用乘變化即可證明不等式.【詳解】解:(1)設,∴在上單調遞減,在上單調遞增.故.∵有解,∴.即的取值范圍為.(2),當且僅當時等號成立.∴,即.∵.當且僅當,,時等號成立.∴,即成立.【點睛】此題考查不等式的證明,注意定值乘變化的靈活應用,屬于較易題目.22、(1)見解析;(2)【解析】

(1)由折疊過程知與平面垂直,得,再取中點,可證與平面垂直,得,從而可得線面垂直,再得線線垂直;(2)由已知得為中點,以為原點,所在直線為軸,在平面內過作的垂線為軸建立空間直角坐標系,由已知求出線段長,得出各點坐標,用平面的

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